高等數(shù)學-d31微分中值定理

第三章中值定理導數(shù)應用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導數(shù)解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第二節(jié))推廣微分中值定理與導數(shù)的應用一、羅爾(Rolle)定理第一節(jié)二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理微分中值定理

第三章費馬(fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理且存在證:則費馬證畢羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,則因此在(a,b)內(nèi)至少存在一點若M>

m,則M和m

中至少有一個與端點值不等,不妨設則至少存在一點使注意:1)定理條件不全具備,結(jié)論不一定成立.則由費馬引理得例如,使2)定理條件只是充分的.本定理可推廣為在(a,b)內(nèi)可導,且在(a,b)內(nèi)至少存在一點證明提示:

設證

F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理.3)羅爾定理常用來判別的零點。例1.

證明方程有且僅有一個小于1的正實根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設另有為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件,至少存在一點但矛盾,故假設不真!設例2.

設且在內(nèi)可導,證明至少存在一點使提示:由結(jié)論可知,只需證即驗證在上滿足羅爾定理條件.設求證存在使例設可導，且在連續(xù)，證:設輔助函數(shù)因此至少存在顯然在上滿足羅爾定理條件,即使得例設和在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且證明：存在使得證:令且在上連續(xù)，在內(nèi)可導，由題則由羅爾中值定理知存在使得即(09-10)二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結(jié)論成立.拉氏證畢拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論1:若函數(shù)在區(qū)間I

上滿足則在

I上必為常數(shù).令則在區(qū)間I

上每一點處則在

I上有這里C是一個確定的常數(shù).推論2:若函數(shù)與的導數(shù)都相等，與推論1:若函數(shù)在區(qū)間I

上滿足則在

I上必為常數(shù).證:

在

I

上任取兩點格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).例3.

證明等式證:

設由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經(jīng)驗:欲證時只需證在

I

上例4.

證明不等式證:

設中值定理條件,即因為故因此應有例5.

設不恒為常數(shù)的函數(shù)證:因為在[a,b]

上連續(xù)，在區(qū)間(a,b)

內(nèi)可導，且

f(a)=f(b)，試證在(a,b)

內(nèi)至少存在一點使得在[a,b]

上連續(xù)，取到最大、最小值，所以在[a,b]

上故至少二者之一不等于不恒為常數(shù)，f(a)，不妨設且在[a,c]

上滿足拉格朗日中值定理條件，至少存在一點使得故分別設為設證明對任意有證：例不妨設三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點使?jié)M足:問題轉(zhuǎn)化為證柯西構造輔助函數(shù)證:

作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:

柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結(jié)論.柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率例6.設至少存在一點使證:

問題轉(zhuǎn)化為證設則在[0,1]上滿足柯西中值定理條件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點

,使即證明例7.設至少存在一點使證:

設根據(jù)定理，則上滿足內(nèi)至少存在使即證明柯西中值定理條件,一點

,內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應用(1)證明恒等式(2)證明不等式關鍵:

利用逆向思維設輔助函數(shù)費馬引理作業(yè)習題三p1381(1),2,5,6,810(1),11(1),14,15,16(1)第二節(jié)例設和在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且證明：存在使得證:令且在上連續(xù)，在內(nèi)可導，由題則由Rolle中值定理知存在使得即(09-10)設函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導,且分析:

所給條件可寫為試證必存在想到找一點c,使證:

因f(x)在[0,3]上連續(xù),所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值M與最小值m,故由介值定理,至少存在一點由羅爾定理知,必存在例(08-09)例

設在內(nèi)可導,且證明至少存在一點使上連續(xù),在證:

問題轉(zhuǎn)化為證設輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理條件,故至使即有少存在一點(06-07)思考與練習1.

填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理條件,則中值2)設有個根,它們分別在區(qū)間上.方程2.

試證：且1)存在使得在[0,1]上連續(xù),使得2)設函數(shù)在(0,1)內(nèi)可導,證:1)令則在[0,1]上連續(xù),又由零值定理，使得即使得2)證:2)令且則由羅爾定理，使得即在從而上連續(xù),在內(nèi)可導,3.

若可導,試證在其兩個零點間一定有的零點.提示:設欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗證在上滿足羅爾定理條件.4.

思考:在即當時問是否可由此得出

不能!因為是依賴于x

的一個特殊的函數(shù).因此由上式得表示x

從右側(cè)以任意方式趨于0.應用拉格朗日中值定理得上對函數(shù)備用題求證存在使1.

設可導，且在連續(xù)，證:設輔助函數(shù)因此至少存在顯然在上滿足羅爾定理條件,即使得設證明對任意有證：2.不妨設3.

試證至少存在一點使證:

法1

用柯西中值定理.則f(x),g(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理條件,令因此即例7.

試證至少存在一點使法2令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在費馬(1601–1665)費馬法國數(shù)學家,他是一位律師,數(shù)學只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學上有許多重大貢獻.他特別愛好數(shù)論,他提出的費馬大定理:歷經(jīng)358年,直到1993年才由美國普林斯頓大學的安德魯.懷爾斯教授經(jīng)過十年的潛心研究才得到解決.引理是后人從他研究解決最值的方法中提煉出來的.拉格朗日(1736–1813)法國數(shù)學家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來,數(shù)學中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一.柯西(1789–1857)法國數(shù)學家,他對數(shù)學的貢