第二章-現金流量與資金時間價值資料課件

本章要求（1）熟悉現金流量的概念；（2）熟悉資金時間價值的概念；（3）掌握資金時間價值計算所涉及的基本概念和計算公式；（4）掌握名義利率和實際利率的計算；（5）掌握資金等值計算及其應用。第二章現金流量與資金時間價值1/10/20231 本章要求第二章現金流量與資金時間價值1/9/20231

第一節(jié)現金流量一、現金流量（CashFlow)的概念在整個計算期內，流出或流入系統的資金。（把一個工程項目看做一個系統）現金流入(CashIncome)現金流量現金流出(CashOutput)凈現金流量(NetCashFlow)=現金流入-現金流出現金流量的時間單位：計息期二、現金流量圖（CashFlowDiagram)1、概念：是描述工程項目整個計算期內各時間點上的現金流入和現金流出的序列圖。2、現金流量圖的構成要素：現金流量的大小、現金流量的流向（縱軸）、時間軸（橫軸）、時刻點。箭頭的長短與現金流量的大小本應成比例。現金流量的方向與現金流量的性質有關，箭頭向上表示現金流入，箭頭向下表示現金流出。圖例：200250150300200200012345678時間100200

3001/10/20232第一節(jié)現金流量1/9/2023

第二節(jié)資金的時間價值引入問題：今年的100元是否等于明年的100元呢？

答：不等于—————資金存在時間價值（研究的必要性）一、資金的時間價值（TimeValueofFund)概念把貨幣作為社會生產資金投入到生產或流通領域就會得到資金的增值，資金隨時間推移而增值的這部分資金就是原有資金的時間價值?；虿煌瑫r間發(fā)生的等額資金在價值上的差別稱為資金的時間價值。二、影響資金時間價值的因素1、資金本身的大小2、投資收益率（或利率）3、時間的長短4、風險因素5、通貨膨脹（計算方法與復利方式計息的方法）三、衡量資金時間價值的尺度絕對尺度：利息、利潤相對尺度：利率、投資收益率那么：什么是利息呢？

1/10/20233第二節(jié)資金的時間價值1/9/20233四、資金時間價值的計算（一）、利息利息：是指占用資金應付出的代價或者放棄資金的使用權應得的補償。

In=Fn–P

In利息Fn本利和

P本金（二）、利率利率是指在一個計息周期內所得的利息額與本金或貸款金額的比值。i=×100%其中：I是一個計息周期內的利息

（三）、單利和復利利息的計算分：單利和復利1、單利：只對本金計算利息，利息不再生息。利息In=P·i·nn期后的本利和為：Fn=P（1+n·i)本金P=F-In=F/（1+n*i）（1+n·i)為單利終值系數1/（1+n*i）為單利現值系數1/10/20234四、資金時間價值的計算1/9/202342、復利：對本金和利息均計算利息，即“利滾利”。n期后的本利和為：計息期期初金額（1）本期利息額（2）期末本利和Ft=（1）+（2）1PP*iF1=P+P*i=P（1+i）2P（1+i）P（1+i）*iF2=P（1+i）+P（1+i）*i=P（1+i）2……………………nP（1+i）n-1P（1+i）n-1*iF=Fn=P（1+i）n-1+P（1+i）n-1*i=P（1+i）n1/10/202352、復利：對本金和利息均計算利息，即“利滾利”。計息期期初金例1：李曉同學向銀行貸款20000元，約定4年后一次歸還，銀行貸款年利率為5%。問：（1）如果銀行按單利計算，李曉4年后應還銀行多少錢？還款中利息是多少?（2）如果銀行按復利計算，李曉4年后應還銀行多少錢？還款中利息是多少?解：（1）單利的本利和=20000×（1+4×5%)=24000(元)其中利息=20000×4×5%=4000(元)（2）復利的本利和=20000×（1+5%）4=24310.125(元)其中利息=24310.125–20000=4310.125(元)兩種利息的比較：在資金的本金、利率和時間相等的情況下，復利大于單利。1/10/20236例1：李曉同學向銀行貸款20000元，約定4年后一次歸還，銀（四）、資金時間價值計算中的幾個概念及規(guī)定1、現值（PresentValue,記為P）：發(fā)生在時間序列起點、年初或計息期初的資金。求現值的過程稱為折現。規(guī)定在期初。2、終值（FutureValue,記為F）：發(fā)生在年末、終點或計息期末的資金。規(guī)定在期末。3、年值（AnnualValue,記為A）：指各年等額支出或等額收入的資金。規(guī)定在期末。（五）、資金時間價值計算的基本公式一次支付終值一次支付型一次支付現值資金支付形式等額系列終值等額系列現值多次支付型等額系列償債基金等額系列資本回收等差系列現金流量等比系列現金流量以上各種形式如無特殊說明，均采用復利計算。1/10/20237（四）、資金時間價值計算中的幾個概念及規(guī)定1/9/202371、一次支付終值是指無論現金量是流出還是流入都在一個點上發(fā)生。如下圖2.1。3000.1.2.3………..n時間圖2.1F=P（1+i)n=P（F/P,i,n)（F/P,i,n)--------一次支付終值系數。方便查表。例2：某企業(yè)向銀行借款50000元，借款時間為10年，借款年利率為10%，問10年后該企業(yè)應還銀行多少錢？

