2一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 教案 北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二章一元二次方程2.5《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容及內(nèi)容解析1.教學(xué)內(nèi)容知道一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，能通過(guò)系數(shù)表述方程的根，能用方程的根表示系數(shù).2.內(nèi)容解析本課是北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二章一元二次方程的選學(xué)內(nèi)容.我們知道在一元二次方程的求根公式和根的判別式已經(jīng)揭示了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，本節(jié)課將在求根公式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究一元二次方程的兩根與系數(shù)之間的關(guān)系.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的重要工具.利用根與系數(shù)的這模型關(guān)系可以解決和研究許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)今后二次函數(shù)和高中解析幾何的學(xué)習(xí)和研究意義重大.通過(guò)本節(jié)課，學(xué)生進(jìn)一步感悟用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用，積累用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行代數(shù)邏輯推理并得到一般性結(jié)論的經(jīng)驗(yàn)，也為今后學(xué)習(xí)高階方程打下理論基礎(chǔ).基于以上分析，本節(jié)課的重點(diǎn)是：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的發(fā)現(xiàn)和提出，以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用.目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）通過(guò)復(fù)習(xí)一元二次方程的一般式和求根公式，在一般觀念的引領(lǐng)下學(xué)生能發(fā)現(xiàn)和提出研究方程根與系數(shù)關(guān)系的問(wèn)題.（2）了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.（3）感受由一元二次方程的系數(shù)能得到方程根的情況，而用方程的兩根不能唯一確定系數(shù)這一關(guān)系.（4）通過(guò)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和學(xué)習(xí)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、計(jì)算和分析能力，積累用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行代數(shù)邏輯推理并得到一般性結(jié)論的經(jīng)驗(yàn).2.目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：通過(guò)加減乘除運(yùn)算將兩個(gè)根結(jié)合起來(lái)，研究根與系數(shù)的關(guān)系.達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：通過(guò)對(duì)兩根的和、差、積、商的分析，能得到用根的和、積與系數(shù)的關(guān)系作為根與系數(shù)的一般關(guān)系，并能完成練習(xí)1.達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：經(jīng)歷練習(xí)2和練習(xí)3，總結(jié)得到已知方程的根不能唯一確定對(duì)應(yīng)方程的系數(shù)，在系數(shù)a、b、c中有一個(gè)確定的情況下，對(duì)應(yīng)的一元二次方程就會(huì)被唯一確定.達(dá)成目標(biāo)（4）的標(biāo)志是：在推導(dǎo)得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的過(guò)程中，學(xué)生能從觀察、計(jì)算、分析等過(guò)程得到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.學(xué)生學(xué)情分析本節(jié)課之前，初三學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了字母表示數(shù)，以及一元二次方程的一般式，根的判別式，求根公式和解法等知識(shí)，同時(shí)也具備一定的觀察、計(jì)算和分析問(wèn)題的能力，在一定程度上也已經(jīng)感受到一元二次方程的根與系數(shù)之間有一定聯(lián)系，但是在探索根與系數(shù)關(guān)系的更多形式和分析形成一般關(guān)系的過(guò)程中，對(duì)學(xué)生的邏輯推理和綜合分析能力有很高的要求，同時(shí)學(xué)生在感受系數(shù)與根的相互確定關(guān)系時(shí)，有一定的困難.本節(jié)的難點(diǎn)是:一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的提出和整個(gè)代數(shù)推理過(guò)程，一元二次方程的系數(shù)與根的相互確定關(guān)系.教學(xué)策略分析蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者和探索者.”而在中小學(xué)生的精神世界中，這種需要尤為強(qiáng)烈.