隨機化集區(qū)拉丁方陣與相關(guān)設計

.PAGE@:隨機化集區(qū)，拉丁方陣，與相關(guān)設計隨機化集區(qū)，拉丁方陣，與相關(guān)設計Chap4.RandomizedBlocks,LatinSquares,andRelatedDesign4-1隨機化完全集區(qū)設計〔TheRandomizedCompleteBlockDesign〕在任何實驗中，擾動因子〔NuisanceFactor〕引起的變異對其結(jié)果會有影響。擾動因子之定義：一設計因子，其對反響有效果而實驗者卻對此效果無興趣。未知且無法控制〔UnknownandUncontrolled〕的擾動因子：不知其存在及實驗進展時可能改變水準。隨機化是一種設計技巧用來防范此『埋伏』的擾動因子。然而，但不可控制〔KnownbutUncontrollable〕的擾動因子，倘于每次實驗時會觀測到此的擾動因子之值，那么于ANOVA時其會被補償。如擾動變異來源是且可控制〔KnownandControllable〕時，集區(qū)劃分〔Blocking〕之設計將可系統(tǒng)化地消除其對處理間統(tǒng)計比較的影響。茲欲研究硬度機性能測試實驗，共有4種鋒利物和4塊可供測試的金屬物品。每1種鋒利物在每塊金屬物品上測試一次，另期望實驗誤差是愈小愈好，因此從實驗誤差中將金屬物品間的變異給隔分開來，成為一隨機化完全集區(qū)設計〔RandomizedCompleteBlockDesign〔RCBD〕〕。〞完全〞即是每個集區(qū)〔金屬物品〕包含了所有的處理〔鋒利物種類〕。經(jīng)由此設計，集區(qū)〔金屬物品〕形成一同構(gòu)型更高的實驗單位來比較鋒利物，同時在任一集區(qū)內(nèi)，4種鋒利物測試的順序是隨機，那么此策略亦很有效地改善鋒利物間比較之準確性。鋒利物種類金屬物品〔集區(qū)〕123419.39.49.610.029.49.39.89.939.29.49.59.749.79.610.010.2〔RockwellC尺度之硬度值〕-40隨機化完全集區(qū)設計使用非常廣泛，如測試儀器、機器設備、原料的批次、人、與時間，這些經(jīng)常是實驗中擾動變異的來源〔KnownandControllable〕，可用集區(qū)劃分的方式加以系統(tǒng)化地控制。4-1.1隨機化完全集區(qū)設計之統(tǒng)計分析〔StatisticalAnalysisoftheRCBD〕假設有a種處理要比較及b個集區(qū)，在每個集區(qū)里每種處理各有一觀測值，同時每個集區(qū)中各處理進展的順序是隨機決定的，因為單一的處理的隨機化是在集區(qū)里，故通稱集區(qū)是一受限制之隨機化〔RestrictedRandomization〕。Block1Block2….Blockby11y12…y1by21y22…y2by31y23….y3b..….ya1ya2…yab此設計之統(tǒng)計形式是yij=+i+j+ij,i=1,2,…,a；j=1,2,…,b 〔4-1〕式中，是總平均、是i第i種處理的效果、是j第j個集區(qū)的效果、與隨機誤差項ij~NID〔0,2〕。處理與集區(qū)暫時考慮為固定效果因子，另處理與集區(qū)效果均定義為從總平均的離差〔Deviation〕，所以， i=1ai =0 and j=1bj=0 另亦可用〞均值形式〞表示，yij=ij+ij,i=1,2,…,a；j=1,2,…,b式中，ij=+i+j，欲研究處理平均是否相等，檢定假設為H0：1=2=…=a H1：至少一個ij因為第i種處理平均值i=〔1/b〕j=1b〔+i+j〕=+i，如此檢定假設另一種表示為H0：1=2=…=a H1：至少一個i0 假設yi為第i種處理下之所有觀測值總和、yj為第j個集區(qū)下之所有觀測值的總和、y為所有觀測值總和、及N=ab為所有觀測值的數(shù)目，那么 yi=j=1b〔yij〕 i=1,2,…,a 〔4-2〕yj=i=1a〔yij〕 j=1,2,…,b 〔4-3〕y=i=1aj=1b〔yij〕=i=1a〔yi〕=j=1b〔yj〕 〔4-4〕同理，為第i種處理下之所有觀測值的平均值、為第j個集區(qū)下之所有觀測值的平均值、為所有觀測值的平均值，那么 =yi/b；=yj/a； =y/N 〔4-5〕總〔校正〕平方和〔TotalCorrectedSumofSquares〕 〔4-6〕 =〔4-7〕此表示對總平方和的一種分割，故〔4-7〕式可表示成，SST=SSTreatments+SSBlocks+SSE 〔4-8〕變異來源平方和SS自由度df處理〔組間〕SSTreatmentsa-1集區(qū)SSBlocksb-1誤差〔組內(nèi)〕SSE 〔a-1〕〔b-1〕總和SSTN-1〔4-8〕式左右兩邊之自由度相等，因此，如假設誤差項為常態(tài)，那么可引用Cochran定理證明SSTreatments/2，SSBlocks/2，與SSE/2均為獨立分配的卡方隨機變量。另每個平方和除以本身之自由度即為個別的均方，這些均方的期望值，當處理和集區(qū)為固定時，那么 E[MSTreatments]=2+bi=1a〔i2〕/〔a-1〕E[MSBlocks]=2+aj=1b〔j2〕/〔b-1〕E[MSE]=2所以，假設欲檢定處理平均值相等與否，其檢定統(tǒng)計式為， F0=MSTreatments/MSE ，當F0＞F,〔a-1〕,〔a-1〕〔b-1〕，回絕H0。 另亦可對集區(qū)平均值做比較，倘這些平均值無太大差異，那么將來實驗時可無須集區(qū)劃分。變異來源平方和SS自由度df均方MSF0處理〔組間〕SSTreatmentsa-1SSTreatments/a-1SSTreatments/MSE集區(qū)SSBlocksb-1SSBlocks/b-1誤差〔組內(nèi)〕SSE 〔a-1〕〔b-1〕SSE/〔a-1〕〔b-1〕總和SSTN-1〔4-6〕~〔4-8〕式亦可修改以利用手算，如SST=i=1aj=1byij2-y2/N 〔4-9〕SSTreatments=〔i=1ayi2〕/b-y2/N 〔4-10〕SSBlocks=〔i=1byj2〕/a-y2/N 〔4-11〕 SSE=SST-SSTreatments-SSBlocks 〔4-12〕************例題4-1欲研究硬度實驗。共有4種鋒利物和4塊可供測試的金屬物品。每1種鋒利物在每塊金屬物品上測試一次，成為一個集區(qū)隨機設計。鋒利物種類金屬物品〔集區(qū)〕123419.39.49.610.029.49.39.89.939.29.49.59.749.79.610.010.2SOL:變異來源平方和自由度均方FP-Value處理〔鋒利物種類〕38.50312.8314.440.0009集區(qū)〔金屬物品〕82.50327.50誤差8.0090.89總和129.0015F〔=14.44〕值大于臨界值〔=3.86〕，且P-值為0.0009小于顯著水準0.05RejectH0鋒利物種類確實會影響平均硬度讀值。〔倘無考慮集區(qū)〕變異來源平方和SS自由度df均方MSF處理〔鋒利物種類〕38.50312.831.70誤差90.50127.54總和129.0015F〔=1.70〕值小于臨界值〔=3.49〕。AcceptH0鋒利物種類的平均硬度讀值相等。*************另殘差之計算， eij=yij-,其中配適值為， 所以 eij=yij-=yij 〔4-13〕下節(jié)再將用殘差進展〞形式適當性檢驗〞。多重比較〔MultipleComparisons〕 倘隨機化集區(qū)設計中之處理是固定的，且分析出處理平均值間有顯著差異，那么用多重比較檢視何者平均值不同，上一章〔第3-5.1節(jié)〕多重比較的方法均可使用。4-1.2形式適當性檢本〔ModelAdequacyChecking〕 前一章已述，檢查假設的形式之適當性是非常重要，一般而言，檢查工程包括常態(tài)假設、處理或集區(qū)的不相等誤差變異、與集區(qū)-處理的交互作用等潛在問題。如完全隨機設計一樣，殘差分析是此種診斷檢查的主要工具。圖4-4例題4-1殘差之常態(tài)機率圖 由圖4-4殘差之常態(tài)機率圖視出，未有嚴重的〞非常態(tài)〞跡象，與無任何可能的離群值。 倘某鋒利物的殘差相當離散，即表示此種鋒利物所產(chǎn)生的硬度讀值相當不穩(wěn)定。又如某金屬樣本的殘差相當離散，即表示此種金屬樣本本身硬度的均勻性不佳?！