高中數(shù)學(xué)高考 2020-2021學(xué)年下學(xué)期高三3月月考卷 理科數(shù)學(xué)（A卷）-學(xué)生版

此卷只裝訂不密封班級(jí)此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)理科數(shù)學(xué)（A）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．22．如圖所示，A，B是非空集合，定義集合A#B為陰影部分表示的集合．若x，y∈R，，，則A#B為（）A． B．C． D．3．下列關(guān)于命題的說法中正確的是（）①對(duì)于命題，使得，則，均有②“”是“”的充分不必要條件③命題“若，則”的逆否命題是“若，則”④若為假命題，則?均為假命題A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③4．函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓（，）上，則的最小值為（）A．12 B．14 C．16 D．185．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征．如函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．6．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則△ABM與△ABC的面積比為（）A． B． C． D．7．在中，，，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．8．展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，過橢圓的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，則可以?。ǎ〢．4 B．5 C．7 D．812．己知周期為的函數(shù)滿足，當(dāng)，，常數(shù)滿足(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則關(guān)于的不等式在上整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知隨機(jī)變量，則__________（用數(shù)字作答）．14．若定義在上的函數(shù)，則________．15．實(shí)數(shù)，滿足，（，），則的取值范圍為______．16．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，設(shè)，若存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，則的值為_________．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地，其中，，．當(dāng)?shù)卣?jì)劃將這塊空地改造成一個(gè)旅游景點(diǎn)，擬在中間挖一個(gè)人工湖，其中都在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設(shè)兒童游樂場(chǎng)．為安全起見，需在的周圍安裝防護(hù)網(wǎng)．設(shè)．（1）當(dāng)時(shí)，求的值，并求此時(shí)防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度；（2）若，問此時(shí)人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的多少倍？（3）為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設(shè)計(jì)施工方案，可使的面積最?。孔钚∶娣e是多少？18．（12分）如圖所示多面體中，平面平面，平面，是正三角形，四邊形是菱形，，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．19．（12分）某電商平臺(tái)準(zhǔn)備今年的周年慶典活動(dòng)，為了更精準(zhǔn)地投放優(yōu)惠券以提高銷售額，對(duì)去年周年慶典活動(dòng)中的優(yōu)惠券使用情況和用戶消費(fèi)金額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，去年老用戶的消費(fèi)金額滿足正態(tài)分布，設(shè)消費(fèi)金額為(單位：元)，，如圖所示，經(jīng)計(jì)算得．（1）求；（2）根據(jù)去年的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，該電商平臺(tái)今年預(yù)備推出“消費(fèi)金額每滿300元減30元”和“消費(fèi)金額每滿800元減90元”兩種優(yōu)惠券，為了進(jìn)一步了解用戶的購(gòu)買意向，計(jì)劃把去年的用戶按消費(fèi)金額分成四組，，，，用分層抽樣抽取10位去年的老用戶作為幸運(yùn)用戶，贈(zèng)送禮品并進(jìn)行問卷調(diào)查．（i）計(jì)算各組應(yīng)抽的老用戶數(shù)；（ii）為了了解用戶對(duì)今年的兩種優(yōu)惠券的意見，確定兩種優(yōu)惠券的投放比例，從，兩組的幸運(yùn)用戶中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行面對(duì)面訪談，記從一組中抽取的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知橢圓的離心率為，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）直線交于、兩點(diǎn)，直線交于、兩點(diǎn)，若．求四邊形的面積．21．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），又以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程，若原點(diǎn)在曲線C的內(nèi)部，則求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，又點(diǎn)P為此時(shí)曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．23．（10分）【選修4-5：不等式選講】已知．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，正實(shí)數(shù)，，滿足，求證：．2020-2021學(xué)年下學(xué)期高三3月月考卷理科數(shù)學(xué)（A）答案第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】B【解析】，所以，故選B．2．【答案】D【解析】由題意知：，，，∴，而，，∴或，故選D．3．【答案】A【解析】①對(duì)于命題，使得，則均有，故①正確；②由“”可推得“”，反之由“”可能推出，則“”是“”的充分不必要條件，故②正確；③命題“若，則”的逆否命題是“若，則”，故③正確；④若為假命題，則，至少有一個(gè)為假命題，故④錯(cuò)誤，則正確的命題的有①②③，故選A．4．【答案】C【解析】由，即，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以（，），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故選C．5．【答案】A【解析】由可知，該函數(shù)為偶函數(shù)，B不對(duì)；可考慮的情況，，因?yàn)椋?，，，函?shù)在上為增函數(shù)，故選A．6．【答案】C【解析】設(shè)D為AB中點(diǎn)，連接MD，則．由，得，即，∴．