2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)與解三角形2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式練習(xí)含解析

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式sinα考試要求1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin＋co2＝， ＝ta.2掌握誘cos導(dǎo)公式，并會簡單應(yīng)用．知識梳理1．si＋co1.sinα

απ

k .商數(shù)關(guān)系：cos

α＝tan

≠2

π，∈Z2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式 一 二 三 四 五 π角 α π＋α －α π－α 2－ π＋α2(k∈Z)α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣 奇變偶不變，符號看象限常用結(jié)論同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的常見變形sin2＝－cos(1co)(－co＝－sin(1si)(－si±co2＝1±2sico.思考辨析(1)若β為銳角，則sin＋co1.(×)若α

αsinα∈R，則tan

＝cos

α恒成立．(×)成立的條件是α為銳角．(×)13π

1 α 13 若sin23

＝，則cos＝－.(√)教材改編題已知α25答案－5

5，則cosα5解析5，α是第二象限角，525∴co＝－1－si2＝－5.已知＝－5，那么tanα23答案－16解析由＝－5，知等式左邊分子、分母同時(shí)除以tanα－2可得

α 23α ＝－5，解得tan＝－.3tan＋5 16α

cos

－2化簡

5π

·sin(α－π)·cos(2π－α)的結(jié)果為．sin2答案

＋sinα α α解析原式＝ )·coscos＝－si2.題型一同角三角函數(shù)基本關(guān)系α 5 α α例1(1)已知cos

＝－，則13sin13

＋5tan＝.答案0α 5 α解析∵cos

＝－<0且cos13

≠－1，∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，21313 5 121313則si＝1－co2＝ 1－2＝，12αsinα 13 12∴tan＝ ＝－.cos 5 5－13α α 12

1＝0.13sin＋5tan＝13×＋5×513②若α是第三象限角，1－5132則1－513212＝－13α

12－1312∴tan＝ ＝，cos 5 5－13α α

1 12此時(shí)，13sin＋5tan＝13×－＋5×

＝0.13 5綜上，13sinα＋5tanα＝0.1 已知ta2，則si＋coα＝sin＋sico.513答案－3 5α1解析已知tan＝，25所以＝

α ＝－.tan＋1 3sin2＋sico＋2si2＋sicoα＝sin2＋co2α2ta2＋taα＝ ＋2tan2 ＋112＋2 2 13＝1

＋2＝5.2＋1θ θ7 θ θ已知sin＋cos＝，

∈(0，π)，則tan ＝.133125＋cos＝θ θ＋cos＝

60cos＝－θ θ cos＝－13因?yàn)棣取?0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，

169θ θ

θ17sin

－cos

＝1－2sin

cos＝，13sin＋cos＝， θ θ7sin＋cos＝，

θ12sin＝，聯(lián) 13 解 13sin＝，sin－cos sin－cos

θ17

θ 5＝，cos＝－，13 13＝，cos＝－，θ 12tan＝－5.教師備選11．(2022·錦州聯(lián))已知 α 5，則co2＋sin2α等于( )3cos－sin 23 35A. B．－55C．－3 D．3答案A解析由 α 得 3cos

－sin

3－tan可得tanα＝2，1則cos＋sincossicoα2co2＋sicoα＋taα＝ ＝cos2＋si2α 1＋ta2α3＝.52．若2，則的值( )32 2A.3 B．－34 43C. D．－33答案C解析由誘導(dǎo)公式得4PAGEPAGE623，2所以(si＋co2＝＋2sico＝，9α α 72sin

cos

＝－<0，9因?yàn)樗?6因?yàn)?si－co2＝－2sico＝9，α α4sin

－cos＝.3思維升華(1)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對于cosα(si±co)＝1±2sico，可以知一求二．(2)＝si2＋cossi2＝1cosco＝1－si.θ sinθ1＋sin2θ1(1)(2021·新高考全國Ⅰ)若tan

