概率的運(yùn)算法則課件

一、概率的加法公式二、條件概率與乘法公式三、全概率公式與貝葉斯公式四、小結(jié)第三節(jié)概率的運(yùn)算法則一、概率的加法公式二、條件概率與乘法公式三、全概率公式與貝葉一、概率的加法公式概率的有限可加性定理1推論1對(duì)任一事件A，有推論2

若A，B為任意兩事件,則P(A-B)=P(A)-P(AB)一、概率的加法公式概率的有限可加性定理1推論1對(duì)任一事件A定理2

若A，B為任意兩事件，則推廣三個(gè)事件和的情況定理2若A，B為任意兩事件，則推廣三個(gè)事件和的情況n個(gè)事件和的情況n個(gè)事件和的情況解

分別用A2與A3表示抽到兩個(gè)與三個(gè)白球，則A2與A3互斥.由加法法則，所求概率為例1袋中有大小相同的7個(gè)球，4個(gè)是白球，3個(gè)為黑球,從中一次任取3個(gè)，求至少有兩個(gè)是白球的概率.解分別用A2與A3表示抽到兩個(gè)與三個(gè)白球，則A2與A3互斥例2

50個(gè)產(chǎn)品中有46個(gè)合格品與4個(gè)廢品，從中任取3個(gè)，求其中有廢品的概率.解

用Ai表示取到i個(gè)廢品,則A1，A2，A3互斥故例250個(gè)產(chǎn)品中有46個(gè)合格品與4個(gè)廢品，從中任取3個(gè)，另解考慮到故注該題的兩種解法較為典型：前者是直接對(duì)待求事件進(jìn)行互斥分解，但計(jì)算較繁瑣；后者是從待求事件的對(duì)立事件出發(fā)，利用了對(duì)立事件概率之和為1的性質(zhì)，簡(jiǎn)化了計(jì)算.另解考慮到故注該題的兩種解法較為典型：前者是直接對(duì)待求例3你的班級(jí)中是否有人有相同的生日？這一事件的概率有多大？解設(shè)A表示n個(gè)人組成的班級(jí)中有人生日相同.則基本事件總數(shù)為365n，但A的基本事件數(shù)不易確定.可見(jiàn)而的基本事件數(shù)為故P(A)=1-P(

)，當(dāng)n=30時(shí)，可求出當(dāng)n=50時(shí)，可求出并設(shè)人的生日在一年365天的每一天是等可能的，例3你的班級(jí)中是否有人有相同的生日？解設(shè)A表示n個(gè)人組二、條件概率與乘法公式1.條件概率(1)

取到廢品的概率；(2)已知取到的是不合格品，它是廢品的概率.解

(1)設(shè)A表示“取到廢品”，則(2)基本事件總數(shù)為5，引例有100件產(chǎn)品，其中有5件是不合格品，包括3件次品與2件廢品，任取一件，求二、條件概率與乘法公式1.條件概率(1)取到廢品的概率；而相應(yīng)地，P(A)稱為無(wú)條件概率.定義在事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，稱為事件A在給定B下的條件概率，簡(jiǎn)稱為A對(duì)B的條件概率，記作P(A|B)，注

1.計(jì)算P(A|B)時(shí)，B的發(fā)生導(dǎo)致了新的樣本空間.一般設(shè)P(B)>0.

2.可以驗(yàn)證，由此定義出的條件概率仍然滿足概率的3條公理，即條件概率也是概率.而相應(yīng)地，P(A)稱為無(wú)條件概率.定義在事件B已發(fā)生的條件例4全年級(jí)100名學(xué)生中，有男生(事件A)80人，女生20人；來(lái)自北京的(事件B)有20人，其中男生12人，女生8人；試寫出解

注可看出例4全年級(jí)100名學(xué)生中，有男生(事件A)80人，女生202.乘法公式定理3若P(A)>0，則有

若P(B)>0，則有即有2.乘法公式定理3若P(A)>0，則有例5

袋中有5個(gè)球，其中3個(gè)紅球2個(gè)白球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè)，已知第一次取得紅球，求第二次取得白球的概率.解

設(shè)A表示第一取得紅球，B表示第二次取得白球,則求P(B|A)方法一按定義因?yàn)榈谝淮稳∽吡艘粋€(gè)紅球,袋中只剩下4個(gè)球,其中有兩個(gè)白球,再?gòu)闹腥稳∫粋€(gè),取得白球的概率為2/4,所以例5袋中有5個(gè)球，其中3個(gè)紅球2個(gè)白球，現(xiàn)從袋中不放回地連方法二

