第4章-根軌跡分析法(王恒迪)模板

第四章控制系統(tǒng)的根軌跡分析法4.1根軌跡的基本概念4.2繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則4.3開環(huán)零、極點(diǎn)對根軌跡的影響4.4參量根軌跡4.5系統(tǒng)性能的根軌跡分析4.1根軌跡的基本概念一、問題的提出由前一章時域分析可知：自動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全由閉環(huán)特征方程的根（閉環(huán)極點(diǎn)）決定。而系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的性能則取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)的分布。因此只要能求得系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點(diǎn)，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能就可以確定。但是在高階系統(tǒng)中，求解根是一件很困難的事，計算的復(fù)雜性限制了時域分析法在三階以上控制系統(tǒng)中的應(yīng)用。

1948年伊文思（W.R.Evans）根據(jù)反饋系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，提出了求解特征方程根的圖解方法——根軌跡法。根軌跡法是分析、設(shè)計線性定常系統(tǒng)的一種圖解方法。二、根軌跡的概念

定義：根軌跡是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某個參數(shù)（如開環(huán)傳遞系數(shù)Kg）從零變到無窮時，閉環(huán)特征根在s平面上變化的軌跡。即借助開環(huán)的z、p點(diǎn)分布繪制閉環(huán)p點(diǎn)隨參數(shù)變化的軌跡。例已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，請繪出時的根軌跡。R(s)—Y(s)注意：在本章中采用傳遞函數(shù)的z、p點(diǎn)表達(dá)式，而在其他章節(jié)中采用傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達(dá)式。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為Kg01/2123∞s10-0.29-1-1+j-1+1.4j-1+j∞s2-2-1.7-1-1-j-1-1.4j-1-j∞開環(huán)極點(diǎn)是0和-2。Kg為開環(huán)傳遞系數(shù)，或稱為根軌跡增益此圖即為根軌跡，可見Kg：0→∞變化時，閉環(huán)根變化形成兩條曲線，曲線的起點(diǎn)正好為開環(huán)的極點(diǎn)。根軌跡表明了系統(tǒng)參數(shù)對閉環(huán)極點(diǎn)分布的影響，可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)性能與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。（1）穩(wěn)定性開環(huán)傳遞系數(shù)Kg從零變到無窮時，根軌跡不會越過虛軸進(jìn)入右半s平面，因此系統(tǒng)對所有的Kg值都是穩(wěn)定的。（2）穩(wěn)態(tài)特性開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個極點(diǎn)，所以屬于1型系統(tǒng)。而開環(huán)傳遞系數(shù)Kg與開環(huán)增益K有關(guān)系。如果給定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的允許范圍。Kg01/2123∞s10-0.29-1-1+j-1+1.4j-1+j∞s2-2-1.7-1-1-j-1-1.4j-1-j∞（3）動態(tài)特性由圖中可見，當(dāng)0<Kg<1時，所有閉環(huán)極點(diǎn)都位于實(shí)軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為單調(diào)上升過程；當(dāng)Kg=1時，閉環(huán)兩個實(shí)數(shù)極點(diǎn)相重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍仍為單調(diào)上升過程，但響應(yīng)速度較0<Kg<1的情況快；當(dāng)Kg>1時，閉環(huán)極點(diǎn)為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響為阻尼振蕩過程，且超調(diào)量將會隨Kg值的增大而加大。Kg01/2123∞s10-0.29-1-1+j-1+1.4j-1+j∞s2-2-1.7-1-1-j-1-1.4j-1-j∞一般而言，繪制根軌跡時的可變參量可以是系統(tǒng)的任意參量。但最常用的可變參量是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Kg（也稱為根軌跡增益）。

Kg——常規(guī)根軌跡

Kg以外的參數(shù)——參量根軌跡/廣義根軌跡以上二階系統(tǒng)的根軌跡可以用解析法來求得，但對于高階系統(tǒng)來說，解析法就不適用了，工程上常采用圖解的方法來繪制近似的根軌跡。R(s)—Y(s)4.2繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則本節(jié)重點(diǎn)：掌握根軌跡的繪制方法本節(jié)難點(diǎn)：根軌跡的出射角和入射角，根軌跡和虛軸的交點(diǎn)

