高三數(shù)學(xué)高考（理）總復(fù)習(xí)系列：2.6 冪函數(shù)蘇教

要點(diǎn)梳理1.冪函數(shù)的意義一般地,形如y=_________的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中

x是自變量,α為常數(shù).2.畫冪函數(shù)圖象的方法

(1)列表、描點(diǎn)、連線法.(2)先畫出冪函數(shù)在第一象限的圖象,再利用冪函數(shù)的性質(zhì)作出其余的圖象.§2.6

冪函數(shù)基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí).3.冪函數(shù)y=x,y=x3的圖象的研究用描點(diǎn)法畫出圖象..4.冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,的性質(zhì)y=xy=x2y=x3y=x-1定義域RRR［0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R［0,+∞)R［0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(-∞,0)減(0,+∞)增增增(-∞,0)減(0,+∞)減定點(diǎn)(0,0)(1,1)(1,1).5.冪函數(shù)的性質(zhì)

(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且圖象都通過點(diǎn)_____.(2)如果α＞0,則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+∞)上為_______.(3)如果α＜0，則冪函數(shù)圖象在區(qū)間(0,+∞)上為

_______.在第一象限內(nèi),當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無限地逼近y軸,當(dāng)x趨向于+∞時(shí),圖象在y軸上方無限地逼近x軸.(4)當(dāng)α為奇數(shù)時(shí),冪函數(shù)為______,當(dāng)α為偶數(shù)時(shí),

冪函數(shù)為______.(1,1)增函數(shù)減函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù).基礎(chǔ)自測1.下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是____.①y=xx;②

③④

解析由冪函數(shù)的定義可得.2.函數(shù)y=x-2的定義域是_________.

解析∵y=x-2=∴定義域?yàn)閧x|x≠0}.④{x|x≠0}.3.若冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則其定義域?yàn)?/p>

________________.

解析設(shè)f(x)=xα.∵圖象過點(diǎn),∴,即3-2=3α,∴α=-2,

即f(x)=x-2=,∴x2≠0,即x≠0,

其定義域?yàn)閧x|x∈R,且x≠0}.{x|x∈R,且x≠0}.4.若,則a的取值范圍是_______.

解析令f(x)=∴f(x)的定義域是{x|x>0},且在(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù),

故原不等式等價(jià)于.【例1】已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m為何值時(shí),

f(x)是:(1)冪函數(shù);(2)冪函數(shù),且是(0,+∞)上的增函數(shù);(3)正比例函數(shù);(4)反比例函數(shù);(5)二次函數(shù).

(1)(3)(4)(5)分別利用相應(yīng)函數(shù)的定義確定m的值;(2)中利用冪函數(shù)的性質(zhì)與冪指數(shù)之間的關(guān)系,確定m.典型例題深度剖析分析.解

(1)因?yàn)閒(x)是冪函數(shù),故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.(2)若f(x)是冪函數(shù)且又是(0,+∞)上的增函數(shù),則∴m=-1.(3)若f(x)是正比例函數(shù),則-5m-3=1,解得m=此時(shí)m2-m-1≠0,故m=.(4)若f(x)是反比例函數(shù),則-5m-3=-1,則m=,此時(shí)m2-m-1≠0,故m=(5)若f(x)是二次函數(shù),則-5m-3=2,即m=-1,此時(shí)m2-m-1≠0,故m=-1.綜上所述,當(dāng)m=2或m=-1時(shí),f(x)是冪函數(shù);當(dāng)m=-1時(shí),f(x)既是冪函數(shù),又是(0,+∞)上的增函數(shù);當(dāng)m=時(shí),f(x)是正比例函數(shù);當(dāng)m=時(shí),f(x)是反比例函數(shù);當(dāng)m=-1時(shí),f(x)是二次函數(shù)..跟蹤練習(xí)1

已知函數(shù)

，m

為何值時(shí),f(x)是(1)正比例函數(shù);(2)反比例函數(shù);(3)二次函數(shù);(4)冪函數(shù).

解

(1)若f(x)為正比例函數(shù),則

(2)若f(x)為反比例函數(shù),則

(3)若f(x)為二次函數(shù),則

(4)若f(x)為冪函數(shù),則m2+2m=1,.【例2】點(diǎn)(,2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(diǎn)在冪函數(shù)g(x)的圖象上,問當(dāng)x為何值時(shí),有f(x)＞

g(x),f(x)=g(x),f(x)＜g(x).