按乘法法則由乘法法則注條件概率的計(jì)算方法：(1)若問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，可根據(jù)實(shí)際意義，直接由定義求P(B|A)；(2)當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，可在原樣本空間中先求出P(AB)和P(A)，再由乘法公式求出P(B|A).方法二按乘法法則由乘法法則注條件概率的計(jì)算方法：(1)例6

某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4，如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物，問(wèn)它能活到25歲以上的概率是多少?

設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件，B表示“能活25歲以上”的事件,則有解例6某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為解設(shè)表示事件“第i次取到黑球”，例7（傳染病模型）已知一罐中盛有m個(gè)白球，n個(gè)黑球?，F(xiàn)從中任取一只，記下顏色后放回，并同時(shí)加入與被取球同色球a個(gè)，試求接連取球3次，3次均為黑球的概率.則所求即為.可以驗(yàn)證有：此模型常被用作描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.解設(shè)表示事件“第i次取到黑球”，例1.全概公式三、全概公式與貝葉斯公式引例一個(gè)倉(cāng)庫(kù)中堆放著甲、乙兩個(gè)車間的相同產(chǎn)品，各占70%和30%，已知甲車間的次品率為1%，

乙車間的次品率為1.2%，現(xiàn)從該倉(cāng)庫(kù)任取一件產(chǎn)品，求取到次品的概率.分析

次品的來(lái)源為甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品,用事件來(lái)體現(xiàn)這個(gè)分類是關(guān)鍵.1.全概公式三、全概公式與貝葉斯公式引例一個(gè)倉(cāng)庫(kù)中堆放解

設(shè)B1={取到甲車間產(chǎn)品}，B2={取到乙車間產(chǎn)品}A={取到次品}可先將A分解成互斥的兩部分:A＝AB1＋AB2其中，AB1為甲車間次品、AB2為乙車間次品.由互斥事件加法公式可得P(A)=P(AB1∪AB2)=P(AB1)+P(AB2)再由概率乘法公式可得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.7×0.01+0.3×0.012=0.0106解設(shè)B1={取到甲車間產(chǎn)品}，B2={取到乙車間產(chǎn)品}可注

1.求解的關(guān)鍵在于將需要討論的事件A分解成互斥的甲車間次品(AB1)和乙車間次品(AB2)兩部分，而這個(gè)分解是通過(guò)將所有產(chǎn)品()分為互斥的兩部分B1和B2

來(lái)實(shí)現(xiàn)的.2.推廣到更為一般的情形是:

將樣本空間

按某種已知方式劃分為有限個(gè)兩兩互斥的部分B1，

B2，···，Bn，A是

中的任意的事件，作為

的一部分，A也相應(yīng)被劃分為兩兩互斥的有限個(gè)部分AB1，AB2，···，ABn.

注1.求解的關(guān)鍵在于將需要討論的事件A分解成互斥的甲車圖示如果能計(jì)算出A的各個(gè)子事件AB1，AB2，···，ABn的概率P(AB1)，P(AB2)，···，P(ABn)

，而作為它們的和事件A的概率P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn)圖示如果能計(jì)算出A的各個(gè)子事件AB1，AB2，···，ABn將上述思想具體地用公式表達(dá)出來(lái)，就可以得到非常重要的概率計(jì)算公式——全概率公式.設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為

，A為E中的事件,為

的一個(gè)劃分, 且則有如下全概率公式定理４將上述思想具體地用公式表達(dá)出來(lái)，就可以得到非常重要的注

全概公式的主要用處在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題,分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問(wèn)題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.注全概公式的主要用處在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)例8

世界杯足球小組賽中，現(xiàn)某組有3隊(duì)積分相同，用抽簽的方法決定進(jìn)入下一輪的兩隊(duì)，試問(wèn)此方法公平嗎?

