大學(xué)物理北郵電習(xí)題答案

習(xí)題二一細(xì)繩跨過一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為的物體，另一邊穿在質(zhì)量為的圓柱體的豎直細(xì)孔中，圓柱可沿繩子滑動(dòng)．今看到繩子從圓柱細(xì)孔中加速上升，柱體相對(duì)于繩子以勻加速度下滑，求，相對(duì)于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力(繩輕且不可伸長(zhǎng)，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計(jì))．解：因繩不可伸長(zhǎng)，故滑輪兩邊繩子的加速度均為，其對(duì)于則為牽連加速度，又知對(duì)繩子的相對(duì)加速度為，故對(duì)地加速度，由圖(b)可知，為①又因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以圓柱體受到的摩擦力在數(shù)值上等于繩的張力，由牛頓定律，有②③聯(lián)立①、②、③式，得討論(1)若，則表示柱體與繩之間無相對(duì)滑動(dòng)．(2)若，則，表示柱體與繩之間無任何作用力，此時(shí),均作自由落體運(yùn)動(dòng)．2-2一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運(yùn)動(dòng)，的方向與斜面底邊的水平線平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道．解:物體置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐標(biāo)：取方向?yàn)檩S，平行斜面與軸垂直方向?yàn)檩S.如圖2-2.題2-2圖方向：①方向：②時(shí)由①、②式消去，得2-3質(zhì)量為16kg的質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，受一恒力作用，力的分量為＝6N，＝-7N，當(dāng)＝0時(shí)，0，＝-2m·s-1，＝0．求當(dāng)＝2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的(1)位矢；(2)速度．解：(1)于是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的速度(2)2-4質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成正比的阻力(為常數(shù))作用，=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為，證明(1)時(shí)刻的速度為＝；(2)由0到的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的距離為＝()［1-］；(3)停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過的距離為；(4)證明當(dāng)時(shí)速度減至的，式中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量．答:(1)∵分離變量，得即∴(2)(3)質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即t→∞，故有(4)當(dāng)t=時(shí)，其速度為即速度減至的.2-5升降機(jī)內(nèi)有兩物體，質(zhì)量分別為，，且＝2．用細(xì)繩連接，跨過滑輪,繩子不可伸長(zhǎng)，滑輪質(zhì)量及一切摩擦都忽略不計(jì)，當(dāng)升降機(jī)以勻加速＝g上升時(shí)，求：(1)和相對(duì)升降機(jī)的加速度．(2)在地面上觀察，的加速度各為多少?解:分別以,為研究對(duì)象，其受力圖如圖(b)所示．

(1)設(shè)相對(duì)滑輪(即升降機(jī))的加速度為，則對(duì)地加速度；因繩不可伸長(zhǎng)，故對(duì)滑輪的加速度亦為，又在水平方向上沒有受牽連運(yùn)動(dòng)的影響，所以在水平方向?qū)Φ丶铀俣纫酁椋膳ｎD定律，有聯(lián)立，解得方向向下(2)對(duì)地加速度為方向向下在水面方向有相對(duì)加速度，豎直方向有牽連加速度，即∴，左偏上．2-6一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以與地的仰角=30°的初速?gòu)牡孛鎾伋?，若忽略空氣阻力，求質(zhì)點(diǎn)落地時(shí)相對(duì)拋射時(shí)的動(dòng)量的增量．解:依題意作出示意圖如題2-6圖題2-6圖在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時(shí)的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下,

