時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型講義

第九章

時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)隨機(jī)時(shí)間序列分析模型協(xié)整分析與誤差修正模型§9.1時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性三、平穩(wěn)性的圖示判斷四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型

⒈常見的數(shù)據(jù)類型到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有：時(shí)間序列數(shù)據(jù)（time-seriesdata)截面數(shù)據(jù)(cross-sectionaldata)平行/面板數(shù)據(jù)（paneldata/time-seriescross-sectiondata)★時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)⒉經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性經(jīng)典回歸分析暗含著一個(gè)重要假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)——“一致性”要求——被破懷。經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非隨機(jī)變量依概率收斂：(2)放寬該假設(shè)：X是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求：(1)X與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)∶Cov(X,)=0

第（2）條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的“一致性”特性：第（1）條是OLS估計(jì)的需要▲如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢），則（2）不成立，回歸估計(jì)量不滿足“一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。因此：注意：在雙變量模型中：

表現(xiàn)在:兩個(gè)本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性（有較高的R2)。例如：如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。⒊數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸”問題在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)往往是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會(huì)得到有意義的結(jié)果。

時(shí)間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論。時(shí)間序列分析已組成現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測當(dāng)中。二、、時(shí)時(shí)間間序序列列數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的平平穩(wěn)穩(wěn)性性定義義：：假定定某某個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)間間序序列列是是由由某某一一隨機(jī)機(jī)過過程程（stochasticprocess）生生成成的的，，即即假假定定時(shí)時(shí)間間序序列列{Xt}（t=1,2,……）的的每每一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)值值都都是是從從一一個(gè)個(gè)概概率率分分布布中中隨隨機(jī)機(jī)得得到到，，如如果果滿滿足足下下列列條條件件：：1）均均值值E(Xt)=是與與時(shí)時(shí)間間t無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)；；2）方方差差Var(Xt)=2是與與時(shí)時(shí)間間t無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)；；3）協(xié)協(xié)方方差差Cov(Xt,Xt+k)=k是只與與時(shí)時(shí)期期間間隔隔k有關(guān)關(guān)，，與與時(shí)時(shí)間間t無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)；；則稱稱該該隨隨機(jī)機(jī)時(shí)時(shí)間間序序列列是是平穩(wěn)穩(wěn)的的（stationary)，而而該該隨隨機(jī)機(jī)過過程程是是一一平穩(wěn)穩(wěn)隨隨機(jī)機(jī)過過程程（stationarystochasticprocess）。。．一個(gè)個(gè)最最簡簡單單的的隨隨機(jī)機(jī)時(shí)時(shí)間間序序列列是是一一具具有有零零均均值值同同方方差差的的獨(dú)獨(dú)立立分分布布序序列列：：Xt=t，t~N(0,2)該序序列列常常被被稱稱為為是是一一個(gè)個(gè)白噪噪聲聲（whitenoise）。由于于Xt具具有有相相同同的的均均值值與與方方差差，，且且協(xié)協(xié)方方差差為為零零,由由定定義義,一個(gè)個(gè)白白噪噪聲聲序序列列是是平平穩(wěn)穩(wěn)的的。．另一一個(gè)個(gè)簡簡單單的的隨隨機(jī)機(jī)時(shí)時(shí)間間列列序序被被稱稱為為隨機(jī)機(jī)游游走走（（randomwalk）），該序序列列由由如如下下隨隨機(jī)機(jī)過過程程生生成成：：Xt=Xt-1+t這里里，，t是一一個(gè)個(gè)白白噪噪聲聲。。容易易知知道道該該序序列列有有相相同同的的均均值值：E(Xt)=E(Xt-1)為了了檢檢驗(yàn)驗(yàn)該該序序列列是是否否具具有有相相同同的的方方差差，，可可假假設(shè)設(shè)Xt的的初初值值為為X0，，則則易易知知:X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2………Xt=X0+1+2+…+t由于于X0為常常數(shù)數(shù)，，t是一一個(gè)個(gè)白白噪噪聲聲，，因因此此:Var(Xt)=t2即Xt的方方差差與與時(shí)時(shí)間間t有關(guān)關(guān)而而非非常常數(shù)數(shù)，，它它是是一一非非平平穩(wěn)穩(wěn)序序列列。。然而而，，對(duì)對(duì)X取取一階階差差分分（firstdifference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于于t是一一個(gè)個(gè)白白噪噪聲聲，，則則序序列列{Xt}是平平穩(wěn)穩(wěn)的的。。后面面將將會(huì)會(huì)看看到到:如果果一一個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)間間序序列列是是非非平平穩(wěn)穩(wěn)的的，，它它常常常常可可通通過過取取差差分分的的方方法法而而形形成成平平穩(wěn)穩(wěn)序序列列。