人版高中數(shù)學(xué)必修3全套教（學(xué)）案設(shè)計(jì)說明

..1.3算法案例整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析在學(xué)生學(xué)習(xí)了算法的初步知識(shí),理解了表示算法的算法步驟、程序框圖和程序三種不同方式以后,再結(jié)合典型算法案例,讓學(xué)生經(jīng)歷設(shè)計(jì)算法解決問題的全過程,體驗(yàn)算法在解決問題中的重要作用,體會(huì)算法的基本思想,提高邏輯思維能力,發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力.三維目標(biāo)1．理解算法案例的算法步驟和程序框圖.2．引導(dǎo)學(xué)生得出自己設(shè)計(jì)的算法程序.3.體會(huì)算法的基本思想,提高邏輯思維能力,發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生得出自己設(shè)計(jì)的算法步驟、程序框圖和算法程序.教學(xué)難點(diǎn)：體會(huì)算法的基本思想,提高邏輯思維能力,發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力.課時(shí)安排3課時(shí)教學(xué)過程第1課時(shí)案例1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)導(dǎo)入新課思路1〔情境導(dǎo)入大家喜歡打乒乓球吧,由于東、西方文化及身體條件的不同,西方人喜歡橫握拍打球,東方人喜歡直握拍打球,對(duì)于同一個(gè)問題,東、西方人處理問題方式是有所不同的.在小學(xué),我們學(xué)過求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法：先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除,一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止,然后把所有的除數(shù)連乘起來.當(dāng)兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)較大時(shí)〔如8251與6105,使用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難.下面我們介紹兩種不同的算法——輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù),由此可以體會(huì)東、西方文化的差異.思路2〔直接導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了算法步驟、程序框圖和算法語句.今天我們將通過輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)來進(jìn)一步體會(huì)算法的思想.推進(jìn)新課新知探究提出問題〔1怎樣用短除法求最大公約數(shù)？〔2怎樣用窮舉法〔也叫枚舉法求最大公約數(shù)？〔3怎樣用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)？〔4怎樣用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)？討論結(jié)果：〔1短除法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的步驟：先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除,一直除到所得的商是兩個(gè)互質(zhì)數(shù)為止,然后把所有的除數(shù)連乘起來.〔2窮舉法〔也叫枚舉法窮舉法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的解題步驟：從兩個(gè)數(shù)中較小數(shù)開始由大到小列舉,直到找到公約數(shù)立即中斷列舉,得到的公約數(shù)便是最大公約數(shù).〔3輾轉(zhuǎn)相除法輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),其算法步驟可以描述如下：第一步,給定兩個(gè)正整數(shù)m,n.第二步,求余數(shù)r：計(jì)算m除以n,將所得余數(shù)存放到變量r中.第三步,更新被除數(shù)和余數(shù)：m=n,n=r.第四步,判斷余數(shù)r是否為0.若余數(shù)為0,則輸出結(jié)果；否則轉(zhuǎn)向第二步繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行.如此循環(huán),直到得到結(jié)果為止.這種算法是由歐幾里得在公元前300年左右首先提出的,因而又叫歐幾里得算法.〔4更相減損術(shù)我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法,就是更相減損術(shù).《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著,其中的"更相減損術(shù)"也可以用來求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),即"可半者半之,不可半者,副置分母、子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也.以等數(shù)約之."翻譯為現(xiàn)代語言如下：第一步,任意給定兩個(gè)正整數(shù),判斷它們是否都是偶數(shù),若是,用2約簡；若不是,執(zhí)行第二步.第二步,以較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把所得的差與較小的數(shù)比較,并以大數(shù)減小數(shù),繼續(xù)這個(gè)操作,直到所得的數(shù)相等為止,則這個(gè)數(shù)〔等數(shù)或這個(gè)數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù).應(yīng)用示例例1用輾轉(zhuǎn)相除法求8251與6105的最大公約數(shù),寫出算法分析,畫出程序框圖,寫出算法程序.解：用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù),求得商和余數(shù)：8251=6105×1+2146.由此可得,6105與2146的公約數(shù)也是8251與6105的公約數(shù),反過來,8251與6105的公約數(shù)也是6105與2146的公約數(shù),所以它們的最大公約數(shù)相等.對(duì)6105與2146重復(fù)上述步驟：6105=2146×2+1813.同理,2146與1813的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù).繼續(xù)重復(fù)上述步驟：2146=1813×1+333,1813=333×5+148,333=148×2+37,148=37×4.最后的除數(shù)37是148和37的最大公約數(shù),也就是8251與6105的最大公約數(shù).這就是輾轉(zhuǎn)相除法.由除法的性質(zhì)可以知道,對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù),上述除法步驟總可以在有限步之后完成,從而總可以用輾轉(zhuǎn)相除法求出兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù).算法分析：從上面的例子可以看出,輾轉(zhuǎn)相除法中包含重復(fù)操作的步驟,因此可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法.算法步驟如下：第一步,給定兩個(gè)正整數(shù)m,n.第二步,計(jì)算m除以n所得的余數(shù)為r.第三步,m=n,n=r.第四步,若r=0,則m,n的最大公約數(shù)等于m；否則,返回第二步.程序框圖如下圖：程序：INPUTm,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND點(diǎn)評(píng)：從教學(xué)實(shí)踐看,有些學(xué)生不能理解算法中的轉(zhuǎn)化過程,例如：求8251與6105的最大公約數(shù),為什么可以轉(zhuǎn)化為求6105與2146的公約數(shù).因?yàn)?251=6105×1+2146,可以化為8251-6105×1=2164,所以公約數(shù)能夠整除等式兩邊的數(shù),即6105與2146的公約數(shù)也是8251與6105的公約數(shù).變式訓(xùn)練你能用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法,求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎？試畫出程序框圖和程序.解：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖如下圖：程序：INPUTm,nr=1WHILEr＞0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).解：由于63不是偶數(shù),把98和63以大數(shù)減小數(shù),并輾轉(zhuǎn)相減,如下圖所示.98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以,98和63的最大公約數(shù)等于7.點(diǎn)評(píng)：更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法的比較：盡管兩種算法分別來源于東、西方古代數(shù)學(xué)名著,但是二者的算理卻是相似的,有異曲同工之妙．主要區(qū)別在于輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行的是除法運(yùn)算,即輾轉(zhuǎn)相除；而更相減損術(shù)進(jìn)行的是減法運(yùn)算,即輾轉(zhuǎn)相減,但是實(shí)質(zhì)都是一個(gè)不斷的遞歸過程．變式訓(xùn)練用輾轉(zhuǎn)相除法或者更相減損術(shù)求三個(gè)數(shù)324,243,135的最大公約數(shù).解：324=243×1＋81,243=81×3＋0,則324與243的最大公約數(shù)為81.又135=81×1＋54,81=54×1＋27,54=27×2＋0,則81與135的最大公約數(shù)為27.所以,三個(gè)數(shù)324、243、135的最大公約數(shù)為27.另法：324－243=81,243－81=162,162－81=81,則324與243的最大公約數(shù)為81.135－81=54,81－54=27,54－27=27,則81與135的最大公約數(shù)為27.所以,三個(gè)數(shù)324、243.135的最大公約數(shù)為27.例3〔1用輾轉(zhuǎn)相除法求123和48的最大公約數(shù).〔2用更相減損術(shù)求80和36的最大公約數(shù).解：〔1輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的過程如下：123＝2×48＋27,48＝1×27＋21,27＝1×21＋6,21＝3×6＋3,6＝2×3+0,最后6能被3整除,得123和48的最大公約數(shù)為3.〔2我們將80作為大數(shù),36作為小數(shù),因?yàn)?0和36都是偶數(shù),要除公因數(shù)2.80÷2=40,36÷2=18.40和18都是偶數(shù),要除公因數(shù)2.40÷2=20,18÷2=9.下面來求20與9的最大公約數(shù),20－9=11,11－9=2,9－2=7,7－2=5,5－2=3,3－2=1,2－1=1,可得80和36的最大公約數(shù)為22×1=4.點(diǎn)評(píng)：對(duì)比兩種方法控制好算法的結(jié)束,輾轉(zhuǎn)相除法是到達(dá)余數(shù)為0,更相減損術(shù)是到達(dá)減數(shù)和差相等.變式訓(xùn)練分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求1734,816的最大公約數(shù)．解：輾轉(zhuǎn)相除法：1734=816×2+102,816=102×8〔余0,∴1734與816的最大公約數(shù)是102．更相減損術(shù)：因?yàn)閮蓴?shù)皆為偶數(shù),首先除以2得到867,408,再求867與408的最大公約數(shù)．867-408=459,459-408=51,408-51=357,357-51=306,306-51=255,255-51=204,204-51=153,153-51=102,102-51=51.