解：

F=P（1+i)n

=50000（1+10%）10=129687.123（元）2、一次支付現值求現值。P==F（P/F,i,n)（P/F,i,n)--------一次支付現值系數例3：某人打算5年后從銀行取出50000元，銀行存款年利率為3%，問此人現在應存入銀行多少錢？（按復利計算）解：現金流量圖略，P=50000/（1+3%）5=43130.44(元）一次支付終值系數和一次支付現值系數互為倒數1/10/202381、一次支付終值1/9/202383、等額系列終值F如圖2.2。0123··················nAAF=A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)3+···········+A（1+i)n-1進行數學變換后得：=A(F/A,i,n)(F/A,i,n)稱為等額系列終值系數。例3：某人每年存入銀行30000元，存5年準備買房用，存款年利率為3%。問：5年后此人能從銀行取出多少錢？解：現金流量圖略，F=30000=159274.07(元)4、等額系列償債基金是等額系列終值公式的逆運算。（A/F，i,n)稱為等額系列償債基金系數。例4：某人想在5年后從銀行提出20萬元用于購買住房。若銀行年存款利率為5%，那么此人現在應每年存入銀行多少錢？解：1/10/202393、等額系列終值5、等額系列現值A

0123n

P

F=P(1+i)n,令兩式相等，得（P/A，i，n)稱為等額系列現值系數或年金現值系數。例5：某人為其小孩上大學準備了一筆資金，打算讓小孩在今后的4年中，每月從銀行取出500元作為生活費。現在銀行存款月利率為0.3%，那么此人現在應存入銀行多少錢？解：現金流量圖略計息期n=4×12=48（月）

1/10/2023101/9/2023106、等額系列資金回收是等額系列現值公式的逆運算。（A/P，i，n)稱為等額系列資金回收系數。例6：某施工企業(yè)現在購買一臺推土機，價值15萬元。希望在8年內等額回收全部投資。若資金的折現率為3%，試求該企業(yè)每年回收的投資額。解:

7、等差系列現金流量的等值計算

1/10/2023116、等額系列資金回收1/9/202311設有一資金序列An是等差數列（定差為G），則有現金流量圖如下A1+(n－1)G+A1+(n－1)GA1

(n-1)GPPAPG12n12G32GnFG=G(1+i)n-2+2G(1+i)n-3+······+(n-2)G(1+i)+(n-1)G

1/10/202312+A1+(n－1)GA1(n-1)GPPAPG12n12G

而P=F/(1+i)n則現值P為:

(P/G，i，n)稱為等差系列現值系數。將等差系列換算成等額年值為：

(A/G，i，n)稱為等差年金換算系數。若計算原等差系列現金流量的年金、現值和終值：A=A1+AGP=PA1+PGF=FA1+FG例7：王明同學2000年7月參加工作，為了買房，從當年8月1日開始每月存入銀行500元，以后每月遞增存款20元，連續(xù)存5年。若存款月利率為2%，問：（1）王明同學2005年8月1日可以從銀行取出多少錢？（2）他每月平均存入銀行多少錢？（3）所有這些存款相當于王明2000年8月1日一次性存入銀行多少錢？1/10/2023131/9/202313解：我們把2000年8月1日看做是第一個計息期末，那么5年內的計息期為:n=12×5=60,每月等差額G=20元，等差序列的固定基數A1=500元。2000年7月1日就是第0月，即時間軸的0點。因此，現金流量圖為：01235960月500520540166016801/10/2023141/9/202314（1）王明同學2005年8月1日從銀行取出的錢就是所有存款的終值，即：