再結(jié)合以上學(xué)情，本節(jié)課在教學(xué)過(guò)程中，以問(wèn)題為導(dǎo)向，啟發(fā)、多媒體輔助等教學(xué)方法相結(jié)合，從學(xué)生所學(xué)知識(shí)出發(fā)，以問(wèn)題解決為主線，以學(xué)生探究為主，步步有序，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生通過(guò)操作、思考、交流、表達(dá)去實(shí)踐，始終參與整個(gè)問(wèn)題的發(fā)生和解決的過(guò)程，豐富學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新意識(shí).教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.復(fù)習(xí)回顧，引入新課問(wèn)題1前面我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了一元二次方程，并學(xué)習(xí)了相關(guān)解法，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根時(shí)系數(shù)要滿足的條件是？師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生齊答b2_4ac≥0.追問(wèn)1此時(shí)，方程的根就可以表示為？師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生齊答.追問(wèn)2我們不妨把方程的兩根記為x1和x2.通過(guò)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根由它的系數(shù)確定，求根公式就是根與系數(shù)關(guān)系的一種形式，除此以外，它們之間還會(huì)有其他形式的關(guān)系嗎？師生活動(dòng)：教師由求根公式提問(wèn)，老師引出本節(jié)課課題，并板書(shū)課題.設(shè)計(jì)意圖：先溫習(xí)舊知，復(fù)習(xí)引入既回顧了相關(guān)知識(shí)，又將學(xué)生的注意力直接引導(dǎo)到了研究一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系上來(lái)，使學(xué)生目標(biāo)明確，可謂開(kāi)門見(jiàn)山．2.研究問(wèn)題，探索新知問(wèn)題2目前，我們已經(jīng)得到了兩個(gè)獨(dú)立的根與系數(shù)間的關(guān)系，為了探索出更多形式的關(guān)系，我們還可以把兩個(gè)根做怎樣的嘗試呢？師生活動(dòng)：教師始終手指求根公式，引導(dǎo)學(xué)生觀察表示根的代數(shù)式，再回答問(wèn)題.(預(yù)設(shè)學(xué)生會(huì)想到將兩根進(jìn)行加減.若學(xué)生無(wú)法回答，老師要提醒學(xué)生觀察思考能不能把兩個(gè)根結(jié)合起來(lái)研究，甚至是引導(dǎo)學(xué)生觀察出表示根的代數(shù)式為分式，直至學(xué)生回答到將兩根進(jìn)行運(yùn)算.)追問(wèn)1除了加減運(yùn)算，還可以做什么運(yùn)算？師生活動(dòng)：學(xué)生回答做乘除運(yùn)算后，教師把兩根加減乘除的四個(gè)算式板書(shū)于黑板右側(cè)，學(xué)生獨(dú)立計(jì)算每個(gè)算式，教師巡視學(xué)生計(jì)算情況，給學(xué)生充分計(jì)算的時(shí)間，大約4分鐘左右.學(xué)生獨(dú)立運(yùn)算后，教師再組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，統(tǒng)一結(jié)果，給學(xué)生充分討論的時(shí)間，大約2分鐘左右.教師加入學(xué)生討論，注意傾聽(tīng)學(xué)生的討論情況并適當(dāng)引導(dǎo).追問(wèn)2哪個(gè)小組愿意和大家分享你們的結(jié)果？師生活動(dòng)：學(xué)生分享小組討論結(jié)果，教師板書(shū)結(jié)果，并關(guān)注其他小組的結(jié)果是否與之一致，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注在得到的過(guò)程中是否可以運(yùn)用平方差公式.(預(yù)設(shè)學(xué)生得到的結(jié)果不一致，可能有，還可能有學(xué)生對(duì)結(jié)果進(jìn)行分母有理化，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，是否有必要對(duì)分母有理化.)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)求根公式的觀察,讓學(xué)生再次明確求根公式也是根與系數(shù)的一種關(guān)系；通過(guò)用加減乘除計(jì)算把兩個(gè)根結(jié)合研究根與系數(shù)的關(guān)系，讓學(xué)生感受到從單一到綜合的研究方法，也鍛煉了用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行代數(shù)推理的能力.問(wèn)題3通過(guò)合作探究，我們得到了4個(gè)結(jié)果，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，你覺(jué)得哪幾個(gè)更適合作為一元二次方程的根與系數(shù)的一般關(guān)系?師生活動(dòng)：學(xué)生容易選擇和，并能從形式簡(jiǎn)單，運(yùn)用方便等原因進(jìn)行解釋.教師點(diǎn)評(píng)時(shí)，要指出這其實(shí)就是從數(shù)學(xué)要簡(jiǎn)潔美的角度進(jìn)行的選擇，對(duì)學(xué)生的想法評(píng)價(jià)和贊揚(yáng).追問(wèn)1除此以外，還有其它原因嗎？追問(wèn)2請(qǐng)同學(xué)們看到x1-x2，它的結(jié)果看起來(lái)比較復(fù)雜，那x1-x2能不能用x1+x2與x1x2來(lái)表示？師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題后，觀察學(xué)生情況，引導(dǎo)學(xué)生回顧完全平方公式，(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2，(x1-x2)2=x12+x22-2x1x2，對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2.