∴1734與816的最大公約數(shù)是51×2=102．利用更相減損術(shù)可另解：1734－816＝918,918－816＝102,816－102＝714,714－102＝612,612－102＝510,510－102＝408,408－102＝306,306－102＝204,204－102＝102.∴1734與816的最大公約數(shù)是102．知能訓(xùn)練求319,377,116的最大公約數(shù)．解：377=319×1+58,319=58×5+29,58=29×2.∴377與319的最大公約數(shù)為29,再求29與116的最大公約數(shù)．116=29×4.∴29與116的最大公約數(shù)為29.∴377,319,116的最大公約數(shù)為29.拓展提升試寫出利用更相減損術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的程序．解：更相減損術(shù)程序：INPUT"m,n="；m,nWHILEm<>nIFm>nTHENｍ＝m-nELSEm=n-mENDIFWENDPRINTmEND課堂小結(jié)〔1用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù).〔2用更相減損術(shù)求最大公約數(shù).思想方法：遞歸思想.作業(yè)分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求261,319的最大公約數(shù).分析：本題主要考查輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)及其應(yīng)用．使用輾轉(zhuǎn)相除法可依據(jù)m=nq+r,反復(fù)執(zhí)行,直到r=0為止；用更相減損術(shù)就是根據(jù)m-n=r,反復(fù)執(zhí)行,直到n=r為止．解：輾轉(zhuǎn)相除法：319=261×1+58,261=58×4+29,58=29×2.∴319與261的最大公約數(shù)是29．更相減損術(shù)：319-261=58,261-58=203,203-58=145,145-58=87,87-58=29,58-29=29,∴319與261的最大公約數(shù)是29．設(shè)計(jì)感想數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué),也是一種文化,本節(jié)的引入從東、西方文化的不同開始,逐步向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化.從知識(shí)方面主要學(xué)習(xí)用兩種方法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù),從思想方法方面,主要學(xué)習(xí)遞歸思想.本節(jié)設(shè)置精彩例題,不僅讓學(xué)生學(xué)到知識(shí),而且讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)算法的思想,培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義情操．第2課時(shí)案例2秦九韶算法導(dǎo)入新課思路1〔情境導(dǎo)入大家都喜歡吃蘋果吧,我們吃蘋果都是從外到里一口一口的吃,而蟲子卻是先鉆到蘋果里面從里到外一口一口的吃,由此看來處理同一個(gè)問題的方法多種多樣.怎樣求多項(xiàng)式f<x>=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時(shí)的值呢？方法也是多種多樣的,今天我們開始學(xué)習(xí)秦九韶算法.思路2〔直接導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù),今天我們開始學(xué)習(xí)秦九韶算法.推進(jìn)新課新知探究提出問題〔1求多項(xiàng)式f<x>=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時(shí)的值有哪些方法？比較它們的特點(diǎn).〔2什么是秦九韶算法？〔3怎樣評(píng)價(jià)一個(gè)算法的好壞？討論結(jié)果：〔1怎樣求多項(xiàng)式f<x>=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時(shí)的值呢？一個(gè)自然的做法就是把5代入多項(xiàng)式f<x>,計(jì)算各項(xiàng)的值,然后把它們加起來,這時(shí),我們一共做了1+2+3+4=10次乘法運(yùn)算,5次加法運(yùn)算.另一種做法是先計(jì)算x2的值,然后依次計(jì)算x2·x,〔x2·x·x,〔〔x2·x·x·x的值,這樣每次都可以利用上一次計(jì)算的結(jié)果,這時(shí),我們一共做了4次乘法運(yùn)算,5次加法運(yùn)算.第二種做法與第一種做法相比,乘法的運(yùn)算次數(shù)減少了,因而能夠提高運(yùn)算效率,對(duì)于計(jì)算機(jī)來說,做一次乘法運(yùn)算所用的時(shí)間比做一次加法運(yùn)算要長得多,所以采用第二種做法,計(jì)算機(jī)能更快地得到結(jié)果.〔2上面問題有沒有更有效的算法呢？我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶〔約1202~1261在他的著作《數(shù)書九章》中提出了下面的算法：把一個(gè)n次多項(xiàng)式f<x>=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改寫成如下形式：f<x>=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=〔anxn-1+an-1xn-2+…+a1x+a0=〔〔anxn-2+an-1xn-3+…+a2x+a1>x+a0=…=〔…〔〔anx+an-1x+an-2x+…+a1x+a0.求多項(xiàng)式的值時(shí),首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)一次多項(xiàng)式的值,即v1=anx+an-1,然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…vn=vn-1x+a0,這樣,求n次多項(xiàng)式f〔x的值就轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值.上述方法稱為秦九韶算法.直到今天,這種算法仍是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法.〔3計(jì)算機(jī)的一個(gè)很重要的特點(diǎn)就是運(yùn)算速度快,但即便如此,算法好壞的一個(gè)重要標(biāo)志仍然是運(yùn)算的次數(shù).如果一個(gè)算法從理論上需要超出計(jì)算機(jī)允許范圍內(nèi)的運(yùn)算次數(shù),那么這樣的算法就只能是一個(gè)理論的算法.應(yīng)用示例例1已知一個(gè)5次多項(xiàng)式為f〔x=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2,用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)x=5時(shí)的值.解：根據(jù)秦九韶算法,把多項(xiàng)式改寫成如下形式：f<x>=〔<<<5x+2>x+3.5>x-2.6>x+1.7>x-0.8,按照從內(nèi)到外的順序,依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x=5時(shí)的值：v0=5；v1=5×5+2=27;v2=27×5+3.5=138.5;v3=138.5×5-2.6=689.9;v4=689.9×5+1.7=3451.2;v5=3415.2×5-0.8=17255.2;所以,當(dāng)x=5時(shí),多項(xiàng)式的值等于17255.2.算法分析：觀察上述秦九韶算法中的n個(gè)一次式,可見vk的計(jì)算要用到vk-1的值,若令v0=an,我們可以得到下面的公式：這是一個(gè)在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟,因此可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn).算法步驟如下：第一步,輸入多項(xiàng)式次數(shù)n、最高次的系數(shù)an和x的值.第二步,將v的值初始化為an,將i的值初始化為n-1.第三步,輸入i次項(xiàng)的系數(shù)ai.第四步,v=vx+ai,i=i-1.第五步,判斷i是否大于或等于0.若是,則返回第三步；否則,輸出多項(xiàng)式的值v.程序框圖如下圖：程序：INPUT"n="；nINPUT"an="；aINPUT"x="；xv=ai=n-1WHILEi＞=0PRINT"i="；iINPUT"ai="；av=v*x+ai=i-1WENDPRINTvEND點(diǎn)評(píng)：本題是古老算法與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)語言的完美結(jié)合,詳盡介紹了思想方法、算法步驟、程序框圖和算法語句,是一個(gè)典型的算法案例.變式訓(xùn)練請(qǐng)以5次多項(xiàng)式函數(shù)為例說明秦九韶算法,并畫出程序框圖.解：設(shè)f〔x=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先,讓我們以5次多項(xiàng)式一步步地進(jìn)行改寫：f〔x=〔a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1x+a0=〔〔a5x3+a4x2+a3x+a2x+a1x+a0=〔〔〔a5x2+a4x+a3x+a2x+a1x+a0=〔〔〔〔a5x+a4x+a3x+a2x+a1x+a0.上面的分層計(jì)算,只用了小括號(hào),計(jì)算時(shí),首先計(jì)算最內(nèi)層的括號(hào),然后由里向外逐層計(jì)算,直到最外層的括號(hào),然后加上常數(shù)項(xiàng)即可.程序框圖如下圖：例2已知n次多項(xiàng)式Pn<x>=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,如果在一種算法中,計(jì)算〔k=2,3,4,…,n的值需要k－1次乘法,計(jì)算P3<x0>的值共需要9次運(yùn)算〔6次乘法,3次加法,那么計(jì)算P10<x0>的值共需要__________次運(yùn)算.下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：P0<x>=a0,Pk+1<x>=xPk<x>+ak+1〔k＝0,1,2,…,n－1．利用該算法,計(jì)算P3<x0>的值共需要6次運(yùn)算,計(jì)算P10<x0>的值共需要___________次運(yùn)算.答案：6520點(diǎn)評(píng)：秦九韶算法適用一般的多項(xiàng)式f<x>=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的求值問題.直接法乘法運(yùn)算的次數(shù)最多可到達(dá),加法最多n次.秦九韶算法通過轉(zhuǎn)化把乘法運(yùn)算的次數(shù)減少到最多n次,加法最多n次.例3已知多項(xiàng)式函數(shù)f<x>=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7,求當(dāng)x=5時(shí)的函數(shù)的值.解析：把多項(xiàng)式變形為：f<x>=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7=<<<<2x－5>x－4>x+3>x－6>x+7.計(jì)算的過程可以列表表示為：最后的系數(shù)2677即為所求的值.算法過程：v0=2；v1=2×5－5=5；v2=5×5－4=21；v3=21×5+3=108；v4=108×5－6=534；v5=534×5+7=2677.點(diǎn)評(píng)：如果多項(xiàng)式函數(shù)中有缺項(xiàng)的話,要以系數(shù)為0的項(xiàng)補(bǔ)齊后再計(jì)算.知能訓(xùn)練當(dāng)x=2時(shí),用秦九韶算法求多項(xiàng)式f<x>=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值．解法一：根據(jù)秦九韶算法,把多項(xiàng)式改寫成如下形式：f<x>=<<<<3x+8>x-3>x+5>x+12x-6.