(即結(jié)果是否與抽簽的順序有關(guān)?)解

設(shè)

分別表示第一、二、三個(gè)抽簽的球隊(duì)進(jìn)入下一輪，則例8世界杯足球小組賽中，現(xiàn)某組有3隊(duì)積分相同，用抽簽的方法注計(jì)算結(jié)果表明，抽簽的順序?qū)γ恳粋€(gè)隊(duì)能否進(jìn)入下一輪沒(méi)有影響，即用抽簽的方法是公平的。注計(jì)算結(jié)果表明，抽簽的順序?qū)γ恳粋€(gè)隊(duì)能否進(jìn)入下一輪沒(méi)有影響2.貝葉斯公式在引例中考慮這樣一個(gè)問(wèn)題，假設(shè)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)取到了一個(gè)次品（A），需要判斷這個(gè)次品是來(lái)自哪個(gè)車間(B1，B2)？依常識(shí)，合理的方案是比較該次品來(lái)自各車間的可能性大小。而要比較的這種可能性實(shí)際上是在比較事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B1和B2的條件概率:P(B1|A)和P(B2|A)的大小.對(duì)條件概率P(B1|A)和P(B2|A)，根據(jù)乘法公式有:2.貝葉斯公式在引例中考慮這樣一個(gè)問(wèn)題，假設(shè)已經(jīng)發(fā)其中，概率P(A)可由全概率公式計(jì)算將上述思路推廣到一般情況，就得到—貝葉斯公式．其中，概率P(A)可由全概率公式計(jì)算將上述思路推廣到一般情況設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為

，A為E中的事件,為

的一個(gè)劃分, 且則有如下貝葉斯公式（逆概公式）定理5證明設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為，A為E中的事件,為的

對(duì)于引例，可以計(jì)算出P(B1|A)

==0.6604P(B2|A)==0.3396說(shuō)明如果發(fā)現(xiàn)次品，則該次品是甲車間生產(chǎn)的可能性較大.對(duì)于引例，可以計(jì)算出P(B1|A)==0.6604

1.全概、逆概公式是概率論中非常重要的公式.2.把事件A看作結(jié)果，事件B1，B2,…,Bn

是導(dǎo)致該結(jié)果出現(xiàn)的所有可能原因，則P(A|Bj)即為“原因”Bj發(fā)生的條件下“結(jié)果”A發(fā)生的概率。要求A的概率，則由全概率公式有：注利用全概公式計(jì)算事件的概率的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行事件的互斥分解.1.全概、逆概公式是概率論中非常重要的公式.2.各原因下條件概率已知求由某種原因造成結(jié)果的概率全概率貝葉斯3.而在結(jié)果A已經(jīng)出現(xiàn)的情況下，條件概率P(Bj|A)表示“是原因Bj導(dǎo)致A出現(xiàn)”的可能性大小。分析各種可能性，是人們做出判斷的重要方式。此時(shí)可由貝葉斯公式有，求結(jié)果發(fā)生概率結(jié)果已發(fā)生4.總結(jié)：各原因下條件概率已知求由某種原因造成結(jié)果的概率全概率貝葉解例9解例9由貝葉斯公式得所求概率為由貝葉斯公式得所求概率為上題中概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,叫做先驗(yàn)概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后驗(yàn)概率.注先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率上題中概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,叫而在得到解例10解例10由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥.注注意,否則實(shí)際診斷中會(huì)出現(xiàn)誤診.

由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大條件概率全概率公式貝葉斯公式四、小結(jié)乘法公式加法公式條件概率全概率公式貝葉斯公式四、小結(jié)乘法公式加法公式一、概率的加法公式二、條件概率與乘法公式三、全概率公式與貝葉斯公式四、小結(jié)第三節(jié)概率的運(yùn)算法則一、概率的加法公式二、條件概率與乘法公式三、全概率公式與貝葉一、概率的加法公式概率的有限可加性定理1推論1對(duì)任一事件A，有推論2

若A，B為任意兩事件,則P(A-B)=P(A)-P(AB)一、概率的加法公式概率的有限可加性定理1推論1對(duì)任一事件A定理2

若A，B為任意兩事件，則推廣三個(gè)事件和的情況定理2若A，B為任意兩事件，則推廣三個(gè)事件和的情況n個(gè)事件和的情況n個(gè)事件和的情況解

分別用A2與A3表示抽到兩個(gè)與三個(gè)白球，則A2與A3互斥.由加法法則，所求概率為例1袋中有大小相同的7個(gè)球，4個(gè)是白球，3個(gè)為黑球,從中一次任取3個(gè)，求至少有兩個(gè)是白球的概率.解分別用A2與A3表示抽到兩個(gè)與三個(gè)白球，則A2與A3互斥例2