由冪函數(shù)的定義,求出f(x)與g(x)的解析式,

再利用圖象判斷即可.

解設(shè)f(x)=xα,則由題意得∴α=2,即f(x)=x2,再設(shè)g(x)=xβ,

則由題意得∴β=-2,即g(x)=x-2,分析.在同一坐標(biāo)系中作出f(x)與g(x)的圖象,如圖所示.由圖象可知:①當(dāng)x＞1或x＜-1時(shí),f(x)＞g(x);②當(dāng)x=±1時(shí),

f(x)=g(x);③當(dāng)-1＜x＜1且x≠0時(shí),f(x)＜g(x)..跟蹤練習(xí)2(2010·鹽城調(diào)研)指出函數(shù)f(x)=

的單調(diào)區(qū)間,并比較f(-π)與

f()的大小.

解

其圖象可由冪函數(shù)y=x-2向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到,該函數(shù)在(-2,+∞)上是減函數(shù),在(-∞,-2)上是增函數(shù),且其圖象關(guān)于直線x=-2對稱(如圖)..【例3】已知冪函數(shù)

(m∈Z)為偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)減函數(shù).(1)求函數(shù)f(x);(2)討論F(x)=的奇偶性.

根據(jù)奇偶性的定義求出m的值.

解

(1)∵f(x)是偶函數(shù),∴m2-2m-3應(yīng)為偶數(shù).

又∵f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),∴m2-2m-3<0,∴-1<m<3.

又m∈Z,∴m=0,1,2.分析.當(dāng)m=0或2時(shí),m2-2m-3=-3不是偶數(shù),舍去;當(dāng)m=1時(shí),m2-2m-3=-4;∴m=1,即f(x)=x-4.①當(dāng)a≠0,且b≠0時(shí),F(x)為非奇非偶函數(shù);②當(dāng)a=0,b≠0時(shí),F(x)為奇函數(shù);③當(dāng)a≠0,b=0時(shí),F(x)為偶函數(shù);④當(dāng)a=0,b=0時(shí),F(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)..跟蹤練習(xí)3

(2010·蘇州模擬)已知冪函數(shù)y=的圖象與x、y軸都無公共點(diǎn),且關(guān)于y軸對稱，求整數(shù)n的值并畫出該函數(shù)的草圖.

冪函數(shù)y=xα(α為整數(shù)時(shí)),圖象與x、y軸都無公共點(diǎn),且關(guān)于y軸對稱,則α≤0,且α為偶數(shù).

解∵函數(shù)圖象與x、y軸都無公共點(diǎn).∴n2-2n-3≤0,即-1≤n≤3.

又∵n為整數(shù),∴n∈{-1,0,1,2,3}.

又∵圖象關(guān)于y軸對稱,∴n2-2n-3為偶數(shù).分析.∴n=-1,1,3.當(dāng)n=-1和3時(shí),n2-2n-3=0,y=x0圖象如圖(1)所示;當(dāng)n=1時(shí),y=x-4,圖象如圖(2)所示.

圖(1)圖(2).【例4】(14分)已知冪函數(shù)f(x)=(m∈N*,m≥2)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,g(x)=(1)求f(x);(2)比較g(44)與g(45)的大小.

解題示范

解

(1)由于函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,

所以m2-m-3<0,解得[4分]

由于m∈N*,m≥2,所以只能取m=2,

這時(shí)f(x)=x-1(x≠0).[6分].(2)由(1)知

[10分]由于442=1936,452=2025,因此g(44)<1,g(45)>1,所以g(44)<g(45).[14分].跟蹤練習(xí)4

解答下列各題:(1)若2.4α>2.5α,求α的取值范圍;(2)若α-2>3-2,求α的取值范圍;(3)若,求m的取值范圍.

聯(lián)想冪函數(shù)的概念和性質(zhì)作轉(zhuǎn)化.

解

(1)2.4α和2.5α可視為冪函數(shù)y=xα的兩個(gè)函數(shù)值,由于2.5>2.4>0,且f(2.5)<f(2.4).

所以y=xα在(0,+∞)上是減函數(shù),因此應(yīng)有α<0.分析.(2)由α-2>3-2,得所以0<α2<32,由于冪函數(shù)y=x2是偶函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù),在(-∞,0)上是減函數(shù),又|α|2<32,∴0<|α|<3,解得-3<α<3,且α≠0.因此α的取值范圍是-3<α<0或0<α<3.(3)由于,所以有解得m的取值范圍是.高考中以填空題形式考查冪函數(shù)的圖象與性質(zhì),也有與函數(shù)性質(zhì)、二次函數(shù)、方程、不等式結(jié)合的綜合性較強(qiáng)的解答題.