按照從內(nèi)到外的順序,依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x=2時(shí)的值.v0=3;v1=v0×2+8=3×2+8=14;v2=v1×2-3=14×2-3=25;v3=v2×2+5=25×2+5=55;v4=v3×2+12=55×2+12=122;v5=v4×2-6=122×2-6=238.∴當(dāng)x=2時(shí),多項(xiàng)式的值為238.解法二：f<x>=<<<<3x+8>x-3>x+5>x+12x-6,則f<2>=<<<<3×2+8>×2－3>×2+5>×2+12>×2－6＝238．拓展提升用秦九韶算法求多項(xiàng)式f<x>=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x當(dāng)x=3時(shí)的值.解：f<x>=<<<<<<7x+6>+5>x+4>x+3>x+2>x+1>xv0=7；v1=7×3+6=27；v2=27×3+5=86；v3=86×3+4=262；v4=262×3+3=789；v5=789×3+2=2369；v6=2369×3+1=7108；v7=7108×3+0=21324.∴f<3>=21324.課堂小結(jié)1.秦九韶算法的方法和步驟.2.秦九韶算法的計(jì)算機(jī)程序框圖.作業(yè)已知函數(shù)f<x>=x3－2x2－5x+8,求f<9>的值.解：f<x>=x3－2x2－5x+8=<x2－2x－5>x+8=<<x－2>x－5>x+8∴f<9>=<<9－2>×9－5>×9+8=530.設(shè)計(jì)感想古老的算法散發(fā)濃郁的現(xiàn)代氣息,這是一節(jié)充滿智慧的課.本節(jié)主要介紹了秦九韶算法.通過對(duì)秦九韶算法的學(xué)習(xí),對(duì)算法本身有哪些進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)？教師引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、概括,小結(jié)時(shí)要關(guān)注如下幾點(diǎn)：〔1算法具有通用的特點(diǎn),可以解決一類問題；〔2解決同一類問題,可以有不同的算法,但計(jì)算的效率是不同的,應(yīng)該選擇高效的算法；〔3算法的種類雖多,但三種邏輯結(jié)構(gòu)可以有效地表達(dá)各種算法等等.第3課時(shí)案例3進(jìn)位制導(dǎo)入新課情境導(dǎo)入在日常生活中,我們最熟悉、最常用的是十進(jìn)制,據(jù)說這與古人曾以手指計(jì)數(shù)有關(guān),愛好天文學(xué)的古人也曾經(jīng)采用七進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制,至今我們?nèi)匀皇褂靡恢芷咛臁⒁荒晔€(gè)月、一小時(shí)六十分的歷法.今天我們來學(xué)習(xí)一下進(jìn)位制.推進(jìn)新課新知探究提出問題〔1你都了解哪些進(jìn)位制？〔2舉出常見的進(jìn)位制.〔3思考非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)化方法.〔4思考十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)及非十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換方法.活動(dòng)：先讓學(xué)生思考或討論后再回答,經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥,對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路．討論結(jié)果：〔1進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的計(jì)數(shù)系統(tǒng),約定滿二進(jìn)一,就是二進(jìn)制；滿十進(jìn)一,就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一,就是十二進(jìn)制；滿六十進(jìn)一,就是六十進(jìn)制等等.也就是說："滿幾進(jìn)一"就是幾進(jìn)制,幾進(jìn)制的基數(shù)〔都是大于1的整數(shù)就是幾.〔2在日常生活中,我們最熟悉、最常用的是十進(jìn)制,據(jù)說這與古人曾以手指計(jì)數(shù)有關(guān),愛好天文學(xué)的古人也曾經(jīng)采用七進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制,至今我們?nèi)匀皇褂靡恢芷咛?、一年十二個(gè)月、一小時(shí)六十分的歷法.〔3十進(jìn)制使用0~9十個(gè)數(shù)字.計(jì)數(shù)時(shí),幾個(gè)數(shù)字排成一行,從右起,第一位是個(gè)位,個(gè)位上的數(shù)字是幾,就表示幾個(gè)一；第二位是十位,十位上的數(shù)字是幾,就表示幾個(gè)十；接著依次是百位、千位、萬位……例如：十進(jìn)制數(shù)3721中的3表示3個(gè)千,7表示7個(gè)百,2表示2個(gè)十,1表示1個(gè)一.于是,我們得到下面的式子：3721=3×103+7×102+2×101+1×100.與十進(jìn)制類似,其他的進(jìn)位制也可以按照位置原則計(jì)數(shù).由于每一種進(jìn)位制的基數(shù)不同,所用的數(shù)字個(gè)數(shù)也不同.如二進(jìn)制用0和1兩個(gè)數(shù)字,七進(jìn)制用0~6七個(gè)數(shù)字.一般地,若k是一個(gè)大于1的整數(shù),那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字連寫在一起的形式anan-1…a1a0〔k〔0＜an＜k,0≤an-1,…,a1,a0＜k>.其他進(jìn)位制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式,如110011〔2=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20,7342〔8=7×83+3×82+4×81+2×80.非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)比較簡單,只要計(jì)算下面的式子值即可：anan-1…a1a0<k>=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k+a0.第一步：從左到右依次取出k進(jìn)制數(shù)anan-1…a1a0<k>各位上的數(shù)字,乘以相應(yīng)的k的冪,k的冪從n開始取值,每次遞減1,遞減到0,即an×kn,an-1×kn-1,…,a1×k,a0×k0；第二步：把所得到的乘積加起來,所得的結(jié)果就是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù).〔4關(guān)于進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換,教科書上以十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換為例講解,并推廣到十進(jìn)制和其他進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換.這樣做的原因是,計(jì)算機(jī)是以二進(jìn)制的形式進(jìn)行存儲(chǔ)和計(jì)算數(shù)據(jù)的,而一般我們傳輸給計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)是十進(jìn)制數(shù)據(jù),因此計(jì)算機(jī)必須先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù),再處理,顯然運(yùn)算后首次得到的結(jié)果為二進(jìn)制數(shù),同時(shí)計(jì)算機(jī)又把運(yùn)算結(jié)果由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)輸出.1°十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù),教科書上提供了"除2取余法",我們可以類比得到十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成k進(jìn)制數(shù)的算法"除k取余法".2°非十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換一個(gè)自然的想法是利用十進(jìn)制作為橋梁.教科書上提供了一個(gè)二進(jìn)制數(shù)據(jù)與16進(jìn)制數(shù)據(jù)之間的互化的方法,也就是先由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù),再由十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成為16進(jìn)制數(shù).應(yīng)用示例思路1例1把二進(jìn)制數(shù)110011<2>化為十進(jìn)制數(shù).解：110011<2>=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.點(diǎn)評(píng)：先把二進(jìn)制數(shù)寫成不同位上數(shù)字與2的冪的乘積之和的形式,再按照十進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果.變式訓(xùn)練設(shè)計(jì)一個(gè)算法,把k進(jìn)制數(shù)a〔共有n位化為十進(jìn)制數(shù)b.算法分析：從例1的計(jì)算過程可以看出,計(jì)算k進(jìn)制數(shù)a的右數(shù)第i位數(shù)字ai與ki-1的乘積ai·ki-1,再將其累加,這是一個(gè)重復(fù)操作的步驟.所以,可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法.算法步驟如下：第一步,輸入a,k和n的值.第二步,將b的值初始化為0,i的值初始化為1.第三步,b=b+ai·ki-1,i=i+1.第四步,判斷i＞n是否成立.若是,則執(zhí)行第五步；否則,返回第三步.第五步,輸出b的值.程序框圖如下圖：程序：INPUT"a,k,n="；a,k,nb=0i=1t=aMOD10DOb=b+t*k^〔i-1a=a\\10t=aMOD10i=i+1LOOPUNTILi＞nPRINTbEND例2把89化為二進(jìn)制數(shù).解：根據(jù)二進(jìn)制數(shù)"滿二進(jìn)一"的原則,可以用2連續(xù)去除89或所得商,然后取余數(shù).具體計(jì)算方法如下：因?yàn)?9=2×44+1,44=2×22+0,22=2×11+0,11=2×5+1,5=2×2+1,2=2×1+0,1=2×0+1,所以89=2×〔2×〔2×〔2×〔2×2+1+1+0+0+1=2×〔2×〔2×〔2×〔22+1+1+0+0+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1011001<2>.這種算法叫做除2取余法,還可以用下面的除法算式表示：把上式中各步所得的余數(shù)從下到上排列,得到89=1011001<2>.上述方法也可以推廣為把十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)的算法,稱為除k取余法.變式訓(xùn)練設(shè)計(jì)一個(gè)程序,實(shí)現(xiàn)"除k取余法".算法分析：從例2的計(jì)算過程可以看出如下的規(guī)律：若十制數(shù)a除以k所得商是q0,余數(shù)是r0,即a=k·q0+r0,則r0是a的k進(jìn)制數(shù)的右數(shù)第1位數(shù).若q0除以k所得的商是q1,余數(shù)是r1,即q0=k·q1+r1,則r1是a的k進(jìn)制數(shù)的左數(shù)第2位數(shù).……若qn-1除以k所得的商是0,余數(shù)是rn,即qn-1=rn,則rn是a的k進(jìn)制數(shù)的左數(shù)第1位數(shù).這樣,我們可以得到算法步驟如下：第一步,給定十進(jìn)制正整數(shù)a和轉(zhuǎn)化后的數(shù)的基數(shù)k.第二步,求出a除以k所得的商q,余數(shù)r.第三步,把得到的余數(shù)依次從右到左排列.第四步,若q≠0,則a=q,返回第二步；否則,輸出全部余數(shù)r排列得到的k進(jìn)制數(shù).程序框圖如下圖：程序：INPUT"a,k="；a,kb=0i=0DOq=a\\kr=aMODkb=b+r*10^ii=i+1a=qLOOPUNTILq=0PRINTbEND思路2例1將8進(jìn)制數(shù)314706<8>化為十進(jìn)制數(shù),并編寫出一個(gè)實(shí)現(xiàn)算法的程序.