【高考數學專題】專題06 分類討論思想-解題模板-高中數學解題模板

分類討論的數學思想【考點綜述】分類討論是高中數學的一種重要思想方法，分類討論的過程是一個邏輯推理的過程：化整為零，各個擊破，再積零為整這也是從一般到特殊、再從特殊到般的過程，能培養(yǎng)學生思維的條理性和嚴密性.邏輯推理是高中數學的六大核心素養(yǎng)之一，指的是從一些事實和命題出發(fā)，依據規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).它主要包括兩類：從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.分類討論是指在解決一個問題時，若無法用同一種方法解決，則可以根據不同情況把問題分類，轉化成若干個小問題，再將這些小問題逐一解決，從而使原問題獲得解決.【解題方法思維導圖預覽】【解題方法】解題方法模板：所給的問題比較復雜，需要按照一定的標準進行分類討論使用情景：較復雜的數學問題解題模板：第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；第二步逐類進行討論，得出各類結果第三步歸納各類結論，得出結論.實際應用問題模板一：分段函數中的分類討論思想使用情景：分段函數分類討論解題模板：例1已知函數若，則實數的取值范圍為___.解題模板選擇：本題中所給的是一個由分段函數解不等式的問題，故選取實際應用問題模板一分段函數中的分類討論思想進行解答.解題模板應用：第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；題目中的函數為分段函數，需要對自變量按照函數的解析式分類討論：第二步逐類進行討論，得出各類結果令，即或，解得或，，或，或或或，解得或，第三步歸納各類結論，得出結論.故不等式的解集為：.【典型例題】1.設函數f(x)=若，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由于的范圍不確定，故應分和兩種情況求解.【詳解】當時，，由得，所以，可得：，當時，，由得，所以，即，即，綜上可知：或.故選：C【點睛】本題主要考查了分段函數，解不等式的關鍵是對的范圍討論，分情況解，屬于中檔題.2.已知函數，若，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分，兩種情況進行討論，結合絕對值不等式的求解以及對數函數的性質即可求出實數的取值范圍.【詳解】解：當時，，解得；當時，，解得；綜上所述，.故選:D.【點睛】本題考查了絕對值不等式的求解，考查了對數不等式的求解，考查了分類的思想.3.已知，設函數若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉化為在上恒成立．【詳解】∵，即，（1）當時，，當時，，故當時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當函數單增，當函數單減，故，所以．當時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【點睛】本題考查分段函數的最值問題，關鍵利用求導的方法研究函數的單調性，進行綜合分析．4.已知函數在上為增函數，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】若函數是R上的增函數，則，解得答案.【詳解】∵函數是R上的增函數，，∴，解得a∈，故選：C【點睛】本題考查的知識點是分段函數單調性的性質，首先保證每一段單增，再保證分段點處增，屬于中檔題.5.設函數，若，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對討論，分別求出兩段中的值，注意取舍.【詳解】當時，，解得：或（舍去），當時，，解得：舍去，綜上可得，實數的值為：故選：D【點睛】本題主要考查了分段函數，解題的關鍵是確定自變量的取值范圍.實際應用問題模板二：含參型分類討論使用情景：解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論.例2-A在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（2，3），及圓C：（x-a）2+（y+1）2=15+，若線段AB（包括端點A，B）在圓C的外部，則實數a的取值范圍是.解題模板選擇：本題中考查圓的方程的應用，需要對具體的參數進行分類討論，故選取實際應用問題模板二含參型分類討論進行解答.解題模板應用：第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；本題中a為參數，需要a的值進行分類討論，第二步逐類進行討論，得出各類結果（1）若a=0，符合題意.