專題26 動(dòng)態(tài)幾何之面動(dòng)形成的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題

一、選擇題1.〔2022年湖南衡陽(yáng)3分〕如下圖，半徑為1的圓和邊長(zhǎng)為3的正方形在同一水平線上，圓沿該水平線從左向右勻速穿過(guò)正方形，設(shè)穿過(guò)時(shí)間為t，正方形除去圓局部的面積為S〔陰影局部〕，那么S與t的大致圖象為【】A．B．C．8D．2.〔2022年青海西寧3分〕如圖，矩形的長(zhǎng)和寬分別是4和3，等腰三角形的底和高分別是3和4，如果此三角形的底和矩形的寬重合，并且沿矩形兩條寬的中點(diǎn)所在的直線自右向左勻速運(yùn)動(dòng)至等腰三角形的底與另一寬重合．設(shè)矩形與等腰三角形重疊局部〔陰影局部〕的面積為y，重疊局部圖形的高為x，那么y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致應(yīng)為【】A．B．C．D．【答案】B。3.〔2022年遼寧盤(pán)錦3分〕如圖，將邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的一邊BC與直角邊分別是2和4的Rt△GEF的一邊GF重合．正方形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿GE向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)E重合時(shí)正方形停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)正方形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，正方形ABCD與Rt△GEF重疊局部面積為s，那么s關(guān)于t的函數(shù)圖象為【】【答案】B。【考點(diǎn)】面動(dòng)問(wèn)題的函數(shù)圖象，正方形和直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用?！痉治觥糠诸愑懻摚?.〔2022年遼寧鐵嶺3分〕如圖，點(diǎn)G、E、A、B在一條直線上，Rt△EFG從如下圖是位置出發(fā)，沿直線AB向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G與B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)△EFG與矩形ABCD重合局部的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，那么S與t的圖象大致是【】 A． B． C． D．【答案】D?！究键c(diǎn)】面動(dòng)問(wèn)題的函數(shù)圖象，相似三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想和分類思想的應(yīng)用?！痉治觥吭O(shè)GE=a，EF=b，AE=m，AB=c，Rt△EFG向右勻速運(yùn)動(dòng)的速度為1，當(dāng)E點(diǎn)在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，S=0。5.〔2022年湖南岳陽(yáng)3分〕如圖，邊長(zhǎng)都是1的正方形和正三角形，其一邊在同一水平線上，三角形沿該水平線自左向右勻速穿過(guò)正方形．設(shè)穿過(guò)的時(shí)間為t，正方形與三角形重合局部的面積為S〔空白局部〕，那么S關(guān)于t的函數(shù)大致圖象應(yīng)為【】【答案】D。二、填空題三、解答題1.〔2022年重慶市B12分〕：在矩形ABCD中，E為邊BC上的一點(diǎn)，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F(xiàn)為線段BE上一點(diǎn)，EF=7，連接AF。如圖1，現(xiàn)有一張硬紙片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜邊MN與邊BC在同一直線上，點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，點(diǎn)G在線段DE上。如圖2，△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿EB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿AD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q為直線GN與線段AE的交點(diǎn)，連接PQ。當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，△GMNP和點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，解答問(wèn)題：〔1〕在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時(shí)，求t的值；〔2〕在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使△APQ是等腰三角形，假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由；〔3〕在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△GMN與△AEF重疊局部的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍。∴。假設(shè)AP=AQ，那么，解得，不存在；假設(shè)AP=PQ，那么，△＜0，無(wú)解，不存在；假設(shè)AQ=PQ，那么，無(wú)正數(shù)解，不存在。∴。假設(shè)AP=AQ，那么，解得。假設(shè)AP=PQ，那么，△＜0，無(wú)解，不存在；假設(shè)AQ=PQ，那么，無(wú)正數(shù)解，不存在。綜上所述，存在，使△APQ是等腰三角形?！?〕S與t的函數(shù)關(guān)系式為。二式相加，得。∴∴。當(dāng)10＜t≤時(shí)，如圖，△GMN與△AEF重疊局部的面積等于四邊形GIFM的面積，它等于△GMN的面積減去△INF的面積。過(guò)點(diǎn)I作IH⊥BC于點(diǎn)H，∵EF=7，EN=t，∴。2.〔2022年重慶市A12分〕，如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD。以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內(nèi)部作Rt△AED，∠EAD=300，∠AED=900?！?〕求△AED的周長(zhǎng)；〔2〕假設(shè)△AED以每秒2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿DC向右平行移動(dòng)，得到△A0E0D0，當(dāng)A0D0與BC重合時(shí)停止移動(dòng)。設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，△A0E0D0與△BDC重疊局部的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；〔3〕如圖②，在〔2〕中，當(dāng)△AED停止移動(dòng)后得到△BEC，將△BEC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B1，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E1，設(shè)直線B1E1與直線BE交于點(diǎn)P、與直線CB交于點(diǎn)Q。是否存在這樣的，使△BPQ為等腰三角形？假設(shè)存在，求出的度數(shù)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。②假設(shè)PQ=BQ，如圖，那么∵∠PBQ=300，∴∠BQP=1200。∴∠B1QC=∠BQP=1200?！唷螧1CQ=1800－1200－300=300?！?。③假設(shè)PQ=BP，如圖，那么∵∠CBE=300，∴∠PBQ=300?！唷螧QP=∠PBQ=300。當(dāng)時(shí)，如圖，，過(guò)點(diǎn)D0作在D0H⊥BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥AB于點(diǎn)G，那么DD0=2t，D0C=A0B=BN=，∴。∴。當(dāng)時(shí)，0，滿足上式。綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為?！?〕分BP=BQ，PQ=BQ，PQ=BP三種情況討論即可。3.〔2022年湖南婁底10分〕如圖，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．〔1〕求證：；〔2〕設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；〔3〕當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線DA勻速向上運(yùn)動(dòng)〔當(dāng)矩形的邊PQ到達(dá)A點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)〕，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊局部的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍．【答案】解：〔1〕證明：∵矩形EFPQ，∴EF∥BC?！唷鰽HF∽△ADC，∴。∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴.∴。〔2〕∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1。∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴。∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴。∴，即，∴EH=4HF。EF=x，那么EH=?！摺螧=45°，∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣。，∴當(dāng)x=時(shí)，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5。綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：。4.〔2022年湖北咸寧12分〕如圖，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD．〔1〕點(diǎn)C的坐標(biāo)是▲，線段AD的長(zhǎng)等于▲；〔2〕點(diǎn)M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，M，求拋物線的解析式；〔3〕如果點(diǎn)E在y軸上，且位于點(diǎn)C的下方，點(diǎn)F在直線AC上，那么在〔2〕中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出該菱形的周長(zhǎng)l；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：〔1〕〔0，3〕；4?！?〕∵CM=OM，∴∠OCM=∠COM。∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，∴∠ODM=∠MOD?！郞M=MD=CM?！帱c(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔，〕?！邟佄锞€y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，M，∴，解得：。∴拋物線y=x2+bx+c的解析式為：?！?〕拋物線上存在點(diǎn)P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形。情形1：如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左邊時(shí)，四邊形CFEP為菱形，情形2：如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右邊時(shí)，四邊形CFPE為菱形，∴CF=PF，CE∥FP?！咧本€AC過(guò)點(diǎn)A〔﹣3，0〕，點(diǎn)C〔0，3〕，∴直線AC的解析式為：y=x+3。5.