模糊數(shù)學模型

第六部分模糊數(shù)學第十五章模糊數(shù)學模型模糊數(shù)學的起源15.1?1數(shù)學是精確的數(shù)學是關于物質(zhì)世界的空間形式和數(shù)量關系的科學。在二十世紀三十年代，數(shù)學的發(fā)展被劃分成三個階段：第一階段：數(shù)學是數(shù)，量，幾何圖形的科學；第二階段：數(shù)學是研究量的變化和幾何圖形變換的科學；第三階段：數(shù)學是作為關于現(xiàn)實世界一切普遍性的數(shù)量形式和空間形式的科學。近代科學技術的發(fā)展同精確數(shù)學方法的發(fā)展和應用是密切相關的，牛頓力學為其經(jīng)典。到了19世紀，天文，力學，屋里，化學等理論自然科學先后在不同程度上走向定量化，數(shù)學化，形成一個被稱為“精密科學”的學科群。大量使用數(shù)學方法，反過來又推動了數(shù)學的巨大進步。19世紀是精確科學方法飛速發(fā)展的時期。20世紀以來，精確數(shù)學及其應用以更大的規(guī)模和速度發(fā)展著。相對論，量子力學，分子生物學，原子能，電子計算機和空間技術等鄰域的創(chuàng)建和開發(fā)為精確方法奏響了一曲又一曲的凱歌，但也進一步助長了對精確方法的盲目崇拜。人們愈加相信，一切都應當精確化，只有現(xiàn)在還沒有實現(xiàn)精確化的問題，沒有不需要或不可能精確化的問題。客觀而言，精益求精是科學工作者的美德，是評價研究工作科學性的一條準則，但是，這種對精確方法的崇拜，似乎被當作一種不言而喻的真理，在很長的歷史時期中未受到人們的懷疑。科學方法論中的這種絕對化的觀點，也反映到哲學中。例如，一些分析哲學家提倡把一切概念，包括日常用語都加以精確化，這種現(xiàn)象的發(fā)生是值得深思的。但是，實踐是檢驗真理的唯一標準，任何理論上的片面性和絕對化,遲早會在實踐中暴露其錯誤而得到糾正。15.1.2精確數(shù)學的局限性人腦的思維活動一般說來具有兩方面的特征：（1）直覺性跟嚴格性的有機結(jié)合，可以進行整體性和平行性的思考，例如聯(lián)想過程，這些是具有模糊性的；（2）邏輯推理過程，它具有邏輯和順序的特點，因而又是形式化的。關于形式化思維，可以用數(shù)理邏輯的方法把它數(shù)學化，這樣就能把它變成一系列的數(shù)學符號，可以用計算機去解。最突出的成果就是1976年美國人阿貝爾和哈肯利用電子計算機解決有名的數(shù)學難題一一四色問題，這一難題的解決使不少人驚嘆：這簡直是電腦對人腦的嘲弄！真是這樣嗎？從另一個角度來看，譬如，看電視的時候，要把圖像調(diào)得“更清楚一些”，或者，說一個人比另一個人更好看一些或更丑一些，這對于人來說是件容易的事，但是對于電腦來說，卻是個大難題。從這個角度來說，電腦的“智力”還不如一個小孩子。為什么會出現(xiàn)這樣的情況呢？因為用傳統(tǒng)數(shù)學的方法處理模糊食物，首先要求將對象簡化，舍棄對象固有的模糊性，在本來沒有明確界限的對象之間認為地掛定界限，變模糊數(shù)量關系為清晰數(shù)量關系。例：西

瓜因大小不同而價格不登，但大瓜與小瓜并無天然的界限，認為地規(guī)定6斤以上者為大瓜，6斤以下者為小瓜，就有了區(qū)分大小瓜的精確判據(jù)。對于模糊性較弱的事物，或者日常生活的簡單話題，這樣處理是許可的，方便的。但人為地劃定界限畢竟是對本來相互聯(lián)系的食物的性質(zhì)的一種歪曲，特別是在分界線附近，這種描述的失真性更明顯。當研究的對象相當復雜時，這種處理方法便不適用了。1965年，美國自動控制論專家，加利福尼亞大學教授查德根據(jù)動作中的體會寫出了《模糊集合》一文，開始用數(shù)學的觀點來刻畫模糊事物，這標志著模糊數(shù)學這門新學科的誕生。模糊數(shù)學決不是把已經(jīng)很精確的數(shù)學變得模模糊糊，而是用精確的數(shù)學方法來處理過去無法用數(shù)學描述的模糊事物。