陜西省西北大學(xué)附中2022年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：2B2B一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。i為虛數(shù)單位

2i31

的虛部為（ ）

i

C．1 D．1fxe

mx2有且只有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）e2

e2

e2

e24

,

,4

C．, 4 4

D．, 4 4xlnx2x,x0已知函數(shù)fx 3 的圖像上有且僅有四個(gè)不同的關(guān)于直線y1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在g(x)kx1的圖像x22x,x0上，則k的取值范圍是( )13A．( , )34f(x

13B．( , )245x2sinx(x[,0)

1C．( ,1)3(0,的大致圖象為

1D．( ,1)23x3xA． B．C． D．48，則球的體積為( )A． B． C． D．過(guò)橢圓Cx2a2

y2b2

1ab0F的直線過(guò)C

，且與橢圓CAAy軸上的射影為

A

FO

34，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（ ） 2

3 C．13 2

D．22等差數(shù)列n

的前nSn

，若a1

3，S5

35，則數(shù)列an

的公差為（ ）A．-2 B．2 C．4 D．78ay

x2a在區(qū)間2,內(nèi)單調(diào)遞增的概率是（）x4 3 2 1A． B． C． D．5 5 5 59．已知向量a,b滿(mǎn)足|a|1,|b| 3,且a與b的夾角為則(ab)(2ab)( )6A．1 B．32 2

C．1 D．32 2已知等差數(shù)列

的公差不為零且1 1

為

的前nn

0，，n，則n（ ）A．10 B．11ykx1Cx2

a a a n n n1 3 4C．12 D．134y交于A，B兩點(diǎn)，直線l//AB，且l與C相切，切點(diǎn)為P，記PAB的面積為S，則SAB的最小值為( )A．94

B．274

C．3227

D．6427

f(x)sinx(0)

的圖象向右平移12

個(gè)單位得到函數(shù)

yg(x)

的圖象，并且函數(shù)

g(x)

在區(qū)間[ , ]上6 3單調(diào)遞增，在區(qū)間[

, ]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)3 2

的值為（ ）7 3 5A． B． C．2 D．4 2 4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知函數(shù)f(x)2six，對(duì)于任意x都有f(

+x)f( x)，則f( )的值為 .2xy20

6 6 6x,x,y xy10 z2x實(shí)數(shù) 滿(mǎn)足 ，則 的最大值為 ．xy20函數(shù)f(x)xe2x的極大值為 .一個(gè)村子里一共有n個(gè)人，其中一個(gè)人是謠言制造者，他編造了一條謠言并告訴了另一個(gè)人，這個(gè)人又把謠言訴了第三個(gè)人，如此等等．在每一次謠言傳播時(shí)，謠言的接受者都是在其余n1個(gè)村民中隨機(jī)挑選的，當(dāng)謠言傳播k(k 2)次之后，還沒(méi)有回到最初的造謠者的概率．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）棉花的纖維長(zhǎng)度是評(píng)價(jià)棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)，某農(nóng)科所的專(zhuān)家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實(shí)驗(yàn)地分別21纖維長(zhǎng)度甲地（根數(shù)）乙地（根數(shù)）（記纖維長(zhǎng)度不低于311mm長(zhǎng)纖維，其余為短纖維纖維長(zhǎng)度甲地（根數(shù)）乙地（根數(shù)）(0,100)[100,200)[200,300)[300,400)[400,500]34454112116甲地乙地總計(jì)長(zhǎng)纖維短纖維總計(jì)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，填寫(xiě)下面221.125甲地乙地總計(jì)長(zhǎng)纖維短纖維總計(jì)（）k

n(adbc)2 ；(ab)(cd)(ac)(bd)臨界值表；1．111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8411．111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.8280k0（2）41長(zhǎng)纖維還是短纖維88根纖維中，記乙地短纖維XX.x2 y218（12分）設(shè)橢圓

1,ab0的左右焦點(diǎn)分別為F,F，離心率e 2，右準(zhǔn)線為l，M,N是l上的a2 b2

1 2 2FM

N0．1 2（Ⅰ）若FMFN2 5，求a,b的值；1 2（Ⅱ）證明：當(dāng)MN 取最小值時(shí)，F(xiàn)M

NFF

共線．1 2 1219（12分）已知函數(shù)f(x)圍.

