2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二人教A版全國通用版講義：第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系章末復(fù)習(xí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。整合知識結(jié)構(gòu)，梳理知識網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)知識。2.提高綜合運(yùn)用知識的能力和空間想象能力，在空間實(shí)現(xiàn)平行關(guān)系、垂直關(guān)系、垂直與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化．1．四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)。公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行．2．直線與直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(平行,相交)），異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn))）3．平行的判定與性質(zhì)(1)直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝?a?α,b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β,α∩β＝b結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b(2)面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝?a?β，b?β,a∩b＝P，a∥α,b∥αα∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝bα∥β，a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α（3）空間中的平行關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系4．垂直的判定與性質(zhì)(1)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)圖形條件結(jié)論判定a⊥b，b?α(b為α內(nèi)的任意直線)a⊥αa⊥m,a⊥n,m,n?α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性質(zhì)a⊥α，b?αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b(2)平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（l?β，l⊥α）)?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（α⊥β，，α∩β＝a，，l?β，,l⊥a））?l⊥α（3)空間中的垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系5．空間角（1)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角（或夾角）．②范圍：設(shè)兩異面直線所成角為θ,則0°<θ≤90°.(2）直線和平面所成的角①平面的一條斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角．②當(dāng)直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時(shí)，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°。(3)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。類型一空間中的平行關(guān)系例1如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA。在線段PB上是否存在一點(diǎn)F，使平面AFC∥平面PMD?若存在，請確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請說明理由．考點(diǎn)空間中的平行問題題點(diǎn)空間中的共點(diǎn)、共線、共面問題解當(dāng)點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)時(shí),平面AFC∥平面PMD，證明如下：如圖連接AC和BD交于點(diǎn)O，連接FO，則PF＝eq\f（1,2）PB.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點(diǎn),∴OF∥PD.又OF?平面PMD，PD?平面PMD，∴OF∥平面PMD。又MA∥PB且MA＝eq\f（1，2）PB，∴PF∥MA且PF＝MA，∴四邊形AFPM是平行四邊形，∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD,∴AF∥平面PMD。又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD.反思與感悟(1)判斷線面平行的兩種常用方法面面平行判定的落腳點(diǎn)是線面平行,因此掌握線面平行的判定方法是必要的,判定線面平行的兩種方法：①利用線面平行的判定定理．②利用面面平行的性質(zhì)，即當(dāng)兩平面平行時(shí)，其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面．（2）判斷面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②面面平行的傳遞性（α∥β,β∥γ?α∥γ)．③利用線面垂直的性質(zhì)（l⊥α，l⊥β?α∥β)．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側(cè)棱長均為2eq\r(17).點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH。(1)證明：GH∥EF；（2）若EB＝2，求四邊形GEFH的面積．考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的計(jì)算與探索性問題(1）證明因?yàn)锽C∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.（2)解連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K,連接OP，GK。因?yàn)镻A＝PC,O是AC的中點(diǎn)，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD。又BD∩AC＝O，且AC，BD?平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD。又因?yàn)槠矫鍳EFH⊥平面ABCD,且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH。又因?yàn)槠矫鍼BD∩平面GEFH＝GK，PO?平面PBD，所以PO∥GK,所以GK⊥平面ABCD.又EF?