模糊集合論的基礎知識15.2.1模糊子集和它的運算模糊概念不能用普通集合來描述，是因為不能絕對地區(qū)別“屬于”或“不屬于”，而只能問屬于的程度，就是論域上的元素符合概念的程度不是絕對的0或1，而是介于0和1之間的一個實數(shù)。查德1965年給出的定義：定義從論域U到閉區(qū)間［0,1］的任意一個映射：A:UT【0,1］，對任意u&U，u—A(%)，A(%hl0，1］，那么A叫做U的一個模糊子集，A(u)叫做U的隸屬函數(shù),也記做卩A(u)。根據(jù)定義，我們知道所謂模糊集合，實質(zhì)上是論域U到［0，1］上的一個映射，而對于模糊子集的運算，實際上可以轉(zhuǎn)換稱為對隸屬函數(shù)的運算：A=0o卩(x)=0，A=Uoy(x)=1TOC\o"1-5"\h\zAAA匸Boy(x)<y(x)，A=Boy(x)=y(x)ABABAoy_(x)=1-y(x)AAy(x),AAuB=Coy(x)二maxy(x),A~~?小AcB=AcB=Doy(x)二minDy(x),A假設給定有限論域U={a,a，…?，a}，它的模糊子集A可以用查德給出的表示法：TOC\o"1-5"\h\z12ny(a)y(a)y(a)y(a)A=一A+A2H—AiHH—An_~aaaa12in其中aGU(i二1，2,…，n)為論域里的元素，y(a)是a對A的隸屬函數(shù),iAii

0劉aS'1。上式表示一個有n個元素的模糊子集。“+”叫做查德記號’不是求和。［例題］設論域E二gx2,x3,T，TOC\o"1-5"\h\z人0.50.30.40.2

A二+++—~xxxx1234廠0.200.61B二+++-，~xxxx1234意思是％x2,x3,x4對模糊子集A的隸屬度分別是，，，，對模糊子集B的隸屬度分別是,0,,1。［例題］設以人的歲數(shù)作為論域U=［0,120］，單位是“歲”，那么“年輕”，“年老”,都是U上的模糊子集。隸屬函數(shù)如下:“年輕”(U)=f卩(u“年輕”(U)=f卩(u)=“年老”(u)=<B-1-1(0<u<25)(25<u<120)()(0<u<50)(50<u<120)()()表示：不大于25歲的人，對子集“年輕”的隸屬函數(shù)值是1,即一定屬于這一子集;而大于25而大于25歲的人，對子集“年輕”的隸屬函數(shù)值按-1來計算，例如，40歲(、(40—25、2-1的人，隸屬函數(shù)值卩(u=40)=1+—-—=0?】。A［I5丿一同理，由()可得：卩(u=55)=0.5，卩(u=60)=0.8。BB模糊子集的隸屬函數(shù)值的確定通常是根據(jù)經(jīng)驗或統(tǒng)計，常常帶有主觀性，但大家也較容易接受。15.2.2九截集和支集［例題］某醫(yī)生今天給五個發(fā)燒病人看病’設為gx3,x4,T，其體溫分別為:

38.9°C,37.2°C,37.8°C,39.2°C,38.1°C。醫(yī)生在統(tǒng)計表上就可以這樣寫:37°C以上的五人，｛x,x,x,x,x｝；TOC\o"1-5"\h\z234538°C以上的三人，｛x,x,x｝；14539C以上的一人，｛x｝；1如果規(guī)定37.5。C以下的不算發(fā)燒，問有多少發(fā)燒病人？醫(yī)生就可以回答：{x,x,x,x}，但所謂“發(fā)燒”實際上是一個模糊概念，它存在程度上的不同，也就是說1345要用隸屬函數(shù)來描述。如果根據(jù)醫(yī)師的經(jīng)驗規(guī)定，對“發(fā)燒”來說：體溫39C以上的隸屬函數(shù)卩(x)=1；體溫38.5°C以上不到39C的隸屬函數(shù)卩(x)=0.9；體溫38°C以上不到38.5°C的隸屬函數(shù)卩(x)=0.7；體溫37.5°C以上不到38。C的隸屬函數(shù)卩(x)=0.4；我們用模糊集合來處理這個問題。我們用模糊集合來處理這個問題。TOC\o"1-5"\h\z人0.900.410.7設A=++++_~xxxxx12345現(xiàn)在如果問：隸屬函數(shù)卩(x)>0.9的有哪些人，用A09來表示這一集合，則a0.9A0.9:,x,A0.9:,x,x｝，A=｛x1450.41:,x,x,x｝。