研究生入學考試第八章第二節(jié)偏導數(shù)及其在經濟分課件

第二節(jié)偏導數(shù)及其在經濟分析中的應用高階偏導數(shù)偏導數(shù)的定義、幾何意義及計算方法第八章多元函數(shù)微分學偏導數(shù)在經濟分析中的應用小結偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系內容回顧第二節(jié)偏導數(shù)及其在經濟分析中的應用高階偏導數(shù)偏導數(shù)的2.多元函數(shù)極限的概念（求極限）3.多元函數(shù)連續(xù)的概念4.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質（注意趨近方式的任意性）1.多元函數(shù)的定義（定義域）內容回顧化二元函數(shù)為一元函數(shù)，極限的四則運算法則，無窮小的性質，重要極限，代入法2.多元函數(shù)極限的概念（求極限）3.多元函數(shù)連續(xù)的概念4.閉一元函數(shù)變化率概念多元函數(shù)的偏導數(shù)是指這個函數(shù)對其中一個自變量的變化率,而其它自變量保持不變.一元函數(shù)變化率概念多元函數(shù)的偏導數(shù)是指這個函數(shù)對其中一個偏增量一、偏導數(shù)的定義、幾何意義及計算法對其中一個自變量的變化率,而其它自變量保持不變.1.偏導數(shù)的定義及其計算法偏增量一、偏導數(shù)的定義、幾何意義及計算法對其中一個自變量的變比較:一元函數(shù)的導數(shù)定義比較:一元函數(shù)的導數(shù)定義偏導函數(shù)定義偏導函數(shù)定義有關偏導數(shù)的幾點說明：1.2.求分段點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；與一元函數(shù)類似,多元分段函數(shù)在分段點處的導數(shù),需用定義求,這屬于基本微分法.解有關偏導數(shù)的幾點說明：1.2.求分段點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要求解3.計算方法同一元函數(shù)的導數(shù)有關偏導數(shù)的幾點說明：(請自己寫出)4.偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處求解3.計算方法同一元函數(shù)的導數(shù)有關偏導數(shù)的幾點說明：(請自解法一同一元函數(shù)的求導方法完全相同

解法二解法一同一元函數(shù)的求導方法完全相同解法二解例2

求函數(shù)的偏導數(shù)解例2求函數(shù)證偏導數(shù)記號是一個說明:不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,證偏導數(shù)記號是一個說明:不能看作分子與分母的商!此例表明,2.偏導數(shù)的幾何意義如圖這是一條平面曲線的方程2.偏導數(shù)的幾何意義如圖這是一條平面曲線的方程幾何意義:幾何意義:二、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系？但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在

連續(xù)，為什么不連續(xù)?二、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系？但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導數(shù)存不一定結論:多元函數(shù)的偏導數(shù)與連續(xù)之間沒有必然聯(lián)系.反之，例如，連續(xù)偏導數(shù)存在.不一定結論:反之，例如，連續(xù)偏導數(shù)存在.純偏導混合偏導定義1

二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).三、高階偏導數(shù)類似可以定義更高階的偏導數(shù)例如，z=f(x,y)關于x的三階偏導數(shù)為z=f(x,y)關于x的n–1階偏導數(shù),再關于y

的一階偏導數(shù)為純偏導混合偏導定義1二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導解求高階偏導數(shù)的方法逐次求導法解求高階偏導數(shù)的方法逐次求導法解解練習

求函數(shù)解注意:前幾例均有這一結論總成立嗎???的二階偏導數(shù)及練習求函數(shù)解注意:前幾例均有這一結論總成立嗎???的二階偏例如,

對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對n元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導數(shù)可以選擇方便的求導順序.因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù),當三階混合偏導數(shù)在點(x,y,z)連續(xù)時,有而初等例如,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說證利用對稱性,有例6

證明函數(shù)滿足拉普拉斯方程證利用對稱性,有例6證明函數(shù)滿足拉普拉斯方程解例7解例7在一元函數(shù)微分學中,我們引出了邊際和彈性的概念,來分別表示經濟函數(shù)在一點的變化率和相對變化率,這些概念也可以推廣到多元函數(shù)微分學中去,并被賦予了豐富的經濟含義.四、偏導數(shù)在經濟分析中的應用實例某種品牌的電視機營銷人員在開拓市場時,除關心本品牌電視機的價格取向外,更關心其他品牌同類型電視機的價格情況,以決定自己的營銷策略.即該品牌電視機的銷量是它的價格和其他品牌電視機價格的函數(shù).通過分析其邊際及可知道,隨著及變化而變化的規(guī)律.——偏邊際與偏彈性在一元函數(shù)微分學中,我們引出了邊際和彈性的概念,來分1.需求函數(shù)的邊際分析1.需求函數(shù)的邊際分析[研究生入學考試]第八章第二節(jié)偏導數(shù)及其在經濟分課件[研究生入學考試]第八章第二節(jié)偏導數(shù)及其在經濟分課件2.需求函數(shù)的偏彈性2.需求函數(shù)的偏彈性交叉偏彈性解:

例8交叉偏彈性解:例8解：交叉彈性的值反映兩種商品間的相關性：當交叉彈性大于零時，兩商品互為替代品；當交叉彈性小于零時，兩商品為互補品；當交叉彈性等于零時，兩商品為相互獨立的商品.解：交叉彈性的值反映兩種商品間的相關性：當交叉彈性大例10解：例10解：例10例101.偏導數(shù)的概念及有關結論

定義（偏增量比的極限）；記號；幾何意義

函數(shù)在一點偏導數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù)

