2017北京卷高考理數(shù)試題

.2017年一般高等學(xué)校招生全國一致考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)勢必答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每題5分，共40分。在每題列出的四個選項中，選出切合題目要求的一項。（1）若會合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，則AB=（A）{x|–2x–1}（B）{x|–2x3}（C）{x|–1x1}（D）{x|1x3}（2）若復(fù)數(shù)（1–i）(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是（A）(–∞，1)（B）(–∞，–1)（C）(1，+∞)（D）(–1，+∞)（3）履行以下圖的程序框圖，輸出的s值為（A）23（B）2...（C）53（D）85（4）若x，y知足，則x+2y的最大值為（A）1（B）3（C）5（D）9（5）已知函數(shù)f(x)3x13

x，則f(x)A）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)（6）設(shè)m,n為非零向量，則“存在負數(shù)，使得mn”是“mn＜0”的A）充分而不用要條件B）必需而不充分條件C）充分必需條件D）既不充分也不用要條件7）某四棱錐的三視圖以下圖，則該四棱錐的最長棱的長度為...A）32B）23C）22D）2（8）依據(jù)相關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為，而可觀察宇宙中一般物質(zhì)的原子總數(shù)N約為.則以下各數(shù)中與M最靠近的是N（參照數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每題5分，共30分。（9）若雙曲線x2y21的離心率為3，則實數(shù)m=_______________.m（10）若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn知足a1=b1=–1，a4=b4=8，則a2=__________.b2（11）在極坐標系中，點A在圓22cos4sin40，點P的坐標為(1,0)，則|AP|的最小值為.（12）在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊對于y軸對稱。1，cos()=.若sin3...（13）可以說明“設(shè)a，b，c是隨意實數(shù).若a＞b＞c，則a+b＞c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值挨次為______________________________.（14）三名工人加工同一種部件，他們在一天中的工作狀況以下圖，此中點Ai的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的部件數(shù)，點Bi的橫、縱坐標學(xué)科&網(wǎng)分別為第i名工人下午的工作時間和加工的部件數(shù)，i=1，2，3。①記Q1為第i名工人在這天中加工的部件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是_________。②記pi為第i名工人在這天中均勻每小時加工的部件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是_________。三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題13分）在△ABC中，A=60°，c=3a.7（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7,求△ABC的面積.（16）（本小題14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PB上，PD//平面MAC,PA=PD=6,AB=4.(I)求證：M為PB的中點；...求二面角B-PD-A的大?。磺笾本€MC與平面BDP所成角的正炫值。（17）（本小題13分）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分紅兩組，每組個50名，一組服藥，另一組不服藥。一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標xy和的學(xué)科.網(wǎng)數(shù)據(jù)，并制成以下圖，此中“·”表示服藥者，“+”表示為服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求這人指標y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A,B,C,D,四人中隨機選出兩人，記為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數(shù)，求的散布列和數(shù)學(xué)希望E（）；（Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只要寫出結(jié)論）（18）（本小題14分）已知拋物線C：y2=2px過點P(1,1).過點(0,1)作直線l與拋物線C交于不一樣的兩點M,N，2過點M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點A,B，此中O為原點.