隨機事件的概率

隨機事件的概率1．在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，以eq\f(7,10)為概率的事件是()A．都不是一等品 B．恰有1件一等品C．至少有1件一等品 D．至多有1件一等品答案D解析從5件產(chǎn)品中任取2件有10種取法，設(shè)3件一等品為1,2,3,2件二等品為4,5.這10種取法是(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，其中2件均為一等品的取法有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3種．所以至多有1件一等品的概率P＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).2．4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，若從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)答案C解析從4張卡片中抽取2張的方法有6種，和為奇數(shù)的情況有4種，∴P＝eq\f(2,3).3．[2016·紹興模擬]從1,2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；②至少有一個奇數(shù)和兩個數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)．在上述事件中，是對立事件的是()A．① B．②④C．③ D．①③答案C解析從9個數(shù)字中取兩個數(shù)有三種取法：一奇一偶，兩奇，兩偶，故只有③中兩事件是對立事件．4．[2016·銀川模擬]已知甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙勝的概率為eq\f(1,3)，則甲勝的概率和甲不輸?shù)母怕史謩e為()A.eq\f(1,6)，eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)，eq\f(2,3)C.eq\f(1,6)，eq\f(2,3) D.eq\f(2,3)，eq\f(1,2)答案C解析“甲勝”是“和棋或乙勝”的對立事件，所以甲勝的概率為1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).設(shè)“甲不輸”為事件A，則A可看作是“甲勝”與“和棋”這兩個互斥事件的和事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(或設(shè)“甲)))不輸”為事件A，則A可看作是“乙勝”的對立事件，所以eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(PA＝1－\f(1,3)＝\f(2,3))).5．從16個同類產(chǎn)品(其中有14個正品，2個次品)中任意抽取3個，下列事件中概率為1的是()A．三個都是正品B．三個都是次品C．三個中至少有一個是正品D．三個中至少有一個是次品答案C解析概率為1的事件是必然事件，從14個正品2個次品中抽取3個，其中至少抽到一個正品，故選C.6．[2015·金版創(chuàng)新題]如圖所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在五次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率為()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)答案D解析記其中被污損的數(shù)字為x.依題意得甲的五次綜合測評的平均成績是eq\f(1,5)(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次綜合測評的平均成績是eq\f(1,5)(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝eq\f(1,5)(442＋x)．令90≤eq\f(1,5)(442＋x)，由此解得x≥8，即x的可能取值是8,9，因此甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，選D.7．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率為0.42，摸出白球的概率是0.28，若紅球有21個，則黑球有________個．答案15解析1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50,50×0.30＝15.8．若將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率是________．答案eq\f(1,12)解析本題基本事件共6×6個，點數(shù)和為4的有3個事件為(1,3)，(2,2)，(3,1)，故P＝eq\f(3,6×6)＝eq\f(1,12).9．[2016·河北模擬]若A，B互為對立事件，其概率分別為P(A)＝eq\f(4,x)，P(B)＝eq\f(1,y)，且x>0，y>0，則x＋y的最小值為________．答案9解析由題意可知eq\f(4,x)＋eq\f(1,y)＝1，則x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)＋\f(1,y)))＝5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4y,x)＋\f(x,y)))≥9，當且僅當eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝2y時等號成立．10．[2014·陜西高考]某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．解(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，知樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000＝100輛，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120＝24輛，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計概率得P(C)＝0.24.11．A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間內(nèi)的概率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們?nèi)绾芜x擇各自的路徑．解(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44人，因此用頻率估計相應(yīng)的概率為0.44.(2)選擇路線L1的有60人，選擇路線L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得出的頻率為：所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(3)設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知：P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，所以甲應(yīng)選擇L1.又因為P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B1)<P(B2)，所以乙應(yīng)選擇L2.12．某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售．如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．(1)若花店一天購進17枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關(guān)于當天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310①假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進17枝玫瑰花，求這100天的日利潤(單位：元)的平均數(shù)；②若花店一天購進17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當天的利潤不少于75元的概率．解(1)當日需求量n≥17時，利潤y＝85.當日需求量n<17時，利潤y＝10n－85.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n－85，n<17,85，n≥17))(n∈N)．(2)①這100天中有10天的日利潤為55元，20天的日利潤為65元，16天的日利潤為75元，54天的日利潤為85元，所以這100天的日利潤的平均數(shù)為eq\f(1,100)×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4.②利潤不低于75元時日需求量不少于16枝，故當天的利潤不少于75元的概率為p＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.[B級知能提升](時間：20分鐘)1．[2014·上海高考]為強化安全意識，某商場擬在未來的連續(xù)10天中隨機選擇3天進行緊急疏散演練，則選擇的3天恰好為連續(xù)3天的概率是________(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)．答案eq\f(1,15)解析選擇的3天恰好為連續(xù)的3天共有8種選法，而總的選法120種，根據(jù)古典概型概率公式易得．基本事件總數(shù)為120,3天恰好連續(xù)共有8種選法，所以所求的概率為P＝eq\f(8,120)＝eq\f(1,15).2．已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為________．答案0.25解析20組隨機數(shù)中表示三次投籃恰好有兩次命中的是191,271,932,812,393，其頻率為eq\f(5,20)＝0.25，以此估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為0.25.3．[2016·安徽模擬]某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量：Y51484542頻數(shù)4(2)在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率．解(1)所種作物的總株數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相