1345={x,x}，同理，A={x,x}，A=140.8140.6一般地，用A表示卩>九的集合，這個集合就叫九截集或九水平集九A=(口(x)>X,xGX}人A=(卩(x)>0,xGX}，即所有九〉0的九截集的并集，本例中即為支集A0+?役所有發(fā)燒病人。15.2.3確定隸屬函數(shù)的原則隸屬函數(shù)的確定過程，本質(zhì)上應該說是客觀的，但是事實上現(xiàn)在還沒有一個完全客觀的評定標準。在許多情況下，常是初步確定粗略的隸屬函數(shù)，然后通過“學習”和時間檢驗逐步修改和完善化，而實際效果正是檢驗和調(diào)整隸屬函數(shù)的依據(jù)。模糊統(tǒng)計是確定隸屬函數(shù)的一種主要方法，它需要做大量的試驗，因此工作量是比較大的。15.2.4怎樣度量模糊性隸屬函數(shù)的值的確定，雖然有各種方法，本質(zhì)上應該是客觀的，但實際上常常帶有主觀性，對同一論域上的模糊集合，不同的人或用不同的判斷標準，所得出的各元素的隸屬度也不盡相同，那么，有沒有辦法來比較哪一個更正確些呢，這就涉及到怎樣來度量模糊性的問題。下面我們通過一個實例來說明這個問題。［例題］假定有甲乙兩個顧客商場買衣服，他們主要考慮三個因素：（1）花色式樣（x）；1（2）耐穿程度（x）；2（3）價格（x）；3甲乙兩人就會根據(jù)自己的觀點，分別給Xxx打分，這種打分實際上是模糊的，也就123是要確定對這個因素“滿意”的隸屬度，但是由于兩個人的經(jīng)驗，性格和經(jīng)濟情況等都不相同，所以他們對xix2x3所確定的隸屬度也不會相同?；ㄉ綐樱▁）1耐穿程度（x）2價格（x）3顧客甲確定的隸屬度卩(x)=0.8A1卩(x)=0.4A2卩(x)=0.7A3顧客乙確定的隸屬度卩(x)=0.6B1卩(x)=0.6B2卩(x)=0.5B3這就得到兩個模糊集:人0.80.40.7廠0.60.60.5A—++，B—++~xxx~xxx123123究竟誰的觀點正確呢？看來沒法確定。因為各人有各人的經(jīng)驗，各人有各人的道理，這就是怎樣度量模糊性的問題。解決這個問題的研究途徑很多，目前用得較多的大致有“距離”“貼近度”兩個。15.2.4?1用“距離”來度量模糊性定義在有限論域X上有兩個模糊子集A和B，A和B的漢明距離定義如下:絕對漢明距離：d(A，B)=乂卩(x)—卩(x)；AiBii=1相對漢明距離：3(A,B)=—d(A,B)o~~n~~例如在例中：d(A,B)=|0.8—0.6|+10.4—0.6|+10.7—0.51=0.6

5（A,B）=丄d（A,B）=0.2??^3~~絕對歐幾里得距離：eQ,B）=￡i=1卩（x）-卩（絕對歐幾里得距離：eQ,B）=￡i=1卩（x）-卩（x）AiBi-相對歐幾里得距離:e（A,B）=丄e（A,B）n例中：e（A，B）=0?2J3,e（A,B）=0.2怎樣用距離來描述一個模糊集合的模糊程度呢？要定義一個跟A最貼近的集合，這個集合用A來表示，如果A里某元素的隸屬度＞0?5,卩（x）＞0.5卩（x）＜卩（x）＞0.5卩（x）＜0.5'A卩（卩（x）=＜A0,令v（a）=25（a，A），n（A）=2e（a，A），用v（A），n（A）來表示模糊集合的模糊度。v（a）或n（A）大，即模糊度大。因此，例中，A=++因此，例中，A=++，B=xxx一1235（B,B）5（A,A）=e（A,A）=0.311,0.3，110++-xxx123=0.433，所以v（A）=0.6<v（B）=0.866；e（B，B）=0.436，所以耳（A）=0.622<n（B）=0.872；可見B的模糊度比A的模糊度大。15?2.4?2用“貼近度”來度量模糊性先定義內(nèi)積，外積：定義設A和B為論域u上的兩個模糊子集，記:其中A為內(nèi)積：a?B=VC（u）A（u）），外積：AOB=A（卩（u）vp（u其中A為ueUABugUAB最大下界，V為最小上界。