導(dǎo)數(shù)的概念（知識(shí)解讀） 高二數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊(cè)

導(dǎo)數(shù)的概念（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，會(huì)求函數(shù)在某一點(diǎn)附近的平均變化率；2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．3.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；4.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程【知識(shí)點(diǎn)梳理】考點(diǎn)1瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度的定義(1)物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度．(2)一般地，設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt無限趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于某個(gè)常數(shù)v，我們就說當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)的極限是v，這時(shí)v就是物體在時(shí)刻t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度，即瞬時(shí)速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).考點(diǎn)2函數(shù)的平均變化率對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋Δx)．這時(shí)，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我們把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．考點(diǎn)3函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無限趨近于一個(gè)確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).考點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．割線斜率與切線斜率設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，直線AB是過點(diǎn)A(x0，f(x0))與點(diǎn)B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一條割線，此割線的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).當(dāng)點(diǎn)B沿曲線趨近于點(diǎn)A時(shí)，割線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的極限位置為直線AD，直線AD叫做此曲線在點(diǎn)A處的切線．于是，當(dāng)Δx→0時(shí)，割線AB的斜率無限趨近于過點(diǎn)A的切線AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0)．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3.導(dǎo)函數(shù)的定義從求函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看出，當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)．這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))．y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作f′(x)或y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).特別提醒：區(qū)別聯(lián)系f′(x0)f′(x0)是具體的值，是數(shù)值在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值f′(x)f′(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個(gè)新函數(shù)，是函數(shù)【解題思路】【典例分析】【考點(diǎn)1平均變化率】【典例1】某物體做自由落體運(yùn)動(dòng)的位移，，若，則是該物體（

）A．從1s到這段時(shí)間的平均速度 B．從0s到1s這段時(shí)間的平均速度C．在t＝1s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度 D．在這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度【答案】A【解析】由表示從1s到這段時(shí)間內(nèi)物體的位移.為從1s到這段時(shí)間的增加量所以表示從1s到這段時(shí)間的平均速度故選：A【變式1-1】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，在區(qū)間上的平均變化率為，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】A【解析】，.由題意，知，所以.故選：A.【變式1-2】已知函數(shù)，則從2到的平均變化率為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)從2到的平均變化率為：.故選：B．【變式1-3】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于故選：C【考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的概念】【典例2】函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖知：，即.故選：A【變式2-1】函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則（

）A．f′(1)>f′(2)>f′(3) B．f′(2)>f′(1)>f′(3)C．f′(3)>f′(2)>f′(1) D．f′(3)>f′(1)>f′(2)【答案】C【解析】由函數(shù)的圖象可知，曲線在點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))處切線的斜率大小關(guān)系為kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1).【變式2-2】在橋梁設(shè)計(jì)中，橋墩一般設(shè)計(jì)成圓柱型，因?yàn)槠涓飨蚴芰?，而且在相同截面下，澆筑用模最?假設(shè)一橋梁施工隊(duì)在澆筑橋墩時(shí)，采用由內(nèi)向外擴(kuò)張式澆筑，即保持圓柱高度不變，截面半徑逐漸增大，設(shè)圓柱半徑關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為，若圓柱的體積以均勻速度增長(zhǎng)，則圓柱的側(cè)面積的增長(zhǎng)速度與圓柱半徑（

）A．成正比，比例系數(shù)為 B．成正比，比例系數(shù)為C．成反比，比例系數(shù)為 D．成反比，比例系數(shù)為【答案】C【解析】由，知.即，∴，又圓柱的側(cè)面積，則其側(cè)面積增長(zhǎng)速度，∴圓柱的側(cè)面積的增長(zhǎng)速度與圓柱半徑成反比，比例系數(shù)為，故選:C.【變式2-3】已知是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題中的圖象可以看出，在內(nèi)，，且在內(nèi)，單調(diào)遞增，在內(nèi)，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，且其圖象在內(nèi)越來越陡峭，在內(nèi)越來越平緩．故選：D．【考點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算】【典例3】已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義和極限的運(yùn)算法則，可得：.故選：A.【變式3-1】設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（a為常數(shù)），則（