一、根軌跡的幅值條件和相角條件一般閉環(huán)系統(tǒng)的框圖如圖所示，其特征方程為特征方程的解就是閉環(huán)極點(diǎn)，即滿足特征方程的點(diǎn)就是極點(diǎn)，或者說根軌跡上的點(diǎn)均滿足特征方程。由上述方程可得開環(huán)傳遞函數(shù)將等式兩邊看做s平面的矢量，幅值和相角分別相等，則在s平面上的任一點(diǎn)，凡能滿足以上幅值和相角條件的，就是系統(tǒng)特征方程的根，就必定在根軌跡上。開環(huán)傳遞函數(shù)通常又可以寫為其中：Kg——開環(huán)傳遞函數(shù)

zj、pi——開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)根據(jù)幅值條件和相角條件有其中：

∠(s-

zj

)——開環(huán)零點(diǎn)zj

到復(fù)平面上s點(diǎn)的矢量角

∠(s-

pj

)——開環(huán)極點(diǎn)pi到復(fù)平面上s點(diǎn)的矢量角在測量相角時，規(guī)定以逆時針方向?yàn)檎＠阎到y(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，設(shè)s1為該閉環(huán)系統(tǒng)的一個極點(diǎn)各相角必滿足相角條件再按幅值條件求得s1點(diǎn)對應(yīng)的根軌跡傳遞系數(shù)

相角條件只與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)；而幅值條件不但與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益Kg有關(guān)。

相角條件是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充要條件。在實(shí)際應(yīng)用中，用相角條件繪制根軌跡，而幅值條件主要用來確定已知根軌跡上某一點(diǎn)的Kg值。相角條件幅值條件二、根軌跡繪制規(guī)則根據(jù)幅值條件和相角條件推證出的繪制規(guī)則，可快速地求出根軌跡的大致圖形。1.根軌跡的連續(xù)性系統(tǒng)特征方程是開環(huán)根軌跡增益Kg的函數(shù)，當(dāng)Kg從０→∞連續(xù)變化時，根軌跡在s平面上一定是連續(xù)變化的。2.

根軌跡的對稱性閉環(huán)系統(tǒng)的特征根可以是實(shí)數(shù)根（在實(shí)軸上）或復(fù)數(shù)根，而復(fù)數(shù)根又必然是成對出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)，所以這些根必然對稱于實(shí)軸。3.根軌跡的條數(shù)

ｎ階系統(tǒng)有ｎ個根，且均為Kg的函數(shù)。當(dāng)Kg從０→∞變化時，每一個根也連續(xù)移動，形成一條根軌跡，ｎ個根也就形成ｎ條根軌跡。因此根軌跡的條數(shù)=閉環(huán)特征方程根的數(shù)目=特征方程的階次（=開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n中的較大者，一般n≥m）。4.根軌跡的起點(diǎn)（Kg=0）和終點(diǎn)（Kg