平面ABCD，所以GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，從而KB＝eq\f(1，4）BD＝eq\f(1，2）OB，即K是OB的中點(diǎn)．再由PO∥GK得GK＝eq\f（1,2）PO，所以G是PB的中點(diǎn)，且GH＝eq\f(1，2)BC＝4.由已知可得OB＝4eq\r(2),PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(68－32)＝6,所以GK＝3，故四邊形GEFH的面積S＝eq\f(GH＋EF，2）·GK＝eq\f(4＋8，2)×3＝18.類型二空間中的垂直關(guān)系例2如圖，在四棱錐P。ABCD中,AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD；(3）平面BEF⊥平面PCD.考點(diǎn)空間中的垂直問題題點(diǎn)空間中的垂直問題證明（1）因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA?平面PAD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD。(2）因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE,且AB＝DE。所以四邊形ABED為平行四邊形,所以BE∥AD。又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD,所以BE∥平面PAD。（3）因?yàn)锳B⊥AD,而且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD,AD⊥CD.由(1）知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD。又因?yàn)锳P∩AD＝A，AP，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD∥EF，所以CD⊥EF。又因?yàn)镃D⊥BE,EF∩BE＝E，EF，BE?平面BEF，所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD。反思與感悟(1)判定線面垂直的方法①線面垂直定義(一般不易驗(yàn)證任意性）．②線面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α,c?α，b∩c＝M?a⊥α)．③平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b,b⊥α?a⊥α）．④面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α）．⑤面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)．⑥面面垂直的性質(zhì)(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)．(2）判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC,E是PC的中點(diǎn)．證明：（1）CD⊥AE;（2）PD⊥平面ABE。考點(diǎn)空間中的垂直問題題點(diǎn)空間中的垂直問題證明(1)在四棱錐P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD。∵AC⊥CD，PA∩AC＝A,PA,AC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC。而AE?平面PAC，∴CD⊥AE。(2）由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD。而PD?平面PCD，∴AE⊥PD。∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，∴PD⊥平面ABE。類型三空間角的求解例3如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA＝BD＝eq\r(2),AD＝2，PA＝PD＝eq\r（5），E,F分別是棱AD,PC的中點(diǎn)．（1）證明：EF∥平面PAB;(2)若二面角P－AD－B為60°.①證明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．考點(diǎn)空間角題點(diǎn)空間角的綜合運(yùn)用(1)證明如圖所示，取PB的中點(diǎn)M,連接MF，AM.因?yàn)镕為PC的中點(diǎn)，所以MF∥BC，且MF＝eq\f(1，2)BC.由已知得BC∥AD，BC＝AD,又由于E為AD的中點(diǎn)，因而MF∥AE且MF＝AE,故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF∥AM。又AM?平面PAB，EF?平面PAB,所以EF∥平面PAB.（2）①證明連接PE，BE.因?yàn)镻A＝PD，BA＝BD，而E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD，BE⊥AD,所以∠PEB為二面角P－AD－B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝eq\r(5），AD＝2，可解得PE＝2。在△ABD中,由BA＝BD＝eq\r(2)，AD＝2,可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，故可得∠PBE＝90°,即BE⊥PB。又BC∥AD,BE⊥AD，從而BE⊥BC，又BC∩PB＝B，BC，PB?平面PBC，因此BE⊥平面PBC。又BE?平面ABCD,所以平面PBC⊥平面ABCD。②解連接BF，由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB為直線EF與平面PBC所成的角．由PB＝eq\r（3）及已知，得∠ABP為直角，而MB＝eq\f(1，2)PB＝eq\f（\r(3)，2），可得AM＝eq\f（\r（11）,2），又由（1)可知EF＝AM，故EF＝eq\f（\r(11),2）。又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝eq\f（BE，EF)＝eq\f（2\r（11），11）。所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為eq\f（2\r(11），11）。反思與感悟(1)求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角)．(2）求直線與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法（即作垂線、找射影)．(3）二面角的平面角的作法常有三種:①定義法；②垂線法；③垂面法．跟蹤訓(xùn)練3如圖，正方體的棱長為1，B′C∩BC′＝O,求：(1）AO與A′C′所成角的大小；(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的大?。键c(diǎn)空間角題點(diǎn)求空間角或其三角函數(shù)值解(1)∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC?！逜B⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO?平面ABO,∴OC⊥平面ABO。又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中,OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r（2），sin∠OAC＝eq\f（OC,AC）＝eq\f(1，2),∴∠OAC＝30°。