3x6g(x 14x，若存在實(shí)數(shù)xf(xg(xa成立，求實(shí)數(shù)a的取值范20（12分）△ABC中，角，，C所對(duì)的邊分別為，，，且滿(mǎn)足bcos﹣3asin＝．（1）求A；（2）已知a＝2 3，B＝3

，求△ABC的面積．

xcos21（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為y1n

（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.C的極坐標(biāo)方程；x1tcos直線lytsin

（t為參數(shù)）CAB兩點(diǎn)，求|AB|l的直角坐標(biāo)方程.22（10分）的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：年份20112012201320142015201620172018年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)（萬(wàn)臺(tái)）2345671011該產(chǎn)品的年利潤(rùn)（百萬(wàn)元）2.12.753.53.2534.966.5年返修臺(tái)數(shù)（臺(tái)）2122286580658488xx18x6，y18y4，8xx272，i8iiiii8i1(yy) 18.045，8(xx)yy34.52i i ii1注：年返修率=年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)從該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取33數(shù)學(xué)期望；2015y（百萬(wàn)元）x（萬(wàn)臺(tái)）的線性回歸方程（0.01）.nx

x(yy) nxynxyy

i1 i

i i1i i

，y.n(xx)2 nx2nx2i1 i i1i參考答案125601．C【解析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】2i3

i

ii1i

1.1i 1i ii

，故虛部為【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念，注意復(fù)數(shù)abia,bR的虛部為b，不是bi，本題為基礎(chǔ)題，也是易錯(cuò)題.2．B【解析】由fxe

mx2fxe

mx2x0,.【詳解】解：顯然fxex

mx2是偶函數(shù)x0,fxe

exmx22個(gè)零點(diǎn)即可令ex

0mexx2gx

ex，gxx2

exx2x3x0,2,gx0,gx遞減，且x0,gxx2,+,gx0,gx遞增，且x,gxgxg2e24x0,fxe

mx2exmx22個(gè)零點(diǎn)，只需me24故選：B【點(diǎn)睛】考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，基礎(chǔ)題.3．D【解析】fxykx1fx的單調(diào)性從而得到fx的圖象；由直線ykx1恒過(guò)定點(diǎn)A0,，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可確定kkAC,kAB；利用過(guò)某一點(diǎn)曲線切線斜率的求解方法可求得kAC和kAB.【詳解】gxkx1關(guān)于直線y1對(duì)稱(chēng)的直線方程為：ykx1fxykx1ykx1A0,x0fxlnx12lnx1fx在0,e上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增fx圖象如下圖所示：ABACABC由圖象可知，當(dāng)kk ,k 時(shí)，fx與ykx1有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)AC AB設(shè)Cmlnm2mm0，則kACk 1AC

lnm1mlnm2m1m1m03 3 n2 n13 設(shè)Bn,n22n，n0，則k 2n3 2 ，解得：n k 231

AB 2 n0AB 2 2k1,1k1,1 2 2 本題正確選項(xiàng)：D【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的問(wèn)題；涉及到過(guò)某一點(diǎn)的曲線切線斜率的求解問(wèn)題；解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)對(duì)稱(chēng)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)確定直線恒過(guò)的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)進(jìn)行求解.4．A【解析】5(x)2sin(x) 5x2sin因?yàn)閒(x)

f(x)f(x)是偶函數(shù)，排除、D，3x5

3x3xf()5．A【解析】

33

0CA．設(shè)球心為三棱柱的上底面 的內(nèi)切圓的圓心為該圓與邊 切于點(diǎn)根據(jù)球的幾何性質(zhì)可得為直角三角形，然后根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出圓【詳解】如圖，設(shè)三棱柱為 ，且