事實(shí)實(shí)上上，，隨機(jī)機(jī)游游走走過過程程是下下面面我我們們稱稱之之為為1階階自自回回歸歸AR(1)過過程程的特特例例:Xt=Xt-1+t不難難驗(yàn)驗(yàn)證證:1)||>1時(shí)時(shí)，，該該隨隨機(jī)機(jī)過過程程生生成成的的時(shí)時(shí)間間序序列列是是發(fā)發(fā)散散的的，，表表現(xiàn)現(xiàn)為為持持續(xù)續(xù)上上升升(>1)或或持持續(xù)續(xù)下下降降(<-1)，，因因此此是是非非平平穩(wěn)穩(wěn)的的；；2)=1時(shí)時(shí)，，是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)游游走走過過程程，，也也是是非非平平穩(wěn)穩(wěn)的的。§9.2中中將將證證明明:只有當(dāng)-1<<1時(shí)，該隨隨機(jī)過程程才是平平穩(wěn)的。。1階自回回歸過程程AR(1)又是如下下k階自回回歸AR(K)過程的特例：：Xt=1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k該隨機(jī)過過程平穩(wěn)穩(wěn)性條件件將在第第二節(jié)中中介紹。。三、平穩(wěn)穩(wěn)性檢驗(yàn)驗(yàn)的圖示示判斷給出一個(gè)個(gè)隨機(jī)時(shí)時(shí)間序列列，首先先可通過過該序列列的時(shí)間路徑徑圖來粗略地地判斷它它是否是是平穩(wěn)的的。一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)時(shí)間序列列在圖形上上往往表表現(xiàn)出一一種圍繞繞其均值值不斷波波動(dòng)的過過程。而非平穩(wěn)序序列則往往表表現(xiàn)出在在不同的的時(shí)間段段具有不不同的均均值（如如持續(xù)上上升或持持續(xù)下降降）。進(jìn)一步的的判斷:檢驗(yàn)樣本本自相關(guān)關(guān)函數(shù)及及其圖形形定義隨機(jī)機(jī)時(shí)間序序列的自相關(guān)函函數(shù)（autocorrelationfunction,ACF）如下：k=k/0分子是時(shí)時(shí)間序列列滯后k期的協(xié)協(xié)方差，，分母是是方差。。自相關(guān)函函數(shù)是關(guān)關(guān)于滯后后期k的的遞減函函數(shù)(Why?)。實(shí)際上,對(duì)一個(gè)個(gè)隨機(jī)過過程只有有一個(gè)實(shí)實(shí)現(xiàn)（樣樣本），，因此，，只能計(jì)計(jì)算樣本自相相關(guān)函數(shù)數(shù)（Sampleautocorrelationfunction）。。一個(gè)時(shí)間間序列的的樣本自自相關(guān)函函數(shù)定義義為：易知，隨隨著k的的增加，，樣本自自相關(guān)函函數(shù)下降降且趨于于零。但但從下降降速度來來看，平平穩(wěn)序列列要比非非平穩(wěn)序序列快得得多。注意:確定樣本本自相關(guān)關(guān)函數(shù)rk某一數(shù)值值是否足足夠接近近于0是是非常有有用的，，因?yàn)樗蓹z驗(yàn)對(duì)應(yīng)應(yīng)的自相相關(guān)函數(shù)數(shù)k的真值是是否為0的假設(shè)設(shè)。Bartlett（巴巴特雷特特）曾證證明:如果時(shí)時(shí)間序列列由白噪噪聲過程程生成，，則對(duì)所所有的k>0，，樣本自自相關(guān)系系數(shù)近似似地服從從以0為為均值，，1/n為方方差的正正態(tài)分布布，其中中n為樣樣本數(shù)。。也可檢驗(yàn)驗(yàn)對(duì)所有有k>0，自相相關(guān)系數(shù)數(shù)都為0的聯(lián)合合假設(shè)，，這可通通過如下下QLB統(tǒng)計(jì)量量進(jìn)行：：該統(tǒng)計(jì)量量近似地地服從自自由度為為m的2分布（m為滯后后長度））。因此:如果計(jì)算算的Q值值大于顯顯著性水水平為的臨界值值，則有有1-的把握拒拒絕所有有k(k>0)同時(shí)時(shí)為0的的假設(shè)。。序序列Random1是是通過一一隨機(jī)過過程（隨隨機(jī)函數(shù)數(shù)）生成成的有19個(gè)樣樣本的隨隨機(jī)時(shí)間間序列。。容易驗(yàn)證證：該樣本序序列的均均值為0，方差差為0.0789。從圖形看看：它在其樣樣本均值值0附近近上下波波動(dòng)，且且樣本自自相關(guān)系系數(shù)迅速速下降到到0，隨隨后在0附近波波動(dòng)且逐逐漸收斂斂于0。。由于該序序列由一一隨機(jī)過過程生成成，可以以認(rèn)為不不存在序序列相關(guān)關(guān)性，因因此該序列為為一白噪噪聲。根據(jù)Bartlett的理論論：k~N(0,1/19)，因此任一一rk(k>0)的95%的的置信區(qū)區(qū)間都將將是:可以看出出:k>0時(shí)，，rk的值確實(shí)實(shí)落在了了該區(qū)間間內(nèi)，因因此可以以接受k(k>0)為為0的假假設(shè)。同樣地，從QLB統(tǒng)計(jì)量量的計(jì)算算值看，，滯后17期的的計(jì)算值值為26.38，未超超過5%顯著性性水平的的臨界值值27.58，，因此,可以接接受所有有的自相相關(guān)系數(shù)數(shù)k(k>0)都都為0的的假設(shè)。。因此，該隨機(jī)過過程是一一個(gè)平穩(wěn)穩(wěn)過程。。序列Random2是是由一隨隨機(jī)游走走過程Xt=Xt-1+t生成的一一隨機(jī)游游走時(shí)間間序列樣樣本。其其中，第第0項(xiàng)取取值為0，t是由Random1表表示的白白噪聲。。圖形表示示出：該序列具具有相同同的均值值，但從從樣本自自相關(guān)圖圖看，雖雖然自相相關(guān)系數(shù)數(shù)迅速下下降到0，但隨隨著時(shí)間間的推移移，則在在0附近近波動(dòng)且且呈發(fā)散散趨勢。。樣本自相相關(guān)系數(shù)數(shù)顯示：r1=0.48，落落在了區(qū)區(qū)間[-0.4497,0.4497]之外，，因此在在5%的的顯著性性水平上上拒絕1的真值為為0的假假設(shè)。該隨機(jī)游游走序列列是非平平穩(wěn)的。。例9.1.4檢驗(yàn)中國國支出法法GDP時(shí)間序序列的平平穩(wěn)性。表9.1.21978~2000年中中國支出出法GDP（單單位：億億元）圖形：表表現(xiàn)出了了一個(gè)持持續(xù)上升升的過程程，可初步步判斷是非平穩(wěn)穩(wěn)的。樣本自相相關(guān)系數(shù)數(shù)：緩慢慢下降，再次表表明它的的非平穩(wěn)性。從滯后18期的的QLB統(tǒng)計(jì)量量看：QLB(18)=57.18>28.86=20.05拒絕：該時(shí)間間序列的的自相關(guān)關(guān)系數(shù)在在滯后1期之后后的值全全部為0的假設(shè)設(shè)。結(jié)論:1978—2000年年間中國國GDP時(shí)間序序列是非非平穩(wěn)序序列。例9.1.5檢驗(yàn)§2.10中關(guān)于于人均居居民消費(fèi)費(fèi)與人均均國內(nèi)生生產(chǎn)總值值這兩時(shí)時(shí)間序列列的平穩(wěn)穩(wěn)性。原圖樣樣本自自相關(guān)圖圖從圖形上上看：人均居民民消費(fèi)（（CPC）與人人均國內(nèi)內(nèi)生產(chǎn)總總值（GDPPC）是非平穩(wěn)穩(wěn)的。從滯后14期的的QLB統(tǒng)計(jì)量看看：CPC與與GDPPC序序列的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量計(jì)計(jì)算值均均為57.18，超過過了顯著著性水平平為5%時(shí)的臨臨界值23.68。再再次表明它們們的非平平穩(wěn)性。。就此來說說，運(yùn)用用傳統(tǒng)的的回歸方方法建立立它們的的回歸方方程是無無實(shí)際意意義的。。不過，§9.3中將看到到，如果果兩個(gè)非非平穩(wěn)時(shí)時(shí)間序列列是協(xié)整的，則傳傳統(tǒng)的回回歸結(jié)果果卻是有有意義的的，而這這兩時(shí)間間序列恰恰是協(xié)整的。四、平穩(wěn)穩(wěn)性的單單位根檢檢驗(yàn)（unitroottest）1、DF檢驗(yàn)隨機(jī)游走走序列:Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)穩(wěn)的，其其中t是白噪聲聲。