即AO與A′C′所成角為30°.(2)如圖，作OE⊥BC于E，連接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC,OE?平面BC′，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1，2)，AE＝eq\r(12＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)))2）＝eq\f(\r(5），2)，∴tan∠OAE＝eq\f(OE,AE）＝eq\f(\r(5），5)。即AO與平面ABCD所成角的正切值為eq\f(\r（5）,5).（3)由(1)可知OC⊥平面AOB。又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成的角為90°。1．在空間中，下列命題正確的是()A．若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線l平行,則l∥αB．若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，則α∥βC．若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線l垂直，則l⊥αD．若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β垂直,則α⊥β考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的判定答案D解析對于A,若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線l平行，則l可能在平面α內(nèi)，故錯(cuò)；對于B，若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，則α與β可能相交，故錯(cuò)；對于C,若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線l垂直，則l與α可能斜交，故錯(cuò);對于D，若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β垂直,則平面α經(jīng)過平面β的垂線，則α⊥β，故正確．故選D。2．在空間四邊形ABCD的邊AB，BC,CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，HG交于一點(diǎn)P，則()A．點(diǎn)P一定在直線BD上B．點(diǎn)P一定在直線AC上C．點(diǎn)P一定在直線AC或BD上D．點(diǎn)P既不在直線AC上，也不在直線BD上考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)，點(diǎn)在線上問題答案B解析如圖，∵P∈HG，HG?平面ACD,∴P∈平面ACD。同理，P∈平面BAC?！咂矫鍮AC∩平面ACD＝AC,∴P∈AC.故選B。3．在如圖所示的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1B，AD的中點(diǎn)，直線BF與平面AD1E的位置關(guān)系是（)A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．異面考點(diǎn)空間中的平行問題題點(diǎn)空間中的平行問題答案A解析取AD1的中點(diǎn)O,連接OE，OF,則OF平行且等于BE，∴四邊形BFOE是平行四邊形，∴BF∥OE，∵BF?平面AD1E，OE?平面AD1E，∴BF∥平面AD1E，故選A.4．空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，則AC與平面BCD所成的角是________．考點(diǎn)空間角題點(diǎn)求空間角或其三角函數(shù)值答案45°解析如圖所示，取BD的中點(diǎn)O,連接AO,CO。因?yàn)锳B＝AD，所以AO⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面ABD，所以AO⊥平面BCD.因此，∠ACO即為AC與平面BCD所成的角．由于∠BAD＝90°＝∠BCD，所以AO＝OC＝eq\f(1,2)BD，又AO⊥OC，所以∠ACO＝45°。5．如圖，在棱錐P－ABC中,D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)．已知PA⊥AC,PA＝6，BC＝8,DF＝5。求證:（1）直線PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行、垂直綜合問題的證明證明(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PA。又因?yàn)镻A?平面DEF，DE?平面DEF，所以直線PA∥平面DEF。(2）因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝eq\f（1，2）PA＝3，EF＝eq\f(1，2)BC＝4.又因?yàn)镈F＝5,故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC,DE∥PA，所以DE⊥AC。因?yàn)锳C∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.1．平行關(guān)系(1）平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系(2)直線與平面平行的主要判定方法①定義法；②判定定理；③面與面平行的性質(zhì)．(3）平面與平面平行的主要判定方法①定義法；②判定定理；③推論;④a⊥α,a⊥β?α∥β。2．垂直關(guān)系(1）空間中垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化(2)判定線面垂直的常用方法①利用線面垂直的判定定理．②利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”．③利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”．④利用面面垂直的性質(zhì)．（3)判定線線垂直的方法①平面幾何中證明線線垂直的方法．②線面垂直的性質(zhì):a⊥α，b?α?a⊥b.③線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b.(4)判斷面面垂直的方法①利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角．②判定定理:a?α，a⊥β?α⊥β.3．空間角的求法(1）找異面直線所成角的三種方法①利用圖中已有的平行線平移．②利用特殊點(diǎn)（線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)）作平行線平移．③補(bǔ)形平移．（2）線面角：求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，即確定過斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足．通常是解由斜線段、垂線段、斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形．一、選擇題1．下列說法正確的是(）A．