＝－2，則

sinθ＋cosθ

等于( )6 226A．－B．－C.D.5 55答案C解析方法一因?yàn)閠anθ＝－2，所以角θ的終邊在第二或第四象限，sin＝2， sin＝－2，所以

5 或 5cos＝－1 cos＝1，5 5sinθ1＋sin2θ sinθ2所以 ＝ ＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sisicoθ422＝－＝555方法二(弦化切法)因?yàn)閟inθ1＋sin2θ所以 sinθ2＝ ＝sinθ(sinθ＋cosθ)si2＋sicoθ＝sin2＋co2θta2＋taθ4－22＝ ＝ ＝.1＋ta2θ 1＋45是三角形的內(nèi)角，且tan(2)已知α是三角形的內(nèi)角，且tan

α 1 α

α的值為．＝－＋cos3＝－＋cos105105α 1

α 1 αtan

＝－，得sin＝－cos，3 310將其代入si2＋co2＝1，得9co21，9所以co2＝

，易知cosα<0，10α 310 α 10所以cos＝－10，sin

＝10，故sinα＋cosα＝－10.5題型二誘導(dǎo)公式α

1

π

的值為( )例2(1)已知sin

－4

，則cos4＋322 223A.3 B．－31 13C. D．－33答案Dπ

πα

解析cos4＋

＝cos2＋

－4α

1＝－sin －4＝－.3延伸探究本例(1)改為已知θ

θ

4

θ

＝.是第二象限角，且sin

＋4

－4535答案4解析∵θ

θ

4是第二象限角，且sin5θπ5

＋4＝，4為第二象限角，θ

35∴cos ＋4＝－，5θ

sin

－4∴ta－4＝ θ

cos－4πsin

＋4－2＝ πco＋4－2θ

－cos＝

＋4si＋4 －－5 3＝ ＝.4 45tanπ－αcos2π－α

－α

3(2)

sincossin

＋2的值為( )A．－2B．－1C．1D．2答案B解析原式＝

－tanα·cosα·－cosαα·[－sinπ＋α]cosπ＋tan·co2αsinαcosα＝－ cos sin教師備選已知函數(shù))－22(>0且≠1)的圖象過定點(diǎn)，且角α的始邊與x軸的正半軸重11π

9π

＋sinαcos 2－合，終邊過點(diǎn)則 π

sin2＋

等( )co2sin－πα2A.33C.2答案B

2B．－33D．－27PAGEPAGE9解析易知函數(shù)()＝2＋2>0且≠1)的圖象過定點(diǎn)(2,3α3故tan＝，則11π

2

9π

αcos 2－sin2＋＋sin2π αcos2＋sin－π－3π

αcos2－sin2

＋sin2＝ π cos2＋sinα－sinαcosα＋2sinαcosα＝ cosα＝－ αsin1 2＝－ .tan 3x

x

等( )若3

＝3sin

2

·cos

＋2310A. B．－10103 34C. D．－44答案A

x x

＝3co，解析易知sin

＝3sin

－2所以tanx＝－3，x

cos

＋2－sinxcosxsin2＋cox－tanx 3＝ ＝.ta2＋110思維升華(1)誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．(2)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用步驟利用誘導(dǎo)公式

利用誘導(dǎo)公式一任意負(fù)角的三角函數(shù)

任意正角的三角函數(shù)

內(nèi)的角的三利用誘導(dǎo)公式二角函數(shù)六銳角三角函數(shù)．α 1 α α2(1)已知cos(75°＋

)＝，求cos(105°－3

)＋sin(15°－

)＝.答案0解析因?yàn)?105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]α 1＝－cos(75°＋

)＝－，3sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]α 1＝cos(75°＋

)＝.3α

α 11所以cos(105°－

)＋sin(15°－

)＝－＋＝0.33α

sin－3π＋α＋cosα－π(2)(2022·鹽城南陽中學(xué)月考)設(shè)tan(5π＋

)＝2，則

11 9π cos－2si2＋＝.答案3解析由已知tan(5π＋α)＝tanα＝2，sin－3π＋α＋cosαsin－3π＋α＋cosα－π

11

9π

cos －2π＋sin2＋sinπ＋α＋cosπ－α＝ π π co＋2＋si2＋tanα＋1＝ α ＝3.tan－1題型三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用sincos