而該該序列可可看成是是隨機(jī)模模型:Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時(shí)的情形形。（*）式式可變形形式成差差分形式式：Xt=(1-)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗(yàn)（*）式是是否存在在單位根根=1，也也可通過過（**）式判判斷是否否有=0。對(duì)式：Xt=Xt-1+t（（*）進(jìn)行回歸歸，如果果確實(shí)發(fā)發(fā)現(xiàn)=1，就就說隨機(jī)機(jī)變量Xt有一一個(gè)單位根。一般地:檢驗(yàn)一個(gè)個(gè)時(shí)間序序列Xt的平穩(wěn)穩(wěn)性，可可通過檢檢驗(yàn)帶有有截距項(xiàng)項(xiàng)的一階階自回歸歸模型：：Xt=+Xt-1+t（（*）中的參數(shù)數(shù)是否小于于1?；蛘撸簷z驗(yàn)其等等價(jià)變形形式：Xt=+Xt-1+t（（**））中的參數(shù)數(shù)是否小于于0。。在第二節(jié)節(jié)中將證證明，（（*）式式中的參參數(shù)>1或=1時(shí)，，時(shí)間序序列是非非平穩(wěn)的的;對(duì)對(duì)應(yīng)于（（**））式，則則是>0或=0。因此，針針對(duì)式：：Xt=+Xt-1+t我們關(guān)心心的檢驗(yàn)驗(yàn)為：零假設(shè)H0：=0。備擇假設(shè)設(shè)H1：<0上述檢驗(yàn)驗(yàn)可通過過OLS法下的的t檢驗(yàn)驗(yàn)完成。。然而，在在零假設(shè)設(shè)（序列列非平穩(wěn)穩(wěn)）下，，即使在在大樣本本下t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量也也是有偏偏誤的（（向下偏偏倚），，通常的的t檢檢驗(yàn)無法法使用。。Dicky迪基基和Fuller福勒勒于1976年年提出了了這一情情形下t統(tǒng)計(jì)量量服從的的分布（（這時(shí)的的t統(tǒng)計(jì)計(jì)量稱為為統(tǒng)計(jì)量），即DF分布布（見表9.1.3）。。由于t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量的的向下偏偏倚性，，它呈現(xiàn)現(xiàn)圍繞小小于零值值的偏態(tài)態(tài)分布。。因此，可可通過OLS法法估計(jì)：：Xt=+Xt-1+t并計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量量的值，，與DF分布表表中給定定顯著性性水平下下的臨界界值比較較：如果：t<臨界界值，則則拒絕零零假設(shè)H0：=0，認(rèn)為時(shí)間間序列不不存在單單位根，，是平穩(wěn)穩(wěn)的。注意：在在不同的的教科書書上有不不同的描描述，但但是結(jié)果果是相同同的。例如：““如果計(jì)計(jì)算得到到的t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量的的絕對(duì)值值大于臨臨界值的的絕對(duì)值值，則拒拒絕ρ=0”的的假設(shè)，，原序列列不存在在單位根根，為平平穩(wěn)序列列。問題的提提出：在利用Xt=+Xt-1+t對(duì)時(shí)間序序列進(jìn)行行平穩(wěn)性性檢驗(yàn)中中，實(shí)際上假定了時(shí)時(shí)間序列列是由具具有白噪噪聲隨機(jī)機(jī)誤差項(xiàng)項(xiàng)的一階階自回歸歸過程AR(1)生成成的。但在實(shí)際際檢驗(yàn)中中，時(shí)間序序列可能能由更高高階的自自回歸過過程生成成的，或或者隨機(jī)機(jī)誤差項(xiàng)項(xiàng)并非是是白噪聲聲，這樣用OLS法法進(jìn)行估估計(jì)均會(huì)會(huì)表現(xiàn)出出隨機(jī)誤誤差項(xiàng)出出現(xiàn)自相相關(guān)（autocorrelation）），導(dǎo)致DF檢檢驗(yàn)無無效。。2、ADF檢驗(yàn)驗(yàn)另外，如果時(shí)時(shí)間序序列包包含有有明顯顯的隨隨時(shí)間間變化化的某某種趨趨勢（（如上上升或或下降降），，則也也容易易導(dǎo)致致上述述檢驗(yàn)驗(yàn)中的的自相關(guān)關(guān)隨機(jī)機(jī)誤差差項(xiàng)問問題。為了保保證DF檢檢驗(yàn)中中隨機(jī)機(jī)誤差差項(xiàng)的的白噪噪聲特特性，，Dicky和和Fuller對(duì)DF檢檢驗(yàn)進(jìn)進(jìn)行了了擴(kuò)充充，形形成了了ADF（AugmentDickey-Fuller））檢驗(yàn)驗(yàn)。ADF檢驗(yàn)驗(yàn)是通通過下下面三三個(gè)模模型完完成的的：模型3中中的t是時(shí)時(shí)間變變量，代表了了時(shí)間間序列列隨時(shí)時(shí)間變變化的的某種種趨勢勢（如如果有有的話話）。。模型型1與與另兩兩模型型的差差別在在于是是否包包含有有常數(shù)數(shù)項(xiàng)和和趨勢勢項(xiàng)。。檢驗(yàn)的的假設(shè)設(shè)都是是：針針對(duì)H1:<0,檢驗(yàn)驗(yàn)H0：=0，，即存存在一一單位位根。實(shí)際檢檢驗(yàn)時(shí)時(shí)從模模型3開始始，然然后模模型2、模模型1。何時(shí)檢檢驗(yàn)拒拒絕零零假設(shè)設(shè)，即即原序序列不不存在在單位位根，，為平平穩(wěn)序序列，，何時(shí)時(shí)檢驗(yàn)驗(yàn)停止止。否否則，，就要要繼續(xù)續(xù)檢驗(yàn)驗(yàn)，直直到檢檢驗(yàn)完完模型型1為為止。。檢驗(yàn)原原理與DF檢驗(yàn)驗(yàn)相同同，只只是對(duì)對(duì)模型型1、、2、、3進(jìn)進(jìn)行檢檢驗(yàn)時(shí)時(shí)，有有各自自相應(yīng)應(yīng)的臨臨界值值。給給出了了三個(gè)個(gè)模型型所使使用的的ADF分分布臨臨界值值表。。2.202.182.172.162.162.162.612.562.542.532.522.522.972.892.862.842.832.833.413.283.223.193.183.182550100250500〉500-2.62-2.60-2.58-2.57-2.57-2.57-3.00-2.93-2.89-2.88-2.87-2.86-3.33-3.22-3.17-3.14-3.13-3.12-3.75-3.58-3.51-3.46-3.44-3.432550100250500〉5002-1.60-1.61-1.61-1.61-1.61-1.61-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-2.26-2.25-2.24-2.23-2.23-2.23-2.66-2.62-2.60-2.58-2.58-2.582550100250500〉50010.100.050.0250.01樣本容容量統(tǒng)計(jì)量量模型不不同同模型型使用用的ADF分布布臨界界值表表ststat2.392.382.382.382.382.382.852.812.792.792.782.783.253.183.143.123.113.113.743.603.533.493.483.462550100250500〉5002.772.752.732.732.722.723.203.143.113.093.083.083.593.423.423.393.383.384.053.873.783.743.723.712550100250500〉500-3.24-3.18-3.15-3.13-3.13-3.12-3.603.50-3.45-3.43-3.42-3.41-3.95-3.80-3.73-3.69-3.68-3.66-4.38-4.15-4.04-3.99-3.98-3.962550100250500〉50030.100.050.0250.01樣本容量統(tǒng)計(jì)量模型不不同模模型使用的的ADF分分布臨界值值表statbt同時(shí)估計(jì)出出上述三個(gè)個(gè)模型的適適當(dāng)形式，，然后通過過ADF臨臨界值表檢檢驗(yàn)零假設(shè)H0：=0。