2021-2022學年湖北省武漢市高一年級上冊學期期末模擬（一）數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年湖北省武漢市高一上學期期末模擬（一）數(shù)學試題一、單選題1．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得集合，結合圖象求得正確結論.【詳解】，所以，圖象表示集合為，，.故選：B2．設，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】，但，不滿足，所以是充分不必要條件，選A.【解析】充要條件【名師點睛】本題考查充要條件的判斷，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，若，則是的充要條件；從集合的角度看，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，若，則是的充要條件，若是的真子集，則是的充分不必要條件，若是的真子集，則是的必要不充分條件.3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用誘導公式可得，再由二倍角余弦公式求.【詳解】由，即，又.故選：D4．冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用已知條件得到求出的值，再利用指數(shù)型函數(shù)過定點問題求解即可.【詳解】由題意得：或，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，則，當時，，則過定點.故選：D.5．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的定義域，由單調(diào)性求出a的范圍，再由函數(shù)在上有意義，列式計算作答.【詳解】函數(shù)定義域為，，因在，上單調(diào)，則函數(shù)在，上單調(diào)，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，必有函數(shù)在上單調(diào)遞減，而在上遞增，則在上遞減，于是得，解得，由，有意義得：，解得，因此，，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C6．若關于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，分，，，再利用絕對值的幾何意義，去掉絕對值，再根據(jù)恒成立求解.【詳解】解：令，（1）當時，當時，，若時，遞減，，不成立；若時，遞增，無最小值，不成立；當時，，遞增，，不成立；當時，，遞增，，不成立；（2）當時，當時，遞減，，不成立；當時，遞增，，不成立；（3）當時，當時，，遞減，，解得，當時，，若，則遞增，，解得，若，則遞減，，解得，當時，，若，遞增，，解得，若，遞減，無最小值，不成立；綜上：a的取值范圍是故選：B7．已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，滿足，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，即，再通過函數(shù)的單調(diào)性可知，即可求出的值，得到函數(shù)的解析式，然后根據(jù)零點存在性定理即可判斷零點所在區(qū)間．【詳解】設，即，，因為是定義在上的單調(diào)函數(shù)，所以由解析式可知，在上單調(diào)遞增．而，，故，即．因為，，由于，即有，所以．故，即的零點所在區(qū)間為．故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用，零點存在性定理的應用，意在考查學生的轉化能力，屬于較難題．8．已知函數(shù)，若關于x的不等式的解集中有且僅有兩個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先由解析式得，得出關于對稱，再得出在上單調(diào)遞增，將原不等式轉化為，然后對分，，討論，解不等式即可.【詳解】當時，，則，即關于對稱又當時，在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，所以由得，即，當時，不等式無解；當時，即為，此時不等式的解集有無窮多個整數(shù)，舍去；若，則即為，此時不等式的解集有無窮多個整數(shù)，舍去；當，且時，，得，，顯然當滿足此式，不滿足此式，得滿足此式，不滿足此式，，解得故選：A.二、多選題9．下列能成為充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】分別解出選項中的集合，再根據(jù)充分條件與集合的包含關系，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】，即，分別解出選項中的集合：A.或，得或，即或；B.，即；C.，得或，即或；D.，即，要能成為充分條件，選項中的解集需是集合的子集，其中只有BD符號題意.故選：BD【點睛】本題考查充分條件與集合的包含關系，重點考查計算能力，以及理解充分條件，屬于基礎題型.10．設函數(shù)，，則（

）A．的最小正周期可能為 B．為偶函數(shù)C．當時，的最小值為 D．存a，b使在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】A．分析是否恒成立；B．分析函數(shù)定義域，根據(jù)的關系判斷是否為偶函數(shù)；C．采用換元法，將寫成分段函數(shù)的形式，然后分析每一段函數(shù)的取值范圍，由此確定出最小值；D．分析時的情況，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法進行分析判斷.【詳解】A．因為，所以，所以不一定成立，所以不恒成立，所以的最小正周期不可能為，故錯誤；B．因為的定義域為，關于原點對稱；又因為，所以為偶函數(shù)，故正確；C．因為，所以，所以令，記，所以，當時，，當時，，當時，，當時，，綜上可知：的最小值為，取最小值時，故正確；D．取，所以，所以，所以，所以，又因為在上單調(diào)遞減，且時，，且在時單調(diào)遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法可知：在上單調(diào)遞增，所以存在使在上單調(diào)遞增，故正確，故選：BCD.【點睛】思路點睛：復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法：（1）先分析函數(shù)定義域，然后判斷外層函數(shù)的單調(diào)性，再判斷內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性；（2）當內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相同時，則函數(shù)為遞增函數(shù)；（3）當內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相反時，則函數(shù)為遞減函數(shù).11．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足有下列結論正確的有(

