第2章-平面力系工程力學(xué)課件

※平面力系：力系中各力的作用線都在同一平面內(nèi)?？苫癁槠矫媪ο档目臻g力系條件：1.構(gòu)件具有一對(duì)稱平面；2.力系的分布又對(duì)稱于此平面。

§2.0平面任意力系引論※平面力系：力系中各力的作用線都在同一平面內(nèi)。可化為平面力※平面力系的分類

1.平面匯交力系：各個(gè)力的作用線都匯交于一點(diǎn)。2．平面平行力系：各個(gè)力的作用線都相互平行。3．平面力偶系：平面內(nèi)各個(gè)力組成了一組力偶。4.平面任意力系：各個(gè)力的作用線在平面內(nèi)任意分布?！?.0平面任意力系引論※平面力系的分類1.平面匯交力系：各個(gè)力的作用線都匯交于一§2.1平面任意力系的簡化2.1.1

平面任意力系向一點(diǎn)簡化

1.主矢(平面匯交力系各力的矢量和)：

在平面直角坐標(biāo)系oxy中，根據(jù)合力投影定理有

§2.1平面任意力系的簡化2.1.1平面任意力系向一§2.1平面任意力系的簡化主矢大?。?/p>

主矢方向：

注意：（1）主矢方向角α是與x軸夾的銳角，的指向由和的正負(fù)號(hào)決定；

（2）主矢與簡化中心O位置的選擇無關(guān)。

2.主矩(附加平面力偶系的合力偶):

注意：(1)一般情況下主矩與簡化中心O位置的選擇有關(guān)。

(2)原力系與主矢和主矩的聯(lián)合作用等效。

§2.1平面任意力系的簡化主矢大小：主矢方向：注意§2.1平面任意力系的簡化3.結(jié)論：平面力系向一點(diǎn)（簡化中心）簡化的一般結(jié)果是一個(gè)力和一個(gè)力偶；這個(gè)力作用于簡化中心，稱為原力系的主矢，它等于原力系中所有各力的矢量和；這個(gè)力偶稱為原力系對(duì)簡化中心的主矩，它等于原力系中所有各力對(duì)于簡化中心力矩的代數(shù)和。

§2.1平面任意力系的簡化3.結(jié)論：平面力系向一§2.1平面任意力系的簡化2.1.2簡化結(jié)果的討論

1．主矢，主矩(一般情況)

合力的大小、方向與主矢相同；合力的作用線與簡化中心O點(diǎn)的垂直距離§2.1平面任意力系的簡化2.1.2簡化結(jié)果的討論§2.1平面任意力系的簡化2．主矢，主矩

作用于簡化中心的主矢就是原力系的合力，簡化中心O恰好選在了原力系的合力的作用線上?！?.1平面任意力系的簡化2．主矢，主矩§2.1平面任意力系的簡化3．主矢，主矩

原力系簡化的最后的結(jié)果為一個(gè)力偶（主矩），此力偶稱為平面力系的合力偶；因此，主矩與簡化中心的位置無關(guān)。

§2.1平面任意力系的簡化3．主矢，主矩§2.1平面任意力系的簡化4．主矢，主矩

原力系合成為零力系，則原力系是平衡力系。平面任意力系平衡的必要和充分條件為：主矢，主矩§2.1平面任意力系的簡化4．主矢，主矩§2.1平面任意力系的簡化

例2.1一端固定于墻內(nèi)的管線上受力情況及尺寸如圖2.3a所示，已知F1=600N，F(xiàn)2=100N，F(xiàn)3=400N。試分析力系向固定端A點(diǎn)的簡化結(jié)果，并求該力系的合力。

解：力系向A點(diǎn)簡化的主矢為：

NNNFFFFxRx8.38245cos40010045cos32'-=°--=°--==?NNNFFFRyRxR2.962)8.882()8.382()()(222'2''=-+-=+=NNNFFFFyRy8.88245sin40060045sin31'-=°--=°--==?§2.1平面任意力系的簡化例2.1一端固§2.1平面任意力系的簡化主矢指向第三象限力系向A點(diǎn)簡化的主矩MA為：

主矩MA方向?yàn)轫槙r(shí)針；

主矢和主矩MA繼續(xù)簡化可得到力系的合力，合力與主矢的大小相等，方向相同，作用線與A點(diǎn)的垂直距離m'3366,3062.28.3828.882tan°==--==??aaNNFFxy§2.1平面任意力系的簡化主矢指向第三象限力系向A§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2.2.1平面任意力系的平衡方程

1.平面任意力系平衡方程的基本形式

平面任意力系平衡的必要和充分條件為：主矢，主矩

即

基本形式

2．平面任意力系平衡方程的其它形式

二矩式:

附加條件：投影軸x(或y)不能與矩心A、B兩點(diǎn)的連線相垂直。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2.2.1平面任意§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用問題：在應(yīng)用平面力系二矩式平衡方程時(shí),所選擇的矩心A、B，投影軸x為什么要滿足附加條件？

如右圖所示，一剛體只受一個(gè)力F作用（顯然剛體不平衡，二矩式平衡方程不能成立），若所選的矩心A、B和投影軸x，違背附加條件的要求，則二矩式平衡方程也

成立，因此就出現(xiàn)了錯(cuò)誤。所以，在使用二矩式平衡方程時(shí)，選擇矩心和投影軸時(shí)必須滿足附加條件

即：投影軸不能與矩心A、B兩點(diǎn)的連線相垂直?！?.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用問題：在應(yīng)用平§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用三矩式:

附加條件：矩心A、B、C三點(diǎn)不能在一條直線上。

問題：在應(yīng)用平面力系三矩式平衡方程時(shí)，矩心A、B、C三點(diǎn)為什么要滿足附加條件？

如果一剛體只受一個(gè)力F作用（顯然剛體不平衡，三矩式平衡方程不能成立),若在選擇矩心時(shí),違背附加條件的要求，即：A、B、C選在一條直線上，如右圖所示，則三矩式平衡方程也成立，因此就出現(xiàn)了錯(cuò)誤。所以，在使用三矩式平衡方程時(shí)，三矩心的選擇必須滿足附加條件，即：三點(diǎn)不能在一條直線上。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用三矩式:附加條件：矩§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2.2.2解題步驟與方法

例2．2如圖2.4(a)所示。已知：梁長l=2m，F(xiàn)=100N，求固定端A處的約束力。

解：1）取梁AB為分離體，畫受力圖AB梁受到已知力F和固定端A點(diǎn)的約束力FAx,FAy,約束力偶MA作用為一平面任意力系。

2）選擇直角坐標(biāo)系A(chǔ)xy，矩心A點(diǎn)，列平衡方程：§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2.2.2解題步驟§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用3)求解未知量將已知條件代入以上平衡方程解得

4）校核

選擇B點(diǎn)為矩心，重新計(jì)算約束力偶MA

所以計(jì)算結(jié)果正確，計(jì)算結(jié)果為正值說明未知力實(shí)際方向與圖（b）中的方向相同。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用3)求解未知量4）校核§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用解題方法與步驟

