高中數(shù)學(xué)高考07第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)2 4 冪函數(shù)與二次函數(shù)

§2.4冪函數(shù)與二次函數(shù)最新考綱考情考向分析1.了解冪函數(shù)的概念．2.結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝的圖象，了解它們的變化情況．3.理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)．4.能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.以冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用為主，常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)交匯命題；以二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用為主，常與方程、不等式等知識交匯命題，著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸及數(shù)形結(jié)合思想，題型一般為選擇、填空題，中檔難度.1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x－1圖象性質(zhì)定義域RRR值域RR奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點2．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域RR值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(b,2a)對稱概念方法微思考1．二次函數(shù)的解析式有哪些常用形式？提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)頂點式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，寫出f(x)≥0恒成立的條件．提示a>0且Δ≤0.題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是eq\f(4ac－b2,4a).()(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大?。?)(3)函數(shù)y＝是冪函數(shù)．()(4)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點．()(5)當(dāng)n<0時，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的減函數(shù)．()題組二教材改編2．已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則k＋α等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．23．已知函數(shù)f(x)＝x2＋4ax在區(qū)間(－∞，6)內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≤3C．a(chǎn)<－3 D．a(chǎn)≤－3題組三易錯自糾4．冪函數(shù)f(x)＝(a∈Z)為偶函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，則a等于()A．3B．4C．5D．65．已知函數(shù)y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，則y的最小值是______．6．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，則f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)題型一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)2．若四個冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()A．d>c>b>a B．a(chǎn)>b>c>dC．d>c>a>b D．a(chǎn)>b>d>c3．已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為()A．－3B．1C．2D．1或24．(2018·阜新模擬)若(a＋1)<(3－2a)，則實數(shù)a的取值范圍是____________．思維升華(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式．(2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸．(3)在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型二求二次函數(shù)的解析式例1(1)已知二次函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(0)＝3，對?x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，則f(x)的解析式為________________．(2)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個交點坐標(biāo)為(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，則f(x)＝________.思維升華求二次函數(shù)解析式的方法跟蹤訓(xùn)練1(1)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，則f(x)＝________.(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)＝________.題型三二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)命題點1二次函數(shù)的圖象例2(2018·鄂爾多斯模擬)一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是()命題點2二次函數(shù)的單調(diào)性例3函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－3,0) B．(－∞，－3]C．[－2,0] D．[－3,0]引申探究若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的單調(diào)減區(qū)間是[－1，＋∞)，則a＝________.命題點3二次函數(shù)的最值例4已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上有最大值4，求實數(shù)a的值．引申探究將本例改為：求函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上的最大值．命題點4二次函數(shù)中的恒成立問題1,1]上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為____________．(2)函數(shù)f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在區(qū)間[－1,1]上f(x)≤8恒成立，則a的最大值為________．思維升華解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時要注意：(1)拋物線的開口，對稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論；(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)．(3)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值或值域．跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是單調(diào)函數(shù)的充要條件是()A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<0(2)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定義域為R，值域為[1，＋∞)，則a的值為________．(3)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，則實數(shù)a的取值范圍為________．?dāng)?shù)形結(jié)合思想和分類討論思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用研究二次函數(shù)的性質(zhì)，可以結(jié)合圖象進(jìn)行；對于含參數(shù)的二次函數(shù)問題，要明確參數(shù)對圖象的影響，進(jìn)行分類討論．例設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值．1．冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(3，eq\r(3))，則f(x)是()A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)2.冪函數(shù)y＝(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為()A．0 B．1C．2 D．33．若冪函數(shù)f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則m的值為()A．1或3 B．1C．3 D．24．若命題“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<0或a≥3 B．a(chǎn)≤0或a≥3C．a(chǎn)<0或a>3 D．0<a<35．已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，則()A．a(chǎn)>0,4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0,4a＋b＝0C．a(chǎn)>0,2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0,2a＋b＝06．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，x∈[0,1]有最大值2，則a等于()A．2 B．0C．0或－1 D．2或－17．已知f(x)＝x2，g(x)＝，h(x)＝x－2，當(dāng)0<x<1時，f(x)，g(x)，h(x)的大小關(guān)系是________________．8．已知二次函數(shù)y＝f(x)的頂點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，49))，且方程f(x)＝0的兩個實根之差的絕對值等于7，則此二次函數(shù)的解析式是________________．9．已知函數(shù)f(x)＝x2－(a－1)x＋5在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上為增函數(shù)，那么f(2)的取值范圍是______________．10．設(shè)函數(shù)f(x)＝－2x2＋4x在區(qū)間[m，n]上的值域是[－6，2]，則m＋n的取值范圍是______________．11．(2018·河南南陽一中月考)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實數(shù)m的取值范圍是____________．12．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)當(dāng)a＝2，x∈[－2,3]時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在[－1,3]上的最大值為1，求實數(shù)a的值．1.給出下面四個結(jié)論：①b2