2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修四人教B版全國通用版講義：第三章 三角恒等變換3.1.1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§3.1和角公式3．1.1兩角和與差的余弦學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程。2.理解用向量法導(dǎo)出公式的主要步驟.3。熟記兩角和與差的余弦公式的形式及符號特征，并能利用該公式進(jìn)行求值、計算．知識點(diǎn)兩角和與差的余弦公式思考1如何用角α，β的正、余弦值來表示cos(α－β）呢？有人認(rèn)為cos(α－β)＝cosα－cosβ,你認(rèn)為正確嗎？試舉出兩例加以說明．答案不正確．例如：當(dāng)α＝eq\f(π,2),β＝eq\f（π,4)時,cos(α－β)＝coseq\f（π，4)＝eq\f（\r（2），2），而cosα－cosβ＝coseq\f（π，2)－coseq\f(π,4)＝－eq\f（\r(2)，2），故cos(α－β)≠cosα－cosβ；再如：當(dāng)α＝eq\f（π,3）,β＝eq\f（π，6)時,cos（α－β)＝coseq\f(π,6）＝eq\f（\r（3)，2)，而cosα－cosβ＝coseq\f（π，3）－coseq\f(π，6）＝eq\f(1－\r(3)，2），故cos（α－β)≠cosα－cosβ。思考2單位圓中(如圖)，∠AOx＝α，∠BOx＝β,那么A，B的坐標(biāo)是什么?eq\o（OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→）)的夾角是多少？答案A（cosα，sinα)，B（cosβ，sinβ)．eq\o(OA，\s\up6（→）)與eq\o（OB,\s\up6（→））的夾角是α－β.思考3請根據(jù)上述條件推導(dǎo)兩角差的余弦公式．答案①eq\o(OA,\s\up6(→））·eq\o(OB,\s\up6(→））＝|eq\o(OA,\s\up6（→)）||eq\o（OB，\s\up6(→)）|cos(α－β）＝cos(α－β），②eq\o（OA,\s\up6（→）)·eq\o（OB,\s\up6（→）)＝cosαcosβ＋sinαsinβ?！郼os（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ。思考4如何由兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式？答案用－β代換cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β便可得到．梳理兩角和與差的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ。Cα－β：cos（α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ。1．存在角α，β，使得cos(α－β）＝cosα－cosβ。（√)提示如α＝eq\f(π,4),β＝eq\f（π，2），cos(α－β)＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,4)－\f(π，2))）＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π,4)))＝eq\f（\r(2)，2),cosα－cosβ＝coseq\f(π,4）－coseq\f(π,2）＝eq\f（\r（2),2)，滿足cos(α－β）＝cosα－cosβ.2．任意角α，β,cos(α－β）＝cosαcosβ－sinαsinβ。（×）提示由兩角差的余弦公式可知不正確．3．任意角α,β，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ。(√）類型一利用兩角和與差的余弦公式求值例1計算：(1)cos（－15°）；（2）cos15°cos105°－sin15°sin105°。解（1）方法一原式＝cos（30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝eq\f(\r(3)，2）×eq\f（\r(2），2)＋eq\f(1，2)×eq\f（\r（2）,2）＝eq\f(\r(6）＋\r（2),4）。方法二原式＝cos15°＝cos(45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f（\r（2),2）×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2），2）×eq\f(1，2)＝eq\f（\r（6）＋\r（2),4)。(2)原式＝cos(15°＋105°）＝cos120°＝－eq\f（1,2)。反思與感悟利用兩角和與差的余弦公式求值的一般思路:（1）把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差或和，正用公式直接求解．(2）在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式,構(gòu)造兩角差或和的余弦公式的右邊形式,然后逆用公式求值．跟蹤訓(xùn)練1求下列各式的值．(1）cos105°；（2）cos46°cos16°＋sin46°sin16°。解(1）原式＝cos(150°－45°）＝cos150°cos45°＋sin150°sin45°＝－eq\f(\r（3），2)×eq\f(\r(2），2)＋eq\f（1，2)×eq\f(\r（2)，2）＝eq\f(\r（2)－\r(6)，4）.(2）原式＝cos（46°－16°）＝cos30°＝eq\f(\r（3）,2)。類型二給值求值例2已知α,β均為銳角，sinα＝eq\f（8，17),cos（α－β)＝eq\f（21，29），求cosβ的值．解因為α∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2）)),sinα＝eq\f(8,17）〈eq\f（1,2)，所以0<α<eq\f(π,6).所以α－β∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π，2)，\f(π，6))）.又因為cos(α－β)＝eq\f(21，29）<eq\f(\r(3),2），所以－eq\f（π,2)<α－β<－eq\f(π，6）.