（2）他每月平均存入銀行錢為：

（3）所有這些存款相當于王明2000年8月1日一次性存入銀行P=A(P/A,i,n)=F(P/F,i,n)1/10/202315（1）王明同學2005年8月1日從銀行取出的錢就是所有存款的8、等比系列現金流量等比系列現值1/10/2023168、等比系列現金流量等比系列現值1/9/202316

(2-39)。稱為等比系列現值系數等比系列終值

（F/A,i,j,n)稱為等比系列終值系數。1/10/202317

運用復利計算公式應注意的問題:1.本期末即等于下期初。0點就是第一期初，也叫零期；第一期末即等于第二期初；余類推。2.P是在第一計息期開始時（0期）發(fā)生；3.F是在第n年年末發(fā)生；4.A是發(fā)生在各期期末。5.當問題包括P和A時，系列的第一個A是在P發(fā)生一年后的年末發(fā)生；當問題包括F和A時，系列的最后一個A是和F同時發(fā)生；6.均勻梯度系列中，第一個G發(fā)生在系列的第二年年末。1/10/202318運用復利計算公式應注意的問題:1/9/2023小結：復利系數之間的關系

與互為倒數

與互為倒數與互為倒數

推導（F/P，i，n）（P/F，i，n）（F/A，i，n）（A/P，i，n）（P/A，i，n）（A/F，i，n）PF

A01234567……n……基本公式相互關系示意圖1/10/202319小結：復利系數之間的關系三、等額分付類型計算公式“等額分付”的特點:在計算期內1）每期支付是大小相等、方向相同的現金流,用年值A表示；2）支付間隔相同，通常為1年；3）每次支付均在每年年末。A012n-1nA012n-1n疑似!第三節(jié)資金的等值計算1/10/202320三、等額分付類型計算公式“等額分付”的特點:在計算期內A0若等額分付的A發(fā)生在每年年初，則需將年初值折算為當年的年末值后，再運用等額分付公式。3AF0n12n-14A'疑似等額分付的計算第三節(jié)資金的等值計算1/10/202321若等額分付的A發(fā)生在每年年初，則需將年初值折算為當年例：寫出下圖的復利現值和復利終值，若年利率為i。0123n-1nA0123n-1nA’=A（1+i）解：1/10/202322例：寫出下圖的復利現值和復利終值，若年利率為i。0123n某大學生貸款讀書，每年初需從銀行貸款6,000元，年利率為4%，4年后畢業(yè)時共計欠銀行本利和為多少？例題5第三節(jié)資金的等值計算1/10/202323某大學生貸款讀書，每年初需從銀行貸款6,000元，年例:有如下圖示現金流量，解法正確的有()LB:答案:AC012345678AF=?

A.F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8)B.F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7)C.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2)D.F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2)E.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)1/10/202324例:有如下圖示現金流量，解法正確的有(（六）名義利率和實際利率引言：計算利息的時間單位和利率的時間單位不相同時,會是什么情況呢?——出現名義利率和實際利率的換算名義利率（NominalInterest）是指利率的表現形式，是指計息周期利率i乘以一個利率周期內的計息周期數m所得的利率周期利率，即r=i*m實際利率(RealInterest)是指實際計算利息的利率。

在名義利率的時間單位里，計息期越長，計息次數就越少；計息期越短，計息次數就越多。當計息期非常短，難以用時間來計量時，計息次數就趨于無窮大。

設r為名義利率，i為實際利率，m為名義利率時間單位內的計息次數，那么一個計息期的利率應為r/m，則一個利率時間單位末的本利和為：1/10/202325（六）名義利率和實際利率1/9/202325利息為：因此，實際利率為：即：例8：假定李某現在向銀行借款10000元，約定10年后歸還。銀行規(guī)定：年利率為6%，但要求按月計算利息。試問：此人10年后應歸還銀行多少錢？解:由題意可知，年名義利率r=6%，每年計息次數m=12，則年實際利率為：1/10/202326利息為：1/9/202326每年按實際利率計算利息，則10年后10000元的未來值為：

F=P(1+i)n=10000(1+6.168%)10

=18194.34(元)即，此人10年后應歸還銀行18194.34元錢。連續(xù)復利(ContinuousMultipleInterest)按瞬時計息的方式稱為連續(xù)復利。這時在名義利率的時間單位內，計息次數有無限多次，即m→∞。根據求極限的方法可求得年實際利率。實際利率為:

求極限得：i=er

-1

1/10/202327每年按實際利率計算利息，則10年后10000元的未來值為：1例9：某人每年年初從銀行貸款40000元，連續(xù)貸款4年，4年后一次性歸還本和利。銀行約定計算利息的方式有以下三種：①年貸款利率為6%，每年計息一次；②年貸款利率為5.8%，每半年計息一次；③年貸款利率為5.5%，每季度計息一次。試計算三種還款方式4年后一次性還本付息額。該企業(yè)應選擇哪種貸款方式？解：第4年末的本利和為上式中的利率i應為實際利率。①實際利率為6%，則②實際利率為則

1/10/202328例9：某人每年年初從銀行貸款40000元，連續(xù)貸款4年，4年③實際利率為1/10/202329③實際利率為1/9/202329

下表給出了名義利率為12%分別按不同計息期計算的實際利率：復利周期年計息次數計息期利率年實際利率一年半年一季一月一周一天連續(xù)1241252365∞12.0000%6.0000%3.0000%1.0000%0.23077%0.0329%0.000012.0000%12.3600%12.5509%12.6825%12.7341%12.7475%12.7497%1/10/202330下表給出了名義利率為12%分別按不同計息期計算

例:某企業(yè)向銀行借款1000元,年利率為4%,如按季度計息,則第3年應償還本利和累計為()元。A.1125B.1120C.1127D.1172F=1000(F/P,1%,4×3)=1000(F/P,1%,12)=1127元答案:C

F=？1000

…

012312季度解:1/10/202331例:某企業(yè)向銀行借款1000元,年利率為4%,如第三節(jié)等值計算與應用等值概念：在時間價值的作用下，在不同時點絕對值不等的資金可能具有相等的價值。也是“價值等效”的資金。兩個現金流量等值，則其對任何時刻的時值必然相等，從資金時間價值計算公式可知：影響資金等值的因素有三個，金額的多少、資金發(fā)生的時間和利率。一般計算中以同一利率為依據。1/10/202332第三節(jié)等值計算與應用等值概念：在時間價值的作用下，在不同時點

從利息表上查到，當n=9，1.750落在6%和7%之間。6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839從用線性內插法可得

例：當利率為多大時，現在的300元等值于第9年年末的525元？解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750一、利用復利表計算未知利率、未知期數1/10/202333從利息表上查到，當n=9，1.750落在6%和

例：求等值狀況下的利率。假如有人目前借入2000元，在今后兩年中分24次等額償還，每次償還99.80元。復利按月計算。試求月有效利率、名義利率和年有效利率。解：現在99.80=2000（A/P，i,24）（A/P，i,24）=99.80/2000=0.0499查表，上列數值相當于i=1.5%。因為計息期是一個月，所以月有效利率為1.5%。名義利率：r=(每月1.5%）×（12個月）=18%年有效利率：1/10/202334例：求等值狀況下的利率。假如有人目前二.計息期和資金收付期相同例：年利率為12%，每半年計息一次，從現在起，連續(xù)3年，每半年為100元的等額支付，問與其等值的第0年的現值為多大？

解：每計息期的利率

n=(3年)×(每年2期)=6期P=A（P/A，6%，6）=100×4.9173=491.73元計算表明，按年利率12%，每半年計息一次計算利息，從現在起連續(xù)3年每半年支付100元的等額支付與第0年的現值491.73元的現值是等值的。1/10/202335二.計息期和資金收付期相同n=(3年)×(每三.計息期小于資金收付期例：按年利率為12%，每季度計息一次計算利息，從現在起連續(xù)3年的等額年末支付借款為1000元，問與其等值的第3年年末的借款金額為多大？

解：其現金流量如下圖

0123456789101112季度F=？1000100010001/10/202336三.計息期小于資金收付期0

第一種方法：取一個循環(huán)周期，使這個周期的年末支付轉變成等值的計息期末的等額支付系列，其現金流量見下圖：

012342392392392390123410001000將年度支付轉化為計息期末支付（單位：元）

A=F（A/F，3%，4）=1000×0.2390=239元（A/F，3%，4）1/10/202337第一種方法：取一個循環(huán)周期，使這個周期的年末

239F=？季度

0123456789101112經轉變后計息期與支付期重合（單位：元）F=A（F/A，3%，12）=239×14.192=3392元1/10/202338239F=？季度0123

第二種方法：把等額支付的每一個支付看作為一次支付，求出每個支付的將來值，然后把將來值加起來，這個和就是等額支付的實際結果。F=1000(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000=3392元

F=A(F/A,12.55%,3)=1000×3.3923=3392元

第三種方法：將名義利率轉化為年有效利率，以一年為基礎進行計算。年有效利率是1/10/202339第二種方法：把等額支付的每一個支四、計息期大于資金收付周期三種方法(1)不計息：按支出計入期初、收入計入期末(2)單利計息：At=∑A’k

