2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題參考答案

2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題（A卷）考試時間：2010年10月17日8：00—9：20一、填空題（本題滿分64分，每小題8分）1.函數(shù)的值域是______________.，則實數(shù)的取值范圍是_____________.2.已知函數(shù)3.雙曲線的最小值為的右半支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點（縱橫坐標均為整數(shù)的點）的個數(shù)是___________.4.已知是公差不為0的等差數(shù)列，使得對每一個正整數(shù)都有是等比數(shù)列，其中，則，且存在常數(shù)____________.5.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為8，則它在這個區(qū)間上的最小值是___________________.6.兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個使兩顆骰子點數(shù)和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.先投擲人的獲勝概率為_________________.7.正三棱柱的9條棱長都相等，是的中點，二面角,則_____________.8.方程滿足的正整數(shù)解的個數(shù)是_____________.二、解答題（本題滿分56分）9.(本小題滿分16分)已知函數(shù)的最大值.，當(dāng)時，，試求10.(本小題滿分20分)已知拋物線上的兩個動點和,其中且.線段的垂直平分線與軸交于點,求△面積的最大值.11.(本小題滿分20分)證明：方程恰有一個實根，且存在唯一的嚴格遞增正整數(shù)列，使得.2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題（A卷）考試時間：2010年10月17日9：40—12：10一、（本題滿分40分）如圖，銳角三角形的外心為，是邊交于點，直線與上一點（不是邊的中點），是線段延長線上一點，直線與交于點.求證：若,則四點共圓.二、（本題滿分40分）設(shè)是給定的正整數(shù)，.記,.證明：存在正整數(shù),使得為一個整數(shù).這里，表示不小于實數(shù)的最小整數(shù)，例如.三、（本題滿分50分）給定整數(shù),設(shè)正實數(shù)滿足,,記求證：.四、（本題滿分50分）一種密碼鎖的密碼設(shè)置是在正邊形的每個頂點處賦值0和1兩個數(shù)中的一個，同時在每個頂點處涂染紅、藍兩種顏色之一，使得任意相鄰的兩個頂點的數(shù)字或顏色中至少有一個相同.問：這種密碼鎖共有多少種不同的密碼設(shè)置.2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題參考答案與評分標準說明：1.評閱試卷時，請依據(jù)本評分標準。填空題只設(shè)8分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次。2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當(dāng)劃分檔次評分，解答題中第9小題4分為一個檔次，第10、11小題5分為一個檔次，不要增加其他中間檔次。一、填空題1.3..2..4..5..6..7..8..1.易知2.上是增函數(shù)，從而可知的值域為[-3,].令sinx=t，則原函數(shù)化為g(t)=(-at2+a-3)t，即g(t)=-at3+(a-3)t.由-at3+(a-3)t-3，-at(t2-1)-3(t-1)0，(t-1)(-at(t+1)-3)-at(t+1)-3當(dāng)t=0，-1時（1）總成立：及知即.（1）對；對.從而可知3.由對稱性知，只需先考慮x軸上方的情況，設(shè)與雙曲線右半支交于點，與直線交于點，則線段內(nèi)部的整點個數(shù)為，從而在軸上方區(qū)域內(nèi)部整點的個數(shù)為又x軸上有98個整點，則所求整點個數(shù)為.4.設(shè)則3+d=q，（1）3（3+4d）=q2，（2）（1）代入（2）得從而有即對一切正整數(shù)n都成立，對一切正整數(shù)n都成立。從而求得5.，.令，則原函數(shù)化為上是遞增的，當(dāng)0<a<1時，[]，，所以當(dāng)；，[]，，所以綜上[-1,1]上的最小值為.6.同時投擲兩顆骰子點數(shù)和大于6的概率為，從而先投擲人的獲勝概率為=.=.7.解一：如圖，以AB所在直線為x軸，線段AB中點O為原點，OC所在直線為y軸，建立空間直角坐標系。設(shè)正三棱柱的棱長為2，則B（1，0，0），B1（1，0，2），A1（-1，0，2），P（0，，1），從而，.設(shè)分別與平面BA1P、平面B1A1P垂直的向量是，則由此可設(shè)所以即.所以.解二：如圖設(shè)交與點0，則，因為，從而.過0在平面連接上作.的平面角.設(shè)=2，則易求得在直角，即又8.首先易知x+y+z=2010的正整數(shù)解的個數(shù)為20091004.把x+y+z=2010滿足的正整數(shù)解分為三類：（1）x，y，z均相等的正整數(shù)解的個數(shù)顯然為1；（2）x，y，z中有且僅有2個相等的正整數(shù)解的個數(shù)，易知為1003；（3）設(shè)x，y，z兩兩均不相等的正整數(shù)解為k.易知1+31003+6k=20091004，6k=20091004-31003-1=20061005-2009+32-1=20061005-2004，k=1003335-334=335671.從而滿足的正整數(shù)解的個數(shù)為1+1003+335671=336675.二、解答題9.