2021-2022學(xué)年山西省太原市愛(ài)物中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

2021-2022學(xué)年山西省太原市愛(ài)物中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.命題p：函數(shù)在[1，4]上的值域?yàn)?；命題．下列命題中，真命題的是(

)A．p∧q B．￢p∨q C．p∧￢q D．p∨q參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假；函數(shù)的值域．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)條件分別判斷兩個(gè)命題的真假即可得到結(jié)論．解：∵在[1，]上為減函數(shù)，在[，4]上為增函數(shù)，∴當(dāng)x=1時(shí)，y=1+2=3，當(dāng)x=4時(shí)，y=4+=，即最大值為，當(dāng)x=時(shí)，y=+=+=2，即最小值為2，故函數(shù)的值域?yàn)閇2，]，故命題p為假命題．若a＞0，則a+1＞a，則log（a+1）＜loga，故命題q為假命題，則￢p∨q為真命題．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)合函數(shù)命題的真假判斷，分別判斷命題p，q的真假是解決本題的關(guān)鍵．2.設(shè)集合，，則A∩B=（

）A.(－1,2) B.[－1,2) C.(－1,2] D.[－1,2]參考答案：A∵集合A=，解得x>-1，B={x|（x+1）（x﹣2）0且x}={x|﹣1x＜2}，則A∩B={x|＜x＜2}，故選：A．

3.如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形二維碼，為了測(cè)算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1089個(gè)點(diǎn)，其中落入白色部分的有484個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為(

)A.4 B.5 C.8 D.9參考答案：B【分析】由幾何概型中的隨機(jī)模擬試驗(yàn)可得：，將正方形面積代入運(yùn)算即可．【詳解】由題意在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1089個(gè)點(diǎn)，其中落入白色部分的有484個(gè)點(diǎn)，則其中落入黑色部分的有605個(gè)點(diǎn)，由隨機(jī)模擬試驗(yàn)可得：，又，可得，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型概率公式以及模擬實(shí)驗(yàn)的基本應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題，求不規(guī)則圖形的面積的主要方法就是利用模擬實(shí)驗(yàn)，列出未知面積與已知面積之間的方程求解.4.如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖．則由圖中的數(shù)據(jù)，可以估計(jì)樣本的平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)分別是A．12.5，12.5，12.5

B．13，

12.5，13

C．13，

13，

12.5

D．12.5，13，

13參考答案：B5.已知命題q：?x∈R，x2＞0，則（）A．命題￢q：?x∈R，x2≤0為假命題 B．命題￢q：?x∈R，x2≤0為真命題C．命題￢q：?x∈R，x2≤0為假命題 D．命題￢q：?x∈R，x2≤0為真命題參考答案：D【考點(diǎn)】2J：命題的否定．【分析】本題中的命題是一個(gè)全稱命題，其否定是特稱命題，依據(jù)全稱命題的否定書寫形式寫出命題的否定，再進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵命題q：?x∈R，x2＞0，∴命題￢q：?x∈R，x2≤0，為真命題．故選D．6.已知復(fù)數(shù)z滿足：zi=2+i（i是虛數(shù)單位），則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解：由足zi=2+i，得z==1﹣2i，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，﹣2），∴z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限．故選：D．7.拋物線C1：y=

x2(p＞0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p=A.

B.

C.

D.參考答案：D經(jīng)過(guò)第一象限的雙曲線的漸近線為。拋物線的焦點(diǎn)為,雙曲線的右焦點(diǎn)為.，所以在處的切線斜率為，即，所以，即三點(diǎn)，，共線，所以，即，選D.8.已知向量滿足，，則=A.

B.2

C.

D.10參考答案：C略9.下列命題中的真命題是(

)A.

B.＞

C.＜

D.＞參考答案：D10.如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是A． B． C． D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.2018年俄羅斯世界杯將至，本地球迷協(xié)會(huì)統(tǒng)計(jì)了協(xié)會(huì)內(nèi)180名男性球迷，60名女性球迷在觀察場(chǎng)所（家里、酒吧、球迷廣場(chǎng)）上的選擇，制作了如圖所示的條形圖，用分層抽樣的方法從中抽取48名球迷進(jìn)行調(diào)查，則其中選擇在酒吧觀賽的女球迷人數(shù)為_(kāi)________人．參考答案：總球迷是人，家里的女性球迷是人，球迷廣場(chǎng)女性人，所以在酒吧觀賽的女球迷是人，抽樣中，選擇在酒吧觀賽的女球迷人數(shù)為人．12.已知角構(gòu)成公差為的等差數(shù)列.若，則:=______參考答案：-2/3