所以cosα＝eq\r（1－sin2α)＝eq\r（1－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(8,17))）2）＝eq\f（15，17)，sin（α－β)＝－eq\r（1－cos2α－β)＝－eq\r(1－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(21,29)))2)＝－eq\f（20,29)。所以cosβ＝cos［α－（α－β)］＝cosαcos(α－β）＋sinαsin（α－β)＝eq\f（15，17）×eq\f(21,29）＋eq\f（8，17）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（20，29)））＝eq\f(155，493).反思與感悟三角恒等變換是三角運(yùn)算的靈魂與核心,它包括角的變換、函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的變換．其中角的變換是最基本的變換．常見的有α＝（α＋β）－β，α＝β－（β－α），α＝(2α－β)－(α－β)，α＝eq\f(1,2)[(α＋β)＋（α－β）],α＝eq\f(1,2）［（β＋α）－(β－α）]等．跟蹤訓(xùn)練2已知cosα＝eq\f（1,7），cos(α＋β)＝－eq\f（11,14）,且α，β∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2））)，求cosβ的值．解∵α，β∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f（π,2)))，∴α＋β∈(0，π)．又∵cosα＝eq\f（1,7），cos（α＋β)＝－eq\f（11,14）,∴sinα＝eq\r（1－cos2α)＝eq\f（4\r（3)，7)，sin（α＋β）＝eq\r(1－cos2α＋β）＝eq\f(5\r（3)，14).又∵β＝（α＋β）－α，∴cosβ＝cos［(α＋β)－α]＝cos（α＋β)cosα＋sin（α＋β)sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11，14）））×eq\f（1,7）＋eq\f(5\r（3)，14)×eq\f(4\r(3）,7）＝eq\f(1,2）。類型三給值求角例3已知cosα＝eq\f(1,7),cos(α－β)＝eq\f(13,14），且0〈β<α<eq\f(π,2)，求β的值．解由cosα＝eq\f(1,7)，0〈α<eq\f(π,2)，得sinα＝eq\r(1－cos2α）＝eq\r（1－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,7）)）2）＝eq\f（4\r(3)，7）.由0〈β<α〈eq\f（π,2），得0〈α－β〈eq\f(π，2).又∵cos(α－β)＝eq\f（13,14）,∴sin(α－β）＝eq\r（1－cos2α－β）＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(13,14）)）2)＝eq\f（3\r（3）,14）.由β＝α－（α－β），得cosβ＝cos[α－（α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin（α－β),即cosβ＝eq\f(1，7)×eq\f（13,14）＋eq\f(4\r(3),7）×eq\f(3\r(3),14）＝eq\f(1,2）。又∵0<β<eq\f(π,2)，∴β＝eq\f（π,3).反思與感悟求解給值求角問題的一般步驟：(1）求角的某一個三角函數(shù)值．(2)確定角的范圍．(3）根據(jù)角的范圍寫出所求的角．跟蹤訓(xùn)練3已知cos（α－β）＝－eq\f(12，13），cos(α＋β）＝eq\f（12,13），且α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,2）,π))，α＋β∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3π，2)，2π))，求角β的值．解由α－β∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π，2)，π））,且cos(α－β）＝－eq\f(12，13），得sin（α－β)＝eq\f（5,13).由α＋β∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3π,2），2π）)，且cos(α＋β)＝eq\f（12,13），得sin(α＋β)＝－eq\f(5，13）?！郼os2β＝cos[（α＋β）－（α－β)]＝cos(α＋β）cos（α－β)＋sin（α＋β）sin(α－β）＝eq\f（12,13)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(12，13）））＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5，13）））×eq\f(5，13）＝－1。又∵α＋β∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π，2）,2π))，α－β∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，2)，π）），∴2β∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,2)，\f(3π，2)）).∴2β＝π，則β＝eq\f(π，2）。1．計算coseq\f(5π,12)coseq\f（π，6)＋coseq\f(π，12)sineq\f（π,6)的值是（)A．0 B.eq\f(1，2）C。eq\f(\r(2），2） D.eq\f（\r(3）,2）答案C解析coseq\f(5π，12)coseq\f(π,6)＋coseq\f(π,12)sineq\f(π，6）＝coseq\f(5π,12)coseq\f（π，6)＋sineq\f（5π,12）sineq\f（π,6）＝coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(5π，12）－\f(π，6）)）＝coseq\f(π,4）＝eq\f(\r（2），2）.2．若a＝（cos60°,sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，則a·b等于（）A。eq\f（\r(2）,2） B.eq\f（1，2）C.eq\f(\r（3）,2） D．－eq\f（1，2)答案A解析a·b＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos（60°－15°）＝cos45°＝eq\f（\r（2）,2)。