50個(gè)產(chǎn)品中有46個(gè)合格品與4個(gè)廢品，從中任取3個(gè)，求其中有廢品的概率.解

用Ai表示取到i個(gè)廢品,則A1，A2，A3互斥故例250個(gè)產(chǎn)品中有46個(gè)合格品與4個(gè)廢品，從中任取3個(gè)，另解考慮到故注該題的兩種解法較為典型：前者是直接對(duì)待求事件進(jìn)行互斥分解，但計(jì)算較繁瑣；后者是從待求事件的對(duì)立事件出發(fā)，利用了對(duì)立事件概率之和為1的性質(zhì)，簡(jiǎn)化了計(jì)算.另解考慮到故注該題的兩種解法較為典型：前者是直接對(duì)待求例3你的班級(jí)中是否有人有相同的生日？這一事件的概率有多大？解設(shè)A表示n個(gè)人組成的班級(jí)中有人生日相同.則基本事件總數(shù)為365n，但A的基本事件數(shù)不易確定.可見(jiàn)而的基本事件數(shù)為故P(A)=1-P(

)，當(dāng)n=30時(shí)，可求出當(dāng)n=50時(shí)，可求出并設(shè)人的生日在一年365天的每一天是等可能的，例3你的班級(jí)中是否有人有相同的生日？解設(shè)A表示n個(gè)人組二、條件概率與乘法公式1.條件概率(1)

取到廢品的概率；(2)已知取到的是不合格品，它是廢品的概率.解

(1)設(shè)A表示“取到廢品”，則(2)基本事件總數(shù)為5，引例有100件產(chǎn)品，其中有5件是不合格品，包括3件次品與2件廢品，任取一件，求二、條件概率與乘法公式1.條件概率(1)取到廢品的概率；而相應(yīng)地，P(A)稱為無(wú)條件概率.定義在事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，稱為事件A在給定B下的條件概率，簡(jiǎn)稱為A對(duì)B的條件概率，記作P(A|B)，注

1.計(jì)算P(A|B)時(shí)，B的發(fā)生導(dǎo)致了新的樣本空間.一般設(shè)P(B)>0.

2.可以驗(yàn)證，由此定義出的條件概率仍然滿足概率的3條公理，即條件概率也是概率.而相應(yīng)地，P(A)稱為無(wú)條件概率.定義在事件B已發(fā)生的條件例4全年級(jí)100名學(xué)生中，有男生(事件A)80人，女生20人；來(lái)自北京的(事件B)有20人，其中男生12人，女生8人；試寫出解

注可看出例4全年級(jí)100名學(xué)生中，有男生(事件A)80人，女生202.乘法公式定理3若P(A)>0，則有

若P(B)>0，則有即有2.乘法公式定理3若P(A)>0，則有例5

袋中有5個(gè)球，其中3個(gè)紅球2個(gè)白球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè)，已知第一次取得紅球，求第二次取得白球的概率.解

設(shè)A表示第一取得紅球，B表示第二次取得白球,則求P(B|A)方法一按定義因?yàn)榈谝淮稳∽吡艘粋€(gè)紅球,袋中只剩下4個(gè)球,其中有兩個(gè)白球,再?gòu)闹腥稳∫粋€(gè),取得白球的概率為2/4,所以例5袋中有5個(gè)球，其中3個(gè)紅球2個(gè)白球，現(xiàn)從袋中不放回地連方法二

按乘法法則由乘法法則注條件概率的計(jì)算方法：(1)若問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，可根據(jù)實(shí)際意義，直接由定義求P(B|A)；(2)當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，可在原樣本空間中先求出P(AB)和P(A)，再由乘法公式求出P(B|A).方法二按乘法法則由乘法法則注條件概率的計(jì)算方法：(1)例6

某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4，如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物，問(wèn)它能活到25歲以上的概率是多少?