〔2022年湖北宜昌12分〕如圖1，平面之間坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔t，0〕，直角邊AC=4，經(jīng)過(guò)O，C兩點(diǎn)做拋物線〔a為常數(shù)，a＞0〕，該拋物線與斜邊AB交于點(diǎn)E，直線OA：y2=kx〔k為常數(shù)，k＞0〕〔1〕填空：用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值：A▲，k=▲；〔2〕隨著三角板的滑動(dòng)，當(dāng)a=時(shí)：①請(qǐng)你驗(yàn)證：拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上；②當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；〔3〕直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小，當(dāng)x≥t+4時(shí)，|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍．∴EK是△ACB的中位線?！郋K=AC=2，CK=BC=2。∴E〔t+2，2〕?！唿c(diǎn)E在拋物線上，∴，解得t=2?！喈?dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，t=2?！?〕如圖2，由得，解得，或x=0〔不合題意，舍去〕?！帱c(diǎn)D的橫坐標(biāo)是?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，面動(dòng)問(wèn)題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行的判定，三角形中位線的性質(zhì)。【分析】〔1〕根據(jù)題意易得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與點(diǎn)C的相同，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)即是線段AC的長(zhǎng)度；把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線OA的解析式來(lái)求k的值：∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔t，0〕，直角邊AC=4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔t，4〕?！咧本€OA：y2=kx〔k為常數(shù)，k＞0〕，∴4=kt，那么〔k＞0〕。6.〔2022年浙江義烏10分〕小明合作學(xué)習(xí)小組在探究旋轉(zhuǎn)、平移變換．如圖△ABC，△DEF均為等腰直角三角形，各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A〔1，1〕，B〔2，2〕，C〔2，1〕，D〔，0〕，E〔，0〕，F(xiàn)〔，〕．〔1〕他們將△ABC繞C點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)450得到△A1B1C．請(qǐng)你寫(xiě)出點(diǎn)A1，B1的坐標(biāo)，并判斷A1C和DF〔2〕他們將△ABC繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)450，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上．請(qǐng)你求出符合條件的拋物線解析式；〔3〕他們繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)將△ABC繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45，假設(shè)旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上，那么可求出旋轉(zhuǎn)后三角形的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)P的所有坐標(biāo)．【答案】解：〔1〕。A1C和DF的位置關(guān)系是平行〔2〕∵△ABC繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°后的三角形即為△DEF，∵點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)較小，∴。當(dāng)時(shí)，?！郟〔，〕。④逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)A、B落在拋物線上．因?yàn)槟鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，直線A′B′與y軸平行，因?yàn)榕c拋物線最多只能有一個(gè)交點(diǎn)，故此種情形不存在。⑤逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)B、C落在拋物線上，如答圖4所示，與③同理，可求得：P〔，〕。⑥逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)C、A落在拋物線上，如答圖5所示，與②同理，可求得：P〔，〕。綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：〔0，〕，〔，〕，P〔，，〔，〕。7.〔2022年江蘇南通13分〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=，BC=3，△DEF是邊長(zhǎng)為a〔a為小于3的常數(shù)〕的等邊三角形，將△DEF沿AC方向平移，使點(diǎn)D在線段AC上，DE∥AB，設(shè)△DEF與△ABC重疊局部的周長(zhǎng)為T?！?〕求證：點(diǎn)E到AC的距離為一常數(shù)；〔2〕假設(shè)AD=，當(dāng)a=2時(shí)，求T的值；〔3〕假設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示T?！敬鸢浮拷猓骸?〕證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，那么EH即為點(diǎn)E到AC的距離?！咴赗t△ABC中，∠ACB=900，AC=，BC=3，∴。∴∠A=600。∵DE∥AB，∴∠EDH=∠A=600?！逥E=a〔a為小于3的常數(shù)〕，∴〔常數(shù)〕。∴點(diǎn)E到AC的距離為一常數(shù)。〔2〕當(dāng)a=2時(shí)，。∵AD=，∴AH=?！啻藭r(shí)，點(diǎn)H在在線段AC上。