3．設(shè)α∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2))），若sinα＝eq\f(3，5),則eq\r（2）coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)））等于（)A.eq\f(7，5）B.eq\f（1，5）C．－eq\f(7，5）D．－eq\f（1，5)答案B解析∵α∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2）))，sinα＝eq\f(3，5），cosα＝eq\f(4，5)，∴eq\r(2）coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(α＋\f（π,4))）＝eq\r(2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(cosαcos\f(π,4)－sinαsin\f(π,4）））＝cosα－sinα＝eq\f(4，5）－eq\f(3，5）＝eq\f（1，5）.4．已知sinα＋sinβ＝eq\f（3,5）,cosα＋cosβ＝eq\f(4,5)，求cos（α－β）的值．解∵(sinα＋sinβ)2＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3，5)））2,(cosα＋cosβ)2＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（4,5))）2，以上兩式展開，兩邊分別相加,得2＋2cos(α－β）＝1,∴cos(α－β）＝－eq\f（1，2).5．已知sinα＝－eq\f(4,5），sinβ＝eq\f（5，13）,且180°<α<270°,90°<β〈180°,求cos(α＋β）的值．解因為sinα＝－eq\f(4,5），180°〈α〈270°,所以cosα＝－eq\f(3，5）.因為sinβ＝eq\f（5，13)，90°<β〈180°，所以cosβ＝－eq\f（12,13)。所以cos(α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（3,5））)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(12，13）)）－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(4，5)))×eq\f(5，13）＝eq\f(36，65）＋eq\f(20，65)＝eq\f(56，65）。

1．公式Cα－β與Cα＋β都是三角恒等式,既可正用，也可逆用．要注意公式的結(jié)構(gòu)特征．如：cosαcosβ±sinαsinβ＝cos(α?β)．2．要注意充分利用已知角與未知角之間的聯(lián)系，通過恰當(dāng)?shù)慕堑淖儞Q，創(chuàng)造出應(yīng)用公式的條件進(jìn)行求解．3．注意角的拆分技巧的積累，如：α＝（α＋β）－β＝(α－β)＋β＝eq\f（α＋β，2)＋eq\f(α－β，2)等。一、選擇題1．化簡cos(45°－α)cos（α＋15°)－sin(45°－α）sin（α＋15°)的結(jié)果為()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1，2)C.eq\f（\r(3),2) D．－eq\f(\r(3)，2）答案A解析原式＝cos（α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°）＝cos［（α－45°）－（α＋15°)］＝cos(－60°)＝eq\f（1,2）。2．已知coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π，6)))＝eq\f(5，13)，0＜θ＜eq\f(π，3),則cosθ等于（）A.eq\f（5\r(3)＋12,26) B.eq\f（12－5\r(3)，13)C.eq\f（5＋12\r（3)，26) D。eq\f(5＋5\r（3),13）答案A解析∵θ∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，3)))，∴θ＋eq\f(π，6)∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,6），\f(π,2））），∴sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π,6))）＝eq\r（1－cos2\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π,6）））)＝eq\f（12,13)，∴cosθ＝coseq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，6）)）－\f（π,6）)）＝coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π,6)))coseq\f（π,6）＋sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π，6)))sineq\f（π,6)＝eq\f(5,13)×eq\f(\r（3），2）＋eq\f（12,13）×eq\f（1，2）＝eq\f（5\r（3)＋12，26）.3．若cos（α－β)＝eq\f(\r（5）,5），cos2α＝eq\f(\r(10)，10），并且α，β均為銳角且α〈β，則α＋β的值為()A.eq\f(π，6) B。eq\f(π,4）C。eq\f(3π，4) D.eq\f（5π,6）答案C解析∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))），且α〈β，∴α－β∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π,2）,0）），2α∈（0,π），∴sin(α－β）＝－eq\f（2\r(5)，5），sin2α＝eq\f(3\r(10),10)，∴cos（α＋β）＝cos[2α－（α－β）］＝cos2αcos（α－β）＋sin2αsin（α－β)＝eq\f(\r(10)，10)×eq\f(\r(5），5)＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3\r(10),10）））×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（2\r（5）,5）））＝－eq\f(\r(2),2)，∵α＋β∈（0，π），∴α＋β＝eq\f(3π,4）。