3例3已知f(α)＝(1)化簡f(α)；

sin－cos－π－αsin－π－α

＋2.若α

31π fα＝－3，求(

)的值；

α

3 fα若cos－

－2＝，

∈π，2

)的值．5sincos5

3解(1)f(α)＝

sin－cos－π－αsin－π－α

＋2－sinα×cosα×－cosα＝ －cosα＝－cosα.(2)若α

31π＝－3，fα

31 π 13則()＝－cos－33

＝－cos

＝－.2

15(3)由cos2＝，5＝－，可得sinα 1＝－，因?yàn)棣?/p>

53，∈π，2所以cosα 26，＝－5所以f(α)＝－cosα26.＝5教師備選fα 2sinπ＋αcos－cos

(1＋2sinα≠0)．設(shè)()＝

3π

π 1＋si2co2＋－si2(1)化簡(2)若α

23π fα＝－6，求(

)的值．解(1)f(α)＝－2sinα·－cosα－－cosα1＋si2＋sin－cosα2sinαcosα＋cosα＝ 2sin＋sinαcosα2sin＝sinα2sincosα 1tan＝sintan10(2)當(dāng)α

23π＝－6時(shí)，f(α)＝f

23＝ 1－6 23πta－6＝1＝ tan－4π＋61＝ πtan 6＝＝＝33思維升華(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形．(2)注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響．3(1)(2022·聊城模擬)已知α

α π＋5＝0，為銳角，且2tan(π－則sinα的值( )

)－3cos2 353731013A.5B.7C.10D.3答案C

3sin－2ta＋＝0，解析tan6si10.消去sinβ，得tanα＝3，∴si＝3co，代入si2＋co1，9 310化簡得sin＝，則si＝ (α為銳10 10x x

1 sin22si2x(2)已知－π<

<0，sin(π＋

)－cos

＝－，則

x ＝.5 1－tan24答案－175x x1解析由已知，得sin

＋cos＝，51兩邊平方得sin＋2sico＋co2＝，2511x x 24

cos

＝－.2549∴(si－co2＝－2sicos＝，25由－π<x<0知，sinx<0，x x 12

cos

＝－<0，25∴cosx>0，∴sinx－cosx<0，x x 7故sin－cos＝－.5sin＋2si2x2sinxcosix∴ 1－tanx ＝

sinx1－ xcos2sinxcosxcosx＋sinx＝ cosx－sinx241－×255 24＝ 7 ＝－ .1755課時(shí)精練 191．cos－3等( )3－2

1－21 3C.2 D.2答案C 19 19π解析cos－3＝cos 3 π132＝cos6π＋3＝cos ＝.322．若則tan195°等( )1－2A.1－2 B. a12PAGEPAGE17C．－

1－2 a1212答案C解析若cos165°＝a，則cos15°＝cos(180°－165°)sin15°＝1－，所以tan195°＝tan(180°＋15°)sin15°＝tan15°＝cos15°1－2＝－ a.α

5

7π

)若cos

－5＝

sin10－

等于(13513－

12－13 1312 513C.13 D.13答案D

7πα

α

π解析因?yàn)?0－＋ －5＝2，7παπ

，1310－＝2－13

－57π

5sin10－

＝cos

－5＝.4．(2022·天津西青區(qū)模)已知2，則1等( )tanα1 1A．2B.C．－2D．－2 2答案A解析由已知得1＋2sinαcosα＝2，α α1∴sincos＝，cossin∴tanα＋1cossin

2sinαcosααsi2＋co2α1＝sinαcosα＝＝2.125．(多在△ABC中，下列結(jié)論正確的( Asin

＝cos2tan)＝taC≠2答案ABC解析在△ABC中，有則sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正確．22＋C π A22sin2＝sin2－

