第4章水彈性力學(xué)

第4章水彈性理論一一流體與剛體相互耦合運動4.1剛體與外流場的耦合船舶與海洋結(jié)構(gòu)物在水中的運動就是此類典型的運動。在許多工程問題中，僅考慮剛體在流體及風(fēng)的作用下的運動，忽略彈性變形對流場的影響，此時結(jié)構(gòu)6個自由度運動在船舶耐波性理論中就有了特定的含義：縱蕩、橫蕩、垂蕩（升沉X橫搖、縱搖和艏搖。下面就以海上浮體、水面船舶為例介紹這面的理論。4.1.1坐標(biāo)系選取與運動量描述坐標(biāo)系的標(biāo)注符合船體制圖中的規(guī)定，見圖4—1圖0-1為了描述物體在波浪中的運動，引入三個坐標(biāo)系統(tǒng)：固定坐標(biāo)系oxyz固定在大地上（流場0000中），不隨流體或物體運動。通常o^yz平面與靜水面重合，。＞鉛垂向上；第二個坐標(biāo)系為動000000坐標(biāo)系，又稱連體坐標(biāo)系oxyz，與物體固聯(lián)，隨物體一起搖蕩。物體處于平衡位置時，平面與靜水面重合，oy軸垂直向上，位于12船長處或通過結(jié)構(gòu)物重心G；另一個坐標(biāo)系為oxyz稱為參考坐標(biāo)系，或平衡坐標(biāo)系，當(dāng)結(jié)構(gòu)處于平衡時，它與動坐標(biāo)系。xyz重合，但其不隨結(jié)構(gòu)搖蕩，始終位于平衡位置上。若結(jié)構(gòu)有平均直線航速，該坐標(biāo)系也隨之一起以該平均前進(jìn)速度移動，它用于表征結(jié)構(gòu)搖蕩位移和姿態(tài)。設(shè)oxyz與o'x'yz'關(guān)系如圖4-2，則0000x=(ut+x)cos5-z'sin8(4-1)y0=y'z=(ut+x')sin8+z(4-1)設(shè)動坐標(biāo)系oxyz的原點在o'x'y'z'中的位置為（x,又z），則x,y,z分別表示縱蕩、垂蕩（升沉）和橫z圖0-2Ay蕩船舶搖蕩運動時姿態(tài)由動坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動來描述，引入輔助參考系oxyz以表達(dá)結(jié)構(gòu)無旋轉(zhuǎn)即無搖蕩時狀態(tài)。轉(zhuǎn)動后oxyz轉(zhuǎn)到某一新的位置，則動坐標(biāo)系相對原先未轉(zhuǎn)動時位置oxyz的角位移決定了船舶運動的姿態(tài)（見圖4-3）角位移用三個歐拉角a,p,1來定義，坐標(biāo)系oxyzyaxa圖xxz‘與oy中坐標(biāo)變量關(guān)系可以通過三次旋轉(zhuǎn)變換獲得（見圖4-4）第一次坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，即坐標(biāo)系oxyz繞ox軸轉(zhuǎn)動一個角度a，使得oz軸-1x「100]rnxr八xAy=0cosa-sina人!y九］yz0sinacosaz,z,轉(zhuǎn)至由ox軸及o軸確定的平面上，此時有第二次坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，即在第一次基礎(chǔ)上，將新的坐標(biāo)系oxy'z'繞oy?轉(zhuǎn)動p角，使oz'軸轉(zhuǎn)至與oz軸重合，得坐標(biāo)系oX'yz，此時oX'y'已與oxy重合xcosp0sinpxxy'=010人!y=M]yz,-sinp0cospzz第三次旋轉(zhuǎn)，將ox'y'z繞oz軸轉(zhuǎn)動角1，xcos1-sin10「x]xy=sin1cos10y=Dv]yz001zz使得與oxyz重合0-3azAzyyx軸固定zX'axyrz軸固定-x“y-1xrx]八y=[l]M血]yzJ_z_cosPcosy—cosPsinysinPrx]sinacosy+cosacosy—sinasinPsiny+cosacosy—sinacosPy—cosasinPcosy+sinasinycosasinPsiny+sinacosycosacosP_z_(4-2)對于小幅搖蕩，以,P,Y較小，保留一階小量，有sina?a,sinP^P,siny?ycosa牝1,cosP?1,cosy?1則(1—2)改寫為上式逆為轉(zhuǎn)到參考坐標(biāo)系中，則有-P-yiarx]r1y-Pirxy=-y1a人y_z_P—a1LzJ(x',y',z)=(x,y,z)+G,y,Z)-(x,y,z)+(x,y,z)+(a,B,y)x(x,y,z)

如果(x,y,z)為結(jié)構(gòu)表面上某點位置坐標(biāo)，則上式體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)搖蕩時某一瞬時空間位置。4.1.2角速度與歐拉角關(guān)系[b]="｝而P=V?v。ijijij(4-3)(4-4)(4-5)Ac

可以利用P=P知i]ji[b][bJt=[bJt[b]=[/]V設(shè)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動角速度為?，[B][B]T=[B]T在動坐標(biāo)系中表示為:(4-6)(4-7)(4-8)VV0=0edevv—卜=oxe

dtjdB脂vg(=+oxBdtdtV而e.在動體中不隨t變，故i邑=0)dtv=必e.v=yeijj(a)0①Y32式中丫〃0氣①一①0又e=pV，而V既不轉(zhuǎn)動，iikkk以不隨t變，則竺=^o=1&-pvdtdtkikjkj(b)比較(a)(b)兩式知七=電?P.廣如Q「B]X}=[l]Im][n]ij丁b]=dh]m][nn血]m][nd-7L」dt、=d們]t[m]t[l]t)([l]M][n])=(N]t[m]t[n]t+[n]tLM&」t[l]t+[n]t[m]t「L」T)([l][m][n])又[b]t[b]=[b][b]t=k]」=「*」T[n]+[n]t「M]t[m][n]+[nI[mI「L]T[l]M][n]0-10其中[N]t[N]=Y&-10000000[N]tLM&]t[m][n]=Mn]t0010-10[n]00=1&0cosy0-cosy0siny-siny00[N]t[M]t[L」T[l][m][n]=(&[N]t[M]t000001[M][N]-100=c&-sinP-cosPsinysinPsinycosP0cosycosP-cosycosP0綜合以上各式，并對比兩邊，易得到①=d&cosycosP+f&siny(4-9)①=-d&sinycosP+f&cosy①=c&sin(4-9)線性化(4-10)另外推導(dǎo)方法(referenceDrMs’sthesis,1998)(April2010)注意到，類似于三次坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，物體的角速度□也可由各次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的歐拉角速度獲得，即