式中：At為第t計息期末凈現金流量；N為一個計息期內收付周期數；A’k為第t計息期內第k期收付金額；mk為第t計息期內第k期收付金額到達第t計息期末所包含的收付周期數；i為計息期利率。例如：月付款情況如圖，年利率為8%，半年計息一次，復利計息。計息內的收付款利息按單利計算，問年末金額為多少？1/10/202340四、計息期大于資金收付周期三種方法1/9/202340按單利計算計息期利率，月利率，上半年末凈現金流量：A1=507下半年末凈現金流量：按普通復利計算：1/10/202341按單利計算，月利率，下半年末凈現金流量：按普通復利計算：1/(3)復利計息計息期利率=實際利率，先求出收付周期利率即可按普通復利公式計算。例如：每月存款100元，期限一年，年利率8%，每季復利一次，計息期內收付利息按復利計算，則年末他的存款金額是多少？解：已知是實際利率，收付期利率解得r季=1.9868%，則r月=0.6623%F=100（F/A，0.6623%，12）=100*12.4469=1244.69（元）1/10/202342(3)復利計息1/9/202342

例:假定現金流量是：第6年年末支付300元，第9、10、11、12年末各支付60元，第13年年末支付210元，第15、16、17年年末各獲得80元。按年利率5％計息，與此等值的現金流量的現值P為多少？P=?03006789101112131415161721060801/10/202343例:假定現金流量是：第6年年末支付300元解：P=－300(P/F,5%,6)－60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8)－210(P/F,5%,13)+80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14)=－3000.7162－603.54560.6768－2100.5303+802.72320.5051=－369.16也可用其他公式求得P=－300(P/F,5%,6)－60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12)－210(P/F,5%,13)+80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17)=－3000.7462－604.31010.5568－2100.5303+803.1530.4363=－369.161/10/202344解：P=－300(P/F,5%,6)－60(P/A,5%,

本章要求（1）熟悉現金流量的概念；（2）熟悉資金時間價值的概念；（3）掌握資金時間價值計算所涉及的基本概念和計算公式；（4）掌握名義利率和實際利率的計算；（5）掌握資金等值計算及其應用。第二章現金流量與資金時間價值1/10/202345 本章要求第二章現金流量與資金時間價值1/9/20231

第一節(jié)現金流量一、現金流量（CashFlow)的概念在整個計算期內，流出或流入系統的資金。（把一個工程項目看做一個系統）現金流入(CashIncome)現金流量現金流出(CashOutput)凈現金流量(NetCashFlow)=現金流入-現金流出現金流量的時間單位：計息期二、現金流量圖（CashFlowDiagram)1、概念：是描述工程項目整個計算期內各時間點上的現金流入和現金流出的序列圖。2、現金流量圖的構成要素：現金流量的大小、現金流量的流向（縱軸）、時間軸（橫軸）、時刻點。箭頭的長短與現金流量的大小本應成比例?，F金流量的方向與現金流量的性質有關，箭頭向上表示現金流入，箭頭向下表示現金流出。圖例：200250150300200200012345678時間100200

3001/10/202346第一節(jié)現金流量1/9/2023

第二節(jié)資金的時間價值引入問題：今年的100元是否等于明年的100元呢？

答：不等于—————資金存在時間價值（研究的必要性）一、資金的時間價值（TimeValueofFund)概念把貨幣作為社會生產資金投入到生產或流通領域就會得到資金的增值，資金隨時間推移而增值的這部分資金就是原有資金的時間價值?；虿煌瑫r間發(fā)生的等額資金在價值上的差別稱為資金的時間價值。二、影響資金時間價值的因素1、資金本身的大小2、投資收益率（或利率）3、時間的長短4、風險因素5、通貨膨脹（計算方法與復利方式計息的方法）三、衡量資金時間價值的尺度絕對尺度：利息、利潤相對尺度：利率、投資收益率那么：什么是利息呢？

1/10/202347第二節(jié)資金的時間價值1/9/20233四、資金時間價值的計算（一）、利息利息：是指占用資金應付出的代價或者放棄資金的使用權應得的補償。

