研究生入學(xué)考試第八章第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)分課件

第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義及計(jì)算方法第八章多元函數(shù)微分學(xué)偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用小結(jié)偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系內(nèi)容回顧第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的2.多元函數(shù)極限的概念（求極限）3.多元函數(shù)連續(xù)的概念4.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）1.多元函數(shù)的定義（定義域）內(nèi)容回顧化二元函數(shù)為一元函數(shù)，極限的四則運(yùn)算法則，無(wú)窮小的性質(zhì)，重要極限，代入法2.多元函數(shù)極限的概念（求極限）3.多元函數(shù)連續(xù)的概念4.閉一元函數(shù)變化率概念多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是指這個(gè)函數(shù)對(duì)其中一個(gè)自變量的變化率,而其它自變量保持不變.一元函數(shù)變化率概念多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是指這個(gè)函數(shù)對(duì)其中一個(gè)偏增量一、偏導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義及計(jì)算法對(duì)其中一個(gè)自變量的變化率,而其它自變量保持不變.1.偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏增量一、偏導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義及計(jì)算法對(duì)其中一個(gè)自變量的變比較:一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義比較:一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義偏導(dǎo)函數(shù)定義偏導(dǎo)函數(shù)定義有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：1.2.求分段點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；與一元函數(shù)類似,多元分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),需用定義求,這屬于基本微分法.解有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：1.2.求分段點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要求解3.計(jì)算方法同一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：(請(qǐng)自己寫出)4.偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處求解3.計(jì)算方法同一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：(請(qǐng)自解法一同一元函數(shù)的求導(dǎo)方法完全相同

解法二解法一同一元函數(shù)的求導(dǎo)方法完全相同解法二解例2

求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解例2求函數(shù)證偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)說(shuō)明:不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號(hào),證偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)說(shuō)明:不能看作分子與分母的商!此例表明,2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖這是一條平面曲線的方程2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖這是一條平面曲線的方程幾何意義:幾何意義:二、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，為什么不連續(xù)?二、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存不一定結(jié)論:多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)之間沒(méi)有必然聯(lián)系.反之，例如，連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在.不一定結(jié)論:反之，例如，連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在.純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義1

二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).三、高階偏導(dǎo)數(shù)類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義1二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)解求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法解求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法解解練習(xí)

求函數(shù)解注意:前幾例均有這一結(jié)論總成立嗎???的二階偏導(dǎo)數(shù)及練習(xí)求函數(shù)解注意:前幾例均有這一結(jié)論總成立嗎???的二階偏例如,

對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說(shuō)明:本定理對(duì)n元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說(shuō)證利用對(duì)稱性,有例6

證明函數(shù)滿足拉普拉斯方程證利用對(duì)稱性,有例6證明函數(shù)滿足拉普拉斯方程解例7解例7在一元函數(shù)微分學(xué)中,我們引出了邊際和彈性的概念,來(lái)分別表示經(jīng)濟(jì)函數(shù)在一點(diǎn)的變化率和相對(duì)變化率,這些概念也可以推廣到多元函數(shù)微分學(xué)中去,并被賦予了豐富的經(jīng)濟(jì)含義.四、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用實(shí)例某種品牌的電視機(jī)營(yíng)銷人員在開(kāi)拓市場(chǎng)時(shí),除關(guān)心本品牌電視機(jī)的價(jià)格取向外,更關(guān)心其他品牌同類型電視機(jī)的價(jià)格情況,以決定自己的營(yíng)銷策略.即該品牌電視機(jī)的銷量是它的價(jià)格和其他品牌電視機(jī)價(jià)格的函數(shù).通過(guò)分析其邊際及可知道,隨著及變化而變化的規(guī)律.——偏邊際與偏彈性在一元函數(shù)微分學(xué)中,我們引出了邊際和彈性的概念,來(lái)分1.需求函數(shù)的邊際分析1.需求函數(shù)的邊際分析[研究生入學(xué)考試]第八章第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)分課件[研究生入學(xué)考試]第八章第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)分課件2.需求函數(shù)的偏彈性2.需求函數(shù)的偏彈性交叉偏彈性解:

