高三數(shù)學一輪復習-極坐標與參數(shù)方程講義

極坐標與參數(shù)方程一、知識梳理1、極坐標系1）定義：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對于平面內(nèi)的任意一點M，用ρ表示線段OM的長度，θ表示從Ox到OM的角，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數(shù)對(ρ,θ)就叫做點M的極坐標。這樣建立的坐標系叫做極坐標系。2）極坐標有四個要素：①極點；②極軸；③長度單位；④角度單位及它的方向．極坐標與直角坐標都是一對有序實數(shù)確定平面上一個點，在極坐標系下，一對有序實數(shù)、對應惟一點P(，)，但平面內(nèi)任一個點P的極坐標不惟一．一個點可以有無數(shù)個坐標，這些坐標又有規(guī)律可循的，P(，)（極點除外）的全部坐標為(,＋)或（，＋），(Z)．極點的極徑為0，而極角任意取．若對、的取值范圍加以限制．則除極點外，平面上點的極坐標就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．極坐標與直角坐標的不同是，直角坐標系中，點與坐標是一一對應的，而極坐標系中，點與坐標是一多對應的．即一個點的極坐標是不惟一的．3）直線相對于極坐標系的幾種不同的位置方程的形式分別為：⑴⑵⑶⑷⑸⑹4）圓相對于極坐標系的幾種不同的位置方程的形式分別為：⑴⑵⑶⑷⑸⑹5、極坐標與直角坐標互化公式：二、參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程的定義：在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即并且對于t每一個允許值，由方程組所確定的點M（x，y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．（二）常見曲線的參數(shù)方程如下：1、過定點（x0，y0），傾斜角為的直線：其中參數(shù)t是以定點P（x0，y0）為起點，對應于t點M（x，y）為終點的有向線段PM的數(shù)量，又稱為點P與點M間的有向距離．根據(jù)t的幾何意義，有以下結論．eq\o\ac(○,1)．設A、B是直線上任意兩點，它們對應的參數(shù)分別為tA和tB，則＝＝．eq\o\ac(○,2)．線段AB的中點所對應的參數(shù)值等于．2、中心在（x0，y0），半徑等于r的圓：（為參數(shù)）3、中心在原點，焦點在x軸（或y軸）上的橢圓：（為參數(shù)）（或）4、中心在點（x0,y0）焦點在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程二、經(jīng)典例題題型一：極坐標與直角坐標的互化1）直線方程：例1、寫出直線，，和的直角坐標方程；寫出直線的極坐標方程。圓的方程例2、寫出，，的直角坐標方程。寫出，的極坐標方程。題型二：參數(shù)方程與普通方程的互化1）直線方程例3、寫出直線為參數(shù))，和的普通方程。寫出經(jīng)過點,傾斜角的參數(shù)方程；圓的方程例4、寫出和為參數(shù))的普通方程。寫出和的參數(shù)方程3）橢圓方程例5、寫出和的普通方程寫出和的參數(shù)方程。在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．求C和l的直角坐標方程；題型三：交點問題在極坐標系下，已知圓和直線。(1)求圓和直線的直角坐標方程；（2）當時，求直線于圓公共點的極坐標。例6、在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（Ⅰ）將的方程化為普通方程；（Ⅱ）以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.設曲線的極坐標方程是，求曲線與交點的極坐標.例7、在直角坐標系中,以O為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρsin(θ+π4)=22a,曲線的參數(shù)方程為,(為參數(shù),).(Ⅰ)求C1的直角坐標方程;(Ⅱ)當C1與C2有兩個公共點時,求實數(shù)的取值范圍.題型四：軌跡問題例7、在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C的極坐標方程為ρcos(θ－eq\f(π,3))＝1(0≤θ＜2π)，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點．(1)寫出曲線C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標；(2)設MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程例8、已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ＝2，ρ2－2eq\r(2)ρcos(θ－eq\f(π,4))＝2.(1)將圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程．例9、以直角坐標系的原點為極點，軸非負半軸為極軸，在兩種坐標系中取相同單位的長度.已知直線的方程為，曲線的參數(shù)方程為，點是曲線上的一動點.（Ⅰ）求線段的中點的軌跡方程；(Ⅱ)求曲線上的點到直線的距離的最小值.題型五：弦長問題例1、在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(2),2)t,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))．在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的方程為ρ＝2eq\r(5)sinθ.(1)寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；(2)若點P坐標為(3，eq\r(5))，圓C與直線l交于A、B兩點，求|PA|＋|PB|的值．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))．設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長．例3、已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù))．(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．例4、已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋4cosθ,y＝2＋4sinθ))(θ為參數(shù))，直線l經(jīng)過定點P(3,5)，傾斜角為eq\f(π,3).(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標準方程；(2)設直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|PA|·|PB|的值．例5、在平面直角坐標系xOy中，已知直線l經(jīng)過點P(eq\f(1,2)，1)，傾斜角α＝eq\f(π,6).在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的極坐標方程為ρ＝2eq\r(2)cos(θ－eq\f(π,4)).(1)寫出直線l的參數(shù)方程，并把圓C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)設l與圓C相交于A，B兩點，求|PA|＋|PB|的值．例6、已知曲線C1的極坐標方程為ρ2cos2θ＝8，曲線C2的極坐標方程為θ＝eq\f(π,6)，曲線C1，C2相交于A，B兩點．