1.冪函數(shù)y=xα(α∈R),其中α為常數(shù),其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量,指數(shù)α為常數(shù),這是判斷一個(gè)函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn).應(yīng)當(dāng)注思想方法感悟提高高考動(dòng)態(tài)展望方法規(guī)律總結(jié).

意并不是任意的一次函數(shù)、二次函數(shù)都是冪函數(shù),

如y=x+1,y=x2-2x等都不是冪函數(shù).2.在(0,1)上,冪函數(shù)中指數(shù)愈大,函數(shù)圖象愈靠近x軸

(簡記為“指大圖低”),在(1,+∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.3.冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會出現(xiàn)在第四象限內(nèi),至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi),要看函數(shù)的奇偶性;冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi);如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交,

則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)..4.冪函數(shù)的定義域的求法可分5種情況,即①α為零;②α為正整數(shù);③α為負(fù)整數(shù);④α為正分?jǐn)?shù);⑤α

為負(fù)分?jǐn)?shù).5.作冪函數(shù)的圖象要聯(lián)系函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等,只要作出冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象,然后根據(jù)它的奇偶性就可作出冪函數(shù)在定義域內(nèi)完整的圖象.6.利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)可處理比較大小、判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及在實(shí)際問題中的應(yīng)用等題型.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想和方法..一、填空題1.(2010·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2),則log2f(2)=____.

解析由已知得2=4α,定時(shí)檢測.2.(2009·江蘇靖江調(diào)研)設(shè)α∈{-2,,2},則使函數(shù)y=xα為偶函數(shù)的所有α的和為____.

解析符合題意的α為-2和2,則-2+2=0.3.(2009·山東臨沂模擬)已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,則a、b、c按從小到大的順序排列為______.

解析

由指數(shù)函數(shù)y=0.8x知,∵0.7<0.9,∴0.80.9<0.80.7<1,

即b<a,又c=1.20.8>1,∴b<a<c.b<a<c0.4.(2010·連云港模擬)冪函數(shù)y=(m2-m-1)·x-5m-3,

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)為減函數(shù),則實(shí)數(shù)m的值為___.

解析由題意知2.5.(2010·鹽城模擬)設(shè)函數(shù)若f(x0)>1,則x0的取值范圍是_________________.

解析

f(x0)>1,

當(dāng)x0≤0時(shí),

即-x0>1,∴x0<-1;

當(dāng)x0>0時(shí),∴x0>1.

綜上,x0∈(-∞,-1)∪(1,+∞).(-∞,-1)∪(1,+∞).6.(2010·西安調(diào)研)函數(shù)y=的定義域是

_________.

解析由題意知0.5x-8>0,

即()x>8,即2-x>23,∴-x>3,則x<-3.(-∞,-3).7.(2009·寶城第一次月考)若,

則a的取值范圍是_______________.

解析.8.(2009·南京二模)給出封閉函數(shù)的定義:若對于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x0，都有函數(shù)值f(x0)∈D,則稱函數(shù)y=f(x)在D上封閉.若定義域D=(0,1),

則函數(shù)①f1(x)=3x-1;②f2(x)=③f3(x)=1-x;④f4(x)=其中在D上封閉的是____(填序號即可)..解析

∴f1(x)在D上不封閉.∵f2(x)=在(0,1)上是減函數(shù),∴0=f2(1)<f2(x)<f2(0)=1,∴f2(x)適合.∵f3(x)=1-x在(0,1)上是減函數(shù),∴0=f3(1)<f3(x)<f3(0)=1,∴f3(x)適合.又∵f4(x)=在(0,1)上是增函數(shù),且0=f4(0)<f4(x)<f4(1)=1,∴f4(x)適合.答案

②③④.9.(2010·泉州模擬)已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函數(shù)圖象上的任意不同兩點(diǎn),給出以下結(jié)論:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);③④

其中正確結(jié)論的序號是______.

解析依題意,設(shè)f(x)=xα,

.由于函數(shù)f(x)=在定義域［0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x1<x2時(shí),必有f(x1)<f(x2),從而有x1f(x1)<x2f(x2),故②正確;又因?yàn)?/p>