1．確定研究對(duì)象，畫其受力圖；

注意：一般應(yīng)選取有己知力和未知力共同作用的物體為研究對(duì)象，取出分離體畫受力圖；

2.選取投影坐標(biāo)軸和矩心，列平衡方程；

注意：1）由于坐標(biāo)軸和矩心的選擇是任意的，在選擇時(shí)應(yīng)遵循以下原則（1）坐標(biāo)軸應(yīng)與盡可能多的未知力垂直（或平行）；

（2）矩心應(yīng)選在較多未知力的匯交點(diǎn)處。

2）列平衡方程時(shí)要注意力的投影和力矩的“+、-”號(hào)。

3.解平衡方程，求得未知量；

4.校核。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用解題方法與步驟1．確§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用

例2．3懸臂吊車如圖

所示，橫梁AB長

l=2.5m，自重G1=1.2kN；拉桿CD傾斜角α=30°，自重不計(jì)；電葫蘆連同重物共重G2=7.5kN。當(dāng)電葫蘆在圖示位置時(shí)平衡，a=2m，試求拉桿的拉力和鉸鏈A的約束力。

解

1）選取橫梁AB為研究對(duì)象，畫受力圖；

2）選取投影坐標(biāo)軸xAy和矩心A，列平衡方程：

3）解平衡方程，求得未知量

FCD=13.2kN(拉力)

FAx=11.43kN

FAy=2.1kN

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2．3§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用4)校核、討論

校核：若取B點(diǎn)為矩心，列力矩方程：

解得FAy=2.1kN

或，取C點(diǎn)為矩心，列力矩方程：

解得FAx=11.43kN

說明以上計(jì)算結(jié)果正確。

討論：通過以上分析可知

1）如果取平衡方程即二矩式，同樣可以求解；

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用4)校核、討論?！?.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2）如果取平衡方程即三矩式，同樣也可以求解。

因此，只要便于解題，平面任意力系平衡方程的三種形式可以任選。

2.2.3平面特殊力系的平衡方程

1．平面匯交力系平衡方程

如右圖所示，力系中各力對(duì)匯交中心O的力矩恒等于零，即。

因此，平面匯交力系獨(dú)立的平衡方程為兩個(gè)投影方程，即：兩個(gè)平衡方程只能解兩個(gè)未知量。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2）如果取平衡方程即三§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2．平面力偶系的平衡方程

平面力偶系平衡的充要條件：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即平面力偶系的平衡方程，只能求解一個(gè)未知量。

3．平面平行力系平衡方程

如右圖所示，很顯然力系中各個(gè)力在x坐標(biāo)軸上的投影恒等于零，即

因此，平面平行力系獨(dú)立的平衡方程為:稱為基本形式。只能求解兩個(gè)未知量。

也可表示為二矩式：

附加條件：矩心A、B兩點(diǎn)的連線不能與各力的作用線平行。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2．平面力偶系的平衡方§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用問題：如果不滿足附加條件，即矩心A、B兩點(diǎn)的連線與各力的作用線平行，將會(huì)出現(xiàn)什么情況？

如右圖所示，一平面平行力系，A、B兩矩心的連線與各個(gè)力的作用線平行，于是。若平面平行力系平衡，可建立二矩式平衡方程兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程就變成了一個(gè)獨(dú)立平衡方程，只能解一個(gè)未知量。因此，平面平行力系平衡在應(yīng)用二矩式平衡方程時(shí)，必須滿足附加條件?！?.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用問題：如果不滿足§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.4如圖a所示，已知定滑輪一端懸掛一物重G=500N，另一端施加一傾斜角為30°的拉力FT，使物體A勻速上升。求定滑輪支座O處的約束力。解：1）選取滑輪與重物為研究對(duì)象，畫受力圖如圖b所示2）建立直角坐標(biāo)系Oxy,列平衡方程3）解方程求未知量

FR為正值，F(xiàn)R實(shí)際方向與圖中假設(shè)方向相同，F(xiàn)R與x軸夾角為60°（在第一象限內(nèi)）。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.4如圖§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.5圖a所示為一夾具中的連桿增力機(jī)構(gòu)，主動(dòng)力F作用于A點(diǎn)，夾緊工件時(shí)連桿AB與水平線間的夾角α=15°。試求夾緊力FN與主動(dòng)力F的比值（摩擦不計(jì)）。

解

1）取滑塊A為研究對(duì)象，畫受力圖，如圖b所示，選取水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸

解得

2）

取滑塊B為研究對(duì)象，畫受力圖，如圖c所示，選取水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸解得

于是

所以α愈小夾緊力與主動(dòng)力的比值愈大，增力效果愈明顯。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.5圖a§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.6用多孔鉆床在一水平放置的工件上同時(shí)鉆四個(gè)直徑相同的孔如圖a所示，設(shè)每個(gè)鉆頭作用在工件上的切削力偶矩的大小為M1=M2=M3=M4=M=15N?m。問此時(shí)工件受到的總切削力偶矩為多大？若不計(jì)摩擦，加工時(shí)用兩個(gè)螺釘A，B固定工件，試求螺釘受力。解1）求總切削力偶矩N?m(順)2）求螺釘A，B受力

①取工件為研究對(duì)象，畫受力圖如圖b所示。②建立平面力偶系平衡方程求解

FA=FB=300N（方向如圖所示），

螺釘A，B受力與FA，F(xiàn)B互為作用與反作用力關(guān)系。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.6用§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.7電動(dòng)機(jī)的功率是通過聯(lián)軸器傳遞給工作軸的，聯(lián)軸器由兩個(gè)法蘭盤和連接兩者的螺栓所組成。如圖所示，四根螺栓A，B，C，D均勻分布在同一圓周上，圓周直徑D=200mm。已知電動(dòng)機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩M=2.5kN?m，設(shè)每根螺栓的受力相等，試求螺栓的受力F。

解

1）取法蘭盤為研究對(duì)象，畫受力圖如圖所示。

2）建立平面力偶系平衡方程，求解

故N=6.25kN

每根螺栓的受力均為F=6.25kN，與法蘭盤上四點(diǎn)受力互為作用與反作用力關(guān)系。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.7電動(dòng)§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.8圖a為臥式密閉容器結(jié)構(gòu)簡圖。設(shè)容器總重量沿筒體軸向均勻分布，集度為q=20kN/m，容器兩端端部折算重力為G=10kN,力矩為M=800kN·m，容器鞍座結(jié)構(gòu)可簡化為一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動(dòng)鉸鏈支座，容器計(jì)算簡圖如圖b所示。試求支座A，B的約束力。解

1）取容器整體為研究對(duì)象，畫受力圖如圖c所示為一平面平行力系。圖中q表示均布載荷大小。

2）選取坐標(biāo)系A(chǔ)xy，列平衡方程：

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.8§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用均布載荷簡介均布載荷：載荷在一定范圍內(nèi)連續(xù)均勻分布。載荷集度q=常數(shù)。

均布載荷一般分為體均布載荷、面均布載荷、線均布載荷。

實(shí)際中許多均布載荷都可以簡化為線均布載荷，其載荷集度q單位為N/m或N/km。列平衡方程時(shí)，常將均布載荷簡化為一個(gè)集中力F，其大小為(l為載荷作用長度），作用線通過作用長度中點(diǎn)。