u=a+疥+敦式中蛇/Y分別繞￡，y和乙軸的歐拉角速度，它們均可以通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，在動坐標(biāo)系中表達(dá)0〕=I0〕=InLEm所以①=&cosycosP+修siny①=-g&sinycosP+.cosy①=c&sinP+波4.1.3結(jié)構(gòu)物在流體中運動1.運動方程一般描述應(yīng)用質(zhì)心運動定理和繞質(zhì)心的動量矩定理有v、dG繞過質(zhì)心某瞬時軸轉(zhuǎn)動角速度為?，則V繞過質(zhì)心某瞬時軸轉(zhuǎn)動角速度為?，則VvG=mv(4-11)(4-11)dQv—=Mdtc，vvvv式中G為剛體動量；Q是繞質(zhì)心動量矩；F和Mc分別為外力矢量和繞質(zhì)心的外力矩矢量。上式在慣性坐標(biāo)系內(nèi)成立。v右選擇動坐標(biāo)系oxyz與物體固結(jié)，其原點在質(zhì)心。處，并設(shè)剛體質(zhì)量為m，質(zhì)心運動速度為vc,dGd(mv)dvdtdtITdt口注~~dtd（）rdtdtITdt口注~~dtd（）r故）dt+3x()d一一一，百是在慣性坐標(biāo)系中的時間導(dǎo)數(shù)，是在動坐標(biāo)系中的時間導(dǎo)數(shù)，表示動坐標(biāo)系中計算或表達(dá)的矢量對求導(dǎo)］在動坐標(biāo)系中，質(zhì)心運動定理可寫為:dtijkj在動坐標(biāo)系中，質(zhì)心運動定理可寫為:dtijkjck(i=1,2,3)(4-12)繞質(zhì)心動量矩:Q=JM,=d(占xv)dm［注：Q=QJr-rdm-jr(Q=JM,=d(占xv)dm［注：Q=QJr-rdm-jr((v-￥)dmVV］fv/vv、］1rxvdm=Jrx(①xr)dm適合過。平動坐標(biāo)系vv式中r=xeiiMMv匕為動坐標(biāo)系單位矢量，r為剛體中某點至質(zhì)心。矢徑Q=3jxxdm一①jxxdm(4-13)=j(x2+x2)dmI=I=」11M21123xxdmI=j(x2+x2)dmI=j(x2+x2)dm31'33m12'I=I=-jxxdm,I=I=jxxdm22M2112則（4-13）改寫為:3113M31為在動坐標(biāo)系中表達(dá)注意到iiji,j=1,2,3.(4-14)(4-15)而I(4-15)而I在動坐標(biāo)系中計算與無關(guān)ij在動坐標(biāo)系中表達(dá)式為:j+8j+8①I①=M,i,j,k=1,2,3.ijdtijkjklli(4-16)OA^Z的定點轉(zhuǎn)動(相對運動)。設(shè)繞o點的瞬時角速度為o^g則代入m當(dāng)=F得

dt(4-17)上式推導(dǎo)如下:dm—o

dt,vdo+mdtxr+mox(0xr)=Fcc(4-18)方法1.根據(jù)剛體運動分解：vac,vvdo其中s=—dtvdva=—o-odtvvvvvv\=a+sxr+ox(oxr)dvv代入m~dC=F推得(4-18)方法2,將(4-17)式兩邊對t求導(dǎo)dvdvdvvdvdovv亦=艾+d(ox"=~d+ITxrc+ox注意到從而mdV/vdodtdrdvvvv~dc=~dt+oxr=oxrdodo+(v塞dodtdtxr+mox(oxr)=F，cc代入dQ

dtdt即(4-18)式。(4-19)dQdQvv%dLv(%v)并注意到號=卡+oxQ=I前+ox頃?o，^i典+oxSo)+dtdvdovvv

m-j^+xr+ox(o上式為矩心為動點的動量矩定理，式中I仍用坐標(biāo)原點在c時計算公式。v

mrxc(4-20)上式還可用理論力學(xué)其它方法推導(dǎo)：vvvv

Q=Q+rxk0k=mv)cv

dQ

0-

dtvcvvvv=v+oxr:vvv\、=M0-voxk(理力)(a)(b)?,v,vdQdQd\—^0=—^c+—dtc-dtvdQ工c+vxk)dQdr=^c+^dtdtdtcvvvv.vvdQv\wxr)xk+rxF=——c+\ydtcdtvvvdkxk+rx-dtvvvv-v)xk+rxF?式代入上式得即(4-20)式。4.1.4作用在結(jié)構(gòu)物上的流體力及力矩的求解勢流波浪理論下「vff膈F=JJpndS'M頊p(rx腿vIsv式中n為船舶或其它結(jié)構(gòu)物表面單位法矢量在動坐標(biāo)系中表達(dá)相對流場為外法線，r為表面上某點至動系原點。矢徑，P為流場壓力，也在動坐標(biāo)系中表達(dá)，這將在下面章節(jié)中詳細(xì)敘述。這里假定外力只有流體作用力，而實際外力中還應(yīng)有系泊力等。從上式看出求解外力的關(guān)鍵是確定流場壓力P，P的求解需通過速度勢及拉格朗日方程獲得。1.基本方程及自由表面條件設(shè)固定坐標(biāo)系中速度勢為，則其定解條件為：基本方程：叫=0(a)邊界條件:(4-(4-21)乎+g|1+%V0^-V0(0S叫)+200?初8*dF為dFDF八——+=——=0,dtdxdxDt0i0il"迎土1坦=0,x^±w^dx^cdt)l"世+1坦=0,r*VdRcdt)limV?=0.1J—3