半徑，進(jìn)而求得球的半徑，最后可求出球的體積．，高 ．所以底面則圓的半徑為

為斜邊是

的直角三角形，設(shè)該三角形的內(nèi)切圓為圓．

，圓與邊 切于點(diǎn)，設(shè)球心為，則由球的幾何知識(shí)得 為直角三角形，且 所以 ，即球的半徑為 ，所以球的體積為 ．A．【點(diǎn)睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：構(gòu)造以球半徑、球心到小圓圓心的距離和小圓半徑為三邊的直角三角形，并在此三角形內(nèi)求出球的半徑，這是解決與球有關(guān)的問(wèn)題時(shí)常用的方法．若直角三角形的兩直角邊為 ，斜邊為，則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑 ，合理利用中間結(jié)論可提高解題的效率．6．D【解析】B

FO

34BF3FAA的坐標(biāo)，代入橢圓C的方程，可得a、b、c的齊次等式，進(jìn)而可求得橢圓C的離心率.【詳解】B0,bFc,0.由FO 3，得

BF3FA.334 BA 4 FA 133FAc, 4，所以點(diǎn)A bFAc, 4，所以點(diǎn)A b33334 b 4

b2因?yàn)辄c(diǎn)A c,

x2 y2在橢圓C:

1上，則3c 3 ，33 33 a2 b2

1a2 b216 c2 8 c2 1 2整理可得 9 a2

，所以e29 a2

，所以e .2 2即橢圓C的離心率為22故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關(guān)鍵就是要得出a、b、cAA.7．B【解析】在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得a3，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得公差.【詳解】 n

5aa在等差數(shù)列

的前項(xiàng)和為n

，則S n5n

1 5 5a2

35a73則aa3

2d32d7d2故選：B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差，屬于基礎(chǔ)題.8．B【解析】函數(shù)y

x2a在區(qū)間2,y1ax x2

x2ax2

02,ax2在2,恒成立，a4，

ay

x2a在區(qū)間2,413，x 61 5故選B.9．A【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開(kāi)后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】(ab)(2ab)2a2b2ab231 3

1.32 23A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a1

6d，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】1 1 1由a，a ，a1 3

構(gòu)成等差數(shù)列可得11a a3 1

11a a4 3aa即1 3

a3a4

2dda

2aaa aa13 34

a a 1 41 4又a a4 a1

21

a1

6d又S n(n1)dn(12d(n1)d)nd(n13)n 2 1 2 2所以S 0時(shí)，n13.n故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.11．D【解析】設(shè)出B坐標(biāo)聯(lián)立直線方程與拋物線方程利用弦長(zhǎng)公式求得AB再由點(diǎn)到直線的距離公式求得P到AB的距離，PABS，作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值．【詳解】設(shè)Ax,yBx,

，聯(lián)立ykx1，得x24kx401 1 2 2

x24y則xx1

4k，yy1

kx1

x24k222則AByy1 2

p4k24x2 1x2

4y，得y4

y x2Px,

1

k

2k，

k20 0 2 0 0 0k21則點(diǎn)P到直線ykx1的距離d k2112k212k21從而S ABd2k21SAB2k214212d34d21．令fx2x34x2 fx6x28xx當(dāng)1x4時(shí)，fx0；當(dāng)x3

4時(shí)，fx03故fx

f464

，即SAB的最小值為64 min

3 27 27本題正確選項(xiàng)：D【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問(wèn)題．解決圓錐曲線中的面積類(lèi)最值問(wèn)題，通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來(lái)求解最值.12．C【解析】fx0)

個(gè)單位得到（si（x

]

x，函數(shù)gx在

12 12 12區(qū)間 , 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 , 6 3 3 2上單調(diào)遞減，可得x3

x

3 12

2kZ0k02，2故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”的規(guī)律求解出gx，根據(jù)函數(shù)gx在區(qū)間

, 上單調(diào)遞增，在區(qū)間

, x

時(shí)，gx取得最大值，求解可得實(shí)數(shù)的值.