（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點.19）（本小題13分）已知函數(shù)f(x)=excosx-x.（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,]上的最大值和最小值.2（20）（本小題13分）設(shè){an}和{bn}是兩個等差數(shù)列，記...c=max{b–an,b–an,,b–an}(n=1,2,3,)，n1122nn此中max{x12s12s這s個數(shù)中最大的數(shù)．,x,,x}表示x,x,,x（Ⅰ）若an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并證明{cn}是等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：或許對隨意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當n≥m時，cnM；或許存在正整數(shù)m，n使得cm,cm+1,cm+2,是等差數(shù)列．2017年北京高考數(shù)學(xué)（理科）參照答案與分析1．A【分析】會合Ax|2x1與會合Bx|x1或x3的公共部分為x|2x1，應(yīng)選A．2．B【分析】(1i)(ai)(a1)(1a)i，Q對應(yīng)的點在第二象限，a101a解得：a10應(yīng)選B．3．C【分析】當k0時，k3成立，進入循環(huán)，此時k1，s2；當k1時，k3成立，持續(xù)循環(huán)，此時k23；，s2當k2時，k3成立，持續(xù)循環(huán)，此時k35；，s3當k3時，k3不可立，循環(huán)結(jié)束，輸出s．應(yīng)選C．4．D【分析】設(shè)zx2y，則1z3，3處獲得最大值，yx，由以下圖可行域剖析可知，在22代入可得zmax9，應(yīng)選D．...5．A【分析】奇偶性：fx的定義域是R，對于原點對稱，xx由fx3x113xfx可得fx為奇函數(shù)．331x單一性：函數(shù)y3x是R上的增函數(shù)，函數(shù)y是R上的減函數(shù)，依據(jù)單一性31x的運算，增函數(shù)減去減函數(shù)所得新函數(shù)是增函數(shù)，即fx=3x是R上的增函3數(shù)．綜上選A6．A【分析】因為urrurr“，使得m”m，n是非零向量，存在負數(shù)n．依據(jù)向量共線基本定理可urrurrurr知m與n共線，因為0，所以m與n方向相反，進而有mn0，所以是充分條urrurrurr件。反之，若mn0，m與n方向相反或夾角為鈍角時，m與n可能不共線，所以不是必需條件。綜上所述，可知m”“”n是mn0的充分不用要條件，所以選A．7．B【分析】以以下圖所示，在四棱錐PABCD中，最長的棱為PA，所以PA=PC2AC222(22)223，應(yīng)選B．...8．D【分析】因為lgMlgMlgN=lg3361lg1080≈3610.488093.28，N所以M≈1093.28，應(yīng)選D．N9．2【分析】∵雙曲線的離心率為3∴c3ac23a2∵a1，bm，a2b2c2∴b2mc2a23a2a231210．1【分析】∵an是等差數(shù)列，a11，a48，∴公差d3∴a2a1d2∵bn為等比數(shù)列，b1，b814∴公比q2b2b1q2故a21b211．1【分析】把圓22cos4sin40改寫為直角坐標方程x2y22x4y40，化簡為(x1)2(y2)21，它是以1,2為圓心，1為半徑的圓。畫出圖形，連接圓心O與點P，交圓于點A，此時AP取最小值，A點坐標為1,1，AP1．...yO(1,2)21A(1,1)P(1,0)x712．9【分析】∵因為角和角的終邊對于y軸對稱∴sinsin1cos，cos3∴coscoscossinsincos2sin22sin217913．1，2，3【分析】由題意知a，b，c均小于0，所以找到隨意一組負整數(shù)，知足題意即可．14．①Q(mào)1②p2【分析】①設(shè)線段AiBi的中點為Cixi，yi，則Qi2yi，此中i1，2，3．所以只要比較C1，C2，C3三個點縱坐標的大小即可．②由題意，piyi，i1，2，3，故只要比較三條直線OC1，OC2，OC3的斜率即xi可．15．【分析】（1）Qc3a7由正弦定理得：sinC3sinA333377214（2）Qc3aa7A60C為銳角...由sinC33得：cosC131414sinBsin[π(AC)]sin(AC)sinAcosCcosAsinC313133214214437又Qc333a777SABC1acsinB217343276316．【分析】（1）取AC、BD交點為N，連接MN．∵PD∥面MACPD面PBD面PBD∩面MACMN∴PD∥MN在△PBD中，N為BD中點∴M為PB中點（2）方法一：取AD中點為O，BC中點為E，連接OP，OE∵PAPD，∴POAD又面PAD面ABCD面PAD∩面ABCDAD∴PO面ABCD...以O(shè)D為x軸，OE為y軸，OP為z軸成立空間直角坐標可知D2，0，0，A2，0，0，B2，4，0，P0，0，2ur易知面PD的法向量為m0，1，0uuur，uuur且PD2，，2，，20PB24r設(shè)面PBD的法向量為nx，y，z2x2z02x4y2z0r可知n1，1，2∴cosur，r11mn221212122由圖可知二面角的平面角為銳角∴二面角BPDA大小為60方法二：過點A作AHPD，交PD于點E，連接BE