而拋物線具有對(duì)軸對(duì)稱性，故末速度與軸夾角亦為，則動(dòng)量的增量為由矢量圖知，動(dòng)量增量大小為，方向豎直向下．2-7一質(zhì)量為的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞．并在拋出1s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時(shí)相等．求小球與桌面碰撞過程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向．并回答在碰撞過程中，小球的動(dòng)量是否守恒?解:由題知，小球落地時(shí)間為．因小球?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)，故小球落地的瞬時(shí)向下的速度大小為，小球上跳速度的大小亦為．設(shè)向上為軸正向，則動(dòng)量的增量方向豎直向上，大小碰撞過程中動(dòng)量不守恒．這是因?yàn)樵谂鲎策^程中，小球受到地面給予的沖力作用．另外，碰撞前初動(dòng)量方向斜向下，碰后末動(dòng)量方向斜向上，這也說明動(dòng)量不守恒．（碰撞過程中外力—重力一直存在，不滿足動(dòng)量守恒條件）2-8作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為N，式中的單位是s，(1)求4s后，這物體的動(dòng)量和速度的變化，以及力給予物體的沖量．(2)為了使這力的沖量為200N·s，該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個(gè)具有初速度m·s-1的物體,回答這兩個(gè)問題．解:(1)若物體原來靜止，則,沿軸正向，若物體原來具有初速，則于是,同理，,這說明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，則不管物體有無初動(dòng)量，也不管初動(dòng)量有多大，那么物體獲得的動(dòng)量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動(dòng)量定理．(2)同上理，兩種情況中的作用時(shí)間相同，即亦即解得，(舍去)2-9一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及＝0到時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受的合力的沖量和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的改變量．解:質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為將和分別代入上式，得,,則動(dòng)量的增量亦即質(zhì)點(diǎn)所受外力的沖量為2-10一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為，當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為F=()N(為常數(shù))，其中以秒為單位：(1)假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈走完槍筒全長(zhǎng)所需時(shí)間；(2)求子彈所受的沖量．(3)求子彈的質(zhì)量．解:(1)由題意，子彈到槍口時(shí)，有,得(2)子彈所受的沖量將代入，得(3)由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量2-11一炮彈質(zhì)量為，以速率飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動(dòng)能為，且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為+,-證明:設(shè)一塊為，則另一塊為，及于是得①又設(shè)的速度為,的速度為，則有②③聯(lián)立①、③解得④將④代入②，并整理得于是有將其代入④式，有又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取證畢．2-12設(shè)．(1)當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，求所作的功．(2)如果質(zhì)點(diǎn)到處時(shí)需0.6s，試求平均功率．(3)如果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為1kg，試求動(dòng)能的變化．解:(1)由題知，為恒力，∴(2)(3)由動(dòng)能定理，2-13以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板內(nèi)的深度成正比，在鐵錘擊第一次時(shí)，能將小釘擊入木板內(nèi)1cm，問擊第二次時(shí)能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時(shí)的速度相同．解:以木板上界面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向內(nèi)為坐標(biāo)正向，如題2-13圖，則鐵釘所受阻力為題2-13圖第一錘外力的功為①式中是鐵錘作用于釘上的力，是木板作用于釘上的力，在時(shí)，．設(shè)第二錘外力的功為，則同理，有②由題意，有③即所以，于是釘子第二次能進(jìn)入的深度為2-14設(shè)已知一質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)量為)在其保守力場(chǎng)中位矢為點(diǎn)的勢(shì)能為,試求質(zhì)點(diǎn)所受保守力的大小和方向．解:方向與位矢的方向相反，即指向力心．2-15一根勁度系數(shù)為的輕彈簧的下端，掛一根勁度系數(shù)為的輕彈簧，的下端一重物，的質(zhì)量為，如題2-15圖．求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長(zhǎng)量之比和彈性勢(shì)能之比．解:彈簧及重物受力如題2-15圖所示平衡時(shí)，有題2-15圖又所以靜止時(shí)兩彈簧伸長(zhǎng)量之比為彈性勢(shì)能之比為2-16(1)試計(jì)算月球和地球?qū)ξ矬w的引力相抵消的一點(diǎn)，距月球表面的距離是多少?地球質(zhì)量5.98×1024kg，地球中心到月球中心的距離3.84×108m，月球質(zhì)量7.35×1022kg，月球半徑1.74×106m．(2)如果一個(gè)1kg的物體在距月球和地球均為無限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零，那么它在點(diǎn)的勢(shì)能為多少?解:(1)設(shè)在距月球中心為處，由萬有引力定律，有經(jīng)整理，得=則點(diǎn)處至月球表面的距離為(2)質(zhì)量為的物體在點(diǎn)的引力勢(shì)能為2-17由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長(zhǎng)的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質(zhì)量為和的滑塊組成如題2-17圖所示裝置，彈簧的勁度系數(shù)為，自然長(zhǎng)度等于水平距離，與桌面間的摩擦系數(shù)為，最初靜止于點(diǎn)，＝＝，繩已拉直，現(xiàn)令滑塊落下,求它下落到處時(shí)的速率．解:取點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則由功能原理，有式中為彈簧在點(diǎn)時(shí)比原長(zhǎng)的伸長(zhǎng)量，則聯(lián)立上述兩式，得題2-17圖2-18如題2-18圖所示，一物體質(zhì)量為2kg，以初速度＝3m·s-1從斜面點(diǎn)處下滑，它與斜面的摩擦力為8N，到達(dá)點(diǎn)后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度．解:取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原