?V0dt=0,自由面y0=門(x0,z0,t)上(b)運動物面S上：F(x,t)=0(c)0i固定物面上(d)2D輻射條件(e)3D輻射條件(f)遠(yuǎn)方條件(g)初始條件:在x=0上(h)02@(x,0,x;0)=f(x8?G,0,x;0)在x=0上(h)02V28。+gy0+~2+~8t可求得壓力P。，注意上式中常數(shù)山）歸到了。中。由于在固定坐標(biāo)系中求解。及P不方便，一般將它們轉(zhuǎn)至參考系中求解。引入?yún)⒖枷担╫'X'y'z'），其速度U沿固定坐標(biāo)系oxyZ的ox軸正向移動，則0000000y0utut圖4-4參考系與固定系關(guān)系x=x'+ut,"°=y，,0

0、z°=z.0,t)?(x,y,z,t)=。(工'+ut,y',z',t)三。(工',y',z',t)=0,t)。與。關(guān)系為:8。8。8x8x088。8。8x8x08。(88y08y81。.八'瓦—U08x'j[8t在參考坐標(biāo)系中拉格朗日積分表達(dá)式為:_。=_。，即V0。=0'。8z8z0Lorenzi換(4-22)(4-23)瓦。（x，,y，,z，，t）-u0狡+!2自由表面條件，在y'=＜（x',y',z(4-23)2—u里'"8t08x'j；J。+%V0.V'G'6.V'。)+g8。=0(4-24)［推導(dǎo)時注意到:gOtO2(O「O(Ot2OtIOto(1一u0茜+元，令O(?八V'(|)=O(x,y,z,t)=O(x-ut,y,z,t)，""""000.八8(|).八O(——uOt0Ox'_o2(=—2uOt2O2(O2(>+u2]0OtOx'0Ox'2引入定常速度勢礦(x',y',乙')以描述船體無搖蕩，只作定常運動的興波速度勢。具體定解條件為:V2(=0,u2弦-2uV'(-V'°?+%V'(-V(V'(?V'()+0Ox‘20Ox'2g典=0,y'=n(x',Z。上o-y叮(x',z,)=-gO(OnR/-x'+O(1),-x'+O(4-25)R=\：'x2+產(chǎn)若船舶還作搖蕩，可令6=(+①(x',y',z',t)，①(x',y',z',t)為非定常部分，包括入射，繞射，輻射三個部分。①定解條件為：V'2①=0，流場內(nèi)。s/：u2竺-2uV'(-V'°(+-4V'(-V'(V'(-V'()+0Ox‘20Ox'■■-2O2①cO2①O2①O中+—2u+u2+2V①-V—O(g寥O2①O2①O①O中Ot2-u0OtOx+u0Ox2+*舌-u0*耘+%V'①-V'(v'①-V'①)+g竺+2V'(-V'竺-2uV'①-V'西，'26Oy'Ot0Ox'-2uV'(-V'竺+V'①-V'(V'(-V'①)+V'(-V'(V'(-V'中)0Ox'+-2V'①-V'(V'(-V'()+12V'(-V'(V'①-V'①)=0yB叮(x:z\t)上(4-26)r、i「18①8中(4-27)叮(x,，="[-u°&+.%"?"+*-u°彼+虹V'O-V'O+V'^-V'O]:2j=T|關(guān)于物面條件需作單獨討論。(4-27)關(guān)于物面條件需作單獨討論。2.物面條件S。平均位置S瞬時位置ox^yz固結(jié)坐標(biāo)系o'x'y'z'參考坐標(biāo)系oxyz輔助坐標(biāo)系o點在o^XJz^中位置為(x,y,z)，另引入以，。，丫表示角位移以點p作為研究對象，其在o'x1y1z1及oxyz中位置見圖。t時刻，在參考坐標(biāo)系中p=(x',y',z')，在動系中p=(x,y,z)。初始位置(平衡位置)P°=(x0,y0,z0)，顯然有：p=(x,y,z)=(x',y,z')=p0000幾何關(guān)系:uuuvunvuvo'p=o'o+op在原點與oxyz重合，而三軸與o'x'y'z'平行的參考系oxyz中:在動坐標(biāo)系oxyz中:由4.1.1知識mvtvuvuvivop=x/+y/+ze=xe123iiop=x；ii(4-28)(4-29)(4-30)(4-31)r人一1x「x]「x]「x]人y=r八一1By=y+(a,P,y)x(x,y,z)+D]yLzJLz_Lz_Lz_+O式中面=cosPcosysinasinPcosy+cosasiny-cosasinPcosy+sinasiny1-2(P2+y2)-P+ya1-Ka2+P2)201-12(P2+y2)

aP「0-yP「+y0-aL-Pa0_Py+a001010ay-cosPcosy-sinasinP+cosacosy

cosasinPsiny+sinacosy-a1-1(a22+。2)-12(a2+y2)Py0-I&+P2)「x廣「x-xy=y+-yz'zz+(a,P,y)x(x,y,z)+D]uvx',t利用上面關(guān)系式，可將4sinP-sinacosP

cosacosP+O(￡3)(4-32)(4-33)轉(zhuǎn)專至oxyz中表達(dá)，即絕對速度勢在動坐標(biāo)系中表達(dá):)x+x+sax+dx,tiiijkjkijj)84力+eax/+dxiijkjk8x‘ijj)(一')如)+8axX+8ax)+O(83)iijkjk4似t)=4盟t)=4(M,t)+*Ui8246+8ax/\x+8axAO(83)8x'8x'iijkjkssmnmn式中x=(x,x,x)=(x,y,z)，x和x‘類似x表達(dá)，a=(a,a,a)=(a,P,y)，i123iii1123中相應(yīng)元素。第一項4(x,t)=4(x,y,z,t)=4(x0,y0,z0,t)表示4在靜止物面S0(平均濕表面上)的(4-34)值，法向?qū)?shù):d