解：314706<8>=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104902.所以,化為十進(jìn)制數(shù)是104902.點(diǎn)評(píng)：利用把k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的一般方法就可以把8進(jìn)制數(shù)314706<8>化為十進(jìn)制數(shù).例2把十進(jìn)制數(shù)89化為三進(jìn)制數(shù),并寫出程序語句.解：具體的計(jì)算方法如下：89=3×29+2,29=3×9+2,9=3×3+0,3=3×1+0,1=3×0+1,所以:89<10>=10022<3>.點(diǎn)評(píng)：根據(jù)三進(jìn)制數(shù)滿三進(jìn)一的原則,可以用3連續(xù)去除89及其所得的商,然后按倒序的順序取出余數(shù)組成數(shù)據(jù)即可.知能訓(xùn)練將十進(jìn)制數(shù)34轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)．分析：把一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù),用2反復(fù)去除這個(gè)十進(jìn)制數(shù),直到商為0,所得余數(shù)〔從下往上讀就是所求．解：即34<10>=100010<2>拓展提升把1234<5>分別轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)．解：1234<5>=1×53+2×52+3×5+4＝194．則1234<5>=302<8>所以,1234<5>=194＝302<8>點(diǎn)評(píng)：本題主要考查進(jìn)位制以及不同進(jìn)位制數(shù)的互化．五進(jìn)制數(shù)直接利用公式就可以轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)；五進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)之間需要借助于十進(jìn)制數(shù)來轉(zhuǎn)化．課堂小結(jié)〔1理解算法與進(jìn)位制的關(guān)系.〔2熟練掌握各種進(jìn)位制之間轉(zhuǎn)化.作業(yè)習(xí)題1.3A組3、4.設(shè)計(jì)感想計(jì)算機(jī)是以二進(jìn)制的形式進(jìn)行存儲(chǔ)和計(jì)算數(shù)據(jù)的,而一般我們傳輸給計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)是十進(jìn)制數(shù)據(jù),因此計(jì)算機(jī)必須先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù),再處理,顯然運(yùn)算后首次得到的結(jié)果為二進(jìn)制數(shù),同時(shí),計(jì)算機(jī)又把運(yùn)算結(jié)果由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)輸出.因此學(xué)好進(jìn)位制是非常必要的,另外,進(jìn)位制也是高考的重點(diǎn),本節(jié)設(shè)置了多種題型供學(xué)生訓(xùn)練,所以這節(jié)課非常實(shí)用...第2課時(shí)導(dǎo)入新課思路1客觀事物是相互聯(lián)系的,過去研究的大多數(shù)是因果關(guān)系,但實(shí)際上更多存在的是一種非因果關(guān)系.比如說：某某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與物理成績,彼此是互相聯(lián)系的,但不能認(rèn)為數(shù)學(xué)是"因",物理是"果",或者反過來說.事實(shí)上數(shù)學(xué)和物理成績都是"果",而真正的"因"是學(xué)生的理科學(xué)習(xí)能力和努力程度.所以說,函數(shù)關(guān)系存在著一種確定性關(guān)系,但還存在著另一種非確定性關(guān)系——相關(guān)關(guān)系.為表示這種相關(guān)關(guān)系,我們接著學(xué)習(xí)兩個(gè)變量的線性相關(guān)——回歸直線及其方程.思路2某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)照表：氣溫/℃261813104-1杯數(shù)202434385064如果某天的氣溫是-5℃,你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎？為解決這個(gè)問題我們接著學(xué)習(xí)兩個(gè)變量的線性相關(guān)——回歸直線及其方程.推進(jìn)新課新知探究提出問題〔1作散點(diǎn)圖的步驟和方法？〔2正、負(fù)相關(guān)的概念？〔3什么是線性相關(guān)？〔4看人體的脂肪百分比和年齡的散點(diǎn)圖,當(dāng)人的年齡增加時(shí),體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？〔5什么叫做回歸直線？〔6如何求回歸直線的方程？什么是最小二乘法？它有什么樣的思想？〔7利用計(jì)算機(jī)如何求回歸直線的方程？〔8利用計(jì)算器如何求回歸直線的方程？活動(dòng)：學(xué)生回顧,再思考或討論,教師及時(shí)提示指導(dǎo).討論結(jié)果：〔1建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系,將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫出來,得到表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做散點(diǎn)圖.〔a.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系,即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．b.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.c.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系〔2如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),稱為正相關(guān).如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),稱為負(fù)相關(guān).〔3如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)的關(guān)系.〔4大體上來看,隨著年齡的增加,人體中脂肪的百分比也在增加,呈正相關(guān)的趨勢(shì),我們可以從散點(diǎn)圖上來進(jìn)一步分析.〔5如下圖：從散點(diǎn)圖上可以看出,這些點(diǎn)大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近.如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近,我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線<regressionline>.如果能夠求出這條回歸直線的方程<簡稱回歸方程>,那么我們就可以比較清楚地了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性.就像平均數(shù)可以作為一個(gè)變量的數(shù)據(jù)的代表一樣,這條直線可以作為兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表.〔6從散點(diǎn)圖上可以發(fā)現(xiàn),人體的脂肪百分比和年齡的散點(diǎn)圖,大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線.那么,我們應(yīng)當(dāng)如何具體求出這個(gè)回歸方程呢?有的同學(xué)可能會(huì)想,我可以采用測(cè)量的方法,先畫出一條直線,測(cè)量出各點(diǎn)與它的距離,然后移動(dòng)直線,到達(dá)一個(gè)使距離的和最小的位置,測(cè)量出此時(shí)的斜率和截距,就可得到回歸方程了.但是,這樣做可靠嗎?有的同學(xué)可能還會(huì)想,在圖中選擇這樣的兩點(diǎn)畫直線,使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同.同樣地,這樣做能保證各點(diǎn)與此直線在整體上是最接近的嗎?還有的同學(xué)會(huì)想,在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn),確定出幾條直線的方程,再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù),將這兩個(gè)平均數(shù)當(dāng)成回歸方程的斜率和截距.同學(xué)們不妨去實(shí)踐一下,看看這些方法是不是真的可行?〔學(xué)生討論：1.選擇能反映直線變化的兩個(gè)點(diǎn).2.在圖中放上一根細(xì)繩,使得上面和下面點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同或基本相同.3.多取幾組點(diǎn)對(duì),確定幾條直線方程.再分別算出各個(gè)直線方程斜率、截距的算術(shù)平均值,作為所求直線的斜率、截距.教師：分別分析各方法的可靠性.如下圖：上面這些方法雖然有一定的道理,但總讓人感到可靠性不強(qiáng).實(shí)際上,求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫"從整體上看,各點(diǎn)與此直線的距離最小".人們經(jīng)過長期的實(shí)踐與研究,已經(jīng)得出了計(jì)算回歸方程的斜率與截距的一般公式其中,b是回歸方程的斜率,a是截距.推導(dǎo)公式①的計(jì)算比較復(fù)雜,這里不作推導(dǎo).但是,我們可以解釋一下得出它的原理.假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)<x1,y1>,<x2,y2>,…,<xn,yn>,且所求回歸方程是=bx+a,其中a、b是待定參數(shù).當(dāng)變量x取xi<i=1,2,…,n>時(shí)可以得到=bxi+a<i=1,2,…,n>,它與實(shí)際收集到的yi之間的偏差是yi-=yi-<bxi+a><i=1,2,…,n>.這樣,用這n個(gè)偏差的和來刻畫"各點(diǎn)與此直線的整體偏差"是比較合適的.由于〔yi-可正可負(fù),為了避免相互抵消,可以考慮用來代替,但由于它含有絕對(duì)值,運(yùn)算不太方便,所以改用Q=<y1-bx1-a>2+<y2-bx2-a>2+…+<yn-bxn-a>2②來刻畫n個(gè)點(diǎn)與回歸直線在整體上的偏差.這樣,問題就歸結(jié)為:當(dāng)a,b取什么值時(shí)Q最小,即總體偏差最小.經(jīng)過數(shù)學(xué)上求最小值的運(yùn)算,a,b的值由公式①給出.通過求②式的最小值而得出回歸直線的方法,即求回歸直線,使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小,這一方法叫做最小二乘法〔methodofleastsquare.〔7利用計(jì)算機(jī)求回歸直線的方程.根據(jù)最小二乘法的思想和公式①,利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī),可以方便地求出回歸方程.以Excel軟件為例,用散點(diǎn)圖來建立表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的線性回歸方程,具體步驟如下：①在Excel中選定表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的散點(diǎn)圖〔如下圖,在菜單中選定"圖表"中的"添加趨勢(shì)線"選項(xiàng),彈出"添加趨勢(shì)線"對(duì)話框.②單擊"類型"標(biāo)簽,選定"趨勢(shì)預(yù)測(cè)/回歸分析類型"中的"線性"選項(xiàng),單擊"確定"按鈕,得到回歸直線.③雙擊回歸直線,彈出"趨勢(shì)線格式"對(duì)話框.單擊"選項(xiàng)"標(biāo)簽,選定"顯示公式",最后單擊"確定"按鈕,得到回歸直線的回歸方程=0.577x-0.448.