瞐〕殘差與處理圖〔b〕殘差與集區(qū)圖圖4-5例題4-1殘差與處理、集區(qū)圖由圖4-5示，例題4-1看不出以處理或以集區(qū)有任何變異不相等的跡象。圖4-6例題4-1殘差與配適值圖 檢視圖4-6，殘差大小與配適值無任何關(guān)系，沒有不尋常的訊息。有時殘差與配適值呈曲線的形狀，此意味著處理與集區(qū)的交互作用〔Interaction〕，如確有此形態(tài)發(fā)生，那么利用轉(zhuǎn)換以盡可能消除或極小化該交互作用，有關(guān)這部分問題將于第5章詳述。4-1.3隨機化完全集區(qū)設計之其它方面〔SomeOtherAspectsoftheRandomizedCompleteBlockDesign〕隨機化集區(qū)形式之可加性〔AdditivityoftheRandomizedBlockModel〕隨機化集區(qū)設計的線性形式，yij=+i+j+ij,是具有完全地可加性，此表示 E[1]=5， E[1]=2， 那么 E[y11]=+1+1=+5+2=+7 此簡單的加法形式是很有用的，但亦有不適用的情況，如處理與集區(qū)發(fā)生交互作用。同理，用不當?shù)某叨攘繙y反響時會造成處理與集區(qū)發(fā)生交互作用，假設原尺度是乘法關(guān)系，E[yij]=ij在對數(shù)尺度將是一線性或可加性的關(guān)系，如lnE[yij]=ln+lni+lnj殘差分析及一些診斷手法有助于檢視非可加性。一但出現(xiàn)交互作用，其嚴重甚至可能造成ANOVA無效，其會膨脹誤差均方及可能影響處理間的比較，如有此況，那么用〞因子設計〔FactorialDesign〕〞，此部份5-9章詳述。隨機處理與集區(qū)〔RandomTreatmentsandBlock〕 上述已說明處理與集區(qū)為固定因子時之檢定程序，同樣步驟可以用在當處理或集區(qū)〔或兩者〕是隨機時，然所對應結(jié)果的解釋上須有所改變，如希望處理間的比較對于實驗隨機選出的集區(qū)來自整個集區(qū)母體〔PopulationofBlocks〕是一樣的。對于均方期望值亦有對應改變，如集區(qū)具有一樣變異數(shù)的獨立隨機變量，那么 E[MSBlocks]=2+2其中2為集區(qū)效果的變異數(shù)，無論如何，E[MSTreatments]永遠不包含任何集區(qū)效果，而處理間比較的檢定統(tǒng)計量永遠是 F0=MSTreatments/MSE當集區(qū)是隨機時，倘處理與集區(qū)有交互作用，那么處理平均值間之比較不受交互作用的影響，理由是處理及誤差的均方期望值均包含交互作用之效應，所以，處理平均值間差異之檢定同前，亦即比較處理均方與誤差均方，但不提供任何交互作用的訊息。樣本大小之選擇〔ChoiceofSampleSize〕 選擇樣本大小、或集區(qū)數(shù)目，是隨機化集區(qū)設計中的一重要決策，樣本大小之選擇〔ChoiceofSampleSize〕選擇樣本大小、或集區(qū)數(shù)目，是隨機化集區(qū)設計中的一重要決策4-1.4估計形式參數(shù)與一般性回歸顯著檢定〔EstimatingModelParametersandtheGeneralRegressionSignificanceTest〕如處理與集區(qū)是固定的，用最小平方法來估計隨機化完全集區(qū)形式中的參數(shù)，此線性統(tǒng)計形式是yij=+i+j+ij,i=1,2,…,a；j=1,2,…,b 〔4-17〕 常態(tài)方程式〔NormalEq.〕，那么… 〔4-18〕 …. 第2到第〔a+1〕個方程式加總即為第1個常態(tài)方程式，而最后b個方程式加總亦為第1個常態(tài)方程式，因此，2個線性相依在〔4-18〕式中，意味著需要有2個限制式來解，其限制式為 〔4-19〕利用限制式，常態(tài)方程式簡化為 〔4-20〕而其解那么為 〔4-21〕利用〔4-21〕式中常態(tài)方程式的解，那么yij的估計值或配適值， 一般性回歸顯著檢定可用來開展隨機化集區(qū)設計的ANOVA，利用〔4-21〕式的常態(tài)方程式的解，為配適完好形式，其簡化〔Reduction〕平方和為且有〔a+b-1〕個自由度，與誤差平方和為，且有〔a-1〕〔b-1〕個自由度，此