)A．B．若，則函數(shù)的最小正周期為；C．關于x的方程在區(qū)間上最多有4個不相等的實數(shù)解D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為【答案】ABD【分析】A：在上單調(diào)，，，故；B：求出區(qū)間右端點關于的對稱點，由題可知在上單調(diào)，據(jù)此可求出f(x)周期的范圍，從而求出ω的范圍.再根據(jù)知是f(x)的對稱軸，根據(jù)對稱軸和對稱中心距離為周期的倍即可求出ω，從而求出其周期；C：根據(jù)ω的范圍求出周期的范圍，根據(jù)正弦型函數(shù)一個完整周期只有一個最高點即可求解；D：由知，是函數(shù)在區(qū)間，上的第1個零點，而在區(qū)間上恰有5個零點，則，據(jù)此即可求ω的范圍.【詳解】A，∵，∴在上單調(diào)，又，，∴，故A正確；B，區(qū)間右端點關于的對稱點為，∵，f(x)在上單調(diào)，∴根據(jù)正弦函數(shù)圖像特征可知在上單調(diào)，∴為的最小正周期，即3，又，∴.若，則的圖象關于直線對稱，結合，得，即，故k＝0，，故B正確.C，由，得，∴在區(qū)間上最多有3個完整的周期，而在1個完整周期內(nèi)只有1個解，故關于的方程在區(qū)間上最多有3個不相等的實數(shù)解，故C錯誤.D，由知，是函數(shù)在區(qū)間，上的第1個零點，而在區(qū)間上恰有5個零點，則，結合，得，又，∴的取值范圍為，故D正確.故選：ABD.【點睛】本題綜合考察的周期、單調(diào)性、對稱中心、對稱軸等特性，解題的關鍵是熟練掌握正弦型函數(shù)對稱軸，對稱中心的位置特征，掌握正弦型函數(shù)單調(diào)性與周期的關系.常用結論：(1)單調(diào)區(qū)間的長度最長為半個周期；(2)一個完整周期內(nèi)只有一個最值點；(3)對稱軸和對稱中心之間的距離為周期的倍.12．對，，若，使得，都有，則稱在上相對于滿足“-利普希茲”條件，下列說法正確的是（

）A．若，則在上相對于滿足“2-利普希茲”條件B．若，在上相對于滿足“-利普希茲”條件，則的最小值為C．若在上相對于滿足“4-利普希茲”條件，則的最大值為D．若在非空數(shù)集上相對于滿足“1-利普希茲”條件，則【答案】BC【分析】利用特例可判斷A，利用參變分離法求函數(shù)最值可判斷BC，由題可得為增函數(shù)，利用復合函數(shù)單調(diào)性判斷D.【詳解】對于A，∵的定義域為，令，則，又，∴，即在上相對于不滿足“2-利普希茲”條件，故A錯誤；對于B，由題知，均有成立，當時顯然成立，不妨設，則，又，，∴，，故，故B正確；對于C，由題知，均有成立，即，當時顯然成立，當時，則恒成立，又，，∴，即，所以的最大值為，故C正確；對于D，由題可得在非空數(shù)集上恒成立，當時顯然成立，不妨設，則，∴成立，令，則函數(shù)在非空數(shù)集上單調(diào)遞增，∵，當時，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：BC.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是把問題轉化為恒成立問題，通過分離常數(shù)法，再求函數(shù)值域即可.三、填空題13．若函數(shù)(，且)，在上的最大值比最小值大，則______________.【答案】或.【解析】分和兩種情況，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定最大值和最小值，根據(jù)已知得到關于實數(shù)的方程求解即得.【詳解】若，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，由題意得，又，故；若，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，由題意得，又，故.所以的值為或.【點睛】本題考查函數(shù)的最值問題，涉及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，和分類討論思想，屬基礎題，關鍵在于根據(jù)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的不同情況確定函數(shù)的單調(diào)性.14．已知函數(shù)，其中，，恒成立，且在區(qū)間上恰有個零點，則的取值范圍是______________．【答案】【分析】確定函數(shù)的，由此可得，再利用在區(qū)間上恰有個零點得到，求得答案.【詳解】由已知得：恒成立，則，，由得，由于在區(qū)間上恰有3個零點，故，則，，則,只有當時，不等式組有解，此時，故，故答案為：15．若關于的不等式的解集為，則的取值范圍是_______.【答案】【分析】令，將原問題轉化為關于的不等式的解集為，結合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結果.【詳解】令，若關于的不等式的解集為，等價于若關于的不等式的解集為，即關于的不等式的解集為，若，可知函數(shù)的對稱軸為，開口向上，所以函數(shù)圖象如圖所示：當時，，當時，，即最小值為時，，所以，解得，即.故答案為：16．