∴此時(shí)，△DEF與△ABC重疊局部就是△DEF?！唷！?〕當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處時(shí)，，由得，，解得?！喾謨煞N情況：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)H在線段AC上，此時(shí)，△DEF與△ABC重疊局部就是△DEF。∴。②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)H在線段AC的延長(zhǎng)線上，如圖，此時(shí)，△DEF與△ABC重疊局部就是△DCG。根據(jù)三角形中位線定理，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴CD=，CG=,DG=?！唷＞C上所述，?！究键c(diǎn)】平移問(wèn)題上，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行的性質(zhì)，三角形中位線定理，分類思想的應(yīng)用?！痉治觥俊?〕由銳角三角函數(shù)和平行的性質(zhì)可證得?！?〕應(yīng)用銳角三角函數(shù)求得三邊長(zhǎng)即可?！?〕分點(diǎn)H在線段AC上和點(diǎn)H在線段AC的延長(zhǎng)線上兩種情況討論即可。8.〔2022年廣東深圳9分〕如圖1，直線AB過(guò)點(diǎn)A〔m，0〕，B〔0，n〕，且m+n=20〔其中m＞0，n＞0〕?！?〕m為何值時(shí)，△OAB面積最大？最大值是多少？〔2〕如圖2，在〔1〕的條件下，函數(shù)的圖像與直線AB相交于C、D兩點(diǎn)，假設(shè)，求k的值?！?〕在〔2〕的條件下，將△OCD以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向平移，如圖3，設(shè)它與△OAB的重疊局部面積為S，請(qǐng)求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t〔秒〕的函數(shù)關(guān)系式〔0<t<10〕?！唷！??！唿c(diǎn)C在直線AB上，∴。∴。9.〔2022年廣東省9分〕有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=。將這副直角三角板按如圖〔1〕所示位置擺放，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上，現(xiàn)固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)?！?〕如圖〔2〕，當(dāng)三角板DEF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)EF與BC交于點(diǎn)M，那么∠EMC=▲度；〔2〕如圖〔3〕，在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求FC的長(zhǎng)；〔3〕在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)BF=x，兩塊三角板重疊局部面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并求出對(duì)應(yīng)的x取值范圍。③當(dāng)＜x≤6時(shí)，如答圖3所示，〔3〕認(rèn)真分析三角板的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，明確不同時(shí)段重疊圖形的變化情況，分0≤x≤2，2＜x≤，＜x≤6三時(shí)段討論：當(dāng)0≤x≤2，即開(kāi)始到DE與AC重合之前時(shí)，；當(dāng)2＜x≤，即DE與AC重合之后到EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C之前時(shí)，；當(dāng)＜x≤6，即EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C之后到停止之前時(shí)，。10.〔2022年河北省14分〕一透明的敞口正方體容器ABCD-A′B′C′D′裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α〔∠CBE=α，如圖1所示〕．探究如圖1，液面剛好過(guò)棱CD，并與棱BB′交于點(diǎn)Q，此時(shí)液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖2所示．解決問(wèn)題：〔1〕CQ與BE的位置關(guān)系是▲，BQ的長(zhǎng)是▲dm；〔2〕求液體的體積；〔參考算法：直棱柱體積V液=底面積SBCQ×高AB〕〔3〕求α的度數(shù).(注：sin49°＝cos41°＝，tan37°＝)拓展在圖1的根底上，以棱AB為軸將容器向左或向右旋轉(zhuǎn)，但不能使液體溢出，圖3或圖4是其正面示意圖.假設(shè)液面與棱C′C或CB交于點(diǎn)P，設(shè)PC=x，BQ=y.分別就圖3和圖4求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的α的范圍.延伸在圖4的根底上，于容器底部正中間位置，嵌入一平行于側(cè)面的長(zhǎng)方形隔板〔厚度忽略不計(jì)〕，得到圖5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NM⊥BC.繼續(xù)向右緩慢旋轉(zhuǎn)，當(dāng)α=60°時(shí)，通過(guò)計(jì)算，判斷溢出容器的液體能否到達(dá)4dm3.【答案】解：探究：〔1〕CQ∥BE，3?！?〕?！?〕在Rt△BCQ中，，∴α=∠BCQ=37°。拓展：當(dāng)容器向左旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖3，0°≤α≤37°，∵液體體積不變，∴。∴y=-x+3．當(dāng)容器向右旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖4，同理可得：。當(dāng)液面恰好到達(dá)容器口沿，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B′重合時(shí)，如圖5，由BB′=4，且，得PB=3，∴由tan∠PB′B=，得∠PB′B=37°。∴α=∠B′PB=53°。此時(shí)37°≤α≤53°。