ije48n84(p)84(p)———=n(p)——.ex'qexiq=n(p),1,sv［注釋：4在什么坐標(biāo)系中表達(dá)，n也應(yīng)在相應(yīng)這個坐標(biāo)系中表達(dá)，(4-35)由于4在(x',y',z')中表示所以n也應(yīng)在(x',y',z')中表示，而n=ne=nellliuvavw同時n=ne，故有n=n］li一一式中n(p)為Vp在參考系中投影。d@(p,t)d^(p,t)d2^(p—ni,t)(一)d2巾(p,t)——\x+8ax/+0——dxiijkjkdx'dx'ijji:+8ax).G+8ax)+O(83)iijkjkssmnmn0——+0-dx'dx'dx'l/li+yd3巾(p0,t)(?，'2dx'dx'dx'uvlVsv=ne(注：n。n)(4-36)Vnp0v（都用n表示分量，理由是對應(yīng)點上（pfp）,n相對于各自坐標(biāo)軸上分量不會在運動中改變，V亦即剛體在旋轉(zhuǎn)過程中，連體上n是不隨t改變的，但相對于參考坐標(biāo)系來講是隨t變的）pvuvuvuv又n=ne=ne=npe（同矢量在不同坐標(biāo)系中表達(dá)）pllqqqqll式中K為［b］的元素，取到二階量，則lq(4-37)由(4-36)t和(4-38)得到為(V,D為(p,Dnrn+8an+dn+O(83)lllpqpqlqq(4-38)d?(p,t)—0——n(p)+"dx'l0ld2@(p,0-dx'dx'd2展p,0-dx'dx'li瞬時物面S上p點速度(先考慮無航速)，則v&Wvv用甲u(yù)(p)=xe+sxr=xe+8lllldni由前面知識知:云0—8㈣以pnql)()d?(p,t)axJn(p)+0——dnijkjkl0dx'lqql+8ax)8an+O(83)iijkjklpquvwecosycosP+f&siny,f&cosy-g&cosPsin丫,胃+o&sinP)r(g&+Py,伊—dy,波+dp)+O(83)VV.?.①xr=佩-c&y)z-(成+G&P)y(yuap)x-C&+Py)z+oJ)C&+py)y—Q&—ay)x(4-39)(4-40)(4-41)(4-42),uv1le-neiiiiy)vve7+8①xe-nepiiiiiiqjkkkqqq(|&z-汝y)n+(7&x-c&z)n+^y-f&x)i--((&z+Opy)n+(&3x-伽z)n+Sy+G&Y3n+O123=Xn+O&(yn-zn)+|&(zn-xn)+i^(xn-yn)+*8anii3213-(Oyz+OPy)n+Q&3x-酬z)n+(f&<v#()史-n=U(p)?ne伽(p)1因為-on21iipqpxy+d&z)n+O(83)(4-43)所以由(4-39)和(4-43)n兩者相等，注意到。=8。(1)+82。。)+L0忡Ons0?n(p)=xn+c&(yn一zn)+|&(zn-xn)+^(xn-yn)Oxi0ii321321i(4-44)也Ons0i8pnq-(Oyz+Opy)n+C&Px-pyz)n+(pYy+(&yz)nO?(1)(p,t)d2^(1)(p,t)(_OxppqOxOx引入{u}={&,&&z,O,P,4,{/%}={n,n,n,yn-zn,zn-xn,xn-yn}。ii123321321+8ax)niijkjki式中氣,x為物面平均位置s0上法線矢量和位置坐標(biāo)在參考系坐標(biāo)軸上投影。［注意到：p(x,y,z)=p(x,y,z),0000n=np11=n,n=n=n,n=n(4-45)=n]p03從而0。(1)Oni=1,2,L6.(4-46)s0現(xiàn)考慮有航速情況o'x'y'z'沿ox以u移動。000物面條件精確提法為:O。On(4-47)sv應(yīng)QuvVVu=ue+xe+oxr01jj6(x',y',z',t)=6(x',y',z')+①(x',y',z',t)(4-48)(4-49).?遂=(J-0。)On(4-50)s一v若U0,3=0,只有定常興波，設(shè)此時濕表面為s即在’0上迭加定常移動興波引起的濕表面變化，此時物面條件:dn人SeV=V9-n人SIVvivIV=Un=u焰-v)=U焰-ne)=Un0101011101(4-51)上式與（4-25）中自由表面條件構(gòu)成精確邊界條件?，F(xiàn)引入非定常運動是微幅的假定，即X,奇和①（x',礦,乙\t）均為小量，記作O（￡），相應(yīng)地S與jS差力別也是同級小量。先求一任意函數(shù)A（x',礦,乙'）:Qx'=x+x+e以x+O(As2)iiiijkjk?A(x',y',z"=A(x,y,z)).+G)dA(x,y,z)+8ax/ijjkdx'.de

取A*

dxi，則V&-nd?(_d—n+\x+8axj而n=n+8an+dnijkjkikk???V「Vdn8an+(xdx'jpqpqjx+8ax)d2?n+O(82?)iijkjkdx'dx'i)d2?+8ax)——-iijkjkdx'dx'is，w-n+oG2?)(4-52)人SiVv

另外ue-n=d&

=ndx'jjVIVIVue-ne=un=u011101'n+(an-an)]0L12332」注意?（d）異同；表達(dá)方式相同，但具體值不同，?中無搖蕩人,，-，,一，一=七=n1;（d）中存在搖擺，U濟(jì)=n=n+(an-an)11112332...I三(uF-V?)