解一：，由得（4分）（8分）所以（12分）又易知當(dāng)解二：（m為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以a的最大值為.（16分），設(shè)設(shè)（4分）（8分）容易知道當(dāng)從而當(dāng)即從而由（12分）又易知當(dāng)（m為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以a最大值為（16分）10.解一：設(shè)線段AB的中點為M(x0,y0)，則x0==2，y0=，kAB=線段AB的垂直平分線的方程是y?y0=?(x?2).（1）易知x=5,y=0是（1）的一個解，所以線段AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點，且點C坐標為(5,0).（5分）由（1）知直線AB的方程為y?y0=(x?2)，即x=(y?y0)+2.（2）（2）代入y2=6x得y2=2y0(y?y0)+12，即y2?2y0y+2y02?12=0.依題意，y1,y2是方程（3）的兩個實根，且y1≠y2，所以（3）?=4y02?4(2y02?12)=?4y02+48>0,?2<y0<2.定點C（5,0）到線段AB的距離h=（10分）S?ABC（15分）當(dāng)且僅當(dāng)9+y=24?2y，即y0=所以?ABC面積的最大值為或時等號成立.（20分）解二：同解一，線段AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點，且點C坐標為(5,0).設(shè)x1=t，x2=t，t1>t2，t+t=4，則（5分）S?ABC=的絕對值，（10分）S2?ABC===S?ABC≤（15分）當(dāng)且僅當(dāng)即，，或時等號成立.所以?ABC面積的最大值為11.（20分）證明：令f(x)=2x3+5x?2，則=6x2+5>0，所以f(x)是嚴格遞增的.又f(0)=?2<0，>0，故f(x)有唯一實數(shù)根（5分）所以2r3+5r?2=0，=r+r4+r7+r10+···.故數(shù)列an=3n?2(n=1,2,···)是滿足題設(shè)要求的數(shù)列.（10分）若存在兩個不同的正整數(shù)數(shù)列，滿足去掉上面等式兩邊相同的項，有，這里s1<s2<s3<···，t1<t2<t3<···，所有的si與tj都是不同的.（15分）不妨設(shè)s1<t1，則，，矛盾.故滿足題設(shè)的數(shù)列是唯一的.2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題參考答案與評分標準說明：（20分）1.評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分。2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當(dāng)劃分檔次評分，10分為一個檔次，不要增加其他中間檔次。一、證明：用反證法．若A，B，D，C不四點共圓，設(shè)三角形ABC的外接圓與AD交于點E，連接BE并延長交直線AN于點Q，連接CE并延長交直線AM于點P，連接PQ．因為PK2=P的冪（關(guān)于⊙O）+K的冪（關(guān)于⊙O）=（PO2?r2）+（KO2?r2），同理QK2=（QO2?r2）+（KO2?r2），PO2?PK2=QO2?QK2，所以故OK⊥PQ．(10分）由題設(shè)，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是①由梅內(nèi)勞斯（Menelaus）定理，得②③由①，②，③可得（30分）所以，故△DMN∽△DCB，于是∠DMN=∠DCB，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K為BC的中點，矛盾！從而A,B,D,C四點共圓.（40分）注1：“PK2=P的冪（關(guān)于⊙O）+K的冪（關(guān)于⊙O）”的證明：延長PK至點F，使得PK?KF=AK?KE，④則P，E，F(xiàn)，A四點共圓，故∠PFE=∠PAE=∠BCE，從而E，C，F(xiàn)，K四點共圓，于是PK?PF=PE?PC，⑤⑤-④，得PK2=PE?PC?AK?KE=P的冪（關(guān)于⊙O）+K的冪（關(guān)于⊙O）．注2：若點E在線段AD的延長線上，完全類似．二、證明：記表示正整數(shù)n所含的2的冪次。則當(dāng)m=v2(k)+1時，f(m)(r)為整數(shù)．下面我們對v2(k)=v用數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)v=0時，k為奇數(shù)，k+1為偶數(shù)，此時f(r)=為整數(shù)．（10分）假設(shè)命題對v?1(v≥1)成立．對于v≥1，設(shè)k的二進制表示具有形式…，這里，=0或者1，i=v+1，v+2,…．（20分）于是f(r)=①這里．顯然中所含的2的冪次為．故由歸納假設(shè)知，經(jīng)過f的v次迭代得到整數(shù)，由①知，（40分）是一個整數(shù)，這就完成了歸納證明．三、證明：由知，對，有，.（10分）注意到當(dāng)時，有，于是對，有（30分）故（50分）四、解：對于該種密碼鎖的一種密碼設(shè)置，如果相鄰兩個頂點上所賦值的數(shù)字不同，在它們所在的邊上標上a，如果顏色不同，則標上b，如果數(shù)字和顏色都相同，則標上c．于是對于給定的點A1上的設(shè)置（共有4種），按照邊上的字母可以依次確定點A2，A3，…，An上的設(shè)置．為了使得最終回到A1時的設(shè)置與初始時相同，標有a和b的邊都是偶數(shù)條．所以這種密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)等于在邊上標記a，b，c，使得標有a和b的邊都是偶數(shù)條的方法數(shù)的4倍．（20分）設(shè)標有a的邊有2i條，0≤i≤，標有b的邊有2j條，0≤j≤．選取2i條邊標記a的有種方法，在種標記余下的邊中取出2j條邊標記b的有種方法，其余的邊標記c．由乘法原