【考點(diǎn)】四邊形綜合題，解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義，分類思想的應(yīng)用?！痉治觥刻骄浚骸?〕根據(jù)水面與水平面平行可以得到CQ與BE平行，利用勾股定理即可求得BD的長(zhǎng)：。〔2〕液體正好是一個(gè)以△BCQ是底面的直棱柱，據(jù)此即可求得液體的體積；。〔3〕根據(jù)液體體積不變，據(jù)此即可列方程求解。拓展：分容器向左旋轉(zhuǎn)和容器向右旋轉(zhuǎn)兩種情況討論。延伸：當(dāng)α=60°時(shí)，如圖6所示，設(shè)FN∥EB，GB′∥EB，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BB′于點(diǎn)H，此時(shí)容器內(nèi)液體形成兩層液面，液體的形狀分別是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G為底面的直棱柱，求得棱柱的體積，即可求得溢出的水的體積，據(jù)此即可作出判斷。11.〔2022年廣西玉林、防城港12分〕如圖，拋物線y=﹣〔x﹣1〕2+c與x軸交于A，B〔A，B分別在y軸的左右兩側(cè)〕兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，A〔﹣1，0〕．〔1〕求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；〔2〕判斷△CDB的形狀并說(shuō)明理由；〔3〕將△COB沿x軸向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度〔0＜t＜3〕得到△QPE．△QPE與△CDB重疊局部〔如圖中陰影局部〕面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍．在Rt△OBC中，由勾股定理得：；在Rt△CND中，由勾股定理得：；在Rt△BMD中，由勾股定理得：?！連C2+CD2=BD2，∴根據(jù)勾股定理的逆定理，得△CDB為直角三角形。設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．設(shè)QE與BD的交點(diǎn)為F，那么：，解得，∴F〔3﹣t，2t〕?！郤=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE=PE?PQ﹣PB?PK﹣BE?yF=×3×3﹣〔3﹣t〕2﹣t?2t=。②當(dāng)＜t＜3時(shí)，如答圖3所示，12.〔2022年甘肅天水12分〕如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔0，4〕，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并把△AOP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到△ABD．〔1〕求直線AB的解析式；〔2〕當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)〔，0〕時(shí)，求此時(shí)DP的長(zhǎng)及點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔3〕是否存在點(diǎn)P，使△OPD的面積等于？假設(shè)存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔3〕存在。假設(shè)存在點(diǎn)P，在它的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使△OPD的面積等于。設(shè)點(diǎn)P為〔t，0〕，下面分三種情況討論：①當(dāng)t＞0時(shí)，如答圖2，BD=OP=t，DG=t，∴DH=2+t。∵△OPD的面積等于，∴，解得〔舍去〕。∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為〔，0〕。②∵當(dāng)D在x軸上時(shí)，如答圖3，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD=OP=，∴當(dāng)＜t≤0時(shí)，如答圖1，BD=OP=﹣t，DG=t，∴GH=BF=2﹣〔t〕=2+t?！摺鱋PD的面積等于，∴，解得?！帱c(diǎn)P2的坐標(biāo)為〔，0〕，點(diǎn)P3的坐標(biāo)為〔，0〕。【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題，單動(dòng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，勾股定理，待定系數(shù)法的應(yīng)用，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，三角形的面積，解一元二次方程，分類思想的應(yīng)用。13.〔2022年內(nèi)蒙古赤峰12分〕如圖，△OAB的頂點(diǎn)A〔﹣6，0〕，B〔0，2〕，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ODC．〔1〕寫(xiě)出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕求過(guò)A，D，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并求此拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；〔3〕證明AB⊥BE．【答案】解：〔1〕C〔2，0〕，D〔0，6〕。〔2〕∵拋物線過(guò)點(diǎn)A〔﹣6，0〕，C〔2，0〕，∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a〔x+6〕〔x﹣2〕〔a≠0〕，∵D〔0，6〕在拋物線上，∴6=﹣12a，解得a=。∴拋物線的解析式為y=〔x+6〕〔x﹣2〕，即y=x2﹣2x+6?！遹=x2﹣2x+6=〔x+2〕2+8，∴頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔﹣2，8〕。14.〔2022重慶市12分〕：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E為BC邊上一點(diǎn)，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè)．