經(jīng)過空間內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面B．如果直線l上有一個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，那么直線上所有點(diǎn)都不在平面α內(nèi)C．四棱錐的四個(gè)側(cè)面可能都是直角三角形D．用一個(gè)平面截棱錐，得到的幾何體一定是一個(gè)棱錐和一個(gè)棱臺考點(diǎn)空間幾何體題點(diǎn)空間幾何體結(jié)構(gòu)判斷答案C解析在A中，經(jīng)過空間內(nèi)的不共線的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面,故A錯(cuò)誤；在B中,如果直線l上有一個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，那么直線與平面相交或平行，則直線上最多有一個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi)，故B錯(cuò)誤；在C中，如圖的四棱錐，底面是矩形,一條側(cè)棱垂直底面，那么它的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，故C正確;在D中,用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐,得到兩個(gè)幾何體，一個(gè)是棱錐，一個(gè)是棱臺，故D錯(cuò)誤．故選C.2．α是一個(gè)平面，m，n是兩條直線，A是一個(gè)點(diǎn),若m?α,n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不可能是()A．垂直 B．相交C．異面 D．平行考點(diǎn)空間中直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)空間中直線與直線的位置關(guān)系判定答案D解析∵α是一個(gè)平面，m，n是兩條直線，A是一個(gè)點(diǎn)，m?α,n?α，∴n在平面α內(nèi)，m與平面α相交，∵A∈m，A∈α,∴A是m和平面α相交的點(diǎn),∴m和n異面或相交,一定不平行．3．在空間中，α表示平面，m,n表示兩條直線，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．若m∥α，m，n不平行，則n與α不平行B．若m∥α，m，n不垂直，則n與α不垂直C．若m⊥α，m，n不平行，則n與α不垂直D．若m⊥α，m，n不垂直,則n與α不平行考點(diǎn)空間中直線與平面之間的位置關(guān)系題點(diǎn)空間中直線與平面之間的位置關(guān)系的判定答案A解析對于A，若m∥α，m，n不平行,則n與α可能平行、相交或n?α，故不正確．故選A.4．設(shè)直線m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中一定正確的是(）A．若m∥α，n∥β,m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥βC．若m⊥α，n∥β,m⊥n，則α∥βD．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的判定答案D解析若m∥α，n∥β，m⊥n，則α，β位置關(guān)系不確定，故A不正確；若m∥α,則α中存在直線c與m平行，m∥n，n⊥β，則c⊥β，∵c?α，∴α⊥β,B不正確;若m⊥α，n∥β,m⊥n，則α,β可以相交，C不正確；若m⊥α，m∥n，則n⊥α，又n⊥β，∴α∥β，故選D.5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1,CD1的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．MN∥AB B．MN⊥ACC．MN⊥CC1 D．MN∥平面ABCD考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的判定答案A解析如圖，連接C1D，BD，∵AB與BD相交，MN∥BD，∴MN與AB不可能平行，A錯(cuò)誤；∵AC⊥BD,MN∥BD，∴MN與AC垂直,B正確；∵CC1⊥平面ABCD,∴CC1⊥BD，∴MN⊥CC1，C正確；在△C1DB中，MN∥BD，MN?平面ABCD,∴MN∥平面ABCD，D正確．故選A.6．如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．AE⊥CE B．BE⊥DEC．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE考點(diǎn)垂直問題的綜合應(yīng)用題點(diǎn)線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化答案C解析由AB是底面圓的直徑，則∠AEB＝90°，即AE⊥EB。∵四邊形ABCD是圓柱的軸截面,∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.∴BE⊥AD，又AD∩AE＝A,AD,AE?平面ADE，∴BE⊥平面ADE.同理可得：AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE?？傻肁,B，D正確．而DE⊥平面CEB不正確．故選C。7．如圖,在四棱錐P－ABCD中,底面ABCD為菱形，∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法錯(cuò)誤的是(）A．在棱AD上存在點(diǎn)M,使AD⊥平面PMBB．異面直線AD與PB所成的角為90°C．二面角P－BC－A的大小為45°D．BD⊥平面PAC考點(diǎn)垂直問題的綜合應(yīng)用題點(diǎn)線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化答案D解析對于A，取AD的中點(diǎn)M，連PM，BM，∵側(cè)面PAD為正三角形,∴PM⊥AD,又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD⊥BM,又PM∩BM＝M，PM，BM?平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正確．對于B,∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即異面直線AD與PB所成的角為90°，故B正確．對于C,∵平面PBC∩平面ABCD＝BC,BC∥AD,∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P－BC－A的平面角，設(shè)AB＝1,則BM＝eq\f（\r(3)，2)，PM＝eq\f（\r（3),2)，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝eq\f(PM,BM)＝1,即∠PBM＝45°，故二面角P－BC－A的大小為45°，故C正確．故選D。二、填空題8．在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點(diǎn)，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，則直線AC與平面DEF的位置關(guān)系是________．考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的判定答案平行9．如圖，若邊長為4和3與邊長為4和2的兩個(gè)矩形所在平面互相垂直，則cosα∶cosβ＝________.