01d?dx'jpqpqjdR=8oUan-^——anijk1i0jkijkdx'jkj)d2?八+8axniijkjkdx'dx'sis令w岌—Uoidx'01idxii(4-53)物理意義：定常繞流速度場，即流體力學(xué)中提到的相對速度勢誘導(dǎo)的速度場。dwidx'dwsdx'i*_d2^d2&二I=sw以n—xn-8以xn泓ijkisdx'dx'泓jksdx'dx'isisQ8w以n=8w以n=8w以n注意到i-ijkijkijkkjjijkjkid26"—8以nw—8以xnisdx'dx'ijkijkijkij■i_d2，d()=—xn—8以n——\x'wisdx'dx'ijkisdx'jk(v=—x?(nVd26dx'dx'is代入（4-50）得s-V臨.v)Gxw)d①od①&v,W，vv\M—'vvfv\/vv\—&=&-n+c&-(rxn)—x-(n-V)w—a?(n?V八rxw)dndnSS(4-54)若設(shè)(&,&,&)=x=(x,x,x)123v123(&,&,&)=V=(V，以，以g,m,m)=-(n-V)w3)=(a,p,y)(4-55)123(m,m,m)=—(v-V)(vxw)j=1,2,L6.d①成u=^n+gmdnj=1,2,L6.S上式稱為Timman&Newmman條件。討論：若還引入船體等移動的定常興波較小，即vr=U0（對應(yīng)于細(xì)長體一類結(jié)構(gòu)），則vBw=—eU,S=S(4-56)(m,m,m)=(0,0,0)(m,m,m)=(0,Un,—U(4-56)4560302-Timman&Newmman條件其它形式:dOdnd①或——dn=[舛(wN)*—G?v)w]K'S=[<&+Vx(Ixw)]?n式中方=x+8以x,&=x+8(&xiijkjkiiijkjkvS(4-57)推導(dǎo)如下：QU（以n一以n)=—Gx%)n10c?萍vCv)=￡na——=-n?vaxV^7jpqjk8x'p8①——8aq8xijpqj(vW)v(V)v(_則/=-Vaxeu)?n+敏xV6人n-\x-8ax)8vwijkjk8xi'令a三x+sax,iiijkjka=x+8敞x代入（4-50）n（4-57）式。具體推導(dǎo)參見《船舶在波浪上iiijkjk運動理論》。下面從Price-Wu方法推導(dǎo)：設(shè)總速度勢6=?+①=?(x',j',z')+O(x',j',z',t)物面條件:868nSxr+xeiv人.8（|）8n8①n——8n868n令w=V(68①+——8nS，vvv?n+a?nive01(a=x+8ax)iijkjk(4-58)-Ux,)08①則弟考慮到小幅搖蕩，即OJ）量，則S與S之間差異亦是同級小量。vv從而n=nS+6v，Srw人Sv=w人S+6w，(4-(4-59)(4-60)(4-61)(4-62)[a+avxw-(*?v)w:(w?湖=[($+6w)?(v+6v)]|=(w?v+6其中（w?n）=0，S6n=axn（蕩不會引起n變化，只有剛體轉(zhuǎn)動及結(jié)構(gòu)變形才會引起*變化）式中a為結(jié)構(gòu)角位移，即a=（a，B,y），而6w=(位移?V)iv+L=(*?V)iv??.(w?v)&[G.v)w+w3xv)]|.=[G.v)w-0x$)]8①代入(4-58)式n—8n可證明axW=(w&)a,所以(4-62)式可改寫為(4-57)式。4.2彈性體與外流場相互耦合4.1.1坐標(biāo)系選取及運動量描述坐標(biāo)系選取與4.1節(jié)中相同，oxyz為坐標(biāo)系，o'XyZ為隨結(jié)構(gòu)物以航速"沿ox作勻速0000000前進(jìn)的參考系，以表示結(jié)構(gòu)物搖蕩姿態(tài)，oxyz為隨體坐標(biāo)系。O$S^Z$為平動參考系，以描述結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)運動，具體見圖4.2.10圖4.2-1坐標(biāo)系選取位移矢量定義：unyuuuuv結(jié)構(gòu)上任意一點P經(jīng)搖蕩及變形后總位移(相對o'x'y'z')為u=pp=oo+r其可以分解為剛體平動位移、轉(zhuǎn)動引起位移及彈性變形引起的位移，分別表示如下：剛體位移：uvuuu剛體平動位移門T=(x,y,z)=oo，在水彈性力學(xué)中一般表示為：uvuu門=完u=(u,u,u)(4-63)Tr123r=1其中<uvu=(x,0,0)=(u,0,0)uV_1<舄=(0,y,0)=(0,u2,0)

u3=(0,0,z)=(0,0,u3)分量物理意義分別代表縱蕩，垂蕩(升沉)和橫蕩引起的位移剛體轉(zhuǎn)動引起的位移：uv-[i]cosPcosY-cosPsinYsinP-句=sin以sinPcosY+cos以sinY—sin以sinP+cosYcos以一sin以cosP-=[其中[一cos以sinP(r0-yI】+Y0--P以「100-L010001-(P2+Y2)/cosY+sinasinYcosasinPsinY+sinacosYcosacosPP]a+[D]+O(0)0200-[d]=弗ay-(a2+y2)/20PY-(a2+P2)/2式中(4-65)(4-66)「。-YP]「X]「Pz-yy-Y0-ay=[R][r]=Yx-az-Pa0_z_ay-。x_當(dāng)只考慮到一階量時，（4.64）可改寫為uvv=以xrvuvURivvv若令L=。,P,Y）=a，則U=nR在水彈性力學(xué)中(4-67)vW/X,v門=a=(0,0,0)=￡0r=4(0,0,0)4(0,05,0)(0,0,0)6改寫成其中VfVu=￡uRrr=4(4-68)各項物理意義是分別由橫搖，uv4〈uvu〔6=(0,-z04,y04)=(0z,0,-0x)55=(-06y,06x,0)(4-69)艏搖，縱搖引起的位移從(4.69)可以推出：v1,ver=12Vxur(此式只有在線性化條件下才成立)所以，因剛體轉(zhuǎn)動引起的一階位移量為:,v、憲err=4)vvv/uR=門Rxr=[3)結(jié)構(gòu)彈性變形引起的位移：v^^vu=JPp=t"r(x,y,z,t)=t(u,v,w)vr=7r=7rrr式中ur表示第r階主振動(模態(tài))下引起的變形位移。轉(zhuǎn)至o'x'y'z'中表達(dá)時'%tVxuIr=4vtvxr=turr=4(4-71)(4-72)I--]v=Bv=u-vP+9+K%】upu」Pv+Ru+9u+K=u+門xu+9u+Kv=u。pvu=(u,v,w)=tu=門+不pv