3）代入已知量，解平衡方程，求得未知量FA=FB=210kN§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用均布載荷簡介§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.9圖a所示為一塔式起重機(jī)簡圖。已知機(jī)身重G=700kN,重心與機(jī)架中心線距離為4m，最大起重量G1=200kN，最大吊臂長為12m，軌距為4m，平衡塊重G2，G2的作用線至機(jī)身中心線距離為6m。試求保證起重機(jī)滿載和空載時(shí)不翻倒的平衡塊重。若平衡塊重為750kN,試分別求出滿載和空載時(shí)，軌道對(duì)機(jī)輪的法向約束力。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.9圖a§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用解

取整個(gè)起重機(jī)為研究對(duì)象，畫受力圖，如圖所示

列平衡方程

解得

G2min=425kN

列平衡方程解得

G2max=1050kN

1)求平衡塊重①滿載時(shí)（G1=200kN），求平衡時(shí)最小平衡塊重G2min,此時(shí)為臨界狀態(tài)FA=0。受力圖請(qǐng)看動(dòng)畫②空載時(shí)（G1=0），求平衡時(shí)最大平衡塊重G2max，此時(shí)為臨界狀態(tài)FB=0。受力圖請(qǐng)看動(dòng)畫§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用解取整個(gè)起重機(jī)為研②空載時(shí)（G1=0）解FA=1150kN，

FB=300kN§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用結(jié)論：為了保證安全，平衡塊重必須滿足下列條件：

425kN<G2<1050kN2)求G2=750kN時(shí)，輪軌對(duì)機(jī)輪的約束力

取整個(gè)起重機(jī)為研究對(duì)象，畫受力圖，如圖b所示

①滿載時(shí)（G1=200kN）解得

FA=650kN，

FB=1000kN②空載時(shí)（G1=0）解FA=1150kN，§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用3）校核①滿載時(shí)（G1=200kN）

代入已知量和FA，F(xiàn)B，左式成立。

②空載時(shí)（G1=0）

代入已知量和FA，F(xiàn)B，左式成立。所以，計(jì)算結(jié)果正確。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用3）校核代入已知量和§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用

補(bǔ)充例1

如圖所示，物重G=20kN，用鋼絲繩經(jīng)過滑輪B再纏繞在鉸車D上。桿AB與BC鉸接，并以鉸鏈A、C與墻連接。設(shè)兩桿和滑輪的自重不計(jì)，并略去摩擦和滑輪的尺寸。求平衡時(shí)桿AB和BC所受的力。2）選坐標(biāo)軸x、y列平衡方程

3）求解未知量

kN

kN

解

1）取滑輪B為研究對(duì)象，畫其受力圖，請(qǐng)看動(dòng)畫§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用補(bǔ)充例1如圖§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用FBA為負(fù)值，表示此力的實(shí)際指向與圖示相反，AB桿受壓力。

4）思考題：如果選擇投影軸x、y水平、垂直，重復(fù)以上計(jì)算，試比較兩種計(jì)算有何優(yōu)缺點(diǎn)？結(jié)論：投影軸應(yīng)盡可能與未知力垂直或平行，以避免解聯(lián)立方程。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用FBA為負(fù)值，表示此力§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用補(bǔ)充例2

剛性支架的A端嵌固在基礎(chǔ)上，C端裝有滑輪，如下圖所示。繩子一端固定在D點(diǎn)，與水平面成α=60°角，另一端吊著重FQ=1000N的重物。已知AD=0.5m,DE=1.5m,求支架插入端的支座反力。

2)

選擇坐標(biāo)軸x、y，矩心為A,列平衡方程

解

1)取整體為研究對(duì)象，畫其受力圖，請(qǐng)看動(dòng)畫§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用補(bǔ)充例2剛性§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用3)求解未知量

N

N

N·m

4）本題小結(jié)：

①今后遇到帶有滑輪的結(jié)構(gòu)，一般不把滑輪拆開，以免增加不需要的未知數(shù)；

②解固定端支座一般采用基本形式的平衡方程組，每個(gè)平衡方程都可解一個(gè)未知量，不必解聯(lián)立方程；

③一般先用字符列平衡方程，最后代入數(shù)字，這樣能減少計(jì)算錯(cuò)誤，便于復(fù)查。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用3)求解未知量NN§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡2.3.1靜定與超靜定問題的概念

1．概念請(qǐng)觀察下面兩受力圖，分析比較兩者有什么不同點(diǎn)和相同點(diǎn)？(a)圖為靜定問題；

(b)圖為超靜定問題

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡2.3.1靜定§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡結(jié)論：

①全部未知量可以由靜力平衡方程確定的問題稱為靜定問題；

②未知量不可以由靜力平衡方程確定的問題稱為超靜定問題；

③靜定、超靜定問題判別：

全部未知量數(shù)≤獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目→靜定問題；

全部未知量數(shù)＞獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目→超靜定問題。

2．舉例

試判斷以下各圖靜定與超靜定情況

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡結(jié)論：①全部未§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡左邊三個(gè)圖為靜定問題；右邊三個(gè)圖為超靜定問題。

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡左邊三個(gè)圖為靜定§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡2.3.2物體系統(tǒng)的平衡

1．概念：

1）物體系統(tǒng)：由兩個(gè)或兩個(gè)以上物體以一定的約束方式組成的系統(tǒng)。

2）物體系統(tǒng)內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用力。

3）物體系統(tǒng)外力：系統(tǒng)所受的外部約束力。

4）物體系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，組成該系統(tǒng)的每一個(gè)物體必須處于平衡狀態(tài)。

例2.10一靜定多跨梁由梁AB和BC用中間鉸B連接而成，支承和載荷情況如圖所示。已知：F=20kN，q=5kN/m，α=45o。試求支座A、C和中間鉸B處的約束反力。

2．舉例§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡2.3.2物§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡解1）分別畫出梁AB，BC及整體的受力圖

2）分析各部分受力情況，確定梁AB為研究對(duì)象，列平衡方程：

解得：kN

kN

kN

3）取梁AB為研究對(duì)象，列平衡方程：

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡解1）分別畫§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡解得：FAx=10kN,FAy=20kN,MA=30kN?m

解物系平衡問題的步驟和方法：

1．畫出物體系統(tǒng)整體和各個(gè)物體的分離體和受力圖；

2．分析各部分受力圖，選取靜定物體或可求出某個(gè)未知量的可解物體為研究對(duì)象，列平衡方程，求出未知量；

3．選取與上一步靜定物體或可解物體相連（有關(guān)系）的靜定物體為研究對(duì)象，求出未知量；

4．重復(fù)上一步過程，最終求出全部未知量。

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡解得：FAx=1§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡例2.11等邊三角支架由桿AB與桿BC鉸接而成，如圖所示。在支架上擱置一圓筒重G=2kN，不計(jì)桿重。求鉸鏈A，B，C處的約束力。