6 3

3 23452013或2【解析】由條件得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，從而得到結(jié)果【詳解】∵fx＝f

x，6 6 ∴x＝

是函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一條對(duì)稱(chēng)軸．6∴f6 【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，注意對(duì)稱(chēng)軸必過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.514．．2【解析】畫(huà)出可行域，解出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，比較大小得到目標(biāo)函數(shù)最值.【詳解】解：作出可行域，如圖所示，y過(guò)點(diǎn)C時(shí)直線的截距最大，z取最大值．x1xy20 2 1 3

B(0,2),A(1,0),由

C( , 同理xy10 y3 2 2z 5，zC 2

2，zA

22z c

5取最大值．25故答案為： ．2【點(diǎn)睛】.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以.115．2e【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可容易求得函數(shù)的極大值.【詳解】依題意，得f(x)e2x2xe2xe2x(12x).x1f(x)0x1f(x)0.2 2 x

1 1時(shí)，函數(shù)f(x)有極大值 .2 2e1故答案為： .2e【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.n2k116．

n1【解析】利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式即可求解.【詳解】第1次傳播，謠言一定不會(huì)回到最初的人；1從第2次傳播開(kāi)始，每1次謠言傳播，第一個(gè)制造謠言的人被選中的概率都是n1，沒(méi)有被選中的概率是1 1 ．n1k1

1

1 k

n2k1次傳播是相互獨(dú)立的，故為

n1

n1n2k1

n1【點(diǎn)睛】本題考查了相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，屬于基礎(chǔ)題.7017（）在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.025（）見(jiàn)解析【解析】試題分析（K2（）寫(xiě)出X的所有可能取值，并求出對(duì)應(yīng)的概率，可列出分布列并進(jìn)一步求出X（Ⅰ）據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下22列聯(lián)表：甲地乙地總計(jì)長(zhǎng)纖維91625短纖維11415總計(jì)21214122K2

4094161225152020

5.2275.024所以，在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”．（Ⅱ）8根中乙地短纖維1583，40X的可能取值為：1,1,2,3， C3 33

C2C1 44PX0 11 ，PX1 11 4 ，C3 91 C3 9115 15 C1C2 66

C3 4PX2

11

，PX3

4 ．C315∴ X

455 C315

45533446549191455455X1123P∴ EX0331442X1123P

3 4

3644．91 91 455 455 455 5218（Ⅰ）a2,b2（Ⅱ）證明見(jiàn)解析．【解析】2由a2b2c2與ea ，得a22b2，2c 222 22F 2 0

2 0，l的方程為x 2a．1

2 設(shè)M ，NFMFM3212，yFN1 222則

2

2，F(xiàn)MFN0得31 232FMFN2 51 2yy 2FMFN2 51 212（Ⅰ）由 ，得3 2 2 2 a

y

2 5，② 1 2 22 a

y2

2 5，③ 由①、②、③三式，消去y,y1 2

，并求得a24，a2,b

2 2．2（Ⅱ）MN

y1

y2

y2y1

22yy1

2yy12

2yy1

4yy12

6a2，

y

6a

y

6 6a時(shí)，MN 取最小值 a，1 2 2 2 1 2 23 2 2

此時(shí)，F(xiàn)MFN 2

a，y

a，y

2 2a,yy

2 2a,0 2FF，1 2 1 2 1 2 1 2FMFNFF

共線．1 2 1219．,8【解析】“xfxgxa成立轉(zhuǎn)化為fxgx的最大值”,再借助柯西不等式fxgx.試題解析：存在實(shí)數(shù)x使fxgxa成立，等價(jià)于fxgx的最大值大于a，因?yàn)?，由柯西不等式：3 x21 14x23x214x64，所以fxgx 3x6 14x8，當(dāng)且僅當(dāng)x10時(shí)取“”，故常數(shù)a的取值范圍是,8．考點(diǎn)：柯西不等式即運(yùn)用和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)20（） ；（）6 3.6【解析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得sinBcosA﹣3sinAsinB＝1，結(jié)合sinB＞1，可求tanA＝33，可得A）由已知可求＝2【詳解】（1）∵bcosA﹣ asinB＝1．

，可求b的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解．∴由正弦定理可得：sinBcosA﹣∵sinB＞1，

sinAsinB＝1，∴cosA＝∴tanA＝

sinA，，∵∈（，，∴A＝ ；（2）∵a＝2 ，B＝ ，A＝ ，a b∴C＝ ，根據(jù)正弦定理得到sinA sinB∴b＝6，∴S△ABC＝ab＝【點(diǎn)睛】

＝6 ．21（）2sin0（）xy10.【解析】利用cos2cos2