長(zhǎng)處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)。則由功能原理，有式中，，再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得題2-18圖再次運(yùn)用功能原理，求木塊彈回的高度代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得,則木塊彈回高度題2-19圖2-19質(zhì)量為的大木塊具有半徑為的四分之一弧形槽，如題2-19圖所示．質(zhì)量為的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運(yùn)動(dòng)，而且都從靜止開始，求小木塊脫離大木塊時(shí)的速度．解:從上下滑的過程中，機(jī)械能守恒，以，，地球?yàn)橄到y(tǒng)，以最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有又下滑過程，動(dòng)量守恒，以,為系統(tǒng)則在脫離瞬間，水平方向有聯(lián)立，以上兩式，得2-20一個(gè)小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對(duì)心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向互相垂直．證:兩小球碰撞過程中，機(jī)械能守恒，有即①題2-20圖(a)題2-20圖(b)又碰撞過程中，動(dòng)量守恒，即有亦即②由②可作出矢量三角形如圖(b)，又由①式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以為斜邊，故知與是互相垂直的．2-21一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)位于()處，速度為,質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)沿負(fù)方向的力的作用，求相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量以及作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩．解:由題知，質(zhì)點(diǎn)的位矢為作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為所以，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量為作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩為

2-22哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓．它離太陽最近距離為＝8.75×1010m時(shí)的速率是＝5.46×104m·s-1，它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率是＝9.08×102m·s-1這時(shí)它離太陽的距離多少?(太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。)解:哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)受到太陽的引力——即有心力的作用，所以角動(dòng)量守恒；又由于哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度都與軌道半徑垂直，故有