只考慮一階量時，up.P?r從而結(jié)構(gòu)上任一點p處總位移(在o'X'y'z'中)表達(dá)式為:vvvvv，TRX'+up1若引入主模態(tài)，主坐標(biāo)的概念，則結(jié)構(gòu)上任意點處位移可表達(dá)為另一種形式:(4-73)vvvu=tur(x,y,z,t)=tu0(x,y,z)q(t)v11式中u0為結(jié)構(gòu)第r階干模態(tài)，其前6階為剛體模態(tài)艏搖和縱搖，具體表達(dá)式為：vu0=(1,0,0),vu0=(0,—z,y),另外式(4.74)中qr(t)表示第r階主坐標(biāo)，對應(yīng)剛體運動的前6階模態(tài)分別為:vu2=(0,1,0),vu0=(z,0,—X),(4-74)分別對縱蕩，垂蕩(升沉)，vu0=(0,0,1)vu0=(—y,X,0)橫蕩，橫搖，(4-75)q(t)=y=u,q5(t)=e5,4.1.2結(jié)構(gòu)在流體作用下運動方程q(t)=x=u,q4(t)=e4,q(t)=z=u

q()=。6(4-76)經(jīng)有限元離散后總體運動方程為M&+Bz&+Ku=P+F+F%%%%%%%%%式中鬼，寫，k分別為廣義質(zhì)量，阻尼和剛度矩陣F和F分別為廣義流體力、廣義集中力和體積力列向量%彌(4-77)將%=*9(X,y,z)q(t)=D%q代入并注意到干模態(tài)正父性，則(4.77)可以改寫為r=1(4-78)嗜黑&氣%+&+2項彈性力學(xué)方程式中a,b,c分別為干結(jié)構(gòu)廣義質(zhì)量，阻尼和剛度陣。(具體推導(dǎo)見4.2.5)

7IG］，/，§］'h_1I7/、/?、，I，-，II7/^>^|1。、/、II7H-■/>—*1.^^.'—,(4-78)式(4.78)就是同時考慮了剛體運動和彈性變形的水彈性力學(xué)方程。4.1.3流體力及廣義水動力流體壓力在固定坐標(biāo)系oxyz中，表達(dá)式為:0000p=_p(4-79)S。)即絕對速度勢在固定系中表達(dá)。式中0=0(X0,y0,z0,t)設(shè)在o'x'y'z'中速度勢表達(dá)式為0=0(X,y',z',t)0=0即絕對速度勢在固定系中表達(dá)。0=0，v00=礦080_8t8_88t08x'故(4-79)式改寫為:一人一人=I8一人一人=I8c1—r、i2,p=—Pi—U08X0+2V°+gy8r,u8t08x'(4-80)一人又6可分解為0=°(x‘,y',z')+0(xr,y',z',t)即定常，非定常部分，代入上式一人8,,u,8t08X08x'一人=,8,8l1一"，p=—p—0—U0870—U08X0+2V°+gy「。)±廠C1QC'11—1—1—1—1II式中_v02=-v0?v0=-v0?v0+v0?v0+_v0?v0c222—ux0=V0-u單位矢量)則上式可改寫為：Z(v6&6)=Lw2+wu+—u2+w22又，因為1…2.V—

令w=V.Vv(e參考坐標(biāo)系坐標(biāo)軸單位矢量；e動坐標(biāo)系坐標(biāo)軸020v-V0+u01+2V0"V0(4-81)—u(w+—u(w+u)=—uw-"2(4-82)08x將上兩式代入p表達(dá)式得p=—p^-0+w,V0+萬(w2—u2)+^V0"V0+gyf(4-83)s(t)上式就是在參考系(平衡系)中在瞬時［上計算p的公式。下面將其攝動到平均濕表面￡上。轉(zhuǎn)換之前首先說明一下￡與S。的區(qū)別：s°表示無航速時，搖蕩平均濕表面，而￡表示有航速時定常速度勢誘導(dǎo)出的定常速度場（相對o^Yzf而言）引起的平均濕表面位置，兩者僅當(dāng)定常速度為小量時，誤差才是小量。根據(jù)攝動理論，有:(4-84)p\=h+GI-V)+2(v&)時-V)]+L,(4-84)若取P￡(t)=(1+若取P￡(t)=(1+u-V)p|，￡則將（4-83）代入并注意到u頊+寸Xr+lLu+LTRrr=1=（",v,w），可得到p|=p⑴￡=p彳"+($.叫)+2($2-u2)+gy+g$匕(4-85)式中$=lLi$qrrr=1若考慮二階量，則pl=￡+p(2)p(2)=—p{g戚+Rv)-Vz+Gpi).V)仁+$-1金v）o+1（例-叫）+1「（，】+

廣22「%-VW2>(4-86)廣義水動力Z(t)=jjn-U0pd￡rjjX-況|d￡rrlr￡(t)(4-87)4.2.4物面條件v只需將剛體運動中物面條件，即（4-62）式中a改寫成:v頊+i{XV+工V=]EzV圣TRrrr=7r=1U0q(t)r=7

v式中L=[q(t)+q(t)+q(t)]，門r=[q()+q()+q()]V,一疽:VV頂八/、及a改寫成U，即U=a+乙Uq（t）rr=7就可以得到水彈性力學(xué)中物面條件：dnrVV(Nb、V勺VUx$-(u-V)$+u-n(4-88)引入主坐標(biāo)后，g。,+虹+’4qU)='4Drrr=1rr=1(4-89)式中?——入射速度勢,