In=Fn–P

In利息Fn本利和

P本金（二）、利率利率是指在一個計息周期內所得的利息額與本金或貸款金額的比值。i=×100%其中：I是一個計息周期內的利息

（三）、單利和復利利息的計算分：單利和復利1、單利：只對本金計算利息，利息不再生息。利息In=P·i·nn期后的本利和為：Fn=P（1+n·i)本金P=F-In=F/（1+n*i）（1+n·i)為單利終值系數1/（1+n*i）為單利現值系數1/10/202348四、資金時間價值的計算1/9/202342、復利：對本金和利息均計算利息，即“利滾利”。n期后的本利和為：計息期期初金額（1）本期利息額（2）期末本利和Ft=（1）+（2）1PP*iF1=P+P*i=P（1+i）2P（1+i）P（1+i）*iF2=P（1+i）+P（1+i）*i=P（1+i）2……………………nP（1+i）n-1P（1+i）n-1*iF=Fn=P（1+i）n-1+P（1+i）n-1*i=P（1+i）n1/10/2023492、復利：對本金和利息均計算利息，即“利滾利”。計息期期初金例1：李曉同學向銀行貸款20000元，約定4年后一次歸還，銀行貸款年利率為5%。問：（1）如果銀行按單利計算，李曉4年后應還銀行多少錢？還款中利息是多少?（2）如果銀行按復利計算，李曉4年后應還銀行多少錢？還款中利息是多少?解：（1）單利的本利和=20000×（1+4×5%)=24000(元)其中利息=20000×4×5%=4000(元)（2）復利的本利和=20000×（1+5%）4=24310.125(元)其中利息=24310.125–20000=4310.125(元)兩種利息的比較：在資金的本金、利率和時間相等的情況下，復利大于單利。1/10/202350例1：李曉同學向銀行貸款20000元，約定4年后一次歸還，銀（四）、資金時間價值計算中的幾個概念及規(guī)定1、現值（PresentValue,記為P）：發(fā)生在時間序列起點、年初或計息期初的資金。求現值的過程稱為折現。規(guī)定在期初。2、終值（FutureValue,記為F）：發(fā)生在年末、終點或計息期末的資金。規(guī)定在期末。3、年值（AnnualValue,記為A）：指各年等額支出或等額收入的資金。規(guī)定在期末。（五）、資金時間價值計算的基本公式一次支付終值一次支付型一次支付現值資金支付形式等額系列終值等額系列現值多次支付型等額系列償債基金等額系列資本回收等差系列現金流量等比系列現金流量以上各種形式如無特殊說明，均采用復利計算。1/10/202351（四）、資金時間價值計算中的幾個概念及規(guī)定1/9/202371、一次支付終值是指無論現金量是流出還是流入都在一個點上發(fā)生。如下圖2.1。3000.1.2.3………..n時間圖2.1F=P（1+i)n=P（F/P,i,n)（F/P,i,n)--------一次支付終值系數。方便查表。例2：某企業(yè)向銀行借款50000元，借款時間為10年，借款年利率為10%，問10年后該企業(yè)應還銀行多少錢？

解：

F=P（1+i)n

=50000（1+10%）10=129687.123（元）2、一次支付現值求現值。P==F（P/F,i,n)（P/F,i,n)--------一次支付現值系數例3：某人打算5年后從銀行取出50000元，銀行存款年利率為3%，問此人現在應存入銀行多少錢？（按復利計算）解：現金流量圖略，P=50000/（1+3%）5=43130.44(元）一次支付終值系數和一次支付現值系數互為倒數1/10/2023521、一次支付終值1/9/202383、等額系列終值F如圖2.2。0123··················nAAF=A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)3+···········+A（1+i)n-1進行數學變換后得：=A(F/A,i,n)(F/A,i,n)稱為等額系列終值系數。例3：某人每年存入銀行30000元，存5年準備買房用，存款年利率為3%。問：5年后此人能從銀行取出多少錢？解：現金流量圖略，F=30000=159274.07(元)4、等額系列償債基金是等額系列終值公式的逆運算。（A/F，i,n)稱為等額系列償債基金系數。例4：某人想在5年后從銀行提出20萬元用于購買住房。若銀行年存款利率為5%，那么此人現在應每年存入銀行多少錢？解：1/10/2023533、等額系列終值5、等額系列現值A

0123n

P

F=P(1+i)n,令兩式相等，得（P/A，i，n)稱為等額系列現值系數或年金現值系數。例5：某人為其小孩上大學準備了一筆資金，打算讓小孩在今后的4年中，每月從銀行取出500元作為生活費?，F在銀行存款月利率為0.3%，那么此人現在應存入銀行多少錢？解：現金流量圖略計息期n=4×12=48（月）