例8交叉偏彈性解:例8解：交叉彈性的值反映兩種商品間的相關(guān)性：當(dāng)交叉彈性大于零時(shí)，兩商品互為替代品；當(dāng)交叉彈性小于零時(shí)，兩商品為互補(bǔ)品；當(dāng)交叉彈性等于零時(shí)，兩商品為相互獨(dú)立的商品.解：交叉彈性的值反映兩種商品間的相關(guān)性：當(dāng)交叉彈性大例10解：例10解：例10例101.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義（偏增量比的極限）；記號(hào)；幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義小結(jié)3.高階偏導(dǎo)數(shù)的定義與求法（逐次求導(dǎo)法）4.偏邊際，偏彈性1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論定義（偏增量比的極限）；記號(hào)；作業(yè)P311T1(偶數(shù))，T2，T4(2),T5,T6預(yù)習(xí)：第三節(jié)第八章多元函數(shù)微分學(xué)作業(yè)P311T1(偶數(shù))，T2，T4(2),T5,第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義及計(jì)算方法第八章多元函數(shù)微分學(xué)偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用小結(jié)偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系內(nèi)容回顧第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的2.多元函數(shù)極限的概念（求極限）3.多元函數(shù)連續(xù)的概念4.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）1.多元函數(shù)的定義（定義域）內(nèi)容回顧化二元函數(shù)為一元函數(shù)，極限的四則運(yùn)算法則，無(wú)窮小的性質(zhì)，重要極限，代入法2.多元函數(shù)極限的概念（求極限）3.多元函數(shù)連續(xù)的概念4.閉一元函數(shù)變化率概念多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是指這個(gè)函數(shù)對(duì)其中一個(gè)自變量的變化率,而其它自變量保持不變.一元函數(shù)變化率概念多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是指這個(gè)函數(shù)對(duì)其中一個(gè)偏增量一、偏導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義及計(jì)算法對(duì)其中一個(gè)自變量的變化率,而其它自變量保持不變.1.偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏增量一、偏導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義及計(jì)算法對(duì)其中一個(gè)自變量的變比較:一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義比較:一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義偏導(dǎo)函數(shù)定義偏導(dǎo)函數(shù)定義有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：1.2.求分段點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；與一元函數(shù)類似,多元分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),需用定義求,這屬于基本微分法.解有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：1.2.求分段點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要求解3.計(jì)算方法同一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：(請(qǐng)自己寫出)4.偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處求解3.計(jì)算方法同一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：(請(qǐng)自解法一同一元函數(shù)的求導(dǎo)方法完全相同

解法二解法一同一元函數(shù)的求導(dǎo)方法完全相同解法二解例2

求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解例2求函數(shù)證偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)說(shuō)明:不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號(hào),證偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)說(shuō)明:不能看作分子與分母的商!此例表明,2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖這是一條平面曲線的方程2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖這是一條平面曲線的方程幾何意義:幾何意義:二、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，為什么不連續(xù)?二、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存不一定結(jié)論:多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)之間沒(méi)有必然聯(lián)系.反之，例如，連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在.不一定結(jié)論:反之，例如，連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在.純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義1

二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).三、高階偏導(dǎo)數(shù)類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義1二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)解求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法解求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法解解練習(xí)

求函數(shù)解注意:前幾例均有這一結(jié)論總成立嗎???的二階偏導(dǎo)數(shù)及練習(xí)求函數(shù)解注意:前幾例均有這一結(jié)論總成立嗎???的二階偏例如,

對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說(shuō)明:本定理對(duì)n元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說(shuō)證利用對(duì)稱性,有例6

證明函數(shù)滿足拉普拉斯方程證利用對(duì)稱性,有例6證明函數(shù)滿足拉普拉斯方程解例7解例7在一元函數(shù)微分學(xué)中,我們引出了邊際和彈性的概念,來(lái)分別表示經(jīng)濟(jì)函數(shù)在一點(diǎn)的變化率和相對(duì)變化率,這些概念也可以推廣到多元函數(shù)微分學(xué)中去,并被賦予了豐富的經(jīng)濟(jì)含義.四、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用實(shí)例某種品牌的電視機(jī)營(yíng)銷人員在開(kāi)拓市場(chǎng)時(shí),除關(guān)心本品牌電視機(jī)的價(jià)格取向外,更關(guān)心其他品牌同類型電視機(jī)的價(jià)格情況,以決定自己的營(yíng)銷策略.即該品牌電視機(jī)的銷量是它的價(jià)格和其他品牌電視機(jī)價(jià)格的函數(shù).通過(guò)分析其邊際及可知道,隨著及變化而變化的規(guī)律.——偏邊際與偏彈性在一元函數(shù)微分學(xué)中,我們引出了邊際和彈性的概念,來(lái)分1.需求函數(shù)的邊際分析1.需求函數(shù)的邊際分析[研究生入學(xué)考試]第八章第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)分課件[研究生入學(xué)考試]第八章第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)分課件2.需求函數(shù)的偏彈性2.需求函數(shù)的偏彈性交叉偏彈性解:

例8交叉偏彈性解:例8解：交叉彈性的值反映兩種商品間的相關(guān)性：當(dāng)交叉彈性大于零時(shí)，兩商品互為替代品；當(dāng)交叉彈性小于零時(shí)，兩商品為互補(bǔ)品；當(dāng)交叉彈性等于零時(shí)，兩商品為相互獨(dú)立的商品.解：交叉彈性的值反映兩種商品間的相關(guān)性：當(dāng)交叉彈性大例10解：例10解：例10例101.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論