2021-2022學(xué)年山東省聊城市聊城高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期數(shù)學(xué)檢測(cè)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年山東省聊城市聊城第一中學(xué)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：B2．在中，已知，，，則角（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理的推論計(jì)算的值，進(jìn)而求出C的值.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，又，所?故選：C.3．已知向量，，．若λ為實(shí)數(shù)，()∥，則λ＝（

）.A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】先求出的坐標(biāo)，再由()∥，，列方程可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，因?yàn)?)∥，，所以，解得，故選：B4．已知用斜二測(cè)畫法畫得的正方形的直觀圖的面積為，那么原正方形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則得到直觀圖的對(duì)應(yīng)邊長關(guān)系，即可求出相應(yīng)的面積．【詳解】解：設(shè)原正方形的邊長為，

根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則可知，，高，對(duì)應(yīng)直觀圖的面積為，即，故原正方形的面積為.故選：C.5．已知點(diǎn)D是所在平面上一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的加法、減法法則運(yùn)算即可得到答案．【詳解】解：由題意：為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，所以所以故選：．6．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)公式（i為虛數(shù)單位），它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的“天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由歐拉公式并結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算，并結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵，∴表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，位于第三象限.故選：C.7．已知點(diǎn)G是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則G點(diǎn)是三角形ABC的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【答案】D【分析】直接利用平面向量的線性運(yùn)算和三角形重心的定義，即可判斷點(diǎn)G是△ABC的重心.【詳解】因?yàn)?，所?以GA、GB為鄰邊作平行四邊形GADB，連接GD交AB于點(diǎn)O.如圖所示:則，所以，CO是AB邊上的中線，所以G點(diǎn)是△ABC的重心.故選：D8．在棱長為的正方體中，為的中點(diǎn)，則過、、三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點(diǎn)，連接、、、、，證明出，故四點(diǎn)、、、共面，所以過、、三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為等腰梯形，根據(jù)已知，即可求解.【詳解】取中點(diǎn)，連接、、、、，因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，，故、、、四點(diǎn)共面，所以過、、三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為等腰梯形，其中，，，過點(diǎn)、在平面內(nèi)分別作的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，因?yàn)?，，，所以，，故，在平面?nèi)，因?yàn)?，，，所以，四邊形為矩形，則，所以，，所以，梯形的高，梯形的面積.故選：B.9．已知非零向量，，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，為單位向量，則C．若且與同向，則 D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的定義依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，若，則兩向量的大小相等，方向相同，故成立，故A對(duì)，對(duì)于B，若，都是單位向量，兩向量的方向不定，故不成立，故B錯(cuò)，對(duì)C，因?yàn)閮上蛄坎荒鼙容^大小，故C錯(cuò)，對(duì)于D，根據(jù)平面向量的三角形法則成立，故D錯(cuò)，故選：A二、多選題10．下列命題正確的是（

）A．如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面上，那么這條直線不一定在這個(gè)平面內(nèi)B．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么他們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線C．過直線外一點(diǎn)，可以作無數(shù)個(gè)平面與這條直線平行D．如果一條直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則該直線與平面平行【答案】BC【分析】由公理1判斷A，由公理3判斷B，由空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系判斷C和D.【詳解】由公理1可知，如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面上，那么這條直線一定在這個(gè)平面內(nèi)，故A錯(cuò)誤；由公理3知，如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么他們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，故B正確；因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)可以作一條直線與已知直線平行，所以經(jīng)過這條直線且不經(jīng)過已知直線的平面都與已知直線平行，即過直線外一點(diǎn)，可以作無數(shù)個(gè)平面與這條直線平行，故C正確；一條直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，該直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．若，則△ABC為直角三角形C．若，則△ADC為等邊三角形 D．若，則△ABD為等腰三角形【答案】ABD【分析】由已知設(shè)，，利用正弦定理即可判斷A；若，結(jié)合已知得，可求得角C，即可判斷B；若，則，結(jié)合，求得△ABC的內(nèi)角，即可判斷CD.【詳解】解：做出圖形：由已知設(shè)，，在△ABD，△CAD中，由正弦定理得，，兩式相除得，所以.對(duì)于A，由以上可知，A正確；對(duì)于B，若，結(jié)合已知得，故，故B正確；對(duì)于D，若，則，所以，代入得，即，即，所以，所以，，故△ABD為等腰三角形，△ADC為直角三角形，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.12．如圖，在透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，下列說法中正確的是（

）A．水的部分始終呈棱柱狀，沒水的部分也始終成棱柱狀B．水面四邊形EFGH的面積不改變C．棱始終與水面EFGH平行D．當(dāng)時(shí)，是定值【答案】ACD【分析】從棱柱的特征平面可判斷A；由水面四邊形EFGH的面積是改變的可判斷B；由，水面EFGH，水面EFGH，可判斷C；由體積是定值，高為定值，則底面積為定值，可判斷D.【詳解】根據(jù)面面平行性質(zhì)定理，可得BC固定時(shí)，在傾斜的過程中，始終有，且平面平面DHGC，故水的形狀成棱柱狀，沒水的部分也始終成棱柱狀，故A正確；水面四邊形EFGH的面積是改變的，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，水面EFGH，水面EFGH，所以水面EFGH正確，故C正確；由于水的體積是定值，高不變，所以底面ABFE面積不變，即當(dāng)E在時(shí)，是定值.故D正確.故選：ACD.三、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值是______．【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式，求出的最小值即可．【詳解】∵復(fù)數(shù)滿足，∴，∴的最小值是．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的應(yīng)用問題，也考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．14．已知向量，，且，則___________.【答案】【分析】由垂直的坐標(biāo)表示求得，再由模的坐標(biāo)運(yùn)算求解．【詳解】由得，，則，所以．故答案為：．15．如圖所示，位于處的信息中心獲悉：在其正東方向相距海里的處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線前往處救援，則__________．【答案】.【分析】利用余弦定理求出的數(shù)值，正弦定理推出的余弦值，利用展開求出的值．【詳解】解：如圖所示，在中，，，，由余弦定理得，所以由正弦定理得．由知為銳角，故．故．故答案為：.四、雙空題16．球面幾何是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，在剛海?航空?衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用.如圖，A，B，C是球而上不在同一大圓(大圓是過球心的平面與球面的交線)上的三點(diǎn)，經(jīng)過這三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧分別為AB，BC，CA，由這三條劣弧組成的圖形稱為球面△ABC.已知地球半徑為R，北極為點(diǎn)N，P?Q是地球表面上的兩點(diǎn).①若P，Q在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)40°和東經(jīng)100°，則球面△NPQ的面積為___________.②若，則球面的面積___________.【答案】