（2若a<0，圓心C（a，-1）在第三象限，此時只需要點A在圓C外即可（恒符合題意）.（3）若0<a<2，圓心C（a，-1）在第四象限，而且在線段AB的正下方，此時只需圓C的半徑r<4，解得.（4）若a≥2，圓心C（a，-1）在第四象限，此時只需點B在圓C外即可符合題意，解得.第三步歸納各類結論，得出結論.綜上，實數a的取值范圍是.【名師點睛】分類討論是解決含參問題的常用方法，如能運用數形結合思想、函數思想，便可簡化分類討論，達到迅速、準確的解題效果.例2-B解不等式（x-1）（x-k）<0.答案見解析解題模板選擇：本題中考查不等式的解法，需要對具體的參數進行分類討論，故選取實際應用問題模板二含參型分類討論進行解答.解題模板應用：第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；不等式中k為參數，需要對k進行分類討論.第二步逐類進行討論，得出各類結果當k>1時，則不等式的解為1<x<k；當k=1時，原不等式變?yōu)椋▁-1）2<0，不等式無解；當k<1時，則不等式的解為k<x<1.第三步歸納各類結論，得出結論.綜上可得：當k>1時，則不等式的解為1<x<k；當k=1時，原不等式無解；當k<1時，則不等式的解為k<x<1.【名師點睛】這種分類是根據不等式求解運算的適用范圍分類的.【典型例題】6.已知函數（1）解關于的不等式；（2）若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具體見解析.（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）將原不等式化為，分類討論可得不等式的解.（Ⅱ）若則；若，則參變分離后可得在恒成立，利用基本不等式可求的最小值，從而可得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）即，，（ⅰ）當時，不等式解集為；（ⅱ）當時，不等式解集為；（ⅲ）當時，不等式解集為，綜上所述，（?。┊敃r，不等式解集為；（ⅱ）當時，不等式解集為；（ⅲ）當時，不等式解集為.（Ⅱ）對任意的恒成立，即恒成立，即對任意的，恒成立.①時，不等式為恒成立，此時；②當時，，，，，當且僅當時，即，時取“”,.綜上.【點睛】含參數的一元二次不等式，其一般的解法是：先考慮對應的二次函數的開口方向，再考慮其判別式的符號，其次在判別式于零的條件下比較兩根的大小，最后根據不等號的方向和開口方向得到不等式的解．含參數的不等式的恒成立問題，優(yōu)先考慮參變分離，把恒成立問題轉化為不含參數的新函數的最值問題，后者可用函數的單調性或基本不等式來求.7.已知函數．(1)求函數在區(qū)間上的最大值；(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)當時,；當時,；(2).【解析】【分析】（1）分和兩種情況，討論函數的最大值；（2）時，恒成立的等價條件為，求出不等式組的解可確定的取值范圍．【詳解】(1)函數的圖象開口向上，對稱軸為，在區(qū)間上的最大值，分兩種情況：①（）時，根據圖象知，當時，函數取得最大值；②（）時，當時，函數取得最大值.所以，當時,；當時,.(2)恒成立，只需在區(qū)間上的最大值即可，所以，得，所以實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查含參數的二次函數在給定區(qū)間的最大值，分類討論是解決本題的關鍵；另外恒成立問題往往通過其等價條件來求解更簡單．8.已知關于的不等式的解集為R，求實數的取值范圍.【答案】【解析】【分析】按照兩種情況討論：①當時，可得符合；②當時，根據圖象的開口方向和判別式列式可解得結果.【詳解】根據題意，分兩種情況①當時，即或時，若，不等式變?yōu)?，成立，符合條件；若，不等式變?yōu)?，解集為，不符合題意.②當時，不等式為一元二次不等式，要使解集為R，則對應二次函數的圖象開口只能向上，且，即且，則或，且，所以或，且，即，綜上，實數的取值范圍.【點睛】本題考查了分類討論思想，考查了一元二次不等式恒成立問題，屬于基礎題.9.已知函數.(1)若對任意實數，恒成立，求實數的取值范圍；(2)解關于的不等式.【答案】(1);(2)詳見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）對討論，時不合題意；合題意；，利用判別式小于解不等式，求交集即可得到所求范圍；（2）先將不等式化為，再對參數的取值范圍進行討論，利用一元二次不等式的解法分別解不等式即可.試題解析：（1）當時，恒成立；當時，要使對任意實數，恒成立，需滿足，解得，故實數的取值范圍為.（2）由不等式得，即.方程的兩根是，.