混合偏導數(shù)連續(xù)與求導順序無關2.偏導數(shù)的計算方法

求一點處偏導數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義小結3.高階偏導數(shù)的定義與求法（逐次求導法）4.偏邊際，偏彈性1.偏導數(shù)的概念及有關結論定義（偏增量比的極限）；記號；作業(yè)P311T1(偶數(shù))，T2，T4(2),T5,T6預習：第三節(jié)第八章多元函數(shù)微分學作業(yè)P311T1(偶數(shù))，T2，T4(2),T5,第二節(jié)偏導數(shù)及其在經濟分析中的應用高階偏導數(shù)偏導數(shù)的定義、幾何意義及計算方法第八章多元函數(shù)微分學偏導數(shù)在經濟分析中的應用小結偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系內容回顧第二節(jié)偏導數(shù)及其在經濟分析中的應用高階偏導數(shù)偏導數(shù)的2.多元函數(shù)極限的概念（求極限）3.多元函數(shù)連續(xù)的概念4.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質（注意趨近方式的任意性）1.多元函數(shù)的定義（定義域）內容回顧化二元函數(shù)為一元函數(shù)，極限的四則運算法則，無窮小的性質，重要極限，代入法2.多元函數(shù)極限的概念（求極限）3.多元函數(shù)連續(xù)的概念4.閉一元函數(shù)變化率概念多元函數(shù)的偏導數(shù)是指這個函數(shù)對其中一個自變量的變化率,而其它自變量保持不變.一元函數(shù)變化率概念多元函數(shù)的偏導數(shù)是指這個函數(shù)對其中一個偏增量一、偏導數(shù)的定義、幾何意義及計算法對其中一個自變量的變化率,而其它自變量保持不變.1.偏導數(shù)的定義及其計算法偏增量一、偏導數(shù)的定義、幾何意義及計算法對其中一個自變量的變比較:一元函數(shù)的導數(shù)定義比較:一元函數(shù)的導數(shù)定義偏導函數(shù)定義偏導函數(shù)定義有關偏導數(shù)的幾點說明：1.2.求分段點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；與一元函數(shù)類似,多元分段函數(shù)在分段點處的導數(shù),需用定義求,這屬于基本微分法.解有關偏導數(shù)的幾點說明：1.2.求分段點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要求解3.計算方法同一元函數(shù)的導數(shù)有關偏導數(shù)的幾點說明：(請自己寫出)4.偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處求解3.計算方法同一元函數(shù)的導數(shù)有關偏導數(shù)的幾點說明：(請自解法一同一元函數(shù)的求導方法完全相同

解法二解法一同一元函數(shù)的求導方法完全相同解法二解例2

求函數(shù)的偏導數(shù)解例2求函數(shù)證偏導數(shù)記號是一個說明:不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,證偏導數(shù)記號是一個說明:不能看作分子與分母的商!此例表明,2.偏導數(shù)的幾何意義如圖這是一條平面曲線的方程2.偏導數(shù)的幾何意義如圖這是一條平面曲線的方程幾何意義:幾何意義:二、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系？但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在

連續(xù)，為什么不連續(xù)?二、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系？但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導數(shù)存不一定結論:多元函數(shù)的偏導數(shù)與連續(xù)之間沒有必然聯(lián)系.反之，例如，連續(xù)偏導數(shù)存在.不一定結論:反之，例如，連續(xù)偏導數(shù)存在.純偏導混合偏導定義1

二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).三、高階偏導數(shù)類似可以定義更高階的偏導數(shù)例如，z=f(x,y)關于x的三階偏導數(shù)為z=f(x,y)關于x的n–1階偏導數(shù),再關于y

的一階偏導數(shù)為純偏導混合偏導定義1二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導解求高階偏導數(shù)的方法逐次求導法解求高階偏導數(shù)的方法逐次求導法解解練習

求函數(shù)解注意:前幾例均有這一結論總成立嗎???的二階偏導數(shù)及練習求函數(shù)解注意:前幾例均有這一結論總成立嗎???的二階偏例如,

對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對n元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導數(shù)可以選擇方便的求導順序.因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù),當三階混合偏導數(shù)在點(x,y,z)連續(xù)時,有而初等例如,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說證利用對稱性,有例6

證明函數(shù)滿足拉普拉斯方程證利用對稱性,有例6證明函數(shù)滿足拉普拉斯方程解例7解例7在一元函數(shù)微分學中,我們引出了邊際和彈性的概念,來分別表示經濟函數(shù)在一點的變化率和相對變化率,這些概念也可以推廣到多元函數(shù)微分學中去,并被賦予了豐富的經濟含義.四、偏導數(shù)在經濟分析中的應用實例某種品牌的電視機營銷人員在開拓市場時,除關心本品牌電視機的價格取向外,更關心其他品牌同類型電視機的價格情況,以決定自己的營銷策略.即該品牌電視機的銷量是它的價格和其他品牌電視機價格的函數(shù).通過分析其邊際及可知道,隨著及變化而變化的規(guī)律.——偏邊際與偏彈性在一元函數(shù)微分學中,我們引出了邊際和彈性的概念,來分1.需求函數(shù)的邊際分析1.需求函數(shù)的邊際分析[研究生入學考試]第八章第二節(jié)偏導數(shù)及其在經濟分課件[研究生入學考試]第八章第二節(jié)偏導數(shù)及其在經濟分課件2.需求函數(shù)的偏彈性2.需求函數(shù)的偏彈性交叉偏彈性解:

例8交叉偏彈性解:例8解：交叉彈性的值反映兩種商品間的相關性：當交叉彈性大于零時，兩商品互為替代品；當交叉彈性小于零時，兩商品為互補品；當交叉彈性等于零時，兩商品為相互獨立的商品.解：交叉彈性的值反映兩種商品間的相關性：當交叉彈性大例10解：例10解：例10例101.偏導數(shù)的概念及有關結論