略13.設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：14.已知雙曲線（a＞0）的離心率為2，則a的值為．參考答案：【分析】求得雙曲線的b2=2，由c=和e=，解關(guān)于a的方程，即可得到所求值．【解答】解：由雙曲線（a＞0）得到b2=2，則c=，所以=2，解得a=．故答案是：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用離心率公式和基本量a，b，c的關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．參考答案：（﹣7，3）【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；一元二次不等式的解法．【專題】壓軸題；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)得：f（|x+2|）=f（x+2），則f（x+2）＜5可變?yōu)閒（|x+2|）＜5，代入已知表達(dá)式可表示出不等式，先解出|x+2|的范圍，再求x范圍即可．【解答】解：因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（|x+2|）=f（x+2），則f（x+2）＜5可化為f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案為：（﹣7，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函數(shù)性質(zhì)把不等式具體化是解決本題的關(guān)鍵．16.拋物線及其在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線所圍成圖形的面積為

參考答案：17.已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M、N是該拋物線上的兩點(diǎn)，，則線段MN的中點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)_________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分）如圖1,在△ABC中，AB=BC=2,∠B=90°,D為BC邊上一點(diǎn)，以邊AC為對(duì)角線做平行四邊形ADCE，沿AC將△ACE折起，使得平面ACE⊥平面ABC,如圖2.

(1)在圖2中，設(shè)M為AC的中點(diǎn)，求證:BM丄AE；(2)在圖2中，當(dāng)DE最小時(shí)，求二面角A-DE-C的平面角.參考答案：（1）證明：∵在中，，∴當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，∵平面平面，平面，平面平面∴平面∵平面∴（2）如圖，分別以射線，的方向?yàn)?，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，，，∵，，平面平面∴∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，設(shè)，平面，則，即∴令，可得，，則有∴∴觀察可得二面角的平面角

19.已知全集，.（1）若，求（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍參考答案：解：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，即，得，此時(shí)有；當(dāng)時(shí)，由得：解得綜上有實(shí)數(shù)的取值范圍是

略20.（本題滿分12分）設(shè)函數(shù).（I）求證：；（II）記曲線處的切線為，若與軸、軸所圍成的三角形面積為S，求S的最大值.參考答案：

21.記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，已知．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，試問(wèn)：是否存在正整數(shù)n使得函數(shù)gn（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出所有n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（Ⅲ）若實(shí)數(shù)x0和m（m＞0，且m≠1）滿足：，試比較x0與m的大小，并加以證明．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）直接由列式求a的值；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，求出原函數(shù)的最值，根據(jù)最值分析函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（Ⅲ）求出，代入，解出x0，把x0與m作差后構(gòu)造輔助函數(shù)，求出輔助函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由輔助函數(shù)的單調(diào)性即可證明x0與m的差與0的大小關(guān)系，則結(jié)論得到證明．【解答】解：（Ⅰ），由，得a=1；（Ⅱ），，∵x＞0，令，得．當(dāng)x＞時(shí)，，gn（x）是增函數(shù)；當(dāng)0＜x＜時(shí)，，gn（x）是減函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，gn（x）有極小值，也是最小值，．當(dāng)x→0時(shí)，gn（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，（可取x=e，e2，e3，…體驗(yàn)），gn（x）→+∞．當(dāng)n≥3時(shí)，，函數(shù)gn（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)n=2時(shí)，，函數(shù)gn（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)n=1時(shí)，，函數(shù)gn（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，存在n=1使得函數(shù)gn（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．（Ⅲ），∵，∴．解得，則，當(dāng)m＞1時(shí)，（n+1）（mn﹣1）＞0，設(shè)h（x）=﹣xn+1+x（n+1）﹣n（x≥1），則h′（x）=﹣（n+1）xn+n+1=﹣（n+1）（xn﹣1）≤0（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），所以h（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，又因?yàn)閙＞1，所以h（m）＜h（1）=0，所以x0﹣m＜0，所以x0＜m．當(dāng)0＜m＜1時(shí)，（n+1）（mn﹣1）＜0，設(shè)h（x）=﹣xn+1+x（n+1）﹣n（0＜x≤1），則h′（x）=﹣（n+1）xn+n+1=﹣（n+1）（xn﹣1）≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），所以h（x）在（0，1]上是增函數(shù)，又因?yàn)?＜m＜1，所以h（m）＜h（1）=0，所以x0﹣m＞0，所以x0＞m．綜上所述，當(dāng)m＞1，x0＜m．當(dāng)0＜m＜1時(shí)，x0＞m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)在最大值最小值中的應(yīng)用，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了構(gòu)造函數(shù)法進(jìn)行不等式的大小比較，是有一定難度題目．22.已知函數(shù)f（x）=ex﹣，a，f（x）為實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在極值點(diǎn)，且極值大于ln4+2，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出答案，（2）設(shè)極值點(diǎn)為x0，則極值為f（x0）=﹣，多次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出a的取值范圍．【解答】解：（1）f（x）=ex﹣的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞），∴f′（x）=ex+，∵a＞0，∴f′（x）=ex+＞0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增，（2）由（1）可知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)a＜0時(shí)，∵f（x）在（0，+∞）上存在極值點(diǎn)，∴f′（x）=ex+=設(shè)g（x）=x2ex+a，則g′（x）=xex（2+x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）＞g（0）=a＜0