1）只要其中有有一個(gè)模型型的檢驗(yàn)結(jié)結(jié)果拒絕了了零假設(shè)，，就可以認(rèn)認(rèn)為時(shí)間序序列是平穩(wěn)穩(wěn)的；一個(gè)簡單的的檢驗(yàn)過程程：2）當(dāng)三個(gè)模型型的檢驗(yàn)結(jié)結(jié)果都不能能拒絕零假假設(shè)時(shí)，則則認(rèn)為時(shí)間間序列是非非平穩(wěn)的。。這里所謂模型適當(dāng)?shù)牡男问骄褪窃诿總€(gè)個(gè)模型中選選取適當(dāng)?shù)牡臏蟛罘址猪?xiàng)，以使使模型的殘殘差項(xiàng)是一一個(gè)白噪聲聲（主要保保證不存在在自相關(guān)））。例9.1.6檢驗(yàn)1978~2000年間間中國支出出法GDP序列的平平穩(wěn)性。1）經(jīng)過償試，，模型3取取了2階滯滯后：通過拉格朗日乘乘數(shù)檢驗(yàn)（Lagrangemultipliertest）對(duì)隨機(jī)誤差差項(xiàng)的自相相關(guān)性進(jìn)行行檢驗(yàn)：LM（1））=0.92，LM（2）=4.16，小于5%顯顯著性水平平下自由度度分別為1與2的2分布的臨臨界值，可可見不存在在自相關(guān)性性，因此該該模型的設(shè)設(shè)定是正確確的。從的系數(shù)看，，t>臨界界值，不能能拒絕存在在單位根的的零假設(shè)。。時(shí)間T的t統(tǒng)計(jì)量小小于ADF分布表中中的臨界值值，因此不能拒絕不不存在趨勢勢項(xiàng)的零假假設(shè)。需進(jìn)一步檢檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。2）經(jīng)試驗(yàn)驗(yàn)，模型2中滯后項(xiàng)項(xiàng)取2階：：LM檢驗(yàn)表表明模型殘殘差不存在在自相關(guān)性性，因此該該模型的設(shè)設(shè)定是正確確的。從GDPt-1的參參數(shù)值看，，其t統(tǒng)計(jì)計(jì)量為正值值，大于臨臨界值，不能拒絕存存在單位根根的零假設(shè)設(shè)。常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量小小于AFD分布表中中的臨界值值，不能拒絕不不存常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的零假設(shè)設(shè)。需進(jìn)一步檢檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。3)經(jīng)試驗(yàn)驗(yàn)，模型1中滯后項(xiàng)取取2階：LM檢驗(yàn)表表明模型殘殘差項(xiàng)不存存在自相關(guān)關(guān)性，因此此模型的設(shè)設(shè)定是正確確的。從GDPt-1的參參數(shù)值看，，其t統(tǒng)計(jì)計(jì)量為正值值，大于臨臨界值，不能拒絕存存在單位根根的零假設(shè)設(shè)?？蓴喽ㄖ袊鴩С龇℅DP時(shí)間間序列是非非平穩(wěn)的。。例檢驗(yàn)§2.10中中關(guān)于人均均居民消費(fèi)費(fèi)與人均國國內(nèi)生產(chǎn)總總值這兩時(shí)時(shí)間序列的的平穩(wěn)性。。1)對(duì)中國人均國國內(nèi)生產(chǎn)總總值GDPPC來說，經(jīng)過過償試，三三個(gè)模型的的適當(dāng)形式式分別為：：三個(gè)模型中中參數(shù)的估估計(jì)值的t統(tǒng)計(jì)量均均大于各自自的臨界值值，因此不能拒絕存存在單位根根的零假設(shè)設(shè)。結(jié)論：人均國內(nèi)生生產(chǎn)總值（（GDPPC）是非非平穩(wěn)的。。2）對(duì)于人均居民消消費(fèi)CPC時(shí)間序列來來說，三個(gè)個(gè)模型的適適當(dāng)形式為為：三個(gè)模型中中參數(shù)CPCt-1的t統(tǒng)計(jì)量量的值均比比ADF臨臨界值表中中各自的臨臨界值大，不能拒絕該該時(shí)間序列列存在單位位根的假設(shè)設(shè)，因此,可判斷人均均居民消費(fèi)費(fèi)序列CPC是非平平穩(wěn)的。五、單整、、趨勢平穩(wěn)穩(wěn)與差分平平穩(wěn)隨機(jī)過過程隨機(jī)游走序序列Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等等價(jià)地變形形為Xt=t，由于t是一個(gè)白噪噪聲，因此此差分分后后的的序序列列{Xt}是是平平穩(wěn)穩(wěn)的的。。如果果一一個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)間間序序列列經(jīng)經(jīng)過過一一次次差差分分變變成成平平穩(wěn)穩(wěn)的的，，就就稱稱原原序序列列是是一階階單單整整（integratedof1）序列列，記記為為I(1)。。⒈單單整整一般般地地，，如如果果一一個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)間間序序列列經(jīng)經(jīng)過過d次差差分分后后變變成成平平穩(wěn)穩(wěn)序序列列，，則則稱稱原原序序列列是是d階單單整整（integratedofd）序列列，記記為為I(d)。顯然然，，I(0)代表表一一平平穩(wěn)穩(wěn)時(shí)時(shí)間間序序列列?！，F(xiàn)實(shí)實(shí)經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)生生活活中中:1)只只有有少少數(shù)數(shù)經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)指指標(biāo)標(biāo)的的時(shí)時(shí)間間序序列列表表現(xiàn)現(xiàn)為為平平穩(wěn)穩(wěn)的的，，如利利率率等等;2)大大多多數(shù)數(shù)指指標(biāo)標(biāo)的的時(shí)時(shí)間間序序列列是是非非平平穩(wěn)穩(wěn)的的，，如一一些些價(jià)價(jià)格格指指數(shù)數(shù)常常常常是是2階階單單整整的的，，以以不不變變價(jià)價(jià)格格表表示示的的消消費(fèi)費(fèi)額額、、收收入入等等常常表表現(xiàn)現(xiàn)為為1階階單單整整。。大多多數(shù)數(shù)非非平平穩(wěn)穩(wěn)的的時(shí)時(shí)間間序序列列一一般般可可通通過過一一次次或或多多次次差差分分的的形形式式變變?yōu)闉槠狡椒€(wěn)穩(wěn)的的。。但也也有有一一些些時(shí)時(shí)間間序序列列，，無無論論經(jīng)經(jīng)過過多多少少次次差差分分，，都都不不能能變變?yōu)闉槠狡椒€(wěn)穩(wěn)的的。。這這種種序序列列被被稱稱為為非單單整整的的（（non-integrated））。例9.1.8中國國支支出出法法GDP的的單單整整性性。。經(jīng)過過試試算算，，發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)中國國支支出出法法GDP是是1階階單單整整的的，適當(dāng)當(dāng)?shù)牡臋z檢驗(yàn)驗(yàn)?zāi)ＤＰ托蜑闉椋海豪?.1.9中國人均居民民消費(fèi)與人均均國內(nèi)生產(chǎn)總總值的單整性性。經(jīng)過試算，發(fā)發(fā)現(xiàn)中國人均國內(nèi)內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC是是2階單整的的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)ＤＰ蜑椋和瑯拥?