高中數(shù)學(xué)新教材人教（2019）版必修第一冊(cè)知識(shí)點(diǎn)與公式大全

高中數(shù)學(xué)新教材人教（2019）版必修第一冊(cè)知識(shí)點(diǎn)與公式大全第一章集合與常用邏輯用語1.1集合的概念及其表示1集合的含義及表示2空集的特殊性:空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集*結(jié)論含有個(gè)元素的集合，其子集的個(gè)數(shù)為，真子集的個(gè)數(shù)為3集合的基本運(yùn)算在集合運(yùn)算中常借助于數(shù)軸和文氏圖（*注意端點(diǎn)值的取舍）*結(jié)論（1）,（2）4．充分條件、必要條件與充要條件的概念（1）充分條件：若，則是充分條件.（2）必要條件：若，則是必要條件.（3）充要條件：若，且，則是充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.5．全稱量詞和存在量詞(1)全稱量詞有：所有的，任意一個(gè)，任給，用符號(hào)“?”表示；存在量詞有：存在一個(gè)，至少有一個(gè)，有些，用符號(hào)“?”表示．(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”用符號(hào)簡記為：?x∈M，p(x)．(3)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符號(hào)簡記為：?x0∈M，p(x0)．（4）全稱量詞命題“”的否定是存在量詞命題“”（5）存在量詞命題“”的否定是全稱量詞命題“”第二章一元二次函數(shù)、方程、不等式1.一元二次不等式的概念及形式(1).概念：把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2).形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．2.三個(gè)“二次”之間的關(guān)系：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f(x)>0或f(x)<0的步驟求方程f(x)＝0的解有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解x1，x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解x1＝x2沒有實(shí)數(shù)解畫函數(shù)y＝f(x)的示意圖得不等式的解集f(x)>0{x|x<x1或x>x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}Rf(x)<0{x|x1<x<x2}??3.分式不等式的解法定義：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項(xiàng)式的不等式稱為分式不等式.解法：等價(jià)轉(zhuǎn)化法解分式不等式eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)>0，eq\f(fx,gx)<0?f(x)·g(x)<0.4.基本不等式(或)均值不等式：基本不等式的變形與拓展1．(1)若,則；(2)若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．2．(1)若,則；(2)若,則（當(dāng)且僅當(dāng)取“=”）；(3)若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．3．若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）；若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）；若,則,即或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．4．若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）；若,則,即或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．5．一個(gè)重要的不等式鏈：．第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1函數(shù)與映射的相關(guān)概念函數(shù)映射兩個(gè)集合A、B設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)關(guān)系按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射記法y＝f(x)，x∈Af：A→B注意：判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系，就看這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義中“定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量的值都有唯一確定的函數(shù)值”這個(gè)核心點(diǎn)．(2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．(3)構(gòu)成函數(shù)的三要素：函數(shù)的三要素為定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.(4)函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.解析法：一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域；列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；圖象法：注意定義域?qū)D象的影響.3.2函數(shù)的三要素（1）．函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)定義域的要求為：(1)分式函數(shù)中分母不等于零.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}.（2）．函數(shù)的解析式(1)函數(shù)的解析式是表示函數(shù)的一種方式，對(duì)于不是y＝f(x)的形式，可根據(jù)題目的條件轉(zhuǎn)化為該形式.(2)求函數(shù)的解析式時(shí)，一定要注意函數(shù)定義域的變化，特別是利用換元法(或配湊法)求出的解析式，不注明定義域往往導(dǎo)致錯(cuò)誤.（3）．函數(shù)的值域函數(shù)的值域就是函數(shù)值構(gòu)成的集合，熟練掌握以下四種常見初等函數(shù)的值域：(1)一次函數(shù)y＝kx＋b(k為常數(shù)且k≠0)的值域?yàn)镽.(2)反比例函數(shù)(k為常數(shù)且k≠0)的值域?yàn)??∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)且a≠0)，當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)的值域?yàn)?；?dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)的值域?yàn)?求二次函數(shù)的值域時(shí)，應(yīng)掌握配方法：.3.3分段函數(shù)分段函數(shù)的概念若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，則這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．3.4函數(shù)基本性質(zhì)1函數(shù)的單調(diào)性定義：設(shè)那么:上增函數(shù)；上減函數(shù).判定方法：定義法(證明題)圖像法復(fù)合法定義法：用定義來證明函數(shù)單調(diào)性的一般性步驟：設(shè)值：任取為該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且做差,變形，比較大?。鹤霾睿⒗猛ǚ?，因式分解，配方，有理化等方法變形比較大小下結(jié)論（說函數(shù)單調(diào)性必須在其單調(diào)區(qū)間上）（4）常見函數(shù)利用圖像直接判斷單調(diào)性：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，對(duì)勾函數(shù)（5）復(fù)合法：針對(duì)復(fù)合函數(shù)采用同增異減原則（6）單調(diào)性中結(jié)論：在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)：增+增=增：增—減=增：減+減=減：減—增=增若函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，則—，在為減函數(shù)（7）單調(diào)性的應(yīng)用：①求值域；②解不等式；③求參數(shù)范圍；④比較大小.