中=工4qr(t)為輻射勢r=1可以證明孩Idn(Haskin關(guān)系)s代入(4-88)得:&rr=&rr=1…'卜面就總速度勢4(t)也=￡(q(t)(ex$)—q(t)(U-V)$+U寸(t)}.nVQnrrrrr(4-90)r=16=。+。=。+。+。+藝。q(t)中各項速度勢定解條件作一總結(jié):IDrrr=1定常速度勢礦:V2。=0,TOC\o"1-5"\h\z8。少v-Q—=ue-n=uu2墮-2uVW-V'延+^VD-vG。?。)*g皿08x'208x'28y'82。8。牝u2+g——=0,08x'28y'業(yè)+1?$-v($?$)=08y2告=°,-x'+-x'+O"R-X'+O(1),R=\：'x2+y2繞流速度勢中d:V2氣如E8"。中八u—①+g——D=0"初0辦')D占世'8①8中D=—18n8n中Dt=0=0,8①D-8tt=0=0,8①nD=0,8y'V①D—0V中S實際在）'=0上FS上V中SB上S上r=1rr=1V2①=0,

r仁-u-]2{8t08x')+g*=0,8①vvvn-uq(t)+n-8trr嘰0如告)x=0,t=08①limV①=0,或ry?r8y'遠(yuǎn)離物體處有波外傳y'=—M=0,V中SF上實際在）'=0上iV-（Uir-V）iVJq「（t）,S上V中SB上S處4.2.5水彈性力學(xué)主坐標(biāo)方程為了克服切片理論或二維水彈性理論無法解決諸如多體、半潛體等非梁、彈性結(jié)構(gòu)等動力問題的局限，必須建立一個適合處理任意形狀的航行于海上的浮體結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型。本節(jié)將討論此方面問題。4.2.5.1彈性結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化有多種形式，其基本目的就是把一個具有無限多自由度的連續(xù)體簡化為一個只有有限個自由度的多自由度系統(tǒng)。對于靜力學(xué)問題，這個離散化的系統(tǒng)與初始系統(tǒng)的等效性是基于哈密爾頓原理，也有不少方法是基于相應(yīng)的廣義變分原理。當(dāng)然，也可直接從微分方程出發(fā)，在對劃了的結(jié)構(gòu)引入某些近似假設(shè)后，建設(shè)離散化的數(shù)學(xué)模型（如遷移矩陣法）。積分形式的能量原理或廣義變分原理，可以作為微分形式的平衡方程或運動方程的替代形式。然而，這兩種形式的描述方法并非具有同等的內(nèi)涵。前者反映了作為整體性原理的力學(xué)原理，它們要求有關(guān)力學(xué)場局部可積性，而后者則反映微元的規(guī)律，它們要求有關(guān)力學(xué)場局部可微。局部可微性并非物理現(xiàn)象中一定成立的條件。嚴(yán)格來說，連續(xù)物理場中有關(guān)規(guī)律的變分或積分的形式或許是考察這些規(guī)律的唯一自然的嚴(yán)密

正確的形式。在此僅討論有限元法這種離散形式，有關(guān)方程的形式帶有普遍性，可將結(jié)論用于其它離散化方法。一個動力學(xué)系統(tǒng)中任一點的位移u是位置和時間函數(shù)，即u=u(x,y,zt)，若我們將該連續(xù)體系統(tǒng)劃分成若干個尺度有限元，在每個元的局部坐標(biāo)&門匚中，元上任一點位移U(C表示局部坐標(biāo)中表達(dá))，可用該元有限節(jié)點上的位移列陣U展開為：eu=\jU,V,w}=NU(4-91)…％%%e()上式中n為開關(guān)函數(shù)，它是&門。函數(shù)。嚴(yán)格講，此表達(dá)式只適合靜力學(xué)系統(tǒng)，因為動力學(xué)系統(tǒng)中，單元在慢性力作用下出現(xiàn)了變形。因而n也應(yīng)是t函數(shù)。但當(dāng)單元數(shù)足夠多，單元劃分較小，而U又是由系統(tǒng)的動力學(xué)方程求得時，這種方法能夠給出較好近似。利用相應(yīng)結(jié)構(gòu)的物理議程，可%e以用(4-91)式相對于N的微分形式表示結(jié)構(gòu)的內(nèi)力(例如對板、殼、梁為或借助于幾何關(guān)系及物理關(guān)系表示結(jié)構(gòu)的應(yīng)力(三維元、平面聯(lián)元)等。代入應(yīng)變能表達(dá)式，可求得單元剛度陣K%e表達(dá)式，代入動能表達(dá)式可以從質(zhì)量分布求得單元質(zhì)量陣MMe表達(dá)式，即推導(dǎo)如下:(4-推導(dǎo)如下:(4-92)n=jjj1匚TQdQ=jjj-(UTbT)(DbU)dOe22%e%%%%eTOC\o"1-5"\h\zOOT=-Jjjpu&Tu&dO=1/fffp<U)<U)dO=匕UtMUe”’2rb/"2rb%%e%%e?'2%e%e%,OOee式中%,d分別為幾何關(guān)系與物理關(guān)系的系數(shù)陣。即s=bU,Q=D任，b=VN.其中%%%e'%%%'%%八^a000aay000aaz￡axaay00aazaay_6z0aaxv=E(1-v)，D=(i+v)(1-2v)VV0001-V1-V1V0001-VV10001-V1-2v002(1-V)001-2v0002(1-V)01-2V00001000-VV1-vV1-v則單元阻尼陣可通過虛功原理假如以P表示結(jié)構(gòu)中分布粘性阻尼系數(shù)陣，亦即阻尼力為-puV一泊松系數(shù)，E一彈性模量。UtBU)%e%。%。'ee(4-93)由它定義作用在單元節(jié)點上的阻尼力-bU。%。%。作用在單元節(jié)點上的集中力%G,,n.,?！竧）及分布作用面力p（Em,C;t）可以通過虛功原理轉(zhuǎn)換為等效節(jié)點力：t=￡NT自*°）fj5'°"t）=￡NTGi=1/0P=JJpNtVdS,Fb=張”%%%。Se"。v其中%為單元表面S。的內(nèi)法線向量。當(dāng)然S。公是結(jié)構(gòu)受外載面的一部分。4.2.5.2運動總體方程局部坐標(biāo)（E,q,匚）可通過與總體坐標(biāo)系（x,y,z,q,C)fj(t),=1一%v%PdO(4-94)一一7/^%%,y)cos(6,z),y)cos(q,z),y)cos(°,z)cosiqcos(qcos(。,%表達(dá)式為:從而在（Em,C）中任意矢量%可在（x,y,z）中表達(dá):a=lta(4-96)