如圖所示：故C，M，D三點(diǎn)共線，且，也就是△ABM與△ABC對(duì)于邊AB的兩高之比為3∶5，則△ABM與△ABC的面積比為3∶5，故選C．7．【答案】D【解析】由余弦定理，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，故選D．8．【答案】B【解析】，所以，展開式中含項(xiàng)為，故項(xiàng)的系數(shù)為，故選B．9．【答案】C【解析】構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，三棱錐的三視圖即為圖中所示，將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，只需要求出直三棱柱的外接球面積即可，因?yàn)樗鼈冇型粋€(gè)外接球，設(shè)球心為，的外接圓圓心為，，，，由正弦定理得，，，，球的表面積為，故選C．10．【答案】B【解析】令，則，令，則，則問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少有兩個(gè)，至少有三個(gè)t，使得，求的取值范圍．作出和的圖象，觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可知使得的最短區(qū)間長(zhǎng)度為，最長(zhǎng)長(zhǎng)度為，由題意列不等式的，解得，故選B．11．【答案】D【解析】由題得橢圓的焦點(diǎn)為，，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)橢圓方程為，因?yàn)椋?，①，②又，③解①②③得，所以橢圓的方程為，由題得直線方程為，即，聯(lián)立直線和橢圓方程，得或，所以，或，，當(dāng)，時(shí)，所以，，所以，所以；當(dāng)，時(shí)，，所以可以取8，故選D．12．【答案】B【解析】當(dāng)，，則，，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，又因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示：所以恒成立，又因?yàn)椋?，不等式，即為，則，由函數(shù)的圖象知：在上滿足，有，所以不等式在上整數(shù)解的個(gè)數(shù)為7，故選B．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】【解析】由隨機(jī)變量，則，故答案為．14．【答案】【解析】由定積分的幾何意義可得，是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓的面積的一半，，，故答案為．15．【答案】【解析】將式子化簡(jiǎn)變形為，問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)是圓（，）上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍，令，即，畫出圖形，如圖所示（虛線部分為，實(shí)線部分為圓的一部分）：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有，由圖可知，z的范圍是，即的取值范圍為，故答案為．16．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，．若存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，則，記，則有，化簡(jiǎn)得，這與矛盾，故此時(shí)不存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，(其中)．因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，對(duì)任意，恒有(為常數(shù)且)，即，所以，所以對(duì)任意正整數(shù)恒成立，所以，解得或(舍)，所以數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，，故答案為．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【答案】（1）；（2）；（3）時(shí)，的面積最小，最小面積為．【解析】（1）在三角形中，由余弦定理得，所以，所以三角形是直角三角形，所以，．由于，所以，所以是等邊三角形，周長(zhǎng)為，也即防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度為．（2）時(shí)，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，，由正弦定理得，所以．以為頂點(diǎn)時(shí)，和的高相同，所以，，即人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍．（3）在三角形中，，由正弦定理得．在三角形中，，由正弦定理得．所以．由于，所以當(dāng)，時(shí)，最小值為．18．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】證明：（1）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又是正三角形，，所以，∵平面，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，，，，故，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．∴，，，，，．∴，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，∴，∵平面，∴，在菱形中，，又，∴平面，∴是平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，則，∴．19．【答案】（1）；（2）（i）一組中抽(人)，一組中抽(人)，一組中抽(人)，一組中抽(人)；（ii）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．【解析】（1）因?yàn)?，且，由正態(tài)分布的對(duì)稱性得．（2）（i）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性得，，所以從一組中抽(人)，從一組中抽(人)，從一組中抽(人)，從一組中抽(人)．（ii）由（i）知，兩組各有幸運(yùn)用戶3人，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為0123所以的數(shù)學(xué)期望．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知得，解得，因此，橢圓的方程為．（2）設(shè)、，則、，聯(lián)立，則，，同理可得，且到直線的距離，所以，又，所以．21．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，由，得，則的減區(qū)間為；由，得，則的增區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，由，得，則的減區(qū)間為；由，得或，則的增區(qū)間為和．當(dāng)時(shí)，，則的增區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，由，得，則的減區(qū)間為；由，得或，則的增區(qū)間為和．（2）．在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．令，，則．令，，則，顯然在上恒成立，故在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，即，所以單調(diào)遞增．因?yàn)?，，，所以的取值范圍是?2．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）