，CPC也是2階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)ＤＰ蜑椋孩糙厔萜椒€(wěn)與差差分平穩(wěn)隨機(jī)機(jī)過程前文已指出，，一些非平穩(wěn)穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間間序列往往表表現(xiàn)出共同的的變化趨勢，，而這些序列列間本身不一一定有直接的的關(guān)聯(lián)關(guān)系，，這時(shí)對(duì)這些些數(shù)據(jù)進(jìn)行回回歸，盡管有有較高的R2，但其結(jié)果是是沒有任何實(shí)實(shí)際意義的。。這種現(xiàn)象我我們稱之為虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）。如：用中國的的勞動(dòng)力時(shí)間間序列數(shù)據(jù)與與美國GDP時(shí)間序列作作回歸，會(huì)得得到較高的R2，但不不能認(rèn)為兩者者有直接的關(guān)關(guān)聯(lián)關(guān)系，而而只不過它們們有共同的趨趨勢罷了，這這種回歸結(jié)果果我們認(rèn)為是是虛假的。為了避免這種種虛假回歸的的產(chǎn)生，通常常的做法是引引入作為趨勢勢變量的時(shí)間間，這樣包含含有時(shí)間趨勢勢變量的回歸歸，可以消除除這種趨勢性性的影響。然而這種做法法，只有當(dāng)趨趨勢性變量是是確定性的（deterministic）而非隨機(jī)性的（stochastic）），才會(huì)是有效的的。換言之，如果一個(gè)包含含有某種確定定性趨勢的非非平穩(wěn)時(shí)間序序列，可以通通過引入表示示這一確定性性趨勢的趨勢勢變量，而將將確定性趨勢勢分離出來。。1)如果=1，=0，則（*）式成成為一個(gè)帶位移的的隨機(jī)游走過過程：Xt=+Xt-1+t（**）根據(jù)的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的的上升或下降降趨勢。這種種趨勢稱為隨機(jī)性趨勢（（stochastictrend）?？紤]如下的含含有一階自回回歸的隨機(jī)過過程：Xt=+t+Xt-1+t（*）其中:t是一白噪聲，，t為一時(shí)間間趨勢。2)如果=0，0，則（*）式成為一帶時(shí)時(shí)間趨勢的隨隨機(jī)變化過程程：Xt=+t+t（***）根據(jù)的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的的上升或下降降趨勢。這種種趨勢稱為確定性趨勢（（deterministictrend））。3)如果=1，0，則Xt包含含有確定性與隨機(jī)機(jī)性兩種趨勢勢。判斷一個(gè)非平平穩(wěn)的時(shí)間序序列，它的趨趨勢是隨機(jī)性性的還是確定定性的，可通通過ADF檢檢驗(yàn)中所用的的第3個(gè)模型型進(jìn)行。該模型中已引引入了表示確確定性趨勢的的時(shí)間變量t，即分離出出了確定性趨趨勢的影響。。因此：(1)如果檢檢驗(yàn)結(jié)果表明明所給時(shí)間序序列有單位根根，且時(shí)間變變量前的參數(shù)數(shù)顯著為零，，則該序列顯顯示出隨機(jī)性性趨勢;(2)如果沒沒有單位根，，且時(shí)間變量量前的參數(shù)顯顯著地異于零零，則該序列列顯示出確定定性趨勢。隨機(jī)性趨勢可可通過差分的的方法消除例如：對(duì)式：：Xt=+Xt-1+t可通過差分變變換為：Xt=+t該時(shí)間序列稱稱為差分平穩(wěn)過程程（differencestationaryprocess）；確定性趨勢無無法通過差分分的方法消除除，而只能通通過除去趨勢勢項(xiàng)消除例如：對(duì)式：：Xt=+t+t可通過除去t變換為：Xt－t=+t該時(shí)間序列是是平穩(wěn)的，因因此稱為趨勢平穩(wěn)過程程（trendstationaryprocess）。最后需要說明明的是，趨勢平穩(wěn)過程程代表了一個(gè)個(gè)時(shí)間序列長長期穩(wěn)定的變變化過程，因因而用于進(jìn)行行長期預(yù)測則則是更為可靠靠的?！?.2隨隨機(jī)時(shí)間序列列分析模型一、時(shí)間序列模型型的基本概念念及其適用性性二、隨機(jī)時(shí)間序列列模型的平穩(wěn)穩(wěn)性條件三、隨機(jī)時(shí)間序列列模型的識(shí)別別四、隨機(jī)時(shí)間序列列模型的估計(jì)計(jì)五、隨機(jī)時(shí)間序列列模型的檢驗(yàn)驗(yàn)說明經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)模型與時(shí)時(shí)間序列模型型確定性時(shí)間序序列模型與隨隨機(jī)性時(shí)間序序列模型一、時(shí)間序列列模型的基本本概念及其適適用性1、時(shí)間序列列模型的基本本概念隨機(jī)時(shí)間序列列模型（timeseriesmodeling）是指僅用它的的過去值及隨隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所所建立起來的的模型，其一一般形式為:Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,t)建立具體的時(shí)時(shí)間序列模型型，需解決如如下三個(gè)問題題：(1)模型的的具體形式(2)時(shí)序變變量的滯后期期(3)隨機(jī)擾擾動(dòng)項(xiàng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)例如，，取線線性方方程、、一期期滯后后以及及白噪噪聲隨隨機(jī)擾擾動(dòng)項(xiàng)項(xiàng)（t=t），模模型將將是一一個(gè)1階自自回歸歸過程程AR(1)：Xt=Xt-1+t，這里，，t特指一白噪噪聲。一般的的p階自自回歸歸過程程AR(p)是Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)(1)如果果隨機(jī)機(jī)擾動(dòng)動(dòng)項(xiàng)是是一個(gè)個(gè)白噪噪聲(t=t)，則則稱(*)式為為一純AR(p)過過程（（pureAR(p)process），記為:Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(2)如果果t不是是一個(gè)個(gè)白噪噪聲，，通常常認(rèn)為為它是是一個(gè)個(gè)q階階的移動(dòng)平平均（（movingaverage）過過程MA(q)：t=t-1t-1-2t-2--qt-q該式給給出了了一個(gè)個(gè)純MA(q)過程程（pureMA(p)process））。將純AR(p)與純純MA(q)結(jié)結(jié)合，，得到到一個(gè)個(gè)一般般的自回歸歸移動(dòng)動(dòng)平均均（autoregressivemovingaverage）過程程ARMA（p,q）：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q該式表表明：：（1））一個(gè)個(gè)隨機(jī)機(jī)時(shí)間間序列列可以以通過過一個(gè)個(gè)自回回歸移移動(dòng)平平均過過程生生成，，即該序序列可可以由由其自自身的的過去去或滯滯后值值以及及隨機(jī)機(jī)擾動(dòng)動(dòng)項(xiàng)來來解釋釋。（2））如果果該序序列是是平穩(wěn)穩(wěn)的，即它的的行為為并不不會(huì)隨隨著時(shí)時(shí)間的的推移移而變變化，，那么我我們就就可以以通過過該序序列過過去的的行為為來預(yù)預(yù)測未未來。。這也正正是隨隨機(jī)時(shí)時(shí)間序序列分分析模模型的的優(yōu)勢勢所在在。