貼近度：TOC\o"1-5"\h\z)/2[*^A~*^A)~!2人0.80.40.7廠0.60.60.5例中：A=++,B=++-xxxxxx123123A.B=(0.8a0.6)v(0.4a0.6)v(0.7a0.5)=0.6v0.4v0.5=0.6??AqB=(0.8v0.6)a(0.4v0.6)a(0.7v0.5)=0.8a0.6a0.7=0.6因此，(a,B)=1「A?B+(1—AOB)]=0.5，表示貼近度不大不小。2度量模糊性十全十美的公式是不存在的，只能根據(jù)實際需要和經(jīng)驗選取。模糊數(shù)學應用15.3.1模糊相似選擇在實際工作中常會遇到對一組確定的對象按照某種性質(zhì)排出優(yōu)劣次序的問題，但是，在許多情況下，由于用來比較的性質(zhì)具有邊界不分明的模糊性，使得比較優(yōu)劣產(chǎn)生困難。［例題］由10名專家組成評比小組對某一行業(yè)中的三家企業(yè)甲、乙、丙的綜合效益進行評比，企業(yè)的綜合效益是一個復雜系統(tǒng)，包括經(jīng)濟效益，社會效益，環(huán)境效益等，而每個專家考慮問題的角度不同，觀點不同，使得難以排出一個整體的優(yōu)劣次序。如發(fā)生以下情況：7人認為甲比乙好，3人認為乙比甲好；6人認為乙比丙好，4人認為丙比乙好；8人認為丙比甲好，2人認為甲比丙好；則如何確定一個整體上的優(yōu)劣呢?即優(yōu)越程度一樣；對xwU，i給出一個模糊選擇矩陣：對xEU，R(x,x)=即優(yōu)越程度一樣；對xwU，iiiixwU，RC,x)+RC,x)=1，貝ij，'0.50.70.2]R=0.30.50.6jijji,0.80.40.5丿廠00.70.2]第一步：令R=0，得R=110.300.6,0.80.40丿第二步：取九(0＜九＜1)，寫出九一截矩陣R九，如本例中可取九=0.5，得廠010、R=0010.51100丿第三步：令九減小，當下降到某一值時，第一次出現(xiàn)R九中某一行除對角線外全為1，認

‘010、為該行對應的元素X是U中相對最優(yōu)的元素。本例中當取九二0.4時，R=001k0.4（110丿則丙的綜合效益最好。第四步：劃去xk所在第k彳亍第k列元素，得n-1階矩陣。本例中劃去第3彳亍第3列元素,得2階矩陣為R（】）=第五步：繼續(xù)上述過程，逐個選出相對最優(yōu)元素即得優(yōu)劣次序。第五步：繼續(xù)上述過程，逐個選出相對最優(yōu)元素即得優(yōu)劣次序。R（】）=［00.7（0此，甲第二好，整體優(yōu)劣為丙，甲，乙。15.3.2模糊聚類［例題］用生產(chǎn)工人的勞動生產(chǎn)率，每萬元固定資產(chǎn)容納職工人數(shù)和技術管理人員在職工中的比重三項指標作為衡量一個企業(yè)技術密集程度的指標體系?，F(xiàn)有6家企業(yè)構(gòu)成論域：U={x,x,x,x,x,x}，123456這6家企業(yè)關于上述三項指標的數(shù)值依次是:x=(x,x,x)=(1.8,0.95,0.15)111213x=(x,x,x)=(3.2,1.01,0.18)212223x=(x,x,x)=(2.5,0.9&0.16)313233x=(x,x,x)=(1.9,1.2,0.09)414243x=(x,x,x)=(2.1,0.99,0.21)515253x=(x,x,x)=(2.2,1.03,0.17)616263評價這6個企業(yè)的技術密集程度。建立模糊相似矩陣R建立模糊相似矩陣R=Cj\，其中；工minC,x)ikjk=-7r為max\x,x)ikjkk=1經(jīng)計算得:r10.660.80.870.880.85'0.6610.830.660.740.770.80.8310.770.880.9Rr10.660.80.870.880.85'0.6610.830.660.740.770.80.8310.770.880.9R=0.870.660.7710.850.850.850.740.880.8510.95、0.850.770.90.850.951丿用直接聚類法進行分類＜取水平九二1時，將U分成6個等價類{x},{x},2{x},{x},{x}。