〔1〕當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上時(shí)，求BE的長(zhǎng)；〔2〕將〔1〕問(wèn)中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形B′EFG，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移．設(shè)平移的距離為t，正方形B′EFG的邊EF與AC交于點(diǎn)M，連接B′D，B′M，DM，是否存在這樣的t，使△B′DM是直角三角形？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3〕在〔2〕問(wèn)的平移過(guò)程中，設(shè)正方形B′EFG與△ADC重疊局部的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DH于N，那么MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣〔2﹣t〕=t+1。在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=〔t+1〕2+t2=t2+t+1?！并瘛臣僭O(shè)∠DB′M=90°，那么DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=〔t2﹣2t+8〕+〔t2﹣4t+13〕，解得：t=。〔Ⅱ〕假設(shè)∠B′MD=90°，那么B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=〔t2﹣2t+8〕+〔t2+t+1〕，解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣〔舍去〕?！鄑=﹣3+。〔Ⅲ〕假設(shè)∠B′DM=90°，那么B′M2=B′D2+DM2，即t2﹣2t+8=〔t2﹣4t+13〕+〔t2+t+1〕，此方程無(wú)解。綜上所述，當(dāng)t=或﹣3+時(shí)，△B′DM是直角三角形；〔3〕?！究键c(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理和逆定理，正方形的性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)。③如圖⑤，當(dāng)G在CD上時(shí)，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=，∴EC=4﹣t=B′C﹣2=?！鄑=。∵B′N=B′C=〔6﹣t〕=3﹣t，∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1。15.〔2022江蘇蘇州9分〕如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動(dòng)，移動(dòng)開(kāi)始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合.在移動(dòng)過(guò)程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過(guò)點(diǎn)A作CG的平行線交線段GH于點(diǎn)P，連接PD.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，矩形EFGH的邊FG、GH的長(zhǎng)分別為4cm、3cm.設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為x〔s〕，線段GP的長(zhǎng)為y〔cm〕，其中0≤x≤.⑴試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y=3時(shí)相應(yīng)x的值；⑵記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2．試說(shuō)明S1－S2是常數(shù)；⑶當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對(duì)角線AC垂直時(shí)，求線段PD的長(zhǎng).【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥俊?〕根據(jù)題意表示出AG、GD的長(zhǎng)度，再由可解出x的值?！?〕利用〔1〕得出的y與x的關(guān)系式表示出S1、S2，然后作差即可?！?〕延長(zhǎng)PD交AC于點(diǎn)Q，然后判斷△DGP是等腰直角三角形，從而結(jié)合x(chóng)的范圍得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的長(zhǎng)度。16.〔2022江蘇宿遷12分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l1:y=x與直線l2：y=－x+6相交于點(diǎn)M，直線l2與x軸相較于點(diǎn)N.求M，N的坐標(biāo)；在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng).設(shè)矩形ABCD與△OMN的重疊局部的面積為S.移動(dòng)的時(shí)間為t〔從點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，到點(diǎn)A與點(diǎn)N重合時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束〕。直接寫(xiě)出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式〔不需要給出解答過(guò)程〕；在〔2〕的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大？并求出最大值.②當(dāng)1＜t≤4時(shí)，矩形ABCD與△OMN的重疊局部的面積為一梯形面積，梯形的上底為，下底為，高為1。∴。17.〔2022四川廣安10分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB⊥x軸于點(diǎn)B，AB=3，tan∠AOB=，將△OAB繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA1B1；再將△OA1B1繞著線段OB1的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到△OA2B1，拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0〕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、B1、A2．