考點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)有關(guān)面面垂直性質(zhì)的計(jì)算答案eq\r(5）∶2解析由題意,兩個(gè)矩形的對角線長分別為5，2eq\r（5），所以cosα＝eq\f（5，\r(25＋4）)＝eq\f(5，\r(29)),cosβ＝eq\f（2\r（5)，\r(29）），所以cosα∶cosβ＝eq\r（5）∶2。10．如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF＝________時(shí)，CF⊥平面B1DF.考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的計(jì)算與探索性問題答案a或2a解析由已知得B1D⊥平面AC1，又CF?平面AC1，∴B1D⊥CF,故若CF⊥平面B1DF，則必有CF⊥DF.設(shè)AF＝x（0＜x＜3a)，則CF2＝x2＋4a2，DF2＝a2＋(3a－x）2，又CD2＝a2＋9a2＝10a2,∴10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，解得x＝a或2a.故答案為a或2a.11．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，有下面結(jié)論：①AC∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1與底面ABCD所成角的正切值是eq\f(\r（2),2)；④AD1與BD為異面直線．其中正確的結(jié)論的序號是________．考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的判定答案②③④解析①因?yàn)锳C∩平面CB1D1＝C，所以AC∥平面CB1D1錯(cuò)誤，所以①錯(cuò)誤．②連接BC1，A1C1,則AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，因?yàn)锽1D1∩B1C＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1,所以②正確．③因?yàn)锳C1在底面ABCD的射影為AC，所以∠C1AC是AC1與底面ABCD所成的角，所以tan∠C1AC＝eq\f（C1C,AC）＝eq\f(1，\r（2))＝eq\f(\r(2),2)，所以③正確．④由異面直線的定義可知，AD1與BD為異面直線，所以④正確．故答案為②③④.三、解答題12．一個(gè)空間幾何體的直觀圖如圖（1)所示，三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖（2）所示．(1)求它的體積；（2)證明：A1C⊥平面AB1C1;(3）若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上取中點(diǎn)E，判斷DE是否平行于平面AB1C1，并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行、垂直綜合問題的證明(1）解由三視圖可知，四邊形BCC1B1是矩形,BB1＝CC1＝eq\r(3)，BC＝1，且AA1C1C是邊長為eq\r(3）的正方形，垂直于底面BB1C1C，所以該幾何體的體積為V＝eq\f(1,2）×1×eq\r(3）×eq\r(3）＝eq\f(3,2）。（2）證明因?yàn)椤螦CB＝90°，所以BC⊥AC，又因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1為直三棱柱,所以BC⊥CC1，又因?yàn)锳C∩CC1＝C，AC，CC1?平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，所以BC⊥A1C.又因?yàn)锽1C1∥BC，所以B1C1⊥A1C，又因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1為正方形,所以A1C⊥AC1，又B1C1∩AC1＝C1,B1C1，AC1?平面AB1C1,所以A1C⊥平面AB1C1。（3)解當(dāng)E為棱AB的中點(diǎn)時(shí)，DE∥平面AB1C1，證明：如圖所示，取BB1的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)D，DE。因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別是棱CC1，AB和BB1的中點(diǎn),所以EF∥AB1，又AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1。又FD∥B1C1，B1C1?平面AB1C1,FD?平面AB1C1，所以FD∥平面AB1C1，又EF∩FD＝F，EF，F(xiàn)D?平面DEF，所以平面DEF∥平面AB1C1，而DE?平面DEF，所以DE∥平面AB1C1。13．如圖，在三棱錐P－ABC中,PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，BC＝2eq\r（3)，M，N分別為BC,AB的中點(diǎn)．（1)求證:MN∥平面PAC；(2)求證：平面PBC⊥平面PAM；（3）在AC上是否存在點(diǎn)E，使得ME⊥平面PAC？若存在，求出ME的長,若不存在，請說明理由．考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的計(jì)算與探索性問題（1）證明因?yàn)镸，N分別為BC,AB的中點(diǎn)，所以MN∥AC.因?yàn)镸N?平面PAC,AC?平面PAC，所以MN∥平面PAC.（2）證明因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC,所以PA⊥BC,因?yàn)锳B＝AC＝2,M為BC的中點(diǎn)，所以AM⊥BC。因?yàn)锳M∩PA＝A，AM，PA?平面PAM，所以BC⊥平面PAM。因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAM。(3)解存在．過點(diǎn)M作ME⊥AC交AC于點(diǎn)E，因?yàn)镻A⊥平面ABC，ME?平面ABC,所以PA⊥ME.因?yàn)镸E⊥AC,AC∩PA＝A,AC，PA?平面PAC，所以ME⊥平面PAC.因?yàn)樵凇鰽BC中，AB＝AC＝2，BC＝2eq\r(3)，M為BC的中點(diǎn)，所以ME＝eq\f（\r(3),2).四、探究與拓展14．如圖所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分別是BF，CE上的點(diǎn)，AD∥BC,且AB＝DE＝2BC＝2AF（如圖①)．將四邊形ADEF沿AD折起,連接BE，BF，CE（如圖②）．在折起的過程中，下列說法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()①AC∥平面BEF;②B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)不可能共面;③若EF⊥CF，則平面ADEF⊥平面ABCD;④平面BCE與平面BEF可能垂直．A．0B．1C．2D．3考點(diǎn)垂直問題的綜合應(yīng)用題點(diǎn)翻折與旋轉(zhuǎn)中的垂直問題答案B解析對于①，在圖中記AC與BD交點(diǎn)（中點(diǎn)）為O，取BE的中點(diǎn)為M,連接MO,MF,易證得四邊形AOMF為平行四邊形,即AC∥FM，又∵FM?平面BEF，AC?平面BEF，∴AC∥平面BEF，故①正確；假設(shè)②中B，C，E