人教A版（2019） 高二數(shù)學(xué) 直線與圓綜合提升 動點問題 專題講義 - 答案

道雖彌，不行不至；事雖小，不為不成——《荀子·修身》高二數(shù)學(xué)直線與圓綜合提升動點問題11/11人教A版（2019）高二數(shù)學(xué)直線與圓綜合提升動點問題知識梳理一、直線方程五大形式名稱方程形式常數(shù)的意義適用范圍備注點斜式y(tǒng)x1，y斜率存在的直線斜率不存在時，直線方程為：x=斜截式y(tǒng)=kx+bk是斜率，b是直線在y軸上的截距斜率存在的直線斜率不存在時，直線垂直x軸兩點式y(tǒng)x1，y不垂直于坐標軸的直線截距式xa、b分別是直線在x軸和y軸上的非零截距不垂直于坐標軸且不過遠點的直線當a=b=0一般式Ax+By+C=A、B分別為x、y的系數(shù)，C為常數(shù)，A、B不同時為零。平面內(nèi)的任何直線C=0B=0A=0二、兩條直線位置關(guān)系位置關(guān)系斜截式一般式方程llll相交kA垂直kA平行kA1B重合kA當三、兩點間的距離公式平面內(nèi)兩點P1x1，y特別地，原點到任意一點Px，y的距離為：OP點到直線距離公式點Px0，d=點Px0，d=兩條平行直線間的距離公式兩條平行直線Ax+By+C1=d=兩條平行直線y=kx+b1和d=四、圓的標準方程x五、圓的一般方程x典型例題例eq\o\ac(

,1)☆☆已知兩點A（-2,0），B（0,2），C是圓x2+y2【答案】3【分析】要求△ABC的面積最小值，則只要求圓上的點到直線AB的距離最小值即可，所以可以用點到直線距離公式求解例eq\o\ac(

,2)☆☆已知線段AB的端點B的坐標是（4，2），端點A在圓C：x+22+y2=（1）求線段AB的中點的軌跡方程H；（2）判斷（1）中軌跡H與圓C的位置關(guān)系?！敬鸢浮浚?）x?【分析】（1）運用中點公式設(shè)點求解即可；（2）判斷兩圓的位置關(guān)系用圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系。例eq\o\ac(

,3)☆☆已知圓上一定點A（2,0），B（1,1）為圓內(nèi)一點，P、Q為圓上的動點。（1）求線段AP中點的軌跡方程；（2）若∠PBQ=90°，求線段PQ中點的軌跡方程。【答案】（1）x?1【分析】（1）利用中點公式求解即可；（2）根據(jù)垂直的條件，在Rt△PBQ中用勾股定理結(jié)合兩點間距離公式求解。例eq\o\ac(

,4)☆☆☆在平面直角坐標xOy中，圓O：x2+y2=4與圓C：（1）求線段PQ的長；（2）記圓O與x軸正半軸交于點M，點N在圓C上滑動，求△MNC面積最大時的直線NM的方程。【答案】（1）PQ=3105；（2）MN的方程為3x+y【分析】（1）用點到直線距離公式求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式S△MNC=12MC·NC例eq\o\ac(

,5)☆☆☆已知圓M過C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點，且圓心M在x+y﹣2=0上。（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值?！敬鸢浮浚?）x?1【分析】（1）設(shè)出圓的標準方程，代入C、D和直線方程即可；（2）把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積，即：S=S△PAM+例eq\o\ac(

,6)☆☆☆如圖，某海面上有O、A、B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處。以O(shè)為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系。圓經(jīng)過O、A、B三點。（1）求圓的方程；（2）若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？【答案】（1）x?【分析】（1）因為已知圓過O、A、B三個點，所以可以設(shè)出圓的一般式，用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出船航行方向的直線方程，然后用圓心到直線的距離公式求出最短距離為106例eq\o\ac(

,7)☆☆☆☆已知半徑為5的圓M的圓心在x軸上，圓心M的橫坐標是整數(shù)，且與直線4x+3y?29＝0相切（1）求圓M的方程；（2）若直線ax－y+5＝0(a≠0)與圓M相交于A、B兩點，是否存在實數(shù)a，使得過點P(－2,4)的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數(shù)a（3）設(shè)P(-1,0)，若動圓N過點P且與圓M內(nèi)切，求動圓圓心N的軌跡方程。【答案】（1）x?12+【分析】（1）利用相切的條件，結(jié)合點到直線距離公式，即可求出圓心的坐標；（2）假設(shè)存在，結(jié)合弦的中垂線的幾何性質(zhì)求解；（3）由幾何性質(zhì)可以得到關(guān)系式：MN+PN=5例eq\o\ac(

,8)☆☆☆☆如圖，已知的邊所在直線的方程為，滿足，點在邊所在直線上且滿足。（1）求邊所在直線的方程；（2）求外接圓的方程；（3）若動圓過點，且與的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程。【答案】（1）3x+y+2=0；（2）x?2【分析】（1）由知：AT⊥AB，即AC⊥AB，所以△ABC為Rt△ABC，則能夠確定AC的斜率為?3；（2）算出A點的坐標，根據(jù)可知：M為Rt△ABC的外接圓圓心；（3）根據(jù)條件中的幾何關(guān)系可以得出：PM?例eq\o\ac(

,9)☆☆☆☆已知點A（1,0），點P是圓C：x+12+y2=8上的任意一點，線段PA的垂直平分線與直線（1）求點E的軌跡方程；（2）若直線y=kx+m與點E的軌跡有兩個不同的交點F和Q，且原點O總在以FQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實數(shù)m的取值范圍。【答案】（1）x22【分析】（1）根據(jù)幾何性質(zhì)可知：CE+EP=22例eq\o\ac(

,10)☆☆☆☆如圖,為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設(shè)立一個圓形保護區(qū)。規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m。經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸)，tan∠BCO=。（1）求新橋BC的長；（2）當OM多長時,圓形保護區(qū)的面積最大？【答案】（1）BC=150m；（2）【分析】（1）作BE⊥OC于E點，作AF⊥BE于F點，所以tan∠ABF=tan∠BCO，可以設(shè)邊用方程的思想求解；（2）設(shè)BC與圓M切于Q點，延長QM、CO相交于P點，∠PMO=∠BCO，可以設(shè)OM=x，求出x的范圍即可。例eq\o\ac(

,11)☆☆☆☆已知兩個定點A（