〔8利用計(jì)算器求回歸直線的方程.用計(jì)算器求這個(gè)回歸方程的過程如下：所以回歸方程為=0.577x-0.448.正像本節(jié)開頭所說的,我們從人體脂肪含量與年齡這兩個(gè)變量的一組隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)中,找到了它們之間關(guān)系的一個(gè)規(guī)律,這個(gè)規(guī)律是由回歸直線來反映的.直線回歸方程的應(yīng)用:①描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個(gè)變量間依存的數(shù)量關(guān)系.②利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)；把預(yù)報(bào)因子〔即自變量x代入回歸方程對(duì)預(yù)報(bào)量〔即因變量Y進(jìn)行估計(jì),即可得到個(gè)體Y值的容許區(qū)間.③利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定Y值的變化,通過控制x的范圍來實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo).如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程,即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度.應(yīng)用示例思路1例1有一個(gè)同學(xué)家開了一個(gè)小賣部,他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響,經(jīng)過統(tǒng)計(jì),得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：攝氏溫度/℃-504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654〔1畫出散點(diǎn)圖；〔2從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；〔3求回歸方程；〔4如果某天的氣溫是2℃,預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù).解：〔1散點(diǎn)圖如下圖所示：〔2從上圖看到,各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里,因此,氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負(fù)相關(guān),即氣溫越高,賣出去的熱飲杯數(shù)越少.〔3從散點(diǎn)圖可以看出,這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近,因此,可用公式①求出回歸方程的系數(shù).利用計(jì)算器容易求得回歸方程=-2.352x+147.767.<4>當(dāng)x=2時(shí),=143.063.因此,某天的氣溫為2℃時(shí),這天大約可以賣出143杯熱飲.思考?xì)鉁貫?℃時(shí),小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎？為什么？這里的答案是小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲,原因如下：1.線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計(jì)出來的,存在隨機(jī)誤差,這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果的偏差.2.即使截距和斜率的估計(jì)沒有誤差,也不可能百分之百地保證對(duì)應(yīng)于x的預(yù)報(bào)值,能夠與實(shí)際值y很接近.我們不能保證點(diǎn)〔x,y落在回歸直線上,甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近,事實(shí)上,y=bx+a+e=+e.這里e是隨機(jī)變量,預(yù)報(bào)值與實(shí)際值y的接近程度由隨機(jī)變量e的標(biāo)準(zhǔn)差所決定.一些學(xué)生可能會(huì)提出問題：既然不一定能夠賣出143杯左右熱飲,那么為什么我們還以"這天大約可以賣出143杯熱飲"作為結(jié)論呢？這是因?yàn)檫@個(gè)結(jié)論出現(xiàn)的可能性最大.具體地說,假如我們規(guī)定可以選擇連續(xù)的3個(gè)非負(fù)整數(shù)作為可能的預(yù)測(cè)結(jié)果,則我們選擇142,143和144能夠保證預(yù)測(cè)成功〔即實(shí)際賣出的杯數(shù)是這3個(gè)數(shù)之一的概率最大.例2下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料.機(jī)動(dòng)車輛數(shù)x／千臺(tái)95110112120129135150180交通事故數(shù)y／千件6.27.57.78.58.79.810.213<1>請(qǐng)判斷機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系,如果不具有線性相關(guān)關(guān)系,說明理由；<2>如果具有線性相關(guān)關(guān)系,求出線性回歸方程.解：〔1在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,如下圖.直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系．<2>計(jì)算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和：=1031,=71.6,=137835,=9611.7.將它們代入公式計(jì)算得b≈0.0774,a=-1.0241,所以,所求線性回歸方程為=0.0774x-1.0241.思路2例1給出施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455<1>畫出上表的散點(diǎn)圖;<2>求出回歸直線的方程.解：<1>散點(diǎn)圖如下圖．<2>表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計(jì)算,列成以下表格:i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi49506900912512150155751800020475故可得到b=≈4.75,a=399.3-4.75×30≈257.從而得回歸直線方程是=4.75x+257.例2一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間．為此進(jìn)行了10次試驗(yàn),測(cè)得數(shù)據(jù)如下：零件個(gè)數(shù)x〔個(gè)102030405060708090100加工時(shí)間y〔分626875818995102108115122請(qǐng)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系,如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,求線性回歸方程．解：在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,如下圖.直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系．由測(cè)得的數(shù)據(jù)表可知：=38500,=87777,=55950.b=≈0.668.a==91.7-0.668×55≈54.96.因此,所求線性回歸方程為=bx+a=0.668x+54.96.例3已知10條狗的血球體積及紅血球數(shù)的測(cè)量值如下：血球體積x<mL>45424648423558403950紅血球數(shù)y<百萬>6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72〔1畫出上表的散點(diǎn)圖；〔2求出回歸直線的方程.解：〔1散點(diǎn)圖如下.〔2<45+42+46+48+42+35+58+40+39+50>=44.50,<6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72>=7.37.設(shè)回歸直線方程為=bx+a,則b==0.175,a==-0.418,所以所求回歸直線的方程為=0.175x-0.148.點(diǎn)評(píng)：對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時(shí),應(yīng)先畫出其散點(diǎn)圖,看其是否呈直線形,再依系數(shù)a,b的計(jì)算公式,算出a,b．由于計(jì)算量較大,所以在計(jì)算時(shí)應(yīng)借助技術(shù)手段,認(rèn)真細(xì)致,謹(jǐn)防計(jì)算中產(chǎn)生錯(cuò)誤,求線性回歸方程的步驟：計(jì)算平均數(shù)；計(jì)算xi與yi的積,求∑xiyi；計(jì)算∑xi2；將結(jié)果代入公式求b；用a=求a；寫出回歸直線方程．知能訓(xùn)練1.下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系〔A.角度和它的余弦值B.正方形邊長和面積C.正ｎ邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和D.人的年齡和身高答案：Ｄ2．三點(diǎn)<3,10>,<7,20>,<11,24>的線性回歸方程是〔A.B.=1.75+5.75xC.D.=5.75+1.75x答案：Ｄ3．已知關(guān)于某設(shè)備的使用年限x與所支出的維修費(fèi)用y〔萬元,有如下統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x23456維修費(fèi)用y2．23．85．56．57．0設(shè)y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求：〔1線性回歸方程=bx+a的回歸系數(shù)a,b；〔2估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用是多少？答案：〔1b=1.23,a=0.08；〔212.38.4．我們考慮兩個(gè)表示變量x與y之間的關(guān)系的模型,δ為誤差項(xiàng),模型如下：模型1：y=6+4x；模型2：y=6+4x+e．〔1如果x=3,e=1,分別求兩個(gè)模型中y的值；〔2分別說明以上兩個(gè)模型是確定性模型還是隨機(jī)模型．解：〔1模型1：y=6+4x=6+4×3=18；模型2：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.〔2模型1中相同的x值一定得到相同的y值,所以是確定性模型；模型2中相同的x值,因δ的不同,所得y值不一定相同,且δ為誤差項(xiàng)是隨機(jī)的,所以模型2是隨機(jī)性模型．5．以下是收集到的新房屋銷售價(jià)格y與房屋大小x的數(shù)據(jù)：房屋大小x〔m280105110115135銷售價(jià)格y〔萬元18.42221.624.829.2〔1畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；〔2用最小二乘法估計(jì)求線性回歸方程.解：〔1散點(diǎn)圖如下圖.〔2n=5,=545,=109,=116,=23.2,=60952,=12952,b=≈0.199,a=23.2-0.199×109≈1.509,所以,線性回歸方程為y=0.199x+1.509．拓展提升某調(diào)查者從調(diào)查中獲知某公司近年來科研費(fèi)用支出〔Xi與公司所獲得利潤〔Yi的統(tǒng)計(jì)資料如下表：科研費(fèi)用支出〔Xi與利潤〔Yi統(tǒng)計(jì)表單位：萬元年份科研費(fèi)用支出利潤1998199920002001200220035114532314030342520合計(jì)30180要求估計(jì)利潤〔Yi對(duì)科研費(fèi)用支出〔Xi的線性回歸模型.解：設(shè)線性回歸模型直線方程為：,因?yàn)椋?5,=30,根據(jù)資料列表計(jì)算如下表：年份XiYiXiYiXi2Xi-Yi-<Xi->2<Xi-><Yi->199819992000200120022003511453231403034252015544012017075402512116259406-10-2-311004-5-100361049060001030合計(jì)3018010002000050100現(xiàn)求解參數(shù)β0、β1的估計(jì)值：方法一：=2,=30-2×5=20.