已知函數(shù)與，若對任意的，都存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】求出函數(shù)在區(qū)間上的值域為，由題意可知，由，可得出，由題意知，函數(shù)在區(qū)間上的值域包含，然后對分、、三種情況分類討論，求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，可得出關于實數(shù)的不等式（組），解出即可.【詳解】由于函數(shù)在上的減函數(shù)，則，即，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域為.對于函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)為，外層函數(shù)為.令，得.由題意可知，函數(shù)在區(qū)間上的值域包含.函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線.（i）當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，即，此時，函數(shù)在區(qū)間上的值域為，由題意可得，解得，此時，；（ii）當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，即，此時，函數(shù)在區(qū)間上的值域為，由題意可得，解得或，此時；（iii）當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，，則函數(shù)在區(qū)間上的值域為，由題意可得，解得，此時，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合問題，根據(jù)任意性和存在性將問題轉化為兩個函數(shù)值域的包含關系是解題的關鍵，在處理二次函數(shù)的值域問題時，要分析對稱軸與區(qū)間的位置關系，考查分類討論思想、化歸與轉化思想的應用，屬于難題.四、解答題17．設.(1)求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，求的值.【答案】(1)1，(2)【分析】（1）根據(jù)余弦的二倍角公式、三角恒等變換公式以及輔角公式可得，由此即可求出的值，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由（1）可得以及，可得，再根據(jù)和同角基本關系可得，再根據(jù)和兩角和的正弦公式即可求出結果.【詳解】（1）解：因為，所以；令，所以，所以單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）解：因為，即，所以，又，所以，即，又，所以，所以，所以，因為.所以的值.18．已知函數(shù).(1)如果函數(shù)為冪函數(shù)，試求實數(shù)a、b、c的值；(2)如果、，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，試求ab的最大值.【答案】(1)，，，或，，.(2)18【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義得到方程組，解得即可；（2）分、、三種情況討論，結合二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式計算可得；【詳解】（1）解：由函數(shù)的定義域為R知，當為冪函數(shù)時，應滿足或解得，、、的值分別為：，，，或，，.（2）解：①當時，由題意知，，所以.②當時，函數(shù)圖象的對稱軸為，以題意得：，即所以，.當且僅當，時取等號.③當時，以題意得：，即，即又因為，所以綜上可得，的最大值為18.19．已知函數(shù)，其中.(1)若對任意實數(shù)，恒有，求的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)，使得且？若存在，則求的取值范圍；若不存在，則加以證明.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】(1)首先求出在上的最大值，問題轉化為對任意成立，然后化簡不等式，參變分離構造即可.(2)分a＞0和a＜0兩種情況討論，去掉絕對值符號，轉化為解不等式的問題.【詳解】（1），，，∴，∴原問題對任意成立，即對任意成立，即對任意成立，∴.故a的范圍是：.（2）①，，∵，∴，∴不等式變?yōu)?，∴?2)，，∵，∴此時無解.綜上所述，存在滿足題意.20．如圖所示，摩天輪的直徑為100m，最高點距離地面高度為110m，摩天輪的圓周上均勻地安裝著24個座艙，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，并且運行時按逆時針勻速旋轉，轉一周大約需要12min．(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動后距離地面的高度為，求在轉動一周的過程中，H關于t的函數(shù)解析式；(2)在甲進座艙后間隔3個座艙乙游客進座艙（如圖所示，此時甲、乙分別位于P、Q兩點，本題中將座艙視為圓周上的點），以乙進座艙后開始計時，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）關于t的函數(shù)解析式，并求出時t的取值范圍．【答案】(1)(2)，【分析】（1）建立合適的坐標系，求出H關于t的函數(shù)解析式；（2）在第一問的基礎上，列出不等關系，用三角恒等變換化簡，解出解集.【詳解】（1）如圖，以摩天輪中心為原點，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標系．由題意，摩天輪的角速度所以甲所在的位置的縱坐標則（2）令甲、乙兩位游客距離地面的高度為、，則，令，得或解得：．21．已知函數(shù)，.(1)若，對，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知，利用基本不等式求得，可得出，令，分離參數(shù)可得，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍；（2）令，分析可知關于的方程有且只有一個正根，分、、三種情況討論，在時，直接求出方程的根，驗證即可；在、這兩種情況下，利用二次函數(shù)的零點分布可得出關于實數(shù)的不等式組，綜合可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：，即，若，使得成立，只需要成立