解

1）分別畫出圓筒、整體、桿AB的受力圖

2）分析各部分受力圖，選擇圓筒研究，列平衡方程解得

kN

由對(duì)稱關(guān)系得

FNE=FND=1.414kN

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡例2.11§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡4）取桿AB為研究對(duì)象解得

FAx=-0.33kN,(方向向左)FBx=1.33kN,FBy=0

5）取整體為研究對(duì)象，列平衡方程

解得

kN（方向向右）

3）取整體為研究對(duì)象，列平衡方程

解得

kN

由對(duì)稱關(guān)系得

FAy=FCy=1kN

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡4）取桿AB為§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡

例2.12曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如動(dòng)畫所示。設(shè)曲柄OB在水平位置時(shí)機(jī)構(gòu)平衡，滑塊所受工作阻力為F。已知，不計(jì)滑塊和桿件的自重。試求作用于曲柄上的力偶矩M和支座O處的約束力。

解

1）按照力的傳遞順序畫滑塊、連桿、曲柄的受力圖

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡2）取滑塊A為研究對(duì)象，列平衡方程

解得

3）以曲柄OB為研究對(duì)象，列平衡方程

其中解得

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡2）取滑塊A為研§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題2.4.1滑動(dòng)摩擦

兩個(gè)相互接觸的物體，在沿著它們接觸面的切線相對(duì)滑動(dòng)或有相對(duì)滑動(dòng)趨勢時(shí)，在接觸面上存在著相互阻礙滑動(dòng)的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為滑動(dòng)摩擦；這種相互阻礙滑動(dòng)的力稱為滑動(dòng)摩擦力。

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題2.4.1滑動(dòng)摩擦§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題1．靜摩擦力：兩個(gè)接觸物體間只有相對(duì)滑動(dòng)趨勢時(shí)，接觸面間產(chǎn)生的摩擦力Ff。

靜摩擦力作用于兩物體在接觸點(diǎn)公切面內(nèi)，方向與兩接觸面相對(duì)滑動(dòng)的趨勢相反。在未達(dá)到臨界平衡狀態(tài)時(shí)，其大小可在一定范圍內(nèi)（）隨主動(dòng)力的變化而變化，數(shù)值等于相對(duì)滑動(dòng)趨勢方向上的主動(dòng)力，由平衡方程來確定。2．最大靜摩擦力：臨界靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值Ffm。

最大靜摩擦力的大小與兩接觸面間的法向壓力FN成正比。這就是庫侖定律或靜滑動(dòng)摩擦定律。即

fs是無量綱的比例常數(shù)，稱為靜摩擦因數(shù)。它只與兩接觸物體的材料及接觸表面的粗糙程度、溫度、濕度等有關(guān)。

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題1．靜摩擦力§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題常見材料的滑動(dòng)摩擦因數(shù)

材料名稱摩擦因數(shù)靜摩擦因數(shù)(fs)動(dòng)摩擦因數(shù)(f)無潤滑劑有潤滑劑無潤滑劑有潤滑劑鋼－鋼0.150.1～0.120.150.05～0.10鋼－鑄鐵0.3

0.180.05～0.15鋼－青銅0.150.1～0.150.150.1～0.15鋼－橡膠0.9

0.6～0.8

鑄鐵－鑄鐵

0.180.150.07～0.12鑄鐵－青銅

0.15～0.20.07～0.15鑄鐵－皮革0.3～0.50.150.60.15鑄鐵－橡膠

0.80.5青銅－青銅

0.100.20.07～0.10木－木0.4～0.60.100.2～0.50.07～0.15§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題常見材料的滑動(dòng)摩擦因數(shù)材§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題

3．動(dòng)摩擦力：當(dāng)兩接觸物體處于相對(duì)滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)，接觸面間產(chǎn)生的摩擦力。

動(dòng)摩擦力Ffˊ的大小與接觸面之間的法向壓力FN成正比。這就是動(dòng)摩擦定律。即f為無量綱的比例常數(shù)，稱為動(dòng)摩擦因數(shù)。它除了與接觸面的材料及表面情況等有關(guān)外，還與物體間的相對(duì)滑動(dòng)速度有關(guān),它隨相對(duì)滑動(dòng)速度的增大而稍有減小，一般可認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)。精度要求不高時(shí)fs≈f?！?.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題3．動(dòng)摩擦力§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題2.4.2摩擦角與自鎖現(xiàn)象

1．摩擦角

①全約束力：接觸面的法向約束力與切向約束力的合力。最大全約束力②摩擦角：最大全約束力與接觸面公法線間的夾角。上式表明，摩擦角的正切等于靜摩擦因數(shù)。這說明摩擦角與靜摩擦因數(shù)都是表示材料摩擦性質(zhì)的物理量，只與物體接觸面的材料，表面狀況等因素有關(guān)。也就是說：當(dāng)接觸面確定了靜摩擦因數(shù)就確定了，摩擦角的大小也就確定了。

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題2.4.2摩擦角與自鎖§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題2．自鎖現(xiàn)象

作用于物體上的主動(dòng)力的合力FP，不論其大小如何，只要其作用線與接觸面法線間的夾角α小于或等于摩擦角φf，支承面便會(huì)產(chǎn)生一個(gè)全反力與之平衡，物體便處于靜止?fàn)顟B(tài)。這種現(xiàn)象稱為自鎖。這種與主動(dòng)力的大小無關(guān)，而只和摩擦角有關(guān)的平衡條件：α≤φf，稱為自鎖條件。

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題2．自鎖現(xiàn)象作用§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題3.摩擦角的應(yīng)用

①靜摩擦因數(shù)的測定

②斜面（螺紋）的自鎖條件

斜面的傾角或螺紋的升角α≤ф

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題3.摩擦角的應(yīng)用①靜摩擦§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題③其它a.

在堆放松散的物資如沙、土、煤、糧食時(shí),能夠堆起的最大坡度稱為休止角。它就是松散物質(zhì)間的摩擦角。用休止角可以算出一定面積的場地能堆放松散物質(zhì)的數(shù)量。

b.

自卸貨車的車斗能翻轉(zhuǎn)的角度必須大于摩擦角，才能保證貨車車斗內(nèi)的貨物傾倒干凈。

c.