方法二：=2,=30-2×5=20.方法三：=2,=30-2×5=20.所以利潤〔Yi對(duì)科研費(fèi)用支出〔Xi的線性回歸模型直線方程為：=20+2Xi.課堂小結(jié)1．求線性回歸方程的步驟：〔1計(jì)算平均數(shù)；<2>計(jì)算xi與yi的積,求∑xiyi;<3>計(jì)算∑xi2,∑yi2,<4>將上述有關(guān)結(jié)果代入公式求b,a,寫出回歸直線方程．2.經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過程.知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.作業(yè)習(xí)題2.3A組3、4,B組1、2.設(shè)計(jì)感想本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上,利用實(shí)例分析了散點(diǎn)圖的分布規(guī)律,推導(dǎo)出了線性回歸直線的方程的求法,并利用回歸直線的方程估計(jì)可能的結(jié)果,本節(jié)課講得較為詳細(xì),實(shí)例較多,便于同學(xué)們分析比較.思路1和思路2的例題對(duì)知識(shí)進(jìn)行了鞏固和加強(qiáng),另外,本節(jié)課通過選取一些學(xué)生特別關(guān)心的身邊事例,對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想情操教育、意志教育和增強(qiáng)學(xué)生的自信心,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度,樹立時(shí)間觀,培養(yǎng)勤奮、刻苦的精神.第二章統(tǒng)計(jì)本章教材分析現(xiàn)代社會(huì)是信息化的社會(huì),數(shù)字信息隨處可見,因此專門研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)的科學(xué)——統(tǒng)計(jì)學(xué)就備受重視．統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)的科學(xué),它可以為人們制定決策提供依據(jù)．在客觀世界中,需要認(rèn)識(shí)的現(xiàn)象無窮無盡．要認(rèn)識(shí)某現(xiàn)象的第一步就是通過觀察或試驗(yàn)取得觀測(cè)資料,然后通過分析這些資料來認(rèn)識(shí)此現(xiàn)象．如何取得有代表性的觀測(cè)資料并能夠正確地加以分析,是正確地認(rèn)識(shí)未知現(xiàn)象的基礎(chǔ),也是統(tǒng)計(jì)所研究的基本問題．本章主要介紹最基本的獲取樣本數(shù)據(jù)的方法,以及幾種從樣本數(shù)據(jù)中提取信息的統(tǒng)計(jì)方法,其中包括用樣本估計(jì)總體分布、數(shù)字特征和線性回歸等內(nèi)容．從義務(wù)教育階段來看,統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)從小學(xué)到初中分為三個(gè)階段,在每個(gè)階段都要學(xué)習(xí)收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)等處理數(shù)據(jù)的基本方法,教學(xué)目標(biāo)隨著學(xué)段的升高逐漸提高．在義務(wù)教育階段的統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的基礎(chǔ)上,《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求通過實(shí)際問題及情境,進(jìn)一步介紹隨機(jī)抽樣、樣本估計(jì)總體、線性回歸的基本方法,了解用樣本估計(jì)總體及其特征的思想,體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異；通過實(shí)習(xí)作業(yè),較為系統(tǒng)地經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集與處理的全過程,進(jìn)一步體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異．本章教學(xué)時(shí)間約需7課時(shí),具體分配如下〔僅供參考：簡單隨機(jī)抽樣約1課時(shí)系統(tǒng)抽樣約1課時(shí)分層抽樣約1課時(shí)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布約1課時(shí)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征約1課時(shí)2.3變量間的相關(guān)關(guān)系約1課時(shí)本章復(fù)習(xí)約1課時(shí)2.1隨機(jī)抽樣簡單隨機(jī)抽樣整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析教材是以探究一批小包裝餅干的衛(wèi)生是否達(dá)標(biāo)為問題導(dǎo)向,逐步引入簡單隨機(jī)抽樣概念．并通過實(shí)例介紹了兩種簡單隨機(jī)抽樣方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．值得注意的是為了使學(xué)生獲得簡單隨機(jī)抽樣的經(jīng)驗(yàn),教學(xué)中要注意增加學(xué)生實(shí)踐的機(jī)會(huì)．例如,用抽簽法決定班里參加某項(xiàng)活動(dòng)的代表人選,用隨機(jī)數(shù)法從全年級(jí)同學(xué)中抽取樣本計(jì)算平均身高等等．三維目標(biāo)1．能從現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科中推出具有一定價(jià)值的統(tǒng)計(jì)問題,提高學(xué)生分析問題的能力.2．理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.3．學(xué)會(huì)用抽簽法和隨機(jī)數(shù)法抽取樣本,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性,用抽簽法和隨機(jī)數(shù)法抽取樣本．教學(xué)難點(diǎn)：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法的實(shí)施步驟．課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課抽樣的方法很多,某個(gè)抽樣方法都有各自的優(yōu)越性與局限性,針對(duì)不同的問題應(yīng)當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒ǎ處燑c(diǎn)出課題：簡單隨機(jī)抽樣．推進(jìn)新課新知探究提出問題<1>在1936年美國總統(tǒng)選舉前,一份頗有名氣的雜志<LiteraryDigest>的工作人員做了一次民意測(cè)驗(yàn).調(diào)查蘭頓<A.Landon><當(dāng)時(shí)任堪薩斯州州長>和羅斯福<F.D.Roosevelt><當(dāng)時(shí)的總統(tǒng)>中誰將當(dāng)選下一屆總統(tǒng).為了了解公眾意向,調(diào)查者通過簿和車輛登記簿上的名單給一大批人發(fā)了調(diào)查表<注意在1936年和汽車只有少數(shù)富人擁有>.通過分析收回的調(diào)查表,顯示蘭頓非常受歡迎,于是此雜志預(yù)測(cè)蘭頓將在選舉中獲勝.實(shí)際選舉結(jié)果正好相反,最后羅斯福在選舉中獲勝,其數(shù)據(jù)如下:候選人預(yù)測(cè)結(jié)果%選舉結(jié)果%Roosevelt4362Landon5738你認(rèn)為預(yù)測(cè)結(jié)果出錯(cuò)的原因是什么？由此可以總結(jié)出什么教訓(xùn)？〔2假設(shè)你作為一名食品衛(wèi)生工作人員,要對(duì)某食品店內(nèi)的一批小包裝餅干進(jìn)行衛(wèi)生達(dá)標(biāo)檢驗(yàn),你準(zhǔn)備怎樣做？顯然,你只能從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗(yàn)的樣本．那么,應(yīng)當(dāng)怎樣獲取樣本呢？〔3請(qǐng)總結(jié)簡單隨機(jī)抽樣的定義.討論結(jié)果：<1>預(yù)測(cè)結(jié)果出錯(cuò)的原因是：在民意測(cè)驗(yàn)的過程中,即抽取樣本時(shí),抽取的樣本不具有代表性．1936年擁有和汽車的美國人只是一小部分,那時(shí)大部分人還很窮．其調(diào)查的結(jié)果只是富人的意見,不能代表窮人的意見．由此可以看出,抽取樣本時(shí),要使抽取出的樣本具有代表性,否則調(diào)查的結(jié)果與實(shí)際相差較大．<2>要對(duì)這批小包裝餅干進(jìn)行衛(wèi)生達(dá)標(biāo)檢查,只能從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗(yàn)的樣本,用樣本的衛(wèi)生情況來估計(jì)這批餅干的衛(wèi)生情況．如果對(duì)這批餅干全部檢驗(yàn),那么費(fèi)時(shí)費(fèi)力,等檢查完了,這批餅干可能就超過保質(zhì)期了,再就是會(huì)破壞這批餅干的質(zhì)量,導(dǎo)致無法出售．獲取樣本的方法是：將這批小包裝餅干,放入一個(gè)不透明的袋子中,攪拌均勻,然后不放回地摸取〔這樣可以保證每一袋餅干被抽到的可能性相等,這樣就可以得到一個(gè)樣本．通過檢驗(yàn)樣本來估計(jì)這批餅干的衛(wèi)生情況．這種抽樣方法稱為簡單隨機(jī)抽樣．<3>一般地,設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體,從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本<n≤N>,如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等,就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．最常用的簡單隨機(jī)抽樣方法有兩種：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．提出問題<1>抽簽法是大家最熟悉的,也許同學(xué)們?cè)谧瞿撤N游戲,或者選派一部分人參加某項(xiàng)活動(dòng)時(shí)就用過抽簽法.例如,高一<2>班有45名學(xué)生,現(xiàn)要從中抽出8名學(xué)生去參加一個(gè)座談會(huì),每名學(xué)生的機(jī)會(huì)均等.我們可以把45名學(xué)生的學(xué)號(hào)寫在小紙片上,揉成小球,放到一個(gè)不透明袋子中,充分?jǐn)嚢韬?再從中逐個(gè)抽出8個(gè)號(hào)簽,從而抽出8名參加座談會(huì)的學(xué)生.請(qǐng)歸納抽簽法的定義.總結(jié)抽簽法的步驟.<2>你認(rèn)為抽簽法有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)很多時(shí),用抽簽法方便嗎？<3>隨機(jī)數(shù)法是利用隨機(jī)數(shù)表或隨機(jī)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣．我們僅學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)表法即利用隨機(jī)數(shù)表產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣的方法．怎樣利用隨機(jī)數(shù)表產(chǎn)生樣本呢?下面通過例子來說明.假設(shè)我們要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo),現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn).利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時(shí),可以按照下面的步驟進(jìn)行.第一步,先將800袋牛奶編號(hào),可以編為000,001,…,799.第二步,在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù).例如選出第8行第7列的數(shù)7<為了便于說明,下面摘取了附表1的第6行至第10行.