1}={x},1}={x},2取水平九二0.9時，則[x]={xj[x]={x.[x]={x3r>0.9ijr>0.9j2jr>0.9}={x,x},j3j36r>0.9j4j[x]={x45j6jr>0.96jr>0.95j}={x},4將有公共元素的類進行合并，得水平九=0.9下U的分類為｛xi｝,｛x2｝,g屯，~｝，｛x4｝，說明在這一水平下可以認為第三，五，六家企業(yè)的技術密集程度是相同的。最后取水平九=0.8,則34r>0.81jr>0.8最后取水平九=0.8,則34r>0.81jr>0.83jr>0.8j6jr>0.8j5jr>0.8j4jr>0.82j,x,x,x,x},3456,x,x,x,x},2356,x,x,x,x},3456,x,x,x},456將所有具有公共元素的類合并，得到水平九=0.8下的U分類為｛x,x,x,x,x,x｝。123456由于在水平九=0.8下所有企業(yè)的技術密集程度屬于同一類，說明在這一水平下可以認為6家企業(yè)的技術密集程度是相同的。

15.3.3模糊綜合評價模糊綜合評價的一般步驟如下:確定評價對象的因素集卩={x,x，?…,x}；12n確定評語集；作出單因素評價R=jnxm綜合評價。［例題］評價某種牌號的手表，U={x,x,x,x}，其中x表示外觀式樣，x表示走時TOC\o"1-5"\h\z123412準確，x表示價格，x表示質(zhì)量。34評語集為V={y,y,y}，其中y表示很滿意，y表示滿意，y表示不滿意。123123例如，對外觀式樣有70%的顧客很滿意，20%的顧客滿意，10%的顧客不滿意，那么f(x)=07+02+01yyy123同理可得：f(x)_0.6*0.3*0.1yyy123f(x)0.50.3+0.2+3yyy123f(x)0.50.4+0.1+4yyy123_0.70.20.「0.60.30.1則這個問題的單因素評價矩陣為R_0.50.30.2_0.50.40.1_TOC\o"1-5"\h\z由于各個因素在綜合評價中的作用不同，為此給出一個U的模糊集合A_(a,a，?…,a)，滿足條件"a_1，在綜合評價中，將A稱為綜合評價的權重向量，12ni對于給定的權重，綜合評價就是UTV的一個模糊變換。假設如果某類顧客評價手表的權重為A_(0.4,0.2,0.3,0.1)，即對四個方面的重視程度為40%，20%，30%，10%。B_AoR=B_AoR=(0.4,020.3,0.1)。0.70.20.10.60.30.10.50.30.20.50.40.1_(0.4,0.3,0.2)說明很滿意，滿意，不滿意的隸屬度依次是,，，根據(jù)最大隸屬原則，可以認為這類顧客對這種手表“很滿意模糊數(shù)學模型舉例U】在英語教學過程中，利用計算機輔助手段，改變傳統(tǒng)的課堂教學方式，根據(jù)課文內(nèi)容制作課件，對學生進行更多的聽、說訓練，為學生創(chuàng)造一個良好的學習環(huán)境，讓他們面對計算機進行情景對話，從而克服面對教師或同學的緊張情緒，培養(yǎng)學生的語言學習的自信心。為評價計算機輔助英語教學的效果，我們采用了模糊綜合評判法。模糊綜合評判的數(shù)學模型可以分為以下幾個步驟：1?建立評判對象的因素集U={U］，u2…，un}。因素就是對象的各種屬性或性能，在不同場合，也稱為參數(shù)指標或質(zhì)量指標，它們綜合地反映出對象的質(zhì)量，人們就是根據(jù)這些因素給對象評價。2?建立評判集V={V］，v2，…，vm}。3?建立單因素評判，即建立一個從U到F（V）的模相映射f:UTF（V），VueUiTOC\o"1-5"\h\z丄（、rrrUf\UJ=+…■+—imiiVVV12m0<r<1,1<i<n,1<j<mij廠rr1112rr1mr2mIrrn1mr2mIrrn1n2rnmR稱為單因素評判矩陣。于是（U，V，R）構(gòu)成了一個綜合評判模型。4?綜合評判由于對U中各因素有不同的側(cè)重，需要