【分析】利用所在的經(jīng)度求出球面三角形面積，再利用已知可得三角形為等邊三角形，進(jìn)而可以求解．【詳解】解：在赤道上，且經(jīng)度分別為和，上半球面面積為，球面面積為，當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，根據(jù)題意構(gòu)造一個(gè)正四面體，如圖所示：其中心為，是高的靠近的四等分點(diǎn)，則，由余弦定理可得：，解得，正好為題目所給的長度，所以球面的面積為，故答案為：；．五、解答題17．如圖所示，在三棱柱中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，求證：(1)，，，四點(diǎn)共面；(2)平面平面．【答案】(1)證明詳見解析(2)證明詳見解析【分析】（1）通過證明來證得四點(diǎn)共面.（2）通過面面平行的判定定理來證得平面平面.【詳解】（1）由于分別是的中點(diǎn)，所以，根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知，，所以，所以四點(diǎn)共面.（2）由于分別是的中點(diǎn)，所以，由于平面，平面，所以平面.根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面.由于平面，所以平面平面.18．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，和實(shí)數(shù)b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根.（1）求a，b的值；（2）若復(fù)數(shù)z滿足，說明在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？并求該圖形的面積.【答案】（1），；（2）在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，.【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義求得a，再根據(jù)和實(shí)數(shù)b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根結(jié)合韋達(dá)定理即可求得b；（2）設(shè)，根據(jù)，即可求得在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡，從而得出答案.【詳解】解：（1）∵復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，∴，解得，∴，由韋達(dá)定理可得，，解得；（2）∵復(fù)數(shù)z滿足，∴，設(shè)，則有，∴在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，∴.19．已知的面積為，再從條件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：條件①，；條件②：，.(1)b和c的值.(2)的值.【答案】(1)若選①：，；若選②：，；(2)若選①：；若選②：.【分析】若選擇條件①：(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，利用三角形的面積公式可求，的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求的值．(2)由正弦定理可求，的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，進(jìn)而根據(jù)兩角差的正弦公式即可求解的值．若選擇條件②：(1)由題意可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用三角形的面積公式可求，的值，根據(jù)余弦定理可求的值．(2)由正弦定理可求，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用兩角差的正弦公式即可求解的值．【詳解】（1）若選擇條件①：在中，∵，∴，，∵，，∴，由余弦定理，，∴；若選擇條件②：在中，∵，∴．∵，∴，，∵，∴，由余弦定理，，∴；（2）若選擇條件①：由正弦定理，可得，∴，，∵，∴，，∴.若選擇條件②：由正弦定理得，∴，∵，∴，∴．20．已知向量與的夾角為，且，.（1）若與共線，求；（2）求與的夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）可設(shè)，可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)即可得解；（2）計(jì)算出、的值，利用平面向量的數(shù)量積可求得與的夾角的余弦值.【詳解】（1）若與共線，則存在，使得即，又因?yàn)橄蛄颗c不共線，所以，解得，所以；（2），，.21．如圖一個(gè)透明的球形裝飾品內(nèi)放置了兩個(gè)具有公共底面的圓錐，且這兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在這個(gè)球面上，如圖，已知大圓錐軸截面是等邊三角形，設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r.（1）試確定R與r的關(guān)系；（2）若小圓錐?大圓錐的側(cè)面積為?，球的表面積為，求；（3）求出兩個(gè)圓錐的總體積（即體積之和）與球的體積之比.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)題意分析出△ABC為直角三角形，及，進(jìn)而得到答案；（2）由題意，求出大小圓錐的母線長，進(jìn)而算出它們的側(cè)面積，再求出球的表面積，最后得到答案；（3）根據(jù)（1），求出圓錐體積之和與球的體積，進(jìn)而得到答案.【詳解】（1）由幾何體的特征，得到△ABC為直角三角形，由于大圓錐的軸截面為等邊三角形，故，所以：，，所以，（2）球心到圓錐底面的距離，所以小圓錐的高為，故小圓錐的母線長為R，大圓錐的母線長為，所以，，，故.（3）由（1）得：兩個(gè)圓錐的體積和為，球的體積為.故兩個(gè)圓錐的體積和為；體積之比為：.22．如圖，某市政府計(jì)劃在長為1km的道路AB一側(cè)的一片區(qū)域內(nèi)搭建一個(gè)傳染病預(yù)防措施宣傳區(qū).該區(qū)域由直角三角形區(qū)域ABC（為直角）和以BC為直徑的半圓形區(qū)域拼接而成.點(diǎn)P為半圓弧上的一點(diǎn)（異于B?C），.設(shè).（1）為了讓更多的市民看到宣傳內(nèi)容，達(dá)到最佳宣傳效果，需滿足，且達(dá)到最大值