既然x1-x2的結(jié)果能用x1+x2與x1x2來(lái)表示，那我們研究根與系數(shù)的一般關(guān)系時(shí)，就不用去關(guān)注兩個(gè)根的差與系數(shù)的關(guān)系.追問(wèn)3請(qǐng)大家再看到兩根之商，在做除法運(yùn)算的時(shí)候，對(duì)根有什么要求？師生活動(dòng)：學(xué)生知道兩根做除法時(shí)，根不能為0.而對(duì)于任意的一元二次方程的根而言，根是可能等于0的，這就具有不確定性，所以兩根之商與系數(shù)的關(guān)系就不具備一般性.綜合以上原因，我們就可以得到，除求根公式以外，一元二次方程的根與系數(shù)的又一個(gè)關(guān)系:如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，那么，.教師指出，早在16世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)就發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，為了紀(jì)念這位偉大的數(shù)學(xué)家，人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理.然后請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)課本，翻到50頁(yè)，請(qǐng)勾畫(huà)這個(gè)關(guān)系.教師板書(shū)韋達(dá)定理后，再對(duì)關(guān)鍵地方進(jìn)行提醒.設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷從兩根的和、差、積、商這四個(gè)與系數(shù)的關(guān)系中選擇和與積與系數(shù)的關(guān)系作為根與系數(shù)的一般關(guān)系的過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生觀察和分析問(wèn)題的能力.經(jīng)歷了建立根與系數(shù)這個(gè)模型關(guān)系嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^(guò)程，引導(dǎo)和加強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行代數(shù)推理的思想意識(shí).練習(xí)1方程2x2?3x?2=0的兩根分別是x1，x2，那么（）A.B.C.D.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成（預(yù)設(shè)1：學(xué)生根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，直接代入系數(shù)a，b，c的值就可以得到結(jié)果；預(yù)設(shè)2：學(xué)生通過(guò)解方程，得到x1=2，x2=，再把兩根相加和相乘，可以得到答案）.教師根據(jù)學(xué)生的回答，正向點(diǎn)評(píng)并板書(shū)過(guò)程.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)1，鞏固一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系這一知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也起到驗(yàn)證這一知識(shí)點(diǎn)正確性的作用，同時(shí)可以再次感受到一元二次方程的系數(shù)可以確定方程根的情況.練習(xí)2請(qǐng)用根與系數(shù)的關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)兩根是?1和3的一元二次方程.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，學(xué)生會(huì)想到用因式分解和待定系數(shù)法等解決此題，但教師巡查或點(diǎn)評(píng)時(shí)應(yīng)該先肯定，再引導(dǎo)學(xué)生審題，用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題.學(xué)生回答方程和思路后，教師引導(dǎo)其他學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證，并將學(xué)生思路板書(shū)，注意提取關(guān)鍵信息（預(yù)設(shè)：根據(jù)韋達(dá)定理，我們可以得到，，也就有b=?2a，c=?3a，如果令a=1，那么b=-2，c=?3，所以方程就可以是x2?2x?3=0）.追問(wèn)1大家都是寫(xiě)的這個(gè)方程嗎？追問(wèn)2你是怎么得到這個(gè)方程的？師生活動(dòng)：學(xué)生回答所寫(xiě)方程（預(yù)設(shè)：-x2+2x+3=0，2x2?4x?6=0...）后，教師馬上問(wèn)追問(wèn)2.追問(wèn)3通過(guò)兩位同學(xué)所分享的解題過(guò)程，你們有什么發(fā)現(xiàn)？師生活動(dòng)：教師根據(jù)學(xué)生回答情況，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)歸納滿足根是?1和3的一元二次方程并不唯一，給a賦不同的值，就會(huì)得到不同的一元二次方程.同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察過(guò)程，根據(jù)韋達(dá)定理建立了一個(gè)關(guān)于系數(shù)a，b，c的不定方程.追問(wèn)4除了對(duì)a可以賦值以外，還可以？追問(wèn)5通過(guò)這個(gè)練習(xí)題，我們可以感受到，已知一元二次方程的兩根，根所對(duì)應(yīng)的方程并不唯一.如果一定要使得方程唯一，那就要在什么前提下？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，容易得到還可以對(duì)系數(shù)b，c中任意一個(gè)賦值.已知方程兩根，在系數(shù)a，b，c中有一個(gè)確定的情況下，對(duì)應(yīng)的一元二次方程就會(huì)被唯一確定.