經(jīng)典回回歸模模型的的問題題：迄今為為止，，對(duì)一個(gè)個(gè)時(shí)間間序列列Xt的變變動(dòng)進(jìn)進(jìn)行解解釋或或預(yù)測測，是是通過過某個(gè)個(gè)單方方程回回歸模模型或或聯(lián)立立方程程回歸歸模型型進(jìn)行行的，，由于于它們們以因因果關(guān)關(guān)系為為基礎(chǔ)礎(chǔ)，且且具有有一定定的模模型結(jié)結(jié)構(gòu)，，因此此也常常稱為為結(jié)構(gòu)式式模型型（structuralmodel））。2、時(shí)時(shí)間序序列分分析模模型的的適用用性然而，，如果Xt波波動(dòng)的的主要要原因因可能能是我我們無無法解解釋的的因素素，如如氣候候、消消費(fèi)者者偏好好的變變化等等，則則利用用結(jié)構(gòu)構(gòu)式模模型來來解釋釋Xt的變變動(dòng)就就比較較困難難或不不可能能，因因?yàn)橐〉玫孟鄳?yīng)應(yīng)的量量化數(shù)數(shù)據(jù)，，并建建立令令人滿滿意的的回歸歸模型型是很很困難難的。。有時(shí)，，即使能能估計(jì)計(jì)出一一個(gè)較較為滿滿意的的因果果關(guān)系系回歸歸方程程，但但由于于對(duì)某某些解解釋變變量未未來值值的預(yù)預(yù)測本本身就就非常常困難難，甚甚至比比預(yù)測測被解解釋變變量的的未來來值更更困難難，這這時(shí)因因果關(guān)關(guān)系的的回歸歸模型型及其其預(yù)測測技術(shù)術(shù)就不不適用用了。。例如，時(shí)間序序列過過去是是否有有明顯顯的增增長趨趨勢，如果增增長趨趨勢在在過去去的行行為中中占主主導(dǎo)地地位，，能否否認(rèn)為為它也也會(huì)在在未來來的行行為里里占主主導(dǎo)地地位呢呢？或者時(shí)時(shí)間序序列顯顯示出出循環(huán)環(huán)周期期性行行為，我們能能否利利用過過去的的這種種行為為來外外推它它的未未來走走向？？另一條條預(yù)測測途徑徑：通過時(shí)時(shí)間序序列的的歷史史數(shù)據(jù)據(jù)，得得出關(guān)關(guān)于其其過去去行為為的有有關(guān)結(jié)結(jié)論，，進(jìn)而而對(duì)時(shí)時(shí)間序序列未未來行行為進(jìn)進(jìn)行推推斷。隨機(jī)時(shí)時(shí)間序序列分分析模模型，，就是是要通通過序序列過過去的的變化化特征征來預(yù)預(yù)測未未來的的變化化趨勢勢。使用時(shí)時(shí)間序序列分分析模模型的的另一一個(gè)原原因在在于：如果經(jīng)經(jīng)濟(jì)理理論正正確地地闡釋釋了現(xiàn)現(xiàn)實(shí)經(jīng)經(jīng)濟(jì)結(jié)結(jié)構(gòu)，，則這這一結(jié)結(jié)構(gòu)可可以寫寫成類類似于于ARMA(p,q)式式的時(shí)時(shí)間序序列分分析模模型的的形式式。例如，，對(duì)于如如下最最簡單單的宏宏觀經(jīng)經(jīng)濟(jì)模模型：：這里，，Ct、It、Yt分別表表示消消費(fèi)、、投資資與國國民收收入。。Ct與Yt作為內(nèi)內(nèi)生變變量，，它們們的運(yùn)運(yùn)動(dòng)是是由作作為外外生變變量的的投資資It的運(yùn)動(dòng)動(dòng)及隨隨機(jī)擾擾動(dòng)項(xiàng)項(xiàng)t的變化化決定定的。。上述模模型可可作變變形如如下：兩個(gè)方方程等等式右右邊除除去第第一項(xiàng)項(xiàng)外的的剩余余部分分可看看成一一個(gè)綜綜合性性的隨隨機(jī)擾擾動(dòng)項(xiàng)項(xiàng)，其其特征征依賴賴于投投資項(xiàng)項(xiàng)It的行為為。如果It是一個(gè)個(gè)白噪噪聲，則消消費(fèi)序序列Ct就成為為一個(gè)個(gè)1階自自回歸歸過程程AR(1)，而收收入序序列Yt就成為為一個(gè)個(gè)(1,1)階的的自回回歸移移動(dòng)平平均過過程ARMA(1,1)。二、隨隨機(jī)時(shí)時(shí)間序序列模模型的的平穩(wěn)穩(wěn)性條條件自回歸歸移動(dòng)動(dòng)平均均模型型（ARMA））是隨隨機(jī)時(shí)時(shí)間序序列分分析模模型的的普遍遍形式式，自自回歸歸模型型（AR））和移移動(dòng)平平均模模型（（MA）是是它的的特殊殊情況況。關(guān)于這這幾類類模型型的研研究，，是時(shí)間序序列分分析的的重點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)容容：主要包包括模型的的平穩(wěn)穩(wěn)性分分析、模型的識(shí)識(shí)別和模型的估估計(jì)。1、AR(p)模型的的平穩(wěn)性性條件隨機(jī)時(shí)間間序列模模型的平平穩(wěn)性，可通過它它所生成成的隨機(jī)機(jī)時(shí)間序序列的平平穩(wěn)性來來判斷。如果一個(gè)p階自回歸歸模型AR(p)生成成的時(shí)間間序列是是平穩(wěn)的的，就說說該AR(p)模型是是平穩(wěn)的的。否則，就就說該AR(p)模型型是非平平穩(wěn)的。?？紤]p階階自回歸歸模型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)引入滯后算子子（lagoperator）L：LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,…,LpXt=Xt-p(*)式式變換為為：(1-1L-2L2-…-pLp)Xt=t記(L)=(1-1L-2L2-…-pLp),則稱多項(xiàng)項(xiàng)式方程程：(z)=(1-1z-2z2-…-pzp)=0為AR(p)的的特征方程程(characteristicequation)?？梢宰C明明，如果果該特征征方程的的所有根根在單位位圓外（（根的模模大于1），則則AR(p)模模型是平平穩(wěn)的。。例9.2.1AR(1)模型型的平穩(wěn)穩(wěn)性條件件。對(duì)1階自自回歸模模型AR(1)方程兩邊邊平方再再求數(shù)學(xué)學(xué)期望，，得到Xt的方方差：由于Xt僅與t相關(guān)，因因此，E(Xt-1t)=0。如果該該模型穩(wěn)穩(wěn)定，則則有E(Xt2)=E(Xt-12)，從而上上式可變變換為：：在穩(wěn)定條條件下，，該方差差是一非非負(fù)的常常數(shù)，從從而有||<1。而AR(1)的的特征方方程：的根為：：z=1/AR(1)穩(wěn)定定，即||<1，意味味著特征征根大于于1。例9.2.2AR(2)模型的平平穩(wěn)性。。對(duì)AR(2)模型：方程兩邊邊同乘以以Xt，，再取期期望得：：又由于：：于是：同樣地，，由原式式還可得得到：于是方差差為：由平穩(wěn)性性的定義義，該方方差必須須是一不不變的正正數(shù)，于于是有1+2<1,2-1<1,|2|<1這就是AR(2)的平穩(wěn)性性條件，或稱為為平穩(wěn)域。它是一頂頂點(diǎn)分別別為（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角角形。對(duì)應(yīng)的特特征方程程1-1z-2z2=0的兩個(gè)根根z1、z2滿足：z1z2=-1/2,z1+z2=-1/2AR(2)模型：解出1，2：由AR(2)的的平穩(wěn)性性，|2|=1/|z1||z2|<1，則至少少有一個(gè)個(gè)根的模模大于1，不妨妨設(shè)|z1|>1，有：于是|z2|>1。由2-1<1可推出同同樣的結(jié)結(jié)果。對(duì)高階自自回模型型AR(p)來說，多數(shù)情況況下沒有有必要直直接計(jì)算算其特征征方程的的特征根根，但有有一些有用用的規(guī)則則可用來來檢驗(yàn)高高階自回回歸模型型的穩(wěn)定定性：(1)AR(p)模型穩(wěn)定定的必要要條件是是：1+2++p<1(2)由于i(i=1,2,p)可正正可負(fù)，AR(p)模型穩(wěn)定定的充分分條件是是：|1|+|2|++|p|<1對(duì)于移動(dòng)動(dòng)平均模模型MR(q)：Xt=t-1t-1-2t-2--qt-q其中t是一個(gè)白白噪聲，，于是：：2、MA(q)模型的平平穩(wěn)性當(dāng)滯后期期大于q時(shí)，Xt的自協(xié)協(xié)方差系系數(shù)為0。