%%%()單元。上節(jié)點位移列陣y在G,y,乙）表達(dá)式為:(4-97)其中L=%(4-98)1%」上面式子中不帶"-"的量為在總體坐標(biāo)系中表達(dá)的相應(yīng)量。顯然%和(4-97)其中L=%(4-98)1%」上面式子中不帶"-"的量為在總體坐標(biāo)系中表達(dá)的相應(yīng)量。顯然%和L均為正交陣，即%-1=%t,L%-1=L%t（4-99）因此在（Em,C）中表達(dá)的廣義質(zhì)量、剛度、阻尼陣及廣義體積力等力可分別表示成：Ke=LtKL,M=LtML,B=LtBL%%%%'%e項%e%'%j%%%e_/、Fb=LTFb,P=LtP,Fj=LtFj,R=LtE(內(nèi)力)%%%%%%/%%%e'%e%%V內(nèi)力7若體積力中只有變力作用，且在總體坐標(biāo)系中沿z軸向下，則(4-100)礦=-jjjPbgLtNt%dQ(4-101)Qe（注：Fb表達(dá)在不同總體坐標(biāo)下，應(yīng)作變化?。┢渲?%={cos(E,z),cos(q,z),cos(匚,z)}［已知fb=,-g}，而f=f，從而%b%%利用哈密爾頓原理(4-102)=j15Ut(R+P+Fj+Fb-BU)dt=0

%e%--(4-102)(t)=0=5Ue(t2)(4-103)?e=EUTKeUe'T=/2UTMe(4-103)并將有關(guān)式代入得到總體坐標(biāo)系中單元運動方程:MU+BMU+BU+KU=R%e%e%e%e%e%e%若將各單元相加，則需將(4-102)中Le改成L=Z+P+Fj+Fb%%%(4-104)Le‘并注意到ZR=。，則整個結(jié)構(gòu)離散后總體坐標(biāo)系中運動方程:(4-105)mU+bU+KU=P+Fj+Fb%%%%、%%%%%式中M,K,B(4-105)4.2.5.3結(jié)構(gòu)運動方程的簡化1.結(jié)構(gòu)固有頻率及主振型自由振動時，BU=0,P+Fj+Fb=0%%%%%令U=Deo,D=D(o)%%%%代入(4-105)，得(4-106)(-o2M+K%-若m，K為正定，則上式給出正的特征值o%%r—)D=0(4-107)片％()(r=1,2,L,m)，稱之為固有頻率。對于任何一個特征值存在一個特征向量D，又稱為r階主振型，其幾個元素，每個元素相應(yīng)于一個節(jié)點的六個自%r由度的振型位移，即Dr=0r1，8r2，L，^%rj^'Drn^,V,w,0,0,0),rrrxryrzrj乃表示節(jié)點j=1,2,L,n(4-108)將每個單元各個組合對應(yīng)的子陣用dr表示，則單元節(jié)點位移可表示為:(4-109)利用插值函數(shù)&及局部坐標(biāo)轉(zhuǎn)至總體坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)換關(guān)系陣%及L，則單元中任一點的r階振型u=dreiort,U=dreRt暇%%er%'位移u0表示成：ru0={/0,v0,W0}=lTu0=lT(Ndr)=ltN(Ldr)=ltNLdr(4-110)%rr，r'r%%r%%%%%%%%%%()2.剛體振型結(jié)構(gòu)物完全自由，如自由浮體，則§是半正定的，且§=0,頻率方程(4-107)變?yōu)?-02M+K=o2M=0%%%從而導(dǎo)致六個零根，即or=0,r=1~6.此時需利用剛體運動理論定出其振型。假定旋轉(zhuǎn)中心在質(zhì)心C處(原點不一定在C處)，且處于平衡位置時，與參考系重合，并用u,V,w,0,0,0表示質(zhì)心處位移和角位移，且假定這些位移是一階小量，則可發(fā)現(xiàn)6階剛體位cccxc移振型D,(ryczc=1~6)在第j點(x,七，j處的六個分量可以用矩陣形式表示成如下一般形式:—(yj—y)1Drj(y,-y(4-111)xc0"zc將其表達(dá)為縱蕩、橫蕩、垂蕩、橫搖、縱搖和艏搖等六個熟悉的形式，即}={1,0,0,0,0,0}、}={0,1,0,0,0,0}}將其表達(dá)為縱蕩、橫蕩、垂蕩、橫搖、縱搖和艏搖等六個熟悉的形式，即}={1,0,0,0,0,0}、}={0,1,0,0,0,0}}={0,0,1,0,0,0}}={0,0,0,1,0,0}}={0,0,0,0,1,0}}={。,0,0,0,0,1}(4-112)D1j恥,0,0,0!“'={0,1,0,0,0,0}2j-z),(

d—(,V,一y),(x-x)剛體上任一點(x,y,z)處位移振型可表達(dá)為：%2JD=10,0,1,0,0,0}%3jC/、D=<0,-D44直%5jD='%6jy.—y),1,0,0(x,-x),0,1,0),0,0,0,1jc(4-113)wo%wo如如如(4-114)注：上式可以從u=(u,v,w)=寸U-n+nxr導(dǎo)出，其中jjjjrrRr=1n=(u,v,w),n其,0,o),V=V-VrcccRxcyczcjc其中與r階振型相應(yīng)的質(zhì)心線位移與角位移u,v,w,0,0,0為任意選取的常數(shù)，不rcrcrcrxcrycrzc同取法對應(yīng)于剛體不同的定義方式。情況A：因為剛體振型的特征向量可以按任意比例常數(shù)定性幅值，也可按所需形式歸一化(正比例)，譬如{u,v,w,0,0,0>1c1c1c1xc1yc1zcIu,v,w,0,0,0TOC\o"1-5"\h\z(c2c2c2xc2yc