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)練習(xí)2，學(xué)生可以進(jìn)一步感受一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，已知方程的根不能唯一確定對(duì)應(yīng)方程的系數(shù)，與練習(xí)1也很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性和對(duì)比性.練習(xí)3我們?cè)趧偛啪毩?xí)2的基礎(chǔ)上，增加二次項(xiàng)系數(shù)為1這個(gè)條件，此時(shí),我們就很容易得到一元二次方程是?追問(wèn)1這個(gè)方程是唯一的嗎？師生活動(dòng)：教師肯定學(xué)生的回答，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察練習(xí)2中所寫(xiě)的方程，它們都可以在等號(hào)兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，化為x2?2x?3=0，所以這些方程的解都是?1和3.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)2變式到練習(xí)3的對(duì)比，使學(xué)生再次感受到已知方程的根不能唯一確定對(duì)應(yīng)方程的系數(shù)，在系數(shù)a，b，c中有一個(gè)確定的情況下，對(duì)應(yīng)的一元二次方程就會(huì)被唯一確定.同時(shí)，通過(guò)教師的引導(dǎo)講解，感受和回顧一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1這一常態(tài)化變形方式.教師活動(dòng)：我們?cè)趯?duì)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)變形時(shí)，一般會(huì)把二次項(xiàng)系數(shù)a化為1，原方程就會(huì)變形為(a≠0)，此時(shí)方程的兩根之和依然是，兩根之積依然是.但(a≠0)的形式看起來(lái)卻不夠簡(jiǎn)單，恰好字母可以代表一切數(shù)或式，我們不妨令，，此時(shí)一元二次方程就可寫(xiě)為x2+px+q=0，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系就是，根與系數(shù)的關(guān)系形式上會(huì)進(jìn)一步簡(jiǎn)化.請(qǐng)同學(xué)們記錄.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)教師的講解，使學(xué)生感受到一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1后根與系數(shù)關(guān)系的形式，同時(shí)在面對(duì)此類問(wèn)題時(shí)，可以首先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1.這也體現(xiàn)了從一般到特殊的研究方法.練習(xí)4已知方程5x2+kx?6=0的一個(gè)根是2，請(qǐng)求出此方程的另一根和k的值（教材習(xí)題2.8的第3題）.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視，收集學(xué)生做題情況(預(yù)設(shè)1：通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系建立另一根和k的方程組；預(yù)設(shè)2：把已知的根2代入方程中求出k的值，再通過(guò)解方程或根與系數(shù)的關(guān)系得到另一根；預(yù)設(shè)3：先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1后，再進(jìn)行求解).教師板書(shū)以根與系數(shù)的關(guān)系為思路的解題過(guò)程.設(shè)計(jì)意圖：鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，同時(shí)感受多種方法解題的過(guò)程.3.回顧課堂，小結(jié)升華師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本堂課的探究和學(xué)習(xí)過(guò)程，總結(jié)知識(shí)，學(xué)習(xí)過(guò)程，數(shù)學(xué)思想等：（1）知識(shí)層面上，學(xué)習(xí)了一元二次方程的根與系數(shù)的一般關(guān)系，，，感受到了由方程的系數(shù)可以確定根，由根不能唯一確定方程的系數(shù)這一關(guān)系.（2）探究過(guò)程上，復(fù)習(xí)了一元二次方程的求根公式，經(jīng)歷了觀察根的表示形式，計(jì)算兩根的和、差、積、商，并分析了計(jì)算的結(jié)果，得出了韋達(dá)定理.（3）思想方法上，體現(xiàn)了從單一到綜合的研究方法，感受了用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行代數(shù)推理的思想方法，最終建立了根與系數(shù)的模型.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)，回顧探索新知的過(guò)程，進(jìn)一步感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，引發(fā)學(xué)生更深層次的思考，提高學(xué)生的概括能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的回顧和反思習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)與思維品質(zhì)的優(yōu)化.4.布置作業(yè)，課后鞏固必做：教材51頁(yè)習(xí)題2.8，第1題，第2題和第4題；選做：拓展思考題，已知x1，x2是一元二次方程x2?2x?3=0的根，請(qǐng)求出與的值.設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)學(xué)生情況，分層布置作業(yè)，必做作業(yè)用以鞏固本堂課所學(xué)知識(shí)和方法，選做作業(yè)引導(dǎo)學(xué)生還可以探究根與系數(shù)關(guān)系的更多形式.六、課堂教學(xué)目標(biāo)檢測(cè)1．若m，n為方程x2﹣3x﹣1＝0的兩根，則m+n與mn的值分別為（）A．1，﹣3 B．﹣1，3 C