新教材中“向量”的魅力

新教材中“向量”的魅力浙江省湖州中學張根榮（313000）新教材中的向量是新增的內(nèi)容，是我們所熟知的代數(shù)內(nèi)容，它是溝通數(shù)和形內(nèi)在聯(lián)系的有力工具。在幾何學中，把幾何圖形看作是點的集合，而點可以與其向徑一一對應(yīng)。因此可以把作為點的集合的幾何圖形看作是向量的集合。這樣，幾何中所涉及的度量關(guān)系和位置關(guān)系，都可以轉(zhuǎn)化為某種向量代數(shù)的運算。這種借助于向量代數(shù)的運算來證幾何題的方法有其獨特的魅力：1、用向量法解題用向量法來解決中學幾何問題，克服了綜合證法常常需要添置若干輔助線而顯得思路曲折的缺點，因此使解題思路更加清晰、簡捷，解法順理成章。這是因為向量具有多方面的特性：向量的起點可以任意選擇；同時對向量可以進行線性運算、數(shù)量積和向量積，并且向量既有有向線段表達式又有坐標表達式，任一空間向量都可以在三個不共面向量（包括三個互相垂直的向量）上分解，同樣對于平面上的任一向量，也均可在兩個不共線的向量上進行分解。這樣就可使得空間的幾何結(jié)構(gòu)數(shù)量化了。另外向量運算的定義與運算的規(guī)律，是和坐標系的選擇無關(guān)的。所以向量法證幾何題明顯優(yōu)越于解析法。因此，所有向量的這些特性，決定了向量代數(shù)知識在解答幾何問題上，具有突出的簡化作用和廣泛的適用范圍，是我們解中學幾何題的捷徑。利用向量法解中學幾何題的方法是多種多樣的，但我們有一般規(guī)律可循：1.1證線段相等問題用向量法證明線段的相等問題過程較為簡明，基本思路是證明向量的?；蚰５钠椒较嗟?。也就是說，欲證兩線段，可設(shè)法證明。例1的中線和相等，求證：.證明：設(shè)，且，則,即∴兩邊平方，整理可得，故。此證法是運用向量知識，經(jīng)過簡單的運算就可得到答案，書寫也很方便。如果用幾何證法，需添設(shè)輔助線，解題的思路較為曲折，不易表達清楚，下面給出一般的幾何證法，以資比較。證明：連接，過，作的垂線，垂足為，?！?、分別是、的中點，∴∴又∵且，∴，∴而，，∴，∴，即，∴。1.2證兩角相等問題對共面二直線所成角的考察，可在此直線上適當設(shè)置向量、，就把原問題轉(zhuǎn)化為對向量、間夾角的考察，這正是我們所要利用的證題思想。已知在正三角形中，相交于。求證：為正三角形。證明：設(shè),,,,,其中、、均為單位向量，、為正實數(shù)。∵∴又∴而=,∴∴同理可得故正三角形。1.3求圖形面積問題求圖形面積問題，如果給定的幾何圖形是三角形或平行四邊形，則可直接在所給三角形或平行四邊形的邊上設(shè)置向量，再通過求出向量積以及討論向量積的幾何意義來求解。例3在中，、分別為、的中點，、相交于，求證：:=1:3。證明：如圖，有，∵、為中線∴為重心∴故，而∴故:=1:3。1.4證兩線段平行問題兩線段與平行的充要條件是存在實數(shù),使。例4設(shè)自三角形的一高線足引直線垂直于另外兩高線，則兩垂足的連線必平行此兩高線足的連線。已知：D、E、F分別為△ABC的高AD、BE、CF在三邊上的垂足，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H。求證：GH∥FE分析：設(shè)置向量，利用兩線段平行的充要條件：證明：∵，∴設(shè),則。同理，于是,，∴。1.5證兩線段垂直問題兩線段與垂直的充要條件是它們的數(shù)量積·=0。例5四面體中，，，求證。證明：設(shè)則,,.∵，∴，即(),⑴同理，由可得：⑵由⑴⑵式得：∴,即,∴。注：本題運用向量知識，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，經(jīng)過簡單的向量運算就可得到了答案。1.6證點共線問題、、三點共線的充要條件是存在實數(shù)，使.例6試證：三角形的垂心、外心、重心共線。證明：設(shè)為的垂心，為外心，與中線相交于，證明為重心即可?！?，（為的中點），故可設(shè)，,于是⑴⑵由⑴、⑵消去，得：,∵不平行,因此有，∴,故且，,∴是上的三分點,即為重心，∴的垂心、外心、重心共線。1.7求軌跡問題軌跡問題實際上是數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的綜合，而向量是溝通數(shù)和形內(nèi)在聯(lián)系的有力工具，因此用向量法來求軌跡問題顯得明快、簡捷。用向量求滿足給定條件的軌跡，通常分兩個步驟進行：（1）在給定的問題里，適當設(shè)置向量或建立坐標系，通過向量計算尋找軌跡點所滿足的定量關(guān)系，斷定它應(yīng)在怎樣的圖形上。（軌跡的探求，軌跡完備性的證明）（2）借助向量運算規(guī)律證明圖形上的點滿足問題條件。（軌跡純粹性的證明）例7動線段的一端是定圓外的一個定點，另一端在圓上移動，求分線段成的點的軌跡。解：（1）探求：設(shè)定點、，圓的半徑為，、對點的向徑分別為,,由定比分點公式得:令連線上點滿足,則,∵,∴。故動點在以分為的點為圓心，為半徑的一圓上。（2）證明：（i）純粹性設(shè)點在以為圓心為半徑的圓上，過點作交于,則而,因此,這說明在圓上,同時故點是符合條件的點。（ii）完備性的證明見探求。因此，動點的軌跡是以分為的點為圓心,為半徑的一個圓。2、結(jié)束語從以上例題的一般解題過程的討論中我們不難看出，用向量法解中學幾何題主要是把線段的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為向量的關(guān)系式，即把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，再運用向量的運算規(guī)律和法則，通過對向量的代數(shù)運算，推出所需的結(jié)論，從而完成原題的解答。值得指出的是，向量不是一種抽象的代數(shù)，它具有幾何的直觀性，而又具有代數(shù)的運算特點，因而有表述的簡潔性和處理方法的一般性，對于各種數(shù)學知識的融合貫通、幾何證題能力的提高，都有一定的幫助。這足以體現(xiàn)向量在解題中的魅力，正是新教材中引進向量的一個視角。3、參考文獻（1）