4．若cos(α＋β)＝eq\f(3，5）,sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（β－\f(π，4）））＝eq\f（5，13），α，β∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0,\f(π，2)）)，則coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，4）））的值為（）A。eq\f(\r（2）,2) B.eq\f（3，2）C.eq\f（56,65） D。eq\f（36，65)答案C解析∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f（π,2)）），∴α＋β∈（0，π）,β－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（π,4）,\f(π,4）)).又∵cos（α＋β）＝eq\f(3,5），sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(β－\f(π，4)))＝eq\f（5,13），∴sin(α＋β)＝eq\r（1－cos2α＋β)＝eq\f（4，5）,coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（β－\f（π，4)）)＝eq\r(1－sin2\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(β－\f(π，4)）))＝eq\f（12，13)，∴coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，4）))＝coseq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π，4）)）))＝cos（α＋β)coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（β－\f（π，4）)）＋sin(α＋β)sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（β－\f(π，4））)＝eq\f(3,5）×eq\f(12,13)＋eq\f(4，5)×eq\f（5,13)＝eq\f（56，65)，故選C.5．計算sin7°cos23°＋sin83°cos67°的值為（)A．－eq\f（1，2)B。eq\f(1，2)C.eq\f（\r(3),2）D．－eq\f(\r（3），2)答案B解析sin7°cos23°＋sin83°cos67°＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos(83°－23°)＝cos60°＝eq\f（1，2)，故選B。6．化簡sin（x＋y)sin(y－x)－cos(x＋y）cos(x－y）的結(jié)果為()A．sin2y B．cos2yC．－cos2y D．－sin2y答案C解析原式＝－cos［(x＋y)－（x－y）］＝－cos2y，故選C。二、填空題7．已知點(diǎn)P(1，eq\r（2）)是角α終邊上一點(diǎn)，則coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π，6）＋α）)＝________.答案eq\f（3－\r(6），6)解析由題意可得sinα＝eq\f(\r(6)，3)，cosα＝eq\f(\r（3)，3),coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，6)＋α）)＝coseq\f（π，6）cosα－sineq\f(π,6）sinα＝eq\f(\r（3),2）×eq\f(\r(3),3)－eq\f(1，2）×eq\f(\r(6），3）＝eq\f（3－\r（6)，6）.8.eq\f(2cos10°－sin20°，sin70°)的值是________．答案eq\r（3）解析原式＝eq\f（2cos30°－20°－sin20°,sin70°）＝eq\f(2cos30°cos20°＋sin30°sin20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(\r(3）cos20°，cos20°)＝eq\r（3)。9．已知cos（α－β）cosα＋sin（α－β)sinα＝m，且β為第三象限角，則sinβ＝________.答案－eq\r(1－m2）解析cos（α－β）cosα＋sin(α－β）sinα＝cos［(α－β）－α]＝m，即cosβ＝m.又∵β為第三象限角,∴sinβ＝－eq\r(1－cos2β）＝－eq\r（1－m2）。10．設(shè)A，B為銳角△ABC的兩個內(nèi)角，向量a＝(2cosA,2sinA),b＝（3cosB，3sinB）．若a,b的夾角的弧度數(shù)為eq\f（π，3)，則A－B＝________。答案±eq\f(π，3）解析coseq\f（π，3)＝eq\f（a·b,|a|｜b｜)＝eq\f（6cosAcosB＋sinAsinB，2×3)＝cosAcosB＋sinAsinB＝cos(A－B)．又－eq\f（π，2)＜A－B＜eq\f(π，2）,∴A－B＝±eq\f（π，3）。三、解答題11．已知α，β均為銳角,且sinα＝eq\f（\r（5)，5）,cosβ＝eq\f（\r(10),10)，求α－β的值．解∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2)））,∴cosα＝eq\f(2\r(5)，5)，sinβ＝eq\f（3\r（10)，10).∵sinα〈sinβ，∴α－β∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（π，2),0）),∴cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(2\r(5），5）×eq\f(\r(10)，10)＋eq\f（\r(5），5)×eq\f（3\r(10),10）＝eq\f(\r（2），2),∴α－β＝－eq\f(π,4).12．已知向量a＝(cosα，sinα）,b＝(cosβ,sinβ），|a－b｜＝eq\f(2\r（5),5），求cos(α－β）的值．解∵a＝（cosα,sinα），b＝（cosβ,sinβ)，∴a－b＝（cosα－cosβ，sinα－sinβ），∴|a－