∴2-23物體質(zhì)量為3kg，=0時(shí)位于,，如一恒力作用在物體上,求3秒后，(1)物體動(dòng)量的變化；(2)相對(duì)軸角動(dòng)量的變化．解:(1)(2)解(一)即,即,∴∴解(二)∵∴題2-24圖2-24平板中央開一小孔，質(zhì)量為的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為的重物．小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑為時(shí)重物達(dá)到平衡．今在的下方再掛一質(zhì)量為的物體，如題2-24圖．試問這時(shí)小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和半徑為多少?解:在只掛重物時(shí)，小球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為，即①掛上后，則有②重力對(duì)圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動(dòng)量守恒．即③聯(lián)立①、②、③得2-25飛輪的質(zhì)量＝60kg，半徑＝0.25m，繞其水平中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為900rev·min-1．現(xiàn)利用一制動(dòng)的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動(dòng)力，可使飛輪減速．已知閘桿的尺寸如題2-25圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)算．試求：(1)設(shè)＝100N，問可使飛輪在多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)?在這段時(shí)間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)?(2)如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力?解:(1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b))．圖中、是正壓力，、是摩擦力，和是桿在點(diǎn)轉(zhuǎn)軸處所受支承力，是輪的重力，是輪在軸處所受支承力．題2-25圖（a）題2-25圖(b)桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對(duì)點(diǎn)的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計(jì)，則有對(duì)飛輪，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律有，式中負(fù)號(hào)表示與角速度方向相反．∵∴又∵∴①以等代入上式，得由此可算出自施加制動(dòng)閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為這段時(shí)間內(nèi)飛輪的角位移為可知在這段時(shí)間里，飛輪轉(zhuǎn)了轉(zhuǎn)．(2)，要求飛輪轉(zhuǎn)速在內(nèi)減少一半，可知用上面式(1)所示的關(guān)系，可求出所需的制動(dòng)力為2-26固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)．設(shè)大小圓柱體的半徑分別為和，質(zhì)量分別為和．繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體和相連，和則掛在圓柱體的兩側(cè)，如題2-26圖所示．設(shè)＝0.20m,＝0.10m，＝4kg，＝10kg，＝＝2kg，且開始時(shí)，離地均為＝2m．求：(1)柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；(2)兩側(cè)細(xì)繩的張力．解:設(shè),和β分別為,和柱體的加速度及角加速度，方向如圖(如圖b)．

題2-26(a)圖題2-26(b)圖,和柱體的運(yùn)動(dòng)方程如下：①②③式中而由上式求得(2)由①式由②式2-27計(jì)算題2-27圖所示系統(tǒng)中物體的加速度．設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體，其質(zhì)量為，半徑為，在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉(zhuǎn)，忽略桌面與物體間的摩擦，設(shè)＝50kg，＝200kg,M＝15kg,＝0.1m解:分別以,滑輪為研究對(duì)象，受力圖如圖(b)所示．對(duì),運(yùn)用牛頓定律，有①②對(duì)滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有③又，④聯(lián)立以上4個(gè)方程，得題2-27(a)圖題2-27(b)圖題2-28圖2-28如題2-28圖所示，一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為，長(zhǎng)為，可繞過一端的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿于水平位置由靜止開始擺下．求：(1)初始時(shí)刻的角加速度；(2)桿轉(zhuǎn)過角時(shí)的角速度.解:(1)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有∴(2)由機(jī)械能守恒定律，有∴題2-29圖2-29如題2-29圖所示，質(zhì)量為，長(zhǎng)為的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，它原來靜止在平衡位置上．現(xiàn)有一質(zhì)量為的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒垂直地相撞．相撞后，使棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度30°處．(1)設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計(jì)算小球初速的值；(2)相撞時(shí)小球受到多大的沖量?解:(1)設(shè)小球的初速度為，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為，而小球的速度變?yōu)?，按題意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時(shí)遵從角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，可列式：①②上兩式中，碰撞過程極為短暫，可認(rèn)為棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最大角度，按機(jī)械能守恒定律可列式：③由③式得由①式④由②式⑤所以求得(2)相碰時(shí)小球受到的沖量為由①式求得負(fù)號(hào)說明所受沖量的方向與初速度方向相反．題2-30圖2-30一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為并以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪(可看作勻質(zhì)圓盤)，在某一瞬時(shí)突然有一片質(zhì)量為的碎片從輪的邊緣上飛出，見題2-30圖．假定碎片脫離飛輪時(shí)的瞬時(shí)速度方向正好豎直向上．(1)問它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能．解:(1)碎片離盤瞬時(shí)的線速度即是它上升的初速度設(shè)碎片上升高度時(shí)的速度為，則有令，可求出上升最大高度為(2)圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，碎片拋出后圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，碎片脫離前，盤的角動(dòng)量為，碎片剛脫離后，碎片與破盤之間的內(nèi)力變?yōu)榱悖珒?nèi)力不影響系統(tǒng)