鐵路或高速公路路基側(cè)面的最大傾角必須小于摩擦角以防止路基滑坡。

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題③其它a.在§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題2.4.3考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題

方法和步驟與不計(jì)摩擦?xí)r的平衡問題基本相同，只是在受力分析和建立平衡方程時(shí)必須考慮摩擦力。

關(guān)鍵在于正確分析摩擦力。

注意：如果用全約束力FR來表示接觸面的約束力，則受力圖上就不應(yīng)再畫摩擦力。例2.13一重量為G的物體放在傾角為α的斜面上，如圖a所示。若靜摩擦因數(shù)為fs，摩擦角為φf(α>φf)。試求使物體保持靜止的水平推力F的大小。

解

1.設(shè)F=Fmin，物體處于將向下滑的臨界狀態(tài)。

（1）取物體處于將向下滑的臨界狀態(tài)研究，畫受力圖。§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題2.4.3考慮摩擦?xí)r物§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題（2）選取坐標(biāo)軸xy，建立平衡方程和補(bǔ)充方程

（3）解方程得

2．設(shè)F=Fmax，物體處于向上滑動(dòng)的臨界狀態(tài)。

（1）取物體處于將向上滑的臨界狀態(tài)研究，畫受力圖（請(qǐng)看動(dòng)畫）

（2）選取坐標(biāo)軸xy，建立平衡方程和補(bǔ)充方程

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題（2）選取坐標(biāo)軸xy，建立§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題（3）解方程得

3．結(jié)論：只有當(dāng)力F滿足以下條件時(shí)，物體才能處于平衡

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題（3）解方程得3．結(jié)論§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題例2.14圖2.19a所示為一凸輪滑道機(jī)構(gòu)，在推桿上端C點(diǎn)有載荷F作用。凸輪上有主動(dòng)力偶矩M作用。設(shè)推桿與滑道間的靜摩擦因數(shù)為fs；凸輪與推桿間有良好的潤滑作用，摩擦不計(jì)；尺寸a,d已知，推桿橫截面尺寸不計(jì)。為使推桿在圖示位置不被卡住，試寫出滑道寬度b的計(jì)算式。解

1）分別取推桿和凸輪為研究對(duì)象，畫受力圖

2）選坐標(biāo)xy，矩心A和O，建立平衡方程和補(bǔ)充方程

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題例2.14§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題補(bǔ)充方程：

3）平衡方程和補(bǔ)充方程聯(lián)立解得

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題補(bǔ)充方程：3）平衡方程和§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題補(bǔ)充例1如下圖所示長l=4m。重G=200N的梯上端B斜靠在光滑的墻上，下端A放置在靜摩擦因數(shù)fs=0.4的粗糙的地面上，并與地面成60o角，有一重G1=600N的人登梯而上，問他上到何處時(shí)梯子開始滑倒？

解分析：人自下而上開始登梯，摩擦力由小逐漸變大，當(dāng)人登到距下端為am時(shí)梯子處于臨界狀態(tài)，此時(shí)的am就是題解。

1）取臨界狀態(tài)下梯子研究，畫梯子受力圖2)選取坐標(biāo)xAy,矩心A，建立平衡方程和補(bǔ)充方程

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題補(bǔ)充例1如§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題3）聯(lián)立方程求得：am=3.03m

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題3）聯(lián)立方程求得：am=3§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題補(bǔ)充例2制動(dòng)器的構(gòu)造和主要尺寸如圖(a)所示，制動(dòng)塊與鼓輪表面間的靜摩擦因數(shù)為fs,試求制動(dòng)鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)所必需的最小力FP。

解

1）取制動(dòng)輪研究，畫受力圖

2）選取O為矩心，建立平衡方程，補(bǔ)充方程求出摩擦力

解得：

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題補(bǔ)充例2制動(dòng)器的§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題3）再取制動(dòng)桿O1AB為研究對(duì)象，畫其受力圖

4）選取O1為矩心，建立平衡方程和補(bǔ)充方程

5）聯(lián)立解得：

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題3）再取制動(dòng)桿O1AB為研§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題2.4.4滾動(dòng)摩擦簡介

1．滾動(dòng)摩擦實(shí)例

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題2.4.4滾動(dòng)摩擦簡介§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題2．滾動(dòng)摩擦的產(chǎn)生

右圖為不考慮接觸面變形的受力情況

下圖為實(shí)際受力情況分析

力偶Mf起著阻礙滾動(dòng)的作用稱為滾動(dòng)摩擦力偶矩

滾動(dòng)摩擦定律：最大滾動(dòng)摩擦力偶矩Mfmax與兩個(gè)接觸物體間的法向約束力FN成正比。

δ稱為滾動(dòng)摩擦系數(shù)。§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題2．滾動(dòng)摩擦的產(chǎn)生右圖為§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題3．注意：1）摩擦力在滾動(dòng)中起幫助滾動(dòng)的作用。如雪地車輪打滑。

2）滾動(dòng)摩擦力偶矩是由于接觸面的變形產(chǎn)生的，變形愈大滾動(dòng)摩擦力偶矩就愈大，滾動(dòng)就愈困難。如沒氣的車輪。

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題3．注意：1）摩擦力在滾動(dòng)作業(yè)P532.22.3（ad）2.6（b）2.7（選做）2.8（ab）作業(yè)P532.22第2章平面力系

小結(jié)一、平面力系向一點(diǎn)（簡化中心）簡化的一般結(jié)果是一個(gè)力和一個(gè)力偶；這個(gè)力作用于簡化中心，稱為原力系的主矢，它等于原力系中所有各力的矢量和；這個(gè)力偶稱為原力系對(duì)簡化中心的主矩，它等于原力系中所有各力對(duì)于簡化中心力矩的代數(shù)和。即

基本形式

二矩式:

二、平面任意力系平衡方程的形式第2章平面力系小結(jié)一、平面力系向一點(diǎn)第2章平面力系

小結(jié)三、①全部未知量可以由靜力平衡方程確定的問題稱為靜定問題；②未知量不可以由靜力平衡方程確定的問題稱為超靜定問題；③靜定、超靜定問題判別：全部未知量數(shù)≤獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目→靜定問題；全部未知量數(shù)＞獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目→超靜定問題。第2章平面力系小結(jié)三、①全部未知量可※平面力系：力系中各力的作用線都在同一平面內(nèi)。可化為平面力系的空間力系條件：1.構(gòu)件具有一對(duì)稱平面；2.力系的分布又對(duì)稱于此平面。

§2.0平面任意力系引論※平面力系：力系中各力的作用線都在同一平面內(nèi)?？苫癁槠矫媪Α矫媪ο档姆诸?/p>

1.平面匯交力系：各個(gè)力的作用線都匯交于一點(diǎn)。2．平面平行力系：各個(gè)力的作用線都相互平行。3．平面力偶系：平面內(nèi)各個(gè)力組成了一組力偶。4.平面任意力系：各個(gè)力的作用線在平面內(nèi)任意分布。§2.0平面任意力系引論※平面力系的分類1.平面匯交力系：各個(gè)力的作用線都匯交于一§2.1平面任意力系的簡化2.1.1

平面任意力系向一點(diǎn)簡化

1.主矢(平面匯交力系各力的矢量和)：

在平面直角坐標(biāo)系oxy中，根據(jù)合力投影定理有

§2.1平面任意力系的簡化2.1.1平面任意力系向一§2.1平面任意力系的簡化主矢大小：

主矢方向：

注意：（1）主矢方向角α是與x軸夾的銳角，的指向由和的正負(fù)號(hào)決定；

（2）主矢與簡化中心O位置的選擇無關(guān)。

2.主矩(附加平面力偶系的合力偶):

注意：(1)一般情況下主矩與簡化中心O位置的選擇有關(guān)。

(2)原力系與主矢和主矩的聯(lián)合作用等效。

§2.1平面任意力系的簡化主矢大?。褐魇阜较颍鹤⒁狻?.1平面任意力系的簡化3.結(jié)論：平面力系向一點(diǎn)（簡化中心）簡化的一般結(jié)果是一個(gè)力和一個(gè)力偶；這個(gè)力作用于簡化中心，稱為原力系的主矢，它等于原力系中所有各力的矢量和；這個(gè)力偶稱為原力系對(duì)簡化中心的主矩，它等于原力系中所有各力對(duì)于簡化中心力矩的代數(shù)和。