1/10/2023541/9/2023106、等額系列資金回收是等額系列現值公式的逆運算。（A/P，i，n)稱為等額系列資金回收系數。例6：某施工企業(yè)現在購買一臺推土機，價值15萬元。希望在8年內等額回收全部投資。若資金的折現率為3%，試求該企業(yè)每年回收的投資額。解:

7、等差系列現金流量的等值計算

1/10/2023556、等額系列資金回收1/9/202311設有一資金序列An是等差數列（定差為G），則有現金流量圖如下A1+(n－1)G+A1+(n－1)GA1

(n-1)GPPAPG12n12G32GnFG=G(1+i)n-2+2G(1+i)n-3+······+(n-2)G(1+i)+(n-1)G

1/10/202356+A1+(n－1)GA1(n-1)GPPAPG12n12G

而P=F/(1+i)n則現值P為:

(P/G，i，n)稱為等差系列現值系數。將等差系列換算成等額年值為：

(A/G，i，n)稱為等差年金換算系數。若計算原等差系列現金流量的年金、現值和終值：A=A1+AGP=PA1+PGF=FA1+FG例7：王明同學2000年7月參加工作，為了買房，從當年8月1日開始每月存入銀行500元，以后每月遞增存款20元，連續(xù)存5年。若存款月利率為2%，問：（1）王明同學2005年8月1日可以從銀行取出多少錢？（2）他每月平均存入銀行多少錢？（3）所有這些存款相當于王明2000年8月1日一次性存入銀行多少錢？1/10/2023571/9/202313解：我們把2000年8月1日看做是第一個計息期末，那么5年內的計息期為:n=12×5=60,每月等差額G=20元，等差序列的固定基數A1=500元。2000年7月1日就是第0月，即時間軸的0點。因此，現金流量圖為：01235960月500520540166016801/10/2023581/9/202314（1）王明同學2005年8月1日從銀行取出的錢就是所有存款的終值，即：

（2）他每月平均存入銀行錢為：

（3）所有這些存款相當于王明2000年8月1日一次性存入銀行P=A(P/A,i,n)=F(P/F,i,n)1/10/202359（1）王明同學2005年8月1日從銀行取出的錢就是所有存款的8、等比系列現金流量等比系列現值1/10/2023608、等比系列現金流量等比系列現值1/9/202316

(2-39)。稱為等比系列現值系數等比系列終值

（F/A,i,j,n)稱為等比系列終值系數。1/10/202361

運用復利計算公式應注意的問題:1.本期末即等于下期初。0點就是第一期初，也叫零期；第一期末即等于第二期初；余類推。2.P是在第一計息期開始時（0期）發(fā)生；3.F是在第n年年末發(fā)生；4.A是發(fā)生在各期期末。5.當問題包括P和A時，系列的第一個A是在P發(fā)生一年后的年末發(fā)生；當問題包括F和A時，系列的最后一個A是和F同時發(fā)生；6.均勻梯度系列中，第一個G發(fā)生在系列的第二年年末。1/10/202362運用復利計算公式應注意的問題:1/9/2023小結：復利系數之間的關系

與互為倒數

與互為倒數與互為倒數

推導（F/P，i，n）（P/F，i，n）（F/A，i，n）（A/P，i，n）（P/A，i，n）（A/F，i，n）PF

A01234567……n……基本公式相互關系示意圖1/10/202363小結：復利系數之間的關系三、等額分付類型計算公式“等額分付”的特點:在計算期內1）每期支付是大小相等、方向相同的現金流,用年值A表示；2）支付間隔相同，通常為1年；3）每次支付均在每年年末。A012n-1nA012n-1n疑似!第三節(jié)資金的等值計算1/10/202364三、等額分付類型計算公式“等額分付”的特點:在計算期內A0若等額分付的A發(fā)生在每年年初，則需將年初值折算為當年的年末值后，再運用等額分付公式。3AF0n12n-14A'疑似等額分付的計算第三節(jié)資金的等值計算1/10/202365若等額分付的A發(fā)生在每年年初，則需將年初值折算為當年例：寫出下圖的復利現值和復利終值，若年利率為i。0123n-1nA0123n-1nA’=A（1+i）解：1/10/202366例：寫出下圖的復利現值和復利終值，若年利率為i。0123n某大學生貸款讀書，每年初需從銀行貸款6,000元，年利率為4%，4年后畢業(yè)時共計欠銀行本利和為多少？例題5第三節(jié)資金的等值計算1/10/202367某大學生貸款讀書，每年初需從銀行貸款6,000元，年例:有如下圖示現金流量，解法正確的有()LB:答案:AC012345678AF=?