〔1〕求拋物線的解析式．〔2〕在第三象限內(nèi)，拋物線上的點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PBB1的面積最大？求出這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．〔3〕在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線段BB1的距離為？假設(shè)存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：〔1〕∵AB⊥x軸，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4。∴B〔﹣4，0〕，B1〔0，﹣4〕，A2〔3，0〕?！邟佄锞€y=ax2+bx+c〔a≠0〕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、B1、A2，∴，解得?！鄴佄锞€的解析式為：?！?〕存在。假設(shè)在第三象限的拋物線上存在點(diǎn)Q〔x0，y0〕，使點(diǎn)Q到線段BB1的距離為。如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥BB1于點(diǎn)D，設(shè)Q〔xQ，yQ〕，由〔2〕可知，此時(shí)△QBB1的面積可以表示為：，在Rt△OBB1中，。∵，∴，解得xQ=﹣1或xQ=﹣3。當(dāng)xQ=﹣1時(shí)，yQ=﹣4；當(dāng)xQ=﹣3時(shí)，yQ=﹣2。因此，在第三象限內(nèi)，拋物線上存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線段BB1的距離為，這樣的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是〔﹣1，﹣4〕或〔﹣3，﹣2〕。18.〔2022遼寧鞍山12分〕如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)〔3，3〕，將正方形ABCO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α〔0°＜α＜90°〕，得到正方形ADEF，ED交線段OC于點(diǎn)G，ED的延長(zhǎng)線交線段BC于點(diǎn)P，連AP、AG．〔1〕求證：△AOG≌△ADG；〔2〕求∠PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由；〔3〕當(dāng)∠1=∠2時(shí)，求直線PE的解析式．∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP?！郟G=DG+DP=OG+BP。19.〔2022遼寧丹東14分〕拋物線與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔－1，0〕，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且．〔1〕求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕直接寫(xiě)出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；〔3〕如圖1，D為y軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且OD=2，以O(shè)D為邊作正方形ODEF.將正方形ODEF以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向移動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形ODEF與△OBC重疊局部的面積為s，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒〔0＜t≤2〕.求：①s與t之間的函數(shù)關(guān)系式；②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫(xiě)出這個(gè)最大值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔4〕如圖2，點(diǎn)P〔1，k〕在直線BC上，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點(diǎn)的平行四邊形？假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.∴GD1=t－1，HD1=t－1?！郤=。∴s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，s是存在最大值：當(dāng)t=2秒時(shí)，S有最大值，最大值為?！?〕存在。M1〔－，0〕M2〔，0〕，M3〔，0〕，M4〔，0〕。假設(shè)AP是邊，那么M1的橫坐標(biāo)為－PN1加點(diǎn)A的橫坐標(biāo)：－；M2的橫坐標(biāo)為PN2加點(diǎn)A的橫坐標(biāo)：；M3的橫坐標(biāo)為N3的縱坐標(biāo)加N3的橫坐標(biāo)：；M4的橫坐標(biāo)為N4的縱坐標(biāo)加N4的的橫坐標(biāo)：。假設(shè)AP是對(duì)角線，符合條件的點(diǎn)M與上述M1〔－，0〕和M2〔，0〕重合。綜上所述，M1〔－，0〕，M2〔，0〕，M3〔，0〕，M4〔，0〕。20.〔2022山東德州12分〕如下圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)〔不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合〕將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．〔1〕求證：∠APB=∠BPH；〔2〕當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；〔3〕設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問(wèn)S是否存在最小值？假設(shè)存在，求出這個(gè)最小值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：〔1〕如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC?！