>1622779439495443548217379323788735209643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795457608632440947279654491746096290528477270802734328第三步,從選定的數(shù)7開始向右讀<讀數(shù)的方向也可以是向左、向上、向下等>,得到一個(gè)三位數(shù)785,由于785<799,說明號(hào)碼785在總體內(nèi),將它取出;繼續(xù)向右讀,得到916,由于916>799,將它去掉.按照這種方法繼續(xù)向右讀,又取出567,199,507,…,依次下去,直到樣本的60個(gè)號(hào)碼全部取出.這樣我們就得到一個(gè)容量為60的樣本.請(qǐng)歸納隨機(jī)數(shù)表法的步驟.<4>當(dāng)N＝100時(shí),分別以0,3,6為起點(diǎn)對(duì)總體編號(hào),再利用隨機(jī)數(shù)表抽取10個(gè)號(hào)碼．你能說出從0開始對(duì)總體編號(hào)的好處嗎？<5>請(qǐng)歸納隨機(jī)數(shù)表法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)．討論結(jié)果：<1>一般地,抽簽法就是把總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào),把號(hào)碼寫在號(hào)簽上,將號(hào)簽放在一個(gè)容器中,攪拌均勻后,每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽,連續(xù)抽取n次,就得到一個(gè)容量為n的樣本.抽簽法的步驟是：1°將總體中個(gè)體從1—N編號(hào)；2°將所有編號(hào)1—N寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上；3°將號(hào)簽放在一個(gè)不透明的容器中,攪拌均勻；4°從容器中每次抽取一個(gè)號(hào)簽,并記錄其編號(hào),連續(xù)抽取n次；5°從總體中將與抽取到的簽的編號(hào)相一致的個(gè)體取出．<2>抽簽法的優(yōu)點(diǎn)是簡單易行,缺點(diǎn)是當(dāng)總體的容量非常大時(shí),費(fèi)時(shí)、費(fèi)力,如果標(biāo)號(hào)的簽攪拌得不均勻,會(huì)導(dǎo)致抽樣不公平．因此說當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)很多時(shí),用抽簽法不方便．這時(shí)用隨機(jī)數(shù)法．<3>隨機(jī)數(shù)表法的步驟：1°將總體中個(gè)體編號(hào)；2°在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開始；3°規(guī)定從選定的數(shù)讀取數(shù)字的方向；4°開始讀取數(shù)字,若不在編號(hào)中,則跳過,若在編號(hào)中則取出,依次取下去,直到取滿為止；5°根據(jù)選定的號(hào)碼抽取樣本．<4>從0開始編號(hào)時(shí),號(hào)碼是00,01,02,…,99；從3開始編號(hào)時(shí),號(hào)碼是003,004,…,102；從6開始編號(hào)時(shí),號(hào)碼是006,007,…,105．所以以3,6為起點(diǎn)對(duì)總體編號(hào)時(shí),所編的號(hào)碼是三位,而從0開始編號(hào)時(shí),所編的號(hào)碼是兩位,在隨機(jī)數(shù)表中讀數(shù)時(shí),讀取兩位比讀取三位要省時(shí),所以從0開始對(duì)總體編號(hào)較好．<5>綜上所述可知,簡單隨機(jī)抽樣有操作簡便易行的優(yōu)點(diǎn),在總體個(gè)數(shù)不多的情況下是行之有效的.但是,如果總體中的個(gè)體數(shù)很多時(shí),對(duì)個(gè)體編號(hào)的工作量太大,即使用隨機(jī)數(shù)表法操作也并不方便快捷.另外,要想"攪拌均勻"也非常困難,這就容易導(dǎo)致樣本的代表性差.應(yīng)用示例例1某車間工人加工一種軸共100件,為了了解這種軸的直徑,要從中抽取10件軸在同一條件下測(cè)量,如何采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本？分析：簡單隨機(jī)抽樣有兩種方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法,所以有兩種思路．解法一〔抽簽法：①將100件軸編號(hào)為1,2,…,100；②做好大小、形狀相同的號(hào)簽,分別寫上這100個(gè)號(hào)碼；③將這些號(hào)簽放在一個(gè)不透明的容器內(nèi),攪拌均勻；④逐個(gè)抽取10個(gè)號(hào)簽；⑤然后測(cè)量這10個(gè)號(hào)簽對(duì)應(yīng)的軸的直徑的樣本．解法二〔隨機(jī)數(shù)表法：①將100件軸編號(hào)為00,01,…99；②在隨機(jī)數(shù)表中選定一個(gè)起始位置,如取第22行第1個(gè)數(shù)開始<見教材附錄1:隨機(jī)數(shù)表>；③規(guī)定讀數(shù)的方向,如向右讀;④依次選取10個(gè)為68,34,30,13,70,55,74,77,40,44,則這10個(gè)號(hào)簽相應(yīng)的個(gè)體即為所要抽取的樣本．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡單隨機(jī)抽樣的步驟．抽簽法的關(guān)鍵是為了保證每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等而必須攪拌均勻,當(dāng)總體中的個(gè)體無差異,并且總體容量較小時(shí),用抽簽法；用隨機(jī)數(shù)表法讀數(shù)時(shí),所編的號(hào)碼是幾位,讀數(shù)時(shí)相應(yīng)地取連續(xù)的幾個(gè)數(shù)字,當(dāng)總體中的個(gè)體無差異,并且總體容量較多時(shí),用抽簽法．變式訓(xùn)練1.下列抽樣的方式屬于簡單隨機(jī)抽樣的有____________．〔1從無限多個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體作為樣本．〔2從1000個(gè)個(gè)體中一次性抽取50個(gè)個(gè)體作為樣本．〔3將1000個(gè)個(gè)體編號(hào),把號(hào)簽放在一個(gè)足夠大的不透明的容器內(nèi)攪拌均勻,從中逐個(gè)抽取50個(gè)個(gè)體作為樣本．〔4箱子里共有100個(gè)零件,從中選出10個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),在抽樣操作中,從中任意取出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后,再把它放回箱子．〔5福利彩票用搖獎(jiǎng)機(jī)搖獎(jiǎng)．解析：〔1中,很明顯簡單隨機(jī)抽樣是從有限多個(gè)個(gè)體中抽取,所以〔1不屬于；〔2中,簡單隨機(jī)抽樣是逐個(gè)抽取,不能是一次性抽取,所以〔2不屬于；很明顯〔3屬于簡單隨機(jī)抽樣；〔4中,抽樣是放回抽樣,但是簡單隨機(jī)抽樣是不放回抽樣,所以〔4不屬于；很明顯〔5屬于簡單隨機(jī)抽樣．答案：〔3〔52.要從某廠生產(chǎn)的30臺(tái)機(jī)器中隨機(jī)抽取3臺(tái)進(jìn)行測(cè)試,寫出用抽簽法抽樣樣本的過程．分析：由于總體容量和樣本容量都較小,所以用抽簽法．解：抽簽法,步驟：第一步,將30臺(tái)機(jī)器編號(hào),號(hào)碼是01,02,…,30.第二步,將號(hào)碼分別寫在一張紙條上,揉成團(tuán),制成號(hào)簽.第三步,將得到的號(hào)簽放入不透明的袋子中,并充分?jǐn)噭?第四步,從袋子中依次抽取3個(gè)號(hào)簽,并記錄上面的編號(hào).第五步,所得號(hào)碼對(duì)應(yīng)的3臺(tái)機(jī)器就是要抽取的樣本．例2人們打橋牌時(shí),將洗好的撲克牌隨機(jī)確定一張為起始牌,這時(shí)按次序搬牌時(shí),對(duì)任何一家來說,都是從52張牌中抽取13張牌,問這種抽樣方法是否是簡單隨機(jī)抽樣？解：簡單隨機(jī)抽樣的實(shí)質(zhì)是逐個(gè)地從總體中隨機(jī)抽取樣本,而這里只是隨機(jī)確定了起始張,其他各張牌雖然是逐張起牌,但是各張?jiān)谡l手里已被確定,所以不是簡單隨機(jī)抽樣．點(diǎn)評(píng)：判斷簡單隨機(jī)抽樣時(shí),要緊扣簡單隨機(jī)抽樣的特征：逐個(gè)、不放回抽取且保證每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等．變式訓(xùn)練現(xiàn)在有一種"夠級(jí)"游戲,其用具為四副撲克,包括大小鬼〔又稱為花在內(nèi)共216張牌,參與人數(shù)為6人并坐成一圈．"夠級(jí)"開始時(shí),從這6人中隨機(jī)指定一人從已經(jīng)洗好的撲克牌中隨機(jī)抽取一張牌〔這叫開牌,然后按逆時(shí)針方向,根據(jù)這張牌上的數(shù)字來確定誰先抓牌,這6人依次從216張牌中抓取36張牌,問這種抓牌方法是否是簡單隨機(jī)抽樣？解：在這里只有抽取的第一張撲克牌是隨機(jī)抽取的,其他215張牌已經(jīng)確定,即這215張撲克牌被抽取的可能性與第一張撲克牌可能性不相同,所以不是簡單隨機(jī)抽樣．知能訓(xùn)練1．為了了解全校240名學(xué)生的身高情況,從中抽取40名學(xué)生進(jìn)行測(cè)量,下列說法正確的是〔A.總體是240B.個(gè)體C.樣本是40名學(xué)生D.樣本容量是40答案：D2．為了了解所加工一批零件的長度,抽測(cè)了其中200個(gè)零件的長度,在這個(gè)問題中,200個(gè)零件的長度是〔A.總體B.個(gè)體C.總體的一個(gè)樣本D.樣本容量答案：C3．一個(gè)總體中共有200個(gè)個(gè)體,用簡單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為20的樣本,則某一特定個(gè)體被抽到的可能性是____________．答案：4．為了檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品的質(zhì)量,決定從40件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行檢查,如何用簡單隨機(jī)抽樣抽取樣本？解：方法一〔抽簽法：①將這40件產(chǎn)品編號(hào)為1,2,…,40；②做好大小、形狀相同的號(hào)簽,分別寫上這40個(gè)號(hào)碼；③將這些號(hào)簽放在一個(gè)不透明的容器內(nèi),攪拌均勻；④連續(xù)抽取10個(gè)號(hào)簽；⑤然后對(duì)這10個(gè)號(hào)簽對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品檢驗(yàn)．方法二〔隨機(jī)數(shù)表法：①將40件產(chǎn)品編號(hào),可以編為00,01,02,…,38,39；②在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開始,例如從第8行第9列的數(shù)5開始,；③從選定的數(shù)5開始向右讀下去,得到一個(gè)兩位數(shù)字號(hào)碼59,由于59＞39,將它去掉；繼續(xù)向右讀,得到16,將它取出；繼續(xù)下去,又得到19,10,12,07,39,38,33,21,隨后的兩位數(shù)字號(hào)碼是12,由于它在前面已經(jīng)取出,將它去掉,再繼續(xù)下去,得到34．至此,10個(gè)樣本號(hào)碼已經(jīng)取滿,于是,所要抽取的樣本號(hào)碼是16,19,10,12,07,39,38,33,21,34．拓展提升現(xiàn)有一批編號(hào)為10,11,…,99,100,…,600的元件,打算從中抽取一個(gè)容量為6的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．如何用隨機(jī)數(shù)法設(shè)計(jì)抽樣方案？分析：重新編號(hào),使每個(gè)號(hào)碼的位數(shù)相同．解：方法一：第一步,將元件的編號(hào)調(diào)整為010,011,012,…,099,100,…,600.第二步,在隨機(jī)數(shù)表中任選一數(shù)作為開始,任選一方向作為讀數(shù)方向．比如,選第6行第7個(gè)數(shù)"9",向右讀.第三步,從數(shù)"9"開始,向右讀,每次讀取三位,凡不在010—600中的數(shù)跳過去不讀,前面已經(jīng)讀過的也跳過去不讀,依次可得到544,354,378,520,384,263.