①當時，，不等式的解為或；②當時，不等式的解為；③當時，不等式的解為；④當時，，不等式無解；⑤當時，，不等式的解為綜上：①當時，不等式的解為或；②當時，不等式的解為；③當時，不等式的解為；④當時，，不等式解集為；⑤當時，不等式的解為【方法點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、分類討論思想，屬于難題.分類討論思想解決高中數學問題的一種重要思想方法，是中學數學四種重要的數學思想之一，尤其在解決含參數問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點.充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用與解題當中.10.對任意，函數的值恒大于零，求的取值范圍.【答案】不存在這樣的實數，使函數的值恒大于零.【解析】【分析】①當時，函數的值不恒大于零，舍去；②當時，根據一元二次函數的圖象與性質，列出不等式組，即可求解.【詳解】①當時，函數的值不恒大于零，不符合題意，舍去；②當時，要使得對任意，函數的值恒大于零，則滿足，即，此不等式組無解，故.綜上知，不存在這樣的實數，使函數的值恒大于零.【點睛】本題主要考查了一元二次函數的圖象與性質的應用，以及一元二次不等式的求解，著重考查分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題.實際應用問題模板三：按性質型分類討論使用情景：結合數列或函數的性質需要進行分類討論解題模板：例3已知數列的前n項和，則等于（）A.40B.44C.45D.49B解題模板選擇：本題中數列的通項公式的確定與n相關，需要分類討論n=1和n≥2兩種情況，故選取實際應用問題模板三按性質型分類討論進行解答.解題模板應用：第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；由前n項和確定數列的通項公式需要對n進行分類討論：第二步逐類進行討論，得出各類結果當n=1時，a1=0；當n≥2時，，而n=1時，2n-1=2×1-1=1≠0，所以，第三步歸納各類結論，得出結論.所以=0+5+9+13+17=44，故選：B.【典型例題】11.在數列中，，則通項公式________．【答案】【解析】【分析】首先利用得出時的通項公式，把代入此通項公式檢驗也滿足，從而得到數列的通項公式.【詳解】當時，，當時，，時，上式也成立，∴，故答案為：.【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，熟練掌握數列的遞推式是解本題的關鍵，屬于基礎題．12.設數列的前n項和滿足，且，則_____．【答案】【解析】【分析】由，兩本同除以，可構造是等差數列，由此可求出，再利用，即可求得【詳解】由，得是以為首相，1為公差的等差數列，，，當時，，故答案為：【點睛】本題主要考查了由數列的遞推關系式，求數列的通項公式，是常考題型，屬于中檔題.13.已知數列{an}的前n項和Sn＝n2+n+2，則a1+a3+a5+a7＝_____．【答案】34【解析】【分析】根據關系求得，即可賦值得到結果.【詳解】因為，當時，；當時，.又當不滿足上式，故可得.則.故答案為：.【點睛】本題考查利用求，注意分類討論，屬基礎題.14.設正數數列的前n項和為，數列的前n項之積為，且，則數列的通項公式是________________.【答案】【解析】【分析】令可得，利用的定義，，可得的遞推關系，從而得是等差數列，求出后可得，從而可得．【詳解】，∴，，即，，∴，∴，即是以2為首項，1為公差的等差數列，故，，，也符合此式，，∴當時，，又，∴，故答案為：.【點睛】本題考查求數列的通項公式，解題中注意數列的和、數列的積與項的關系，進行相應的轉化．如對積有，對和有，另外這種關系中常常不包括的情形，需討論以確定是否一致．15.已知數列{an}的前n項和Sn＝n2+n，則an＝_____．【答案】2n【解析】【分析】根據數列的通項與前n項和的關系求解即可.【詳解】由題,當時,,當時,.當時也滿足.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了根據數列的通項與前n項和的關系求通項公式的方法,屬于基礎題.實際應用問題模板四：不確定型分類討論使用情景：對于一些不確定型的問題，需要進行分類討論.解題模板：例4設數列滿足：（n=1，2，…，20），成等比數列.若.則滿足條件的不同數列的個數為.15099解題模板選擇：本題中數列的問題需要確定1和-1的個數，不能確定類型，故選取實際應用問題模板四不確定型分類討論進行解答.解題模板應用：第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；因為成等比數列.所以，a7=±3.則需要對進行分類討論.第二步逐類進行討論，得出各類結果當時，注意到，故這6個差中必