因此:有限階移移動(dòng)平均均模型總總是平穩(wěn)穩(wěn)的。由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型與MA(q)模型的組組合：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q3、ARMA(p,q)模型的平平穩(wěn)性而MA(q)模型總是是平穩(wěn)的的，因此此ARMA(p,q)模型的平平穩(wěn)性取取決于AR(p)部分的平平穩(wěn)性。。當(dāng)AR(p)部分平穩(wěn)穩(wěn)時(shí)，則則該ARMA(p,q)模型是平平穩(wěn)的，，否則，，不是平平穩(wěn)的。。4、總結(jié)結(jié)（1）一個(gè)個(gè)平穩(wěn)的的時(shí)間序序列總可可以找到到生成它它的平穩(wěn)穩(wěn)的隨機(jī)機(jī)過程或或模型；；（2）一一個(gè)非平平穩(wěn)的隨隨機(jī)時(shí)間間序列通通?？梢砸酝ㄟ^差差分的方方法將它它變換為為平穩(wěn)的的，對(duì)差差分后平平穩(wěn)的時(shí)時(shí)間序列列也可找找出對(duì)應(yīng)應(yīng)的平穩(wěn)穩(wěn)隨機(jī)過過程或模模型。因此，如果我們們將一個(gè)個(gè)非平穩(wěn)穩(wěn)時(shí)間序序列通過過d次差差分，將將它變?yōu)闉槠椒€(wěn)的的，然后后用一個(gè)個(gè)平穩(wěn)的的ARMA(p,q)模型作作為它的的生成模模型，則則我們就就說該原原始時(shí)間間序列是是一個(gè)自回歸單單整移動(dòng)動(dòng)平均（（autoregressiveintegratedmovingaverage）時(shí)時(shí)間序列列，記為為ARIMA(p,d,q)。例如，一個(gè)ARIMA(2,1,2)時(shí)間間序列在在它成為為平穩(wěn)序序列之前前先得差差分一次次，然后后用一個(gè)個(gè)ARMA(2,2)模型作作為它的的生成模模型的。。當(dāng)然，一個(gè)ARIMA(p,0,0)過程程表示了了一個(gè)純純AR(p)平平穩(wěn)過程程；一個(gè)個(gè)ARIMA(0,0,q)表示一一個(gè)純MA(q)平穩(wěn)穩(wěn)過程。。三、隨機(jī)機(jī)時(shí)間序序列模型型的識(shí)別別所謂隨機(jī)機(jī)時(shí)間序序列模型型的識(shí)別別，就是對(duì)于于一個(gè)平平穩(wěn)的隨隨機(jī)時(shí)間間序列，，找出生生成它的的合適的的隨機(jī)過過程或模模型，即判斷斷該時(shí)間間序列是是遵循一一純AR過程、、還是遵遵循一純純MA過過程或ARMA過程。。所使用的的工具主要是時(shí)間序列列的自相關(guān)函函數(shù)（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)（partialautocorrelationfunction，，PACF）。1、AR(p)過程(1)自自相關(guān)函函數(shù)ACF1階自回回歸模型型AR(1)：：Xt=Xt-1+t的k階滯后自協(xié)方差差為：=1,2,…因此，AR(1)模型的自相關(guān)函函數(shù)為：=1,2,…由AR(1)的穩(wěn)定性知知||<1，因此，k時(shí)，呈指數(shù)數(shù)形衰減，，直到零。這種現(xiàn)象稱稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶憶（infinitememory）。注意，<0時(shí)，呈振蕩蕩衰減狀。Xt=1Xt-1+2Xt-2+t該模型的方方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方方差1,2分別為：２階自回歸歸模型AR(2)類似地,可可寫出一般般的k期滯后自協(xié)協(xié)方差：(K=2,3,…)于是,AR(2)的k階自相關(guān)函函數(shù)為：(K=2,3,…)其中:1=1/(1-2),0=1如果AR(2)穩(wěn)定定，則由1+2<1知|k|衰減趨于于零，呈拖拖尾狀。至于衰減的的形式，要要看AR(2)特征征根的實(shí)虛虛性，若為實(shí)根，，則呈單調(diào)調(diào)或振蕩型型衰減，若若為虛根，，則呈正弦弦波型衰減減。一般地，p階自回歸模模型AR(p)：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…pXt-p+tk期滯后協(xié)方方差為:從而有自相關(guān)函數(shù)數(shù):可見，無論k有多多大，k的計(jì)算均與與其１到p階滯后的的自相關(guān)函函數(shù)有關(guān)，因此呈拖尾狀。如果AR(p)是穩(wěn)穩(wěn)定的，則則|k|遞減且趨趨于零。事實(shí)上，自自相關(guān)函數(shù)數(shù)：是一p階差差分方程，，其通解為為：其中：1/zi是AR(p)特征方方程(z)=0的特征根根，由AR(p)平平穩(wěn)的條件件知，|zi|<1;因此，當(dāng)1/zi均為實(shí)數(shù)根根時(shí)，k呈幾何型衰衰減（單調(diào)調(diào)或振蕩））；當(dāng)存在虛數(shù)數(shù)根時(shí)，則則一對(duì)共扼扼復(fù)根構(gòu)成成通解中的的一個(gè)阻尼尼正弦波項(xiàng)項(xiàng)，k呈正弦波衰衰減。（2）偏自自相關(guān)函數(shù)數(shù)自相關(guān)函數(shù)數(shù)ACF(k)給出了Xt與Xt-1的總體相關(guān)關(guān)性，但總總體相關(guān)性性可能掩蓋蓋了變量間間完全不同同的隱含關(guān)關(guān)系。例如，在AR(1)隨機(jī)過程中中，Xt與Xt-2間有相關(guān)性性可能主要要是由于它它們各自與與Xt-1間的相關(guān)性性帶來的:即自相關(guān)函函數(shù)中包含含了這種所所有的“間間接”相關(guān)關(guān)。與之相反，Xt與Xt-k間的偏自相關(guān)函函數(shù)(partialautocorrelation，簡記記為PACF)則是消除了了中間變量量Xt-1，…，Xt-k+1帶來的間接接相關(guān)后的的直接相關(guān)關(guān)性，它是是在已知序序列值Xt-1，…，Xt-k+1的條件下，，Xt與Xt-k間關(guān)系的度度量。從Xt中去去掉Xt-1的影響響，則只剩剩下隨機(jī)擾擾動(dòng)項(xiàng)t，顯然它它與Xt-2無關(guān)，，因此我們們說Xt與與Xt-2的偏自相相關(guān)系數(shù)為零，記為：在AR(1)中，同樣地，在AR(p)過程中中，對(duì)所有的k>p，Xt與Xt-k間的偏自相關(guān)系系數(shù)為零。AR(p)的一個(gè)主主要特征是是:k>p時(shí)，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0即k*在p以后是截尾尾的。一隨機(jī)時(shí)間間序列的識(shí)識(shí)別原則：：若Xt的偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)在p以后截尾，，即k>p時(shí)，k*=0，而它它的自相關(guān)關(guān)函數(shù)k是拖尾的，，則此序列列是自回歸歸AR(p)序列。。在實(shí)際識(shí)別別時(shí)，由于于樣本偏自自相關(guān)函數(shù)數(shù)rk*是總體偏自自相關(guān)函數(shù)數(shù)k*的一個(gè)估計(jì)計(jì)，由于樣樣本的隨機(jī)機(jī)性，當(dāng)k>p時(shí)，rk*不會(huì)全為0，而是在0的上下波動(dòng)動(dòng)。但可以以證明，當(dāng)當(dāng)k>p時(shí)，rk*服從如下漸漸近正態(tài)分分布:rk*~N(0,1/n)式中n表示樣本容容量。需指出的是是，我們就有95.5%的把握判斷斷原時(shí)間序序列在p之后截尾。。