§2.1平面任意力系的簡化3.結(jié)論：平面力系向一§2.1平面任意力系的簡化2.1.2簡化結(jié)果的討論

1．主矢，主矩(一般情況)

合力的大小、方向與主矢相同；合力的作用線與簡化中心O點(diǎn)的垂直距離§2.1平面任意力系的簡化2.1.2簡化結(jié)果的討論§2.1平面任意力系的簡化2．主矢，主矩

作用于簡化中心的主矢就是原力系的合力，簡化中心O恰好選在了原力系的合力的作用線上?！?.1平面任意力系的簡化2．主矢，主矩§2.1平面任意力系的簡化3．主矢，主矩

原力系簡化的最后的結(jié)果為一個(gè)力偶（主矩），此力偶稱為平面力系的合力偶；因此，主矩與簡化中心的位置無關(guān)。

§2.1平面任意力系的簡化3．主矢，主矩§2.1平面任意力系的簡化4．主矢，主矩

原力系合成為零力系，則原力系是平衡力系。平面任意力系平衡的必要和充分條件為：主矢，主矩§2.1平面任意力系的簡化4．主矢，主矩§2.1平面任意力系的簡化

例2.1一端固定于墻內(nèi)的管線上受力情況及尺寸如圖2.3a所示，已知F1=600N，F(xiàn)2=100N，F(xiàn)3=400N。試分析力系向固定端A點(diǎn)的簡化結(jié)果，并求該力系的合力。

解：力系向A點(diǎn)簡化的主矢為：

NNNFFFFxRx8.38245cos40010045cos32'-=°--=°--==?NNNFFFRyRxR2.962)8.882()8.382()()(222'2''=-+-=+=NNNFFFFyRy8.88245sin40060045sin31'-=°--=°--==?§2.1平面任意力系的簡化例2.1一端固§2.1平面任意力系的簡化主矢指向第三象限力系向A點(diǎn)簡化的主矩MA為：

主矩MA方向?yàn)轫槙r(shí)針；

主矢和主矩MA繼續(xù)簡化可得到力系的合力，合力與主矢的大小相等，方向相同，作用線與A點(diǎn)的垂直距離m'3366,3062.28.3828.882tan°==--==??aaNNFFxy§2.1平面任意力系的簡化主矢指向第三象限力系向A§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2.2.1平面任意力系的平衡方程

1.平面任意力系平衡方程的基本形式

平面任意力系平衡的必要和充分條件為：主矢，主矩

即

基本形式

2．平面任意力系平衡方程的其它形式

二矩式:

附加條件：投影軸x(或y)不能與矩心A、B兩點(diǎn)的連線相垂直。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2.2.1平面任意§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用問題：在應(yīng)用平面力系二矩式平衡方程時(shí),所選擇的矩心A、B，投影軸x為什么要滿足附加條件？

如右圖所示，一剛體只受一個(gè)力F作用（顯然剛體不平衡，二矩式平衡方程不能成立），若所選的矩心A、B和投影軸x，違背附加條件的要求，則二矩式平衡方程也

成立，因此就出現(xiàn)了錯(cuò)誤。所以，在使用二矩式平衡方程時(shí)，選擇矩心和投影軸時(shí)必須滿足附加條件

即：投影軸不能與矩心A、B兩點(diǎn)的連線相垂直?！?.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用問題：在應(yīng)用平§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用三矩式:

附加條件：矩心A、B、C三點(diǎn)不能在一條直線上。

問題：在應(yīng)用平面力系三矩式平衡方程時(shí)，矩心A、B、C三點(diǎn)為什么要滿足附加條件？

如果一剛體只受一個(gè)力F作用（顯然剛體不平衡，三矩式平衡方程不能成立),若在選擇矩心時(shí),違背附加條件的要求，即：A、B、C選在一條直線上，如右圖所示，則三矩式平衡方程也成立，因此就出現(xiàn)了錯(cuò)誤。所以，在使用三矩式平衡方程時(shí)，三矩心的選擇必須滿足附加條件，即：三點(diǎn)不能在一條直線上。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用三矩式:附加條件：矩§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2.2.2解題步驟與方法

例2．2如圖2.4(a)所示。已知：梁長l=2m，F(xiàn)=100N，求固定端A處的約束力。

解：1）取梁AB為分離體，畫受力圖AB梁受到已知力F和固定端A點(diǎn)的約束力FAx,FAy,約束力偶MA作用為一平面任意力系。

2）選擇直角坐標(biāo)系A(chǔ)xy，矩心A點(diǎn)，列平衡方程：§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2.2.2解題步驟§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用3)求解未知量將已知條件代入以上平衡方程解得

4）校核

選擇B點(diǎn)為矩心，重新計(jì)算約束力偶MA

所以計(jì)算結(jié)果正確，計(jì)算結(jié)果為正值說明未知力實(shí)際方向與圖（b）中的方向相同。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用3)求解未知量4）校核§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用解題方法與步驟

1．確定研究對(duì)象，畫其受力圖；

注意：一般應(yīng)選取有己知力和未知力共同作用的物體為研究對(duì)象，取出分離體畫受力圖；

2.選取投影坐標(biāo)軸和矩心，列平衡方程；

注意：1）由于坐標(biāo)軸和矩心的選擇是任意的，在選擇時(shí)應(yīng)遵循以下原則（1）坐標(biāo)軸應(yīng)與盡可能多的未知力垂直（或平行）；

（2）矩心應(yīng)選在較多未知力的匯交點(diǎn)處。

2）列平衡方程時(shí)要注意力的投影和力矩的“+、-”號(hào)。

3.解平衡方程，求得未知量；

4.校核。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用解題方法與步驟1．確§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用

例2．3懸臂吊車如圖

所示，橫梁AB長

l=2.5m，自重G1=1.2kN；拉桿CD傾斜角α=30°，自重不計(jì)；電葫蘆連同重物共重G2=7.5kN。當(dāng)電葫蘆在圖示位置時(shí)平衡，a=2m，試求拉桿的拉力和鉸鏈A的約束力。

解

1）選取橫梁AB為研究對(duì)象，畫受力圖；

2）選取投影坐標(biāo)軸xAy和矩心A，列平衡方程：

3）解平衡方程，求得未知量

FCD=13.2kN(拉力)

FAx=11.43kN

FAy=2.1kN

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2．3§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用4)校核、討論

校核：若取B點(diǎn)為矩心，列力矩方程：

解得FAy=2.1kN

或，取C點(diǎn)為矩心，列力矩方程：

解得FAx=11.43kN

說明以上計(jì)算結(jié)果正確。

討論：通過以上分析可知

1）如果取平衡方程即二矩式，同樣可以求解；

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用4)校核、討論校§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2）如果取平衡方程即三矩式，同樣也可以求解。