設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件，B表示“能活25歲以上”的事件,則有解例6某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為解設(shè)表示事件“第i次取到黑球”，例7（傳染病模型）已知一罐中盛有m個(gè)白球，n個(gè)黑球?，F(xiàn)從中任取一只，記下顏色后放回，并同時(shí)加入與被取球同色球a個(gè)，試求接連取球3次，3次均為黑球的概率.則所求即為.可以驗(yàn)證有：此模型常被用作描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.解設(shè)表示事件“第i次取到黑球”，例1.全概公式三、全概公式與貝葉斯公式引例一個(gè)倉(cāng)庫(kù)中堆放著甲、乙兩個(gè)車間的相同產(chǎn)品，各占70%和30%，已知甲車間的次品率為1%，

乙車間的次品率為1.2%，現(xiàn)從該倉(cāng)庫(kù)任取一件產(chǎn)品，求取到次品的概率.分析

次品的來(lái)源為甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品,用事件來(lái)體現(xiàn)這個(gè)分類是關(guān)鍵.1.全概公式三、全概公式與貝葉斯公式引例一個(gè)倉(cāng)庫(kù)中堆放解

設(shè)B1={取到甲車間產(chǎn)品}，B2={取到乙車間產(chǎn)品}A={取到次品}可先將A分解成互斥的兩部分:A＝AB1＋AB2其中，AB1為甲車間次品、AB2為乙車間次品.由互斥事件加法公式可得P(A)=P(AB1∪AB2)=P(AB1)+P(AB2)再由概率乘法公式可得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.7×0.01+0.3×0.012=0.0106解設(shè)B1={取到甲車間產(chǎn)品}，B2={取到乙車間產(chǎn)品}可注

1.求解的關(guān)鍵在于將需要討論的事件A分解成互斥的甲車間次品(AB1)和乙車間次品(AB2)兩部分，而這個(gè)分解是通過(guò)將所有產(chǎn)品()分為互斥的兩部分B1和B2

來(lái)實(shí)現(xiàn)的.2.推廣到更為一般的情形是:

將樣本空間

按某種已知方式劃分為有限個(gè)兩兩互斥的部分B1，

B2，···，Bn，A是

中的任意的事件，作為

的一部分，A也相應(yīng)被劃分為兩兩互斥的有限個(gè)部分AB1，AB2，···，ABn.

注1.求解的關(guān)鍵在于將需要討論的事件A分解成互斥的甲車圖示如果能計(jì)算出A的各個(gè)子事件AB1，AB2，···，ABn的概率P(AB1)，P(AB2)，···，P(ABn)

，而作為它們的和事件A的概率P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn)圖示如果能計(jì)算出A的各個(gè)子事件AB1，AB2，···，ABn將上述思想具體地用公式表達(dá)出來(lái)，就可以得到非常重要的概率計(jì)算公式——全概率公式.設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為

，A為E中的事件,為

的一個(gè)劃分, 且則有如下全概率公式定理４將上述思想具體地用公式表達(dá)出來(lái)，就可以得到非常重要的注

全概公式的主要用處在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題,分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問(wèn)題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.注全概公式的主要用處在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)例8

世界杯足球小組賽中，現(xiàn)某組有3隊(duì)積分相同，用抽簽的方法決定進(jìn)入下一輪的兩隊(duì)，試問(wèn)此方法公平嗎?

(即結(jié)果是否與抽簽的順序有關(guān)?)解

設(shè)

分別表示第一、二、三個(gè)抽簽的球隊(duì)進(jìn)入下一輪，則例8世界杯足球小組賽中，現(xiàn)某組有3隊(duì)積分相同，用抽簽的方法注計(jì)算結(jié)果表明，抽簽的順序?qū)γ恳粋€(gè)隊(duì)能否進(jìn)入下一輪沒(méi)有影響，即用抽簽的方法是公平的。注計(jì)算結(jié)果表明，抽簽的順序?qū)γ恳粋€(gè)隊(duì)能否進(jìn)入下一輪沒(méi)有影響2.貝葉斯公式在引例中考慮這樣一個(gè)問(wèn)題，假設(shè)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)取到了一個(gè)次品（A），需要判斷這個(gè)次品是來(lái)自哪個(gè)車間(B1，B2)？依常識(shí)，合理的方案是比較該次品來(lái)自各車間的可能性大小。而要比較的這種可能性實(shí)際上是在比較事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B1和B2的條件概率:P(B1|A)和P(B2|A)的大小.對(duì)條件概率P(B1|A)和P(B2|A)，根據(jù)乘法公式有:2.貝葉斯公式在引例中考慮這樣一個(gè)問(wèn)題，假設(shè)已經(jīng)發(fā)其中，概率P(A)可由全概率公式計(jì)算將上述思路推廣到一般情況，就