A.F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8)B.F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7)C.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2)D.F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2)E.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)1/10/202368例:有如下圖示現金流量，解法正確的有(（六）名義利率和實際利率引言：計算利息的時間單位和利率的時間單位不相同時,會是什么情況呢?——出現名義利率和實際利率的換算名義利率（NominalInterest）是指利率的表現形式，是指計息周期利率i乘以一個利率周期內的計息周期數m所得的利率周期利率，即r=i*m實際利率(RealInterest)是指實際計算利息的利率。

在名義利率的時間單位里，計息期越長，計息次數就越少；計息期越短，計息次數就越多。當計息期非常短，難以用時間來計量時，計息次數就趨于無窮大。

設r為名義利率，i為實際利率，m為名義利率時間單位內的計息次數，那么一個計息期的利率應為r/m，則一個利率時間單位末的本利和為：1/10/202369（六）名義利率和實際利率1/9/202325利息為：因此，實際利率為：即：例8：假定李某現在向銀行借款10000元，約定10年后歸還。銀行規(guī)定：年利率為6%，但要求按月計算利息。試問：此人10年后應歸還銀行多少錢？解:由題意可知，年名義利率r=6%，每年計息次數m=12，則年實際利率為：1/10/202370利息為：1/9/202326每年按實際利率計算利息，則10年后10000元的未來值為：

F=P(1+i)n=10000(1+6.168%)10

=18194.34(元)即，此人10年后應歸還銀行18194.34元錢。連續(xù)復利(ContinuousMultipleInterest)按瞬時計息的方式稱為連續(xù)復利。這時在名義利率的時間單位內，計息次數有無限多次，即m→∞。根據求極限的方法可求得年實際利率。實際利率為:

求極限得：i=er

-1

1/10/202371每年按實際利率計算利息，則10年后10000元的未來值為：1例9：某人每年年初從銀行貸款40000元，連續(xù)貸款4年，4年后一次性歸還本和利。銀行約定計算利息的方式有以下三種：①年貸款利率為6%，每年計息一次；②年貸款利率為5.8%，每半年計息一次；③年貸款利率為5.5%，每季度計息一次。試計算三種還款方式4年后一次性還本付息額。該企業(yè)應選擇哪種貸款方式？解：第4年末的本利和為上式中的利率i應為實際利率。①實際利率為6%，則②實際利率為則

1/10/202372例9：某人每年年初從銀行貸款40000元，連續(xù)貸款4年，4年③實際利率為1/10/202373③實際利率為1/9/202329

下表給出了名義利率為12%分別按不同計息期計算的實際利率：復利周期年計息次數計息期利率年實際利率一年半年一季一月一周一天連續(xù)1241252365∞12.0000%6.0000%3.0000%1.0000%0.23077%0.0329%0.000012.0000%12.3600%12.5509%12.6825%12.7341%12.7475%12.7497%1/10/202374下表給出了名義利率為12%分別按不同計息期計算

例:某企業(yè)向銀行借款1000元,年利率為4%,如按季度計息,則第3年應償還本利和累計為()元。A.1125B.1120C.1127D.1172F=1000(F/P,1%,4×3)=1000(F/P,1%,12)=1127元答案:C

F=？1000

…

012312季度解:1/10/202375例:某企業(yè)向銀行借款1000元,年利率為4%,如第三節(jié)等值計算與應用等值概念：在時間價值的作用下，在不同時點絕對值不等的資金可能具有相等的價值。也是“價值等效”的資金。兩個現金流量等值，則其對任何時刻的時值必然相等，從資金時間價值計算公式可知：影響資金等值的因素有三個，金額的多少、資金發(fā)生的時間和利率。一般計算中以同一利率為依據。1/10/202376第三節(jié)等值計算與應用等值概念：在時間價值的作用下，在不同時點

從利息表上查到，當n=9，1.750落在6%和7%之間。6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839從用線性內插法可得

例：當利率為多大時，現在的300元等值于第9年年末的525元？解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750一、利用復利表計算未知利率、未知期數1/10/202377從利息表上查到，當n=9，1.750落在6%和

例：求等值狀況下的利率。假如有人目前借入2000元，在今后兩年中分24次等額償還，每次償還99.80元。復利按月計算。試求月有效利率、名義利率和年有效利率。解：現在99.80=2000（A/P，i,24）（A/P，i,24）=99.80/2000=0.0499查表，上列數值相當于i=1.5%。因為計息期是一個月，所以月有效利率為1.5%。名義利率：r=(每月1.5%）×（12個月）=18%年有效利率：