因此，只要便于解題，平面任意力系平衡方程的三種形式可以任選。

2.2.3平面特殊力系的平衡方程

1．平面匯交力系平衡方程

如右圖所示，力系中各力對(duì)匯交中心O的力矩恒等于零，即。

因此，平面匯交力系獨(dú)立的平衡方程為兩個(gè)投影方程，即：兩個(gè)平衡方程只能解兩個(gè)未知量。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2）如果取平衡方程即三§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2．平面力偶系的平衡方程

平面力偶系平衡的充要條件：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即平面力偶系的平衡方程，只能求解一個(gè)未知量。

3．平面平行力系平衡方程

如右圖所示，很顯然力系中各個(gè)力在x坐標(biāo)軸上的投影恒等于零，即

因此，平面平行力系獨(dú)立的平衡方程為:稱為基本形式。只能求解兩個(gè)未知量。

也可表示為二矩式：

附加條件：矩心A、B兩點(diǎn)的連線不能與各力的作用線平行。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用2．平面力偶系的平衡方§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用問題：如果不滿足附加條件，即矩心A、B兩點(diǎn)的連線與各力的作用線平行，將會(huì)出現(xiàn)什么情況？

如右圖所示，一平面平行力系，A、B兩矩心的連線與各個(gè)力的作用線平行，于是。若平面平行力系平衡，可建立二矩式平衡方程兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程就變成了一個(gè)獨(dú)立平衡方程，只能解一個(gè)未知量。因此，平面平行力系平衡在應(yīng)用二矩式平衡方程時(shí)，必須滿足附加條件?！?.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用問題：如果不滿足§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.4如圖a所示，已知定滑輪一端懸掛一物重G=500N，另一端施加一傾斜角為30°的拉力FT，使物體A勻速上升。求定滑輪支座O處的約束力。解：1）選取滑輪與重物為研究對(duì)象，畫受力圖如圖b所示2）建立直角坐標(biāo)系Oxy,列平衡方程3）解方程求未知量

FR為正值，F(xiàn)R實(shí)際方向與圖中假設(shè)方向相同，F(xiàn)R與x軸夾角為60°（在第一象限內(nèi)）。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.4如圖§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.5圖a所示為一夾具中的連桿增力機(jī)構(gòu)，主動(dòng)力F作用于A點(diǎn)，夾緊工件時(shí)連桿AB與水平線間的夾角α=15°。試求夾緊力FN與主動(dòng)力F的比值（摩擦不計(jì)）。

解

1）取滑塊A為研究對(duì)象，畫受力圖，如圖b所示，選取水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸

解得

2）

取滑塊B為研究對(duì)象，畫受力圖，如圖c所示，選取水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸解得

于是

所以α愈小夾緊力與主動(dòng)力的比值愈大，增力效果愈明顯。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.5圖a§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.6用多孔鉆床在一水平放置的工件上同時(shí)鉆四個(gè)直徑相同的孔如圖a所示，設(shè)每個(gè)鉆頭作用在工件上的切削力偶矩的大小為M1=M2=M3=M4=M=15N?m。問此時(shí)工件受到的總切削力偶矩為多大？若不計(jì)摩擦，加工時(shí)用兩個(gè)螺釘A，B固定工件，試求螺釘受力。解1）求總切削力偶矩N?m(順)2）求螺釘A，B受力

①取工件為研究對(duì)象，畫受力圖如圖b所示。②建立平面力偶系平衡方程求解

FA=FB=300N（方向如圖所示），

螺釘A，B受力與FA，F(xiàn)B互為作用與反作用力關(guān)系。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.6用§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.7電動(dòng)機(jī)的功率是通過聯(lián)軸器傳遞給工作軸的，聯(lián)軸器由兩個(gè)法蘭盤和連接兩者的螺栓所組成。如圖所示，四根螺栓A，B，C，D均勻分布在同一圓周上，圓周直徑D=200mm。已知電動(dòng)機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩M=2.5kN?m，設(shè)每根螺栓的受力相等，試求螺栓的受力F。

解

1）取法蘭盤為研究對(duì)象，畫受力圖如圖所示。

2）建立平面力偶系平衡方程，求解

故N=6.25kN

每根螺栓的受力均為F=6.25kN，與法蘭盤上四點(diǎn)受力互為作用與反作用力關(guān)系。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.7電動(dòng)§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.8圖a為臥式密閉容器結(jié)構(gòu)簡圖。設(shè)容器總重量沿筒體軸向均勻分布，集度為q=20kN/m，容器兩端端部折算重力為G=10kN,力矩為M=800kN·m，容器鞍座結(jié)構(gòu)可簡化為一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動(dòng)鉸鏈支座，容器計(jì)算簡圖如圖b所示。試求支座A，B的約束力。解

1）取容器整體為研究對(duì)象，畫受力圖如圖c所示為一平面平行力系。圖中q表示均布載荷大小。

2）選取坐標(biāo)系A(chǔ)xy，列平衡方程：

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.8§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用均布載荷簡介均布載荷：載荷在一定范圍內(nèi)連續(xù)均勻分布。載荷集度q=常數(shù)。

均布載荷一般分為體均布載荷、面均布載荷、線均布載荷。

實(shí)際中許多均布載荷都可以簡化為線均布載荷，其載荷集度q單位為N/m或N/km。列平衡方程時(shí)，常將均布載荷簡化為一個(gè)集中力F，其大小為(l為載荷作用長度），作用線通過作用長度中點(diǎn)。

3）代入已知量，解平衡方程，求得未知量FA=FB=210kN§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用均布載荷簡介§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.9圖a所示為一塔式起重機(jī)簡圖。已知機(jī)身重G=700kN,重心與機(jī)架中心線距離為4m，最大起重量G1=200kN，最大吊臂長為12m，軌距為4m，平衡塊重G2，G2的作用線至機(jī)身中心線距離為6m。試求保證起重機(jī)滿載和空載時(shí)不翻倒的平衡塊重。若平衡塊重為750kN,試分別求出滿載和空載時(shí)，軌道對(duì)機(jī)輪的法向約束力。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用例2.9圖a§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用解

取整個(gè)起重機(jī)為研究對(duì)象，畫受力圖，如圖所示

列平衡方程

解得

G2min=425kN

列平衡方程解得

G2max=1050kN

1)求平衡塊重①滿載時(shí)（G1=200kN），求平衡時(shí)最小平衡塊重G2min,此時(shí)為臨界狀態(tài)FA=0。受力圖請(qǐng)看動(dòng)畫②空載時(shí)（G1=0），求平衡時(shí)最大平衡塊重G2max，此時(shí)為臨界狀態(tài)FB=0。受力圖請(qǐng)看動(dòng)畫§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用解取整個(gè)起重機(jī)為研②空載時(shí)（G1=0）解FA=1150kN，

FB=300kN§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用結(jié)論：為了保證安全，平衡塊重必須滿足下列條件：

425kN<G2<1050kN2)求G2=750kN時(shí)，輪軌對(duì)機(jī)輪的約束力

取整個(gè)起重機(jī)為研究對(duì)象，畫受力圖，如圖b所示

①滿載時(shí)（G1=200kN）解得

FA=650kN，

FB=1000kN②空載時(shí)（G1=0）解FA=1150kN，§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用3）校核①滿載時(shí)（G1=200kN）