第四步,以上這6個(gè)號(hào)碼所對(duì)應(yīng)的6個(gè)元件就是所要抽取的對(duì)象．方法二:第一步,將每個(gè)元件的編號(hào)加100,重新編號(hào)為110,111,112,…,199,200,…,700.第二步,在隨機(jī)數(shù)表中任選一數(shù)作為開始,任選一方向作為讀數(shù)方向．比如,選第8行第1個(gè)數(shù)"6",向右讀.第三步,從數(shù)"6"開始,向右讀,每次讀取三位,凡不在110—700中的數(shù)跳過去不讀,前面已經(jīng)讀過的也跳過去不讀,依次可得到630,163,567,199,507,175.第四步,這6個(gè)號(hào)碼分別對(duì)應(yīng)原來的530,63,467,99,407,75．這些號(hào)碼對(duì)應(yīng)的6個(gè)元件就是要抽取的對(duì)象．課堂小結(jié)1．簡單隨機(jī)抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法,簡單隨機(jī)抽樣有兩種選取個(gè)體的方法：放回和不放回,我們?cè)诔闃诱{(diào)查中用的是不放回抽樣,常用的簡單隨機(jī)抽樣方法有抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．2．抽簽法的優(yōu)點(diǎn)是簡單易行,缺點(diǎn)是當(dāng)總體的容量非常大時(shí),費(fèi)時(shí)、費(fèi)力,又不方便,如果標(biāo)號(hào)的簽攪拌得不均勻,會(huì)導(dǎo)致抽樣不公平,隨機(jī)數(shù)表法的優(yōu)點(diǎn)與抽簽法相同,缺點(diǎn)是當(dāng)總體容量較大時(shí),仍然不是很方便,但是比抽簽法公平,因此這兩種方法只適合總體容量較小的抽樣類型．3．簡單隨機(jī)抽樣每個(gè)個(gè)體入樣的可能性都相等,均為,但是這里一定要將每個(gè)個(gè)體入樣的可能性、第n次每個(gè)個(gè)體入樣的可能性、特定的個(gè)體在第n次被抽到的可能性這三種情況區(qū)分開來,避免在解題中出現(xiàn)錯(cuò)誤．作業(yè)課本本節(jié)練習(xí)2、3．設(shè)計(jì)感想本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)以課程標(biāo)準(zhǔn)的要求為指導(dǎo),重視引導(dǎo)學(xué)生參與到教學(xué)中,體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位．同時(shí),根據(jù)高考的要求,適當(dāng)拓展了教材,做到了用教材,而不是教教材．系統(tǒng)抽樣整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析教材通過探究"學(xué)生對(duì)教師教學(xué)的意見"過程,介紹了一種最簡單的系統(tǒng)抽樣——等距抽樣,并給出實(shí)施等距抽樣的步驟．值得注意的是在教學(xué)過程中,適當(dāng)介紹當(dāng)不是整數(shù)時(shí),應(yīng)如何實(shí)施系統(tǒng)抽樣．三維目標(biāo)1．理解系統(tǒng)抽樣,會(huì)用系統(tǒng)抽樣從總體中抽取樣本,了解系統(tǒng)抽樣在實(shí)際生活中的應(yīng)用,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.2．通過自學(xué)課后"閱讀與思考",讓學(xué)生進(jìn)一步了解虛假廣告是淡化總體和抽樣方法、強(qiáng)化統(tǒng)計(jì)結(jié)果來夸大產(chǎn)品的有效性,以提高學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：實(shí)施系統(tǒng)抽樣的步驟．教學(xué)難點(diǎn)：當(dāng)不是整數(shù),如何實(shí)施系統(tǒng)抽樣．課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了簡單隨機(jī)抽樣,那么簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)是什么？簡單隨機(jī)抽樣是最簡單和最基本的抽樣方法,當(dāng)總體中的個(gè)體較少時(shí),常采用簡單隨機(jī)抽樣．但是如果總體中的個(gè)體較多時(shí),怎樣抽取樣本呢？教師點(diǎn)出課題：系統(tǒng)抽樣．思路2某中學(xué)有5000名學(xué)生,打算抽取200名學(xué)生,調(diào)查他們對(duì)奧運(yùn)會(huì)的看法,采用簡單隨機(jī)抽樣時(shí),無論是抽簽法還是隨機(jī)數(shù)法,實(shí)施過程很復(fù)雜,需要大量的人力和物力,那么有沒有更為方便可行的抽樣方法呢？這就是今天我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容：系統(tǒng)抽樣．推進(jìn)新課新知探究提出問題〔1某學(xué)校為了了解高一年級(jí)學(xué)生對(duì)教師教學(xué)的意見,打算從高一年級(jí)500名學(xué)生中抽取50名進(jìn)行調(diào)查,除了用簡單隨機(jī)抽樣獲取樣本外,你能否設(shè)計(jì)其他抽取樣本的方法？〔2請(qǐng)歸納系統(tǒng)抽樣的定義和步驟.<3>系統(tǒng)抽樣有什么特點(diǎn)？討論結(jié)果：<1>可以將這500名學(xué)生隨機(jī)編號(hào)1—500,分成50組,每組10人,第1組是1—10,第二組11—20,依次分下去,然后用簡單隨機(jī)抽樣在第1組抽取1人,比如號(hào)碼是2,然后每隔10個(gè)號(hào)抽取一個(gè),得到2,12,22,…,492．這樣就得到一個(gè)容量為50的樣本．這種抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣．<2>一般地,要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本,可將總體分成均衡的若干部分,然后按照預(yù)先制定的規(guī)則,從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體,得到所需要的樣本,這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣.其步驟是：1°采用隨機(jī)抽樣的方法將總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào);2°將整體按編號(hào)進(jìn)行分段,確定分段間隔k<k∈N,l≤k>;3°在第1段用簡單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體的編號(hào)l〔l∈N,l≤k;4°按照一定的規(guī)則抽取樣本.通常是將起始編號(hào)l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)<l+k>,再加上k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)<l+2k>,這樣繼續(xù)下去,直到獲取整個(gè)樣本．說明：從系統(tǒng)抽樣的步驟可以看出,系統(tǒng)抽樣是把一個(gè)問題劃分成若干部分分塊解決,從而把復(fù)雜問題簡單化,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想．<3>系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)是：1°當(dāng)總體容量N較大時(shí),采用系統(tǒng)抽樣；2°將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段,分段的間隔要求相等,因此,系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣,這時(shí)間隔一般為k＝［］．3°預(yù)先制定的規(guī)則指的是：在第1段內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始編號(hào),在此編號(hào)的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號(hào)．應(yīng)用示例例1為了了解參加某種知識(shí)競賽的1000名學(xué)生的成績,應(yīng)采用什么抽樣方法較恰當(dāng)？簡述抽樣過程．解：適宜選用系統(tǒng)抽樣,抽樣過程如下：〔1隨機(jī)地將這1000名學(xué)生編號(hào)為1,2,3,…,1000．〔2將總體按編號(hào)順序均分成50部分,每部分包括20個(gè)個(gè)體．〔3在第一部分的個(gè)體編號(hào)1,2,3,…,20中,利用簡單隨機(jī)抽樣抽取一個(gè)號(hào)碼,比如18．〔4以18為起始號(hào)碼,每間隔20抽取一個(gè)號(hào)碼,這樣得到一個(gè)容量為50的樣本：18,38,58,…,978,998．點(diǎn)評(píng)：系統(tǒng)抽樣與簡單隨機(jī)抽樣一樣,每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等,從而說明系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣,它是公平的．系統(tǒng)抽樣是建立在簡單隨機(jī)抽樣的基礎(chǔ)之上的,當(dāng)將總體均分后對(duì)每一部分進(jìn)行抽樣時(shí),采用的是簡單隨機(jī)抽樣．變式訓(xùn)練1．下列抽樣不是系統(tǒng)抽樣的是〔A.從標(biāo)有1—15號(hào)的15個(gè)小球中任選3個(gè)作為樣本,按從小號(hào)到大號(hào)排序,隨機(jī)確定起點(diǎn)i,以后為i+5,i+10<超過15則從1再數(shù)起>號(hào)入樣B.工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品,用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間前,檢驗(yàn)人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產(chǎn)品檢驗(yàn)C.搞某一市場(chǎng)調(diào)查,規(guī)定在商場(chǎng)門口隨機(jī)抽一個(gè)人進(jìn)行詢問,直到調(diào)查到事先規(guī)定的調(diào)查人數(shù)為止D.電影院調(diào)查觀眾的某一指標(biāo),通知每排〔每排人數(shù)相等座位號(hào)為14的觀眾留下來座談分析：C中,因?yàn)槭孪炔恢揽傮w,抽樣方法不能保證每個(gè)個(gè)體按事先規(guī)定的概率入樣,所以不是系統(tǒng)抽樣.答案：C2.某校高中三年級(jí)的295名學(xué)生已經(jīng)編號(hào)為1,2,…,295,為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,要按1∶5的比例抽取一個(gè)樣本,用系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽取,并寫出過程．分析：按1∶5分段,每段5人,共分59段,每段抽取一人,關(guān)鍵是確定第1段的編號(hào)．解：抽樣過程是：〔1按照1∶5的比例,應(yīng)該抽取的樣本容量為295÷5=59,我們把259名同學(xué)分成59組,每組5人,第一組是編號(hào)為1—5的5名學(xué)生,第2組是編號(hào)為6—10的5名學(xué)生,依次下去,59組是編號(hào)為291—295的5名學(xué)生；〔2采用簡單隨機(jī)抽樣的方法,從第一組5名學(xué)生中抽出一名學(xué)生,不妨設(shè)編號(hào)為l<l≤5>；〔3按照一定的規(guī)則抽取樣本．抽取的學(xué)生編號(hào)為l+5k<k=0,1,2,…,58>,得到59個(gè)個(gè)體作為樣本,如當(dāng)k=3時(shí)的樣本編號(hào)為3,8,13,…,288,293．例2為了了解參加某種知識(shí)競賽的1003名學(xué)生的成績,請(qǐng)用系統(tǒng)抽樣抽取一個(gè)容量為50的樣本．分析：由于不是整數(shù),所以先從總體中隨機(jī)剔除3個(gè)個(gè)體．步驟：〔1隨機(jī)地將這1003個(gè)個(gè)體編號(hào)為1,2,3,…,1003．〔2利用簡單隨機(jī)抽樣,先從總體中剔除3個(gè)個(gè)體〔可利用隨機(jī)數(shù)表,剩下的個(gè)體數(shù)1000能被樣本容量50整除,然后再重新編號(hào)為