(1)求A，B兩點的極坐標；(2)曲線C1與直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t為參數(shù))分別相交于M，N兩點，求線段MN的長度．例7、極坐標系與直角坐標系xOy取相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))．曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝8cosθ.(1)求曲線C的直角坐標方程；(2)設直線l與曲線C交于A，B兩點，與x軸的交點為F，求eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)的值．例8、在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點，直線的極坐標方程為.（Ⅰ）判斷點與直線的位置關系，說明理由；(Ⅱ)設直線與直線的兩個交點為、，求的值.例9、直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),是上的動點,點滿足=,點的軌跡為.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與的異于極點的交點為,與的異于極點的交點為,求.例10、已知曲線(t為參數(shù))，(為參數(shù))（Ⅰ）化，的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線;（Ⅱ）過曲線的左頂點且傾斜角為的直線交曲絨于A，B兩點，求.例11、過點作傾斜角為的直線與曲線交于點，求的最小值及相應的的值。例12、在平面直角坐標系中,以為極點,軸非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為,直線l的參數(shù)方程為:(為參數(shù))，兩曲線相交于,兩點.（Ⅰ）寫曲線直角坐標方程和直線普通方程;（Ⅱ）若,求的值．例13、在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）．以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（Ⅰ）求圓C的極坐標方程；（Ⅱ）直線的極坐標方程是，射線與圓C的交點為O、P，與直線的交點為Q，求線段PQ的長．例14、已知曲線C的極坐標方程是．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是(t是參數(shù))．

(I)將曲線C的極坐標方程和直線的參數(shù)方程分別化為直角坐標方程和普通方程；(Ⅱ)若直線與曲線C相交于A，B兩點，且，試求實數(shù)m的值題型六：范圍與最值問題例1、在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）；以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的極坐標方程為.由直線上的點向圓引切線，求切線長的最小值.例2、已知在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的取值范圍.例3、以直角坐標系的原點為極點，軸非負半軸為極軸，在兩種坐標系中取相同單位的長度.已知直線的方程為，曲線的參數(shù)方程為，點是曲線上的一動點.（Ⅰ）求線段的中點的軌跡方程；(Ⅱ)求曲線上的點到直線的距離的最小值.例4、已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．（1）求圓的直角坐標方程；（2）若是直線與圓面≤的公共點，求的取值范圍．例5、已知直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ,y＝sinθ))(θ為參數(shù))．(1)設l與C1相交于A，B兩點，求|AB|；(2)若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的eq\f(1,2)，縱坐標壓縮為原來的eq\f(\r(3),2)，得到曲線C2，設點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．例6、在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6.若以極點O為原點，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標系．(1)求圓C的參數(shù)方程；(2)在直角坐標系中，點P(x，y)是圓C上一動點，試求x＋y的最大值，并求出此時點P的直角坐標．例7、在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的方程為．（1）求與交點的直角坐標；（2）過原點作直線，使與，分別相交于點，（，與點均不重合），求的最大值．例8、已知直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù))，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（其中）．(1)若點的直角坐標為，且點在曲線內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍；(2)若,當變化時，求直線被曲線截得的弦長的取值范圍．例9、在直角坐標系xOy中，圓C1：x?12+y2(1)求C1(2)設曲線C3:x=tcosα,y=tsinα（t為參數(shù)且t≠0）,例10、在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ＝4．(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；(2)設點A的極坐標為2,π3，點B在曲線C2上，求△例11、在平面直角坐標系xOy中，已知M是橢圓eq\F(x2,4)＋eq\F(y2,12)＝1上在第一象限的點，A(2，0)，B(0，2eq\R(,3))是橢圓兩個頂點，求四邊形OAMB的面積的最大值．題型七：面積問題例1、在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，設C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積．例2、在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t,y＝t－3))(t為參數(shù))，在以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ＝eq\f(2cosθ,sin2θ).(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求△AOB的面積．例3、直線l的極坐標方程為ρsinθ?π4=4曲線C的參數(shù)方程為x=4cos(1)將曲線C上各點縱坐標伸長到原來的2倍,得到曲線C1,寫出C(2)射線θ=π3與C1、l交點為M,N，射線θ=2例4、在平面直角坐標系中，曲線C1:x2（θ為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（Ⅰ）求曲線C1，C（Ⅱ）在極坐標系中，射線θ=π6與曲線C1，C2分別交于A，定點M(3,0)，求ΔMAB的面積．例5、在直角坐標系中，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，圓的方程為，直線的極坐標方程為．(I)寫出的極坐標方程和的平面直角坐標方程;(Ⅱ)若直線的極坐標方程為,設與的交點為與的交點為求的面積．例6、在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線的普通方程和極坐標方程；（2）直線的極坐標方程為，若與的公共點為，且是曲線的中心，求的面積．例7、在