代入已知量和FA，F(xiàn)B，左式成立。

②空載時(shí)（G1=0）

代入已知量和FA，F(xiàn)B，左式成立。所以，計(jì)算結(jié)果正確。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用3）校核代入已知量和§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用

補(bǔ)充例1

如圖所示，物重G=20kN，用鋼絲繩經(jīng)過滑輪B再纏繞在鉸車D上。桿AB與BC鉸接，并以鉸鏈A、C與墻連接。設(shè)兩桿和滑輪的自重不計(jì)，并略去摩擦和滑輪的尺寸。求平衡時(shí)桿AB和BC所受的力。2）選坐標(biāo)軸x、y列平衡方程

3）求解未知量

kN

kN

解

1）取滑輪B為研究對(duì)象，畫其受力圖，請(qǐng)看動(dòng)畫§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用補(bǔ)充例1如圖§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用FBA為負(fù)值，表示此力的實(shí)際指向與圖示相反，AB桿受壓力。

4）思考題：如果選擇投影軸x、y水平、垂直，重復(fù)以上計(jì)算，試比較兩種計(jì)算有何優(yōu)缺點(diǎn)？結(jié)論：投影軸應(yīng)盡可能與未知力垂直或平行，以避免解聯(lián)立方程。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用FBA為負(fù)值，表示此力§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用補(bǔ)充例2

剛性支架的A端嵌固在基礎(chǔ)上，C端裝有滑輪，如下圖所示。繩子一端固定在D點(diǎn)，與水平面成α=60°角，另一端吊著重FQ=1000N的重物。已知AD=0.5m,DE=1.5m,求支架插入端的支座反力。

2)

選擇坐標(biāo)軸x、y，矩心為A,列平衡方程

解

1)取整體為研究對(duì)象，畫其受力圖，請(qǐng)看動(dòng)畫§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用補(bǔ)充例2剛性§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用3)求解未知量

N

N

N·m

4）本題小結(jié)：

①今后遇到帶有滑輪的結(jié)構(gòu)，一般不把滑輪拆開，以免增加不需要的未知數(shù)；

②解固定端支座一般采用基本形式的平衡方程組，每個(gè)平衡方程都可解一個(gè)未知量，不必解聯(lián)立方程；

③一般先用字符列平衡方程，最后代入數(shù)字，這樣能減少計(jì)算錯(cuò)誤，便于復(fù)查。

§2.2平面力系的平衡方程及其應(yīng)用3)求解未知量NN§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡2.3.1靜定與超靜定問題的概念

1．概念請(qǐng)觀察下面兩受力圖，分析比較兩者有什么不同點(diǎn)和相同點(diǎn)？(a)圖為靜定問題；

(b)圖為超靜定問題

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡2.3.1靜定§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡結(jié)論：

①全部未知量可以由靜力平衡方程確定的問題稱為靜定問題；

②未知量不可以由靜力平衡方程確定的問題稱為超靜定問題；

③靜定、超靜定問題判別：

全部未知量數(shù)≤獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目→靜定問題；

全部未知量數(shù)＞獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目→超靜定問題。

2．舉例

試判斷以下各圖靜定與超靜定情況

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡結(jié)論：①全部未§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡左邊三個(gè)圖為靜定問題；右邊三個(gè)圖為超靜定問題。

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡左邊三個(gè)圖為靜定§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡2.3.2物體系統(tǒng)的平衡

1．概念：

1）物體系統(tǒng)：由兩個(gè)或兩個(gè)以上物體以一定的約束方式組成的系統(tǒng)。

2）物體系統(tǒng)內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用力。

3）物體系統(tǒng)外力：系統(tǒng)所受的外部約束力。

4）物體系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，組成該系統(tǒng)的每一個(gè)物體必須處于平衡狀態(tài)。

例2.10一靜定多跨梁由梁AB和BC用中間鉸B連接而成，支承和載荷情況如圖所示。已知：F=20kN，q=5kN/m，α=45o。試求支座A、C和中間鉸B處的約束反力。

2．舉例§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡2.3.2物§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡解1）分別畫出梁AB，BC及整體的受力圖

2）分析各部分受力情況，確定梁AB為研究對(duì)象，列平衡方程：

解得：kN

kN

kN

3）取梁AB為研究對(duì)象，列平衡方程：

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡解1）分別畫§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡解得：FAx=10kN,FAy=20kN,MA=30kN?m

解物系平衡問題的步驟和方法：

1．畫出物體系統(tǒng)整體和各個(gè)物體的分離體和受力圖；

2．分析各部分受力圖，選取靜定物體或可求出某個(gè)未知量的可解物體為研究對(duì)象，列平衡方程，求出未知量；

3．選取與上一步靜定物體或可解物體相連（有關(guān)系）的靜定物體為研究對(duì)象，求出未知量；

4．重復(fù)上一步過程，最終求出全部未知量。

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡解得：FAx=1§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡例2.11等邊三角支架由桿AB與桿BC鉸接而成，如圖所示。在支架上擱置一圓筒重G=2kN，不計(jì)桿重。求鉸鏈A，B，C處的約束力。

解

1）分別畫出圓筒、整體、桿AB的受力圖

2）分析各部分受力圖，選擇圓筒研究，列平衡方程解得

kN

由對(duì)稱關(guān)系得

FNE=FND=1.414kN

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡例2.11§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡4）取桿AB為研究對(duì)象解得

FAx=-0.33kN,(方向向左)FBx=1.33kN,FBy=0

5）取整體為研究對(duì)象，列平衡方程

解得

kN（方向向右）

3）取整體為研究對(duì)象，列平衡方程

解得

kN

由對(duì)稱關(guān)系得

FAy=FCy=1kN

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡4）取桿AB為§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡

例2.12曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如動(dòng)畫所示。設(shè)曲柄OB在水平位置時(shí)機(jī)構(gòu)平衡，滑塊所受工作阻力為F。已知，不計(jì)滑塊和桿件的自重。試求作用于曲柄上的力偶矩M和支座O處的約束力。

解

1）按照力的傳遞順序畫滑塊、連桿、曲柄的受力圖

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡2）取滑塊A為研究對(duì)象，列平衡方程

解得

3）以曲柄OB為研究對(duì)象，列平衡方程

其中解得

§2.3靜定與超靜定問題物系的平衡2）取滑塊A為研§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題2.4.1滑動(dòng)摩擦

兩個(gè)相互接觸的物體，在沿著它們接觸面的切線相對(duì)滑動(dòng)或有相對(duì)滑動(dòng)趨勢時(shí)，在接觸面上存在著相互阻礙滑動(dòng)的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為滑動(dòng)摩擦；這種相互阻礙滑動(dòng)的力稱為滑動(dòng)摩擦力。

§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題2.4.1滑動(dòng)摩擦§2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題1．靜摩擦力：兩個(gè)接觸物體間只有相對(duì)滑動(dòng)趨勢時(shí)，接觸面間產(chǎn)生的摩擦力F