＝cos

，B正確．tan(＋＝tan(π＝tanC

，C

≠2cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D錯(cuò)誤．6．(多選)已知α

α α1 )∈(0，π)，且πα

＋cos

＝，則(52<<πα α 12sin

cos＝－25α α7cos

－sin＝5α α 7cos

－sin＝－5答案ABDα α1解析∵sin＋cos＝，5等式兩邊平方得1(sin＋co2＝＋2sico＝，25α α 12sin

cos

＝－，故B正確；25α α α 12∵∈(0，π)，sin

cos

＝－<0，25απ ，故A正確；∴∈2cosα－sinα<0，且(cosi)＝12sicoα 1 49 ＝1－2×－＝，25 25α α 7cos

－sin

＝－，故D正確．57．cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos177°＋cos178°＋cos179°＝.答案0解析因?yàn)閏os(180°－α)＝－cosα，于是得cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos89°＋cos90°＋cos91°＋…＋cos177°＋cos178°＋cos179°＝cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos89°＋cos90°－cos89°－…－cos3°－cos2°－cos1°＝cos90°＝0.2cos＋si2

2πθ π＋sin ＋sin ＋

17π8．設(shè)，則f ＝.5答案－

2＋2cos2

π＋θ＋cos－θ

312fθ 2cos＋si2co3解析∵()＝

2＋2co2＋coθ＝ cos2＋co－22co＋co＋2＝ 17π

＝cos

3＝cos6π－3π13＝2311＋－2∴f17 42 5 3＝ ＝－.11 12＋＋2229．(1)已知coα是方程32－x－2＝0的根，且α是第三象限角，求 3π 3π si－＋2co2＋ta2 παπ π

的值；co2＋sin2－x x 7 x x x(2)已知sin

＋cos

＝－(0<13

<π)，求

－2sin

的值．2解(13－2＝0的根為x1x＝－，1 2 3又α α 2是第三象限角，所以cos

＝－，3所以5 α 5.3，tan＝2－cositaα 5所以原式＝

－sicoα ta2＝.4x x 7 x(2)∵sin

＋cos

＝－(0<13

<π)，∴cosx<0，sinx>0，即x x 7把sin＋cos＝－，1349，169x x 120即2sincos＝－ ，169289∴(si－co2＝－2sicos＝ ，169x x17sinsinsin

－cos＝，13＋cos＝－，x x 7＋cos＝－，聯(lián) 13sin－cos＝， x x17sin－cos＝，13x5 x 12 解得sin＝，cos＝－，13 13x x 22∴cos－2sin＝－.1310．(2022·衡水模擬)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)sin＋cos求

π

的值；si＋2＋2co－2

π 若α是第二象限角，求sin＋解(1)∵m≠0，∴cossin＋cos

＋sin(π)coco2＋的值．即 π si＋2＋2co－2－sinα＝cosα－tanα－1＝1＋2tanα.又∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)∴tanα

－6m＝3m＝－2，sin＋cos故 π si＋2＋2co－2－tanα－1＝1＋2tanα2－1 13＝1＋2×－2＝－.3(2)∵α則sin－6m3m2＋－6m2－6m＝325＝5，cos3m3m2＋－6m23m3m35＝－5

3π

π ∴sin＋2＋sin(π)cos－co2＋＝cosincos＋sinα 5 25

25＝－52＋

－

5＋5－1＋25＝ 5 .11．(多選已知角α α α

sincos滿足sin的取值可能( )

·cos

≠0，則表達(dá)式 sinα ＋

cosαA．－2 B．－11C．2 D．－220答案ACk －sinα－cosα解析當(dāng)k

為奇數(shù)時(shí)，原式＝sinα＋cosα＝(－1)＋(－1)＝－2；sinαcosα當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，原式＝ sin cos2.12．(2022·河北六校聯(lián)考)若siα是方程52－x－6＝

的根，則 3π 3π si－－2si2－ta2

2π－απ π

等于( )co2－co2＋sinπα3545A.B.C.D.5354答案B解析方程5－7－60的兩根為x 3x α 3＝－，＝2，則sin＝－.1 5 2 5cosα－coαta2α 1 5原式＝sinα－sinα －sinα＝－ .sin 32

曲線＝e＋2－3

x在0處的切線的傾斜角為，則si2＋2＝.4答案52解析由題意得y′＝f′(x)＝ex＋2x－，321所