唷螦PB=∠BPH?！?〕△PHD的周長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下：如圖2，過(guò)B作BQ⊥PH，垂足為Q。由〔1〕知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，∴△ABP≌△QBP〔AAS〕?！郃P=QP，AB=BQ。又∵AB=BC，∴BC=BQ。又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH〔HL〕?！郈H=QH?！唷鱌HD的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。21.〔2022廣西北海12分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A〔－2，0〕、B〔0，1〕、C〔d，2〕?！?〕求d的值；〔2〕將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖像上。請(qǐng)求出這個(gè)反比例函數(shù)和此時(shí)的直線B′C′的解析式；〔3〕在〔2〕的條件下，直線B′C′交y軸于點(diǎn)G。問(wèn)是否存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形。如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M和點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。〔3〕設(shè)Q是GC′的中點(diǎn)，由G〔0，3〕，C′〔3，2〕，得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為2＋?！郠〔，〕。過(guò)點(diǎn)Q作直線l與x軸交于M′點(diǎn)，與的22.〔2022廣西貴港11分〕如圖，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，且∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3。點(diǎn)P在射線AC上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB，垂足為H。〔1〕直接寫(xiě)出線段AC、AD以及⊙O半徑的長(zhǎng)；〔2〕設(shè)PH＝x，PC＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕當(dāng)PH與⊙O相切時(shí)，求相應(yīng)的y值。【考點(diǎn)】圓的綜合題，圓的切線性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】〔1〕連接AO、DO，EO，F(xiàn)O，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=，23.〔天津市2022年10分〕在平面直角坐標(biāo)系中．O坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)A(3．0)，B(0，4)．以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△ACD．記旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角為α．∠ABO為β．(I)如圖①，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)．求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(Ⅱ)如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足BC∥軸時(shí)．求α與β之聞的數(shù)量關(guān)系；(Ⅲ)當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足∠AOD=β時(shí)．求直線CD的解析式(直接寫(xiě)出即如果即可)，【答案】解：(I)∵點(diǎn)A(3，0)，B(0，4)，∴0A=3，OB=4。∴在Rt△ABO中．由勾股定理．得AB=。根據(jù)題意，有DA=OA=3。如圖①．過(guò)點(diǎn)D作DM⊥軸于點(diǎn)M，那么MD∥OB。∴△ADM∽△ABO。有，得，。又OM=OA-AM，得OM=?！帱c(diǎn)D的坐標(biāo)為〔〕。(Ⅱ)如圖②．由己知，得∠CAB=α，AC=AB，∴∠ABC=∠ACB?！嘣凇鰽BC中，由∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，得α=180°—2∠ABC。又∵BC∥軸，得∠OBC=90°，有∠ABC=90°—∠ABO=90°—β。∴α=180°—2〔90°—β〕=2β。〔Ⅲ〕直線CD的解析式為，或。代入直線CD方程=k+4，得k=?！嘀本€CD的解析式為。同樣考慮∠AOD在軸下方的情況，如圖2，可得直線CD的解析式。24.〔2022年浙江金華、麗水10分〕在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，將n個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在軸和軸的正半軸上，設(shè)拋物線過(guò)矩形頂點(diǎn)B、C．〔1〕當(dāng)n=1時(shí)，如果=﹣1，試求的值；〔2〕當(dāng)n=2時(shí)，如圖2，在矩形OABC上方作一邊長(zhǎng)為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點(diǎn)也在拋物線上，求出此時(shí)拋物線的解析式；〔3〕將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落到軸的正半軸上，如果該拋物線同時(shí)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．①試求當(dāng)n=3時(shí)的值；②直接寫(xiě)出關(guān)于n的關(guān)系式．〔3〕解：①當(dāng)n=3時(shí)，OC=1，BC=3，設(shè)所求拋物線解析式為，過(guò)C作CD⊥OB于點(diǎn)D，那么Rt△OCD∽R(shí)t△CBD?！唷?5.〔2022年甘肅天水12分〕在梯形OABC中