因此，如果果計(jì)算的rk*滿足：對(duì)MA(1)過程：2、MA(q)過程可容易地寫寫出它的自協(xié)方差系系數(shù)：于是，MA(1)過過程的自相關(guān)函數(shù)數(shù)為：可見，當(dāng)k>1時(shí)時(shí)，k>0，即即Xt與Xt-k不不相關(guān)，MA(1)自相關(guān)函函數(shù)是截尾尾的。MA(1)過程可以以等價(jià)地寫寫成t關(guān)于無窮窮序列Xt，Xt-1，…的的線性組合合的形式：：或：（*）(*)是一個(gè)AR()過程，它它的偏自相相關(guān)函數(shù)非非截尾但卻卻趨于零，，因此MA(1)的偏自相相關(guān)函數(shù)是是非截尾但但卻趨于零零的。注意:(*)式只有當(dāng)||<1時(shí)才有意義義，否則意意味著距Xt越遠(yuǎn)的的X值，對(duì)Xt的影響越越大，顯然然不符合常常理。因此，我們們把||<1稱為MA(1)的可可逆性條件件（invertibilitycondition）或可逆逆域。其自協(xié)方差系系數(shù)為：一般地，q階移動(dòng)平均均過程MA(q)相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)數(shù)為：可見，當(dāng)k>q時(shí)，，Xt與Xt-k不相關(guān)，即即存在截尾尾現(xiàn)象，因因此，當(dāng)k>q時(shí)時(shí)，k=0是MA(q)的的一個(gè)特征征。于是：可以根據(jù)自自相關(guān)系數(shù)數(shù)是否從某某一點(diǎn)開始始一直為0來判斷MA(q)模型的階階。與MA(1)相仿，，可以驗(yàn)證證MA(q)過程的的偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)是非非截尾但趨趨于零的。。MA(q)模型的識(shí)別別規(guī)則：若隨機(jī)序列列的自相關(guān)關(guān)函數(shù)截尾尾，即自q以后，k=0（k>q）；；而它的偏偏自相關(guān)函函數(shù)是拖尾尾的，則此此序列是滑滑動(dòng)平均MA(q)序列。同樣需要注注意的是：在實(shí)際識(shí)別別時(shí)，由于于樣本自相相關(guān)函數(shù)rk是總體自相相關(guān)函數(shù)k的一個(gè)估計(jì)計(jì)，由于樣樣本的隨機(jī)機(jī)性，當(dāng)k>q時(shí)，rk不會(huì)全為0，而是在0的上下波動(dòng)動(dòng)。但可以以證明，當(dāng)當(dāng)k>q時(shí)，rk服從如下漸漸近正態(tài)分分布:rk~N(0,1/n)式中n表示示樣本容量量。因此，如果計(jì)算的的rk滿足：我們就有95.5%的把把握判斷原原時(shí)間序列列在q之后截尾。ARMA(p,q)的自相關(guān)函函數(shù)，可以看作MA(q)的自相關(guān)函函數(shù)和AR(p)的自相關(guān)函函數(shù)的混合合物。當(dāng)p=0時(shí)，它具有有截尾性質(zhì)質(zhì)；當(dāng)q=0時(shí)，它具有有拖尾性質(zhì)質(zhì)；當(dāng)p、q都不為0時(shí)，它具有有拖尾性質(zhì)質(zhì)3、ARMA(p,q)過過程從識(shí)別上看看，通常：：ARMA(p，q)過程的偏偏自相關(guān)函函數(shù)（PACF）可能在p階階滯后前有有幾項(xiàng)明顯顯的尖柱（（spikes），，但從p階階滯后項(xiàng)開開始逐漸趨趨向于零；；而它的自相關(guān)關(guān)函數(shù)（ACF）則是在q階階滯后前有有幾項(xiàng)明顯顯的尖柱，，從q階滯滯后項(xiàng)開始始逐漸趨向向于零。四、隨機(jī)時(shí)時(shí)間序列模模型的估計(jì)計(jì)AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估估計(jì)方法較較多，大體上分為為3類：（1）最小小二乘估計(jì)計(jì)；（2）矩估估計(jì)；（3）利用用自相關(guān)函函數(shù)的直接接估計(jì)。下面有選擇擇地加以介介紹。結(jié)構(gòu)階數(shù)模型識(shí)別確定估計(jì)參數(shù)⒈AR(p)模型型的YuleWalker方程估計(jì)計(jì)在AR(p)模型的識(shí)別別中，曾得得到：利用k=-k，得到如下下方程組：此方程組被被稱為YuleWalker方程組。該方程組建建立了AR(p)模模型的模型型參數(shù)1,2,,p與自相關(guān)函函數(shù)1,2,,p的關(guān)系，利用實(shí)際時(shí)時(shí)間序列提提供的信息息，首先求求得自相關(guān)關(guān)函數(shù)的估估計(jì)值：然后利用YuleWalker方程組，，求解模型型參數(shù)的估估計(jì)值：由于：于是,從而可得2的估計(jì)值在具體計(jì)算算時(shí)，可用樣本自自相關(guān)函數(shù)數(shù)rk替代。⒉MA(q)模型型的矩估計(jì)計(jì)將MA(q)模型的自協(xié)協(xié)方差函數(shù)數(shù)中的各個(gè)個(gè)量用估計(jì)計(jì)量代替，，得到：(*)首先求得自協(xié)方方差函數(shù)的的估計(jì)值，，(*)是一個(gè)包含含(q+1)個(gè)待估參數(shù)數(shù)的非線性方方程組，可可以用直接法或迭代法求解。常用的迭代代方法有線性迭代法法和Newton-Raphsan迭代法法。（1）MA(1)模模型的直接接算法對(duì)于MA(1)模型型，（*））式相應(yīng)地地寫成：于是：或：有：于是有解：：由于參數(shù)估估計(jì)有兩組組解，可根根據(jù)可逆性性條件|1|<1來判斷選取取一組。（2）MA(q)模模型的迭代代算法對(duì)于q>1的MA(q)模型型，一般用用迭代算法法估計(jì)參數(shù)數(shù)：由（*）式式得（**）第一步，給出的一組初值值，比如,代入（**）式，計(jì)算算出第一次次迭代值，第二步，將第一次次迭代值代代入（**）式，計(jì)算算出第二次次迭代值按此反復(fù)迭迭代下去，，直到第m步的迭代值值與第m-1步的迭代值值相差不大大時(shí)（滿足足一定的精精度），便便停止迭代代，并用第第m步的迭代結(jié)結(jié)果作為（（**）的近似解解。⒊ARMA(p,q)模型型的矩估計(jì)計(jì)在ARMA(p,q)中共有有(p+q+1)個(gè)個(gè)待估參數(shù)數(shù)1,2,,p與1,2,,q以及2，其估計(jì)量計(jì)計(jì)算步驟及及公式如下下：第一步，估計(jì)1,2,,p是總體自相相關(guān)函數(shù)的的估計(jì)值，，可用樣本本自相關(guān)函函數(shù)rk代代替。第二步，改寫模型，，求1,2,,q以及2的估計(jì)值將模型：改寫為：令，于是(*)可以寫成：(*)構(gòu)成一個(gè)MA模型。按照照估計(jì)MA模型參數(shù)的的方法，可可以得到1,2,,q以及2的估計(jì)值。。⒋AR(p)的最最小二乘估估計(jì)假設(shè)模型AR(p)的參數(shù)估計(jì)計(jì)值已經(jīng)得得到，即有有，殘差的平方方和為：(*)根據(jù)最小二二乘原理，，所要求的的參數(shù)估計(jì)計(jì)值是下列列方程組的的解：即，j=1,2,…,p(**)解該方程組組，就可得得到待估參參數(shù)的估計(jì)計(jì)值。為了與AR(p)模型的YuleWalker方程估計(jì)進(jìn)進(jìn)行比較，，將(**)改寫成：j=1,2,…,p由自協(xié)方差差函數(shù)的定定義，并用用自協(xié)方差差函數(shù)的估估計(jì)值。代入，上式式表示的方方程組即為為：或，j=1,2,…,pj=1,2,…,p解該方程組組，得到：：即為參數(shù)的的最小二乘乘估計(jì)。YuleWalker方程程組的解：：比較發(fā)現(xiàn)，，當(dāng)n足夠大時(shí)，，二者是相相似的。2的估計(jì)值為為：需要說明的的是，在上上述模型的的平穩(wěn)性、、識(shí)別與估估計(jì)的討論論中，ARMA(p,q)模模型中均未未包含常數(shù)數(shù)項(xiàng)。如果包含