特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域，二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號(hào)“”和“或”只能用“和”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示．2函數(shù)的奇偶性（1）定義：若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若對(duì)于任取x的，均有則為偶函數(shù)若對(duì)于任取x的，均有則為奇函數(shù)（2）奇偶函數(shù)的圖像和性質(zhì)偶函數(shù)奇函數(shù)函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱整式函數(shù)解析式中只含有的偶次方整式函數(shù)解析式中只含有的奇次方在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上其單調(diào)性相反在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上其單調(diào)性相同偶函數(shù)=f(|x|)若奇函數(shù)在處有定義，則（3）判定方法：定義法（證明題）圖像法口訣法（4）定義法:證明函數(shù)奇偶性步驟：求出函數(shù)的定義域觀察其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（前提性必備條件）由出發(fā)，尋找其與之間的關(guān)系下結(jié)論（若則為偶函數(shù)，若則為奇函數(shù)函數(shù)）口訣法：奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)：偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)＝偶函數(shù)：奇函數(shù)偶函數(shù)＝奇函數(shù)：偶函數(shù)偶函數(shù)＝偶函數(shù)具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（1）根式概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).性質(zhì)：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.（3）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)4.2對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（1）對(duì)數(shù)的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).（2）對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則；如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①；②；③(nR)；④.(3)換底公式：(a，b均大于零且不等于1).（3）對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.3冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義：一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.4．4函數(shù)的應(yīng)用1.函數(shù)零點(diǎn)的定義一般地，如果函數(shù)在實(shí)數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)實(shí)數(shù)；2.零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)c也就是方程的根.3.二分法二分法求零點(diǎn)：對(duì)于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：（1）確定區(qū)間，，驗(yàn)證·，給定精度；（2）求區(qū)間，的中點(diǎn)；（3）計(jì)算：①若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若·<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；③若·<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；（4）判斷是否達(dá)到精度；即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟2~4.注意：二分法的條件·表明用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn).第五章三角函數(shù)1.角的概念1．角的定義角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．2．角的分類角的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(按旋轉(zhuǎn)方向,不同分類)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角,負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角,零角：射線沒有旋轉(zhuǎn))),\a\vs4\al(按終邊位置,不同分類)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(象限角：角的終邊在第幾象限，這,個(gè)角就是第幾象限角,軸線角：角的終邊落在坐標(biāo)軸上))))3．終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2.弧度制及應(yīng)用1．弧度制的定義把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.2．弧度制下的有關(guān)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么eq\a\vs4\al(y)叫做α的正弦，記sinαeq\a\vs4\al(x)叫做α的余弦，記cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記tanα各象限符號(hào)Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)2．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧5.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cosα－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α6.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z))值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是遞增函數(shù)，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是遞減函數(shù)在[2kπ－π2kπ](k∈Z)上是遞增函數(shù)，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是遞減函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上是遞增函數(shù)周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π對(duì)稱性對(duì)稱軸是x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，對(duì)稱中心是(kπ，0)(k∈Z)對(duì)稱軸是x＝kπ(k∈Z)，對(duì)稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)對(duì)稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)7.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)“五點(diǎn)法”作圖原理：正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象上，五點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4