PMHNA

BG∵BA平面PAD，∴PDBA，∴PD平面BAH，∴PDBH，∴AEB即為二面角BPDA的平面角

FDCADPOAEPD，可求得AEtanAEB433AEB60（3）方法一：

433點M1，2，2，C2，4，02...uuuur，，2∴MC322r2，，由（2）題面BDP的一個法向量n11設(shè)MC與平面BDP所成角為∴sincosuuuur，r32126MCn1（）9229422211方法二：記ACIBDF，取AB中點N，連接MN，F(xiàn)N，MF取FN中點G，連MG，易證點G是FN中點，∴MG∥PO∵平面PAD平面ABCD，POAD，∴PO平面ABCD∴MG平面ABCD連接GC，GC13，MG122PO2∴MC362∵PD6，BD42，PB22，由余弦定理知3cosPDB3∴sinPDB6，∴S△PDB1PDDBsinPDB4232設(shè)點C到平面PDB的距離為h，VPDBC1S△PDBh3又VPDBCVCPDB1PO，求得h2S△BCD3記直線MC與平面BDP所成角為h226sin369∴MC217．y的值小于1人，這人指標y【分析】（1）50名服藥者中指標60的人有15人，故隨機抽取..的值小于60的概率為

.153102）的可能取值為：0，1，2P0C221P1C21C2142PC221C426，C4263，26C42012P121636E( )0112162136y數(shù)據(jù)的失散程度察看可知，服藥者的方差大。（3）從圖中服藥者和未服藥者指標18．【分析】（1）由拋物線y22px過點(1,1)，代入原方程得12=2p1，所以p1，原方程為y2x．2由此得拋物線焦點為11,0，準線方程為x．442）法一：∵BM⊥x軸設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，Ax1,yA,Bx1,yB，依據(jù)題意明顯有x10若要證A為BM中點只要證2yAyByM即可，左右同除x1有2yAyByMx1x1x1即只要證明2kkOBkOAOM成立此中kOAkOP1,kOBkON當直線MN斜率不存在或斜率為零時，明顯與拋物線只有一個交點不知足題意，所以直線MN斜率存在且不為零．設(shè)直線MN：ykx1k02ykx1k1x1聯(lián)立2有k2x20，y2x4k121k212k，由題可知有兩交點，所以鑒別式大于零，所考慮44以k1．2...由韋達定理可知：x1x21k2k①，x1x212②4kkOBkOMkONkOMy2y1x2x111kx2kx1x1x2222kx2x12x1x2x1x21k2kk2將①②代入上式，有2k2k21k22x1x2214k2即kONkOMkOBkOM22kOA，所以2yAyByM恒成立∴A為BM中點，得證．法二：當直線MN斜率不存在或斜率為零時，明顯與拋物線只有一個交點不知足題意，所以直線MN斜率存在且不為零．1，過Q的直線MN方程為ykx1k0，設(shè)設(shè)0,為點22M(x1,y1),N(x2,y2)，明顯，x1,x2均不為零．2yx1得k2x2(k1)x10，聯(lián)立方程ykx24考慮，由題可知有兩交點，所以鑒別式大于零，所以k1．2由韋達定理可知：x11k①，②x2k2由題可得A,B橫坐標相等且同為x1，且lON:yy2x，B在直線ON上，x2又A在直線OP：yx上，所以A(x,x),Bx,x1y2，若要證明A為BM中點，x2只要證2yAyByM，即證x1y2y12x1，即證x1y2x2y12x1x2，x2y1kx112代入上式，將y2kx212即證(kx21)x1(kx11)x22x1x2，即(2k2)x1x21(x1x2)0，222...將①②代入得(2k2)11k0，化簡有恒成立，4k22k2所以2yABM恒成立，yy所以A為BM中點．19．【分析】（1）∵f(x)excosxx∴f(0)1,f(x)excosxexsinx1ex(cosxsinx)1∴f(0)e0(cos0sin0)10∴f(x)在(0,f(0))處的切線方程為yf(0)f(0)(x0)，即y10．（2）令g( )f()ex(cosxsin)1xxxg(x)ex(cosxsinx)+ex(sinxcosx)2exsinx∵x0，π時，g(x)2exsinx02∴g(x)在0，π上單一遞減2∴x0，π時，g(x)g(0)f(0)0，即f(x)02∴f(x)在0，π上單一遞減2∴x0時，f(x)有最大值f(0)1；xππe2πππ時，f(x)有最小值f2cos2．22220．11，a22，a33且b11，b23，b35．【分析】（）易知a1∴c1b1a10，c2maxb12a1，b22a2max1，11，c3maxb13a1，b23a2，b33a3max2，3，42．下邊我們證明，對nN*且n≥2，都有cnb1a1n．當kN*且2≤k≤n時，...bkaknb1a1n2k1nk1n2k2nk1k12n∵k10且2n≤0，∴bkaknb1a1n≤0b1a1n≥bkakn．所以，對nN*且n≥2，cnb1a1n1n，則cn1cn1．又∵c2c11，故cn1cn1對nN*均成立，進而cn為等差數(shù)列．（2）設(shè)數(shù)列an與bn的公差分別為da，db，下邊我們考慮cn的取值．對b1a1n，b2a2n，，bnann，考慮此中隨意項biain（iN*且1≤i≤n），biainb1i1dba1i1dan(b1a1n)(i1)(dbdan)下邊我們分da0，da0，da0三種狀況進行議論．（1）若da0，則biainb1a