→∞）

根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)目m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目n，則有n-m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處（又稱為無窮零點(diǎn)或無限零點(diǎn)）。由幅值條件可知Kg=0對應(yīng)根軌跡的起點(diǎn)，由上式可知Kg=0時，只有s→pi(i=1，2，…，n)時等式才成立，即根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)。Kg→∞對應(yīng)根軌跡的終點(diǎn)，同樣Kg→∞時，只有s→zj(j=1，2，…，m)時等式才成立，即根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)。當(dāng)n>m時，上式分子分母同除以sn，有Kg→∞對應(yīng)根軌跡的終點(diǎn)，也應(yīng)該→0，即(n-m)個s趨向無窮遠(yuǎn)處。5.實(shí)軸上的根軌跡在s平面實(shí)軸上存在根軌跡的條件是：其右邊開環(huán)實(shí)零點(diǎn)+開環(huán)實(shí)極點(diǎn)為奇數(shù)。共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)z1、z2到s1的相角之和為０°，相互抵消，因此開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)對實(shí)軸上根軌跡的判斷沒有影響，僅取決于實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)。s1點(diǎn)左側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)至s1點(diǎn)的相角為０°,而右側(cè)開環(huán)零、極點(diǎn)至s1點(diǎn)的相角為180°。欲滿足相角條件，s1右邊開環(huán)實(shí)零點(diǎn)+開環(huán)實(shí)極點(diǎn)必為奇數(shù)。逆時針方向?yàn)檎?，順時針為負(fù)例系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，求s平面實(shí)軸上存在根軌跡的區(qū)間。右邊開環(huán)實(shí)零點(diǎn)+開環(huán)實(shí)極點(diǎn)必為奇數(shù)。[-0.5,0]右側(cè)2個極點(diǎn)，不是根軌跡區(qū)間；[-1,-0.5]右側(cè)3個極點(diǎn)，是根軌跡區(qū)間；[-5,-1]右側(cè)4個極點(diǎn)，不是根軌跡區(qū)間；[-20,-5]右側(cè)5個極點(diǎn)，是根軌跡區(qū)間；(-∞,-20]右側(cè)6個極點(diǎn)，不是根軌跡區(qū)間。[-1,-0.5]∪[-20,-5]6.分離點(diǎn)和會合點(diǎn)若干條根軌跡在s平面相遇后又分開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)或會合點(diǎn)。計算分離點(diǎn)和會合點(diǎn)的依據(jù)（2種方法）：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)jωσ

以上兩種方法求出的方程式一致的，均為必要條件，即求出的s值是否是真正的分離點(diǎn)還需驗(yàn)證（2種方法）：1）、將求出的s值代入原方程，只有，才是真正的分離點(diǎn)或會合點(diǎn)。2）、看看求出的s值是否在實(shí)軸的根軌跡區(qū)間內(nèi)。分離點(diǎn)會合點(diǎn)例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請求出根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)。解：系統(tǒng)有一個開環(huán)零點(diǎn)為-1，有兩個開環(huán)極點(diǎn)分別為-0.1和-0.5。根軌跡在實(shí)軸上的分布區(qū)間為[-0.5，-0.1]和(∞

，-1]。求根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)：S2=-0.33Kg2=0.06S1=-1.67Kg1=2.74求對應(yīng)分離點(diǎn)、會合點(diǎn)的Kg：或：求出的兩個分離點(diǎn)均在實(shí)軸的根軌跡區(qū)間內(nèi)，所以s1和s2均是系統(tǒng)的分離點(diǎn)。jωσ例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請求出根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)。解：根軌跡在實(shí)軸上的分布區(qū)間為[-1，0]和(∞

，-2]。求根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)：或：求出的s1在實(shí)軸的根軌跡區(qū)間內(nèi)，s2不實(shí)軸的根軌跡區(qū)間內(nèi)，所以s1是系統(tǒng)的分離點(diǎn)，s2不是，舍棄。分離點(diǎn)或會合點(diǎn)必然是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，常見的分離點(diǎn)或會合點(diǎn)位于實(shí)軸上。一般情況下：實(shí)軸上的兩個開環(huán)極點(diǎn)之間若存在根軌跡，則這兩個極點(diǎn)之間存在一個分離點(diǎn)；實(shí)軸上的兩個有限開環(huán)零點(diǎn)之間若存在根軌跡，則這兩個零點(diǎn)會有之間存在一個會合點(diǎn)；實(shí)軸上的一個開環(huán)零點(diǎn)與一個開環(huán)極點(diǎn)之間的根軌跡一般既沒有分離點(diǎn)也沒有會合點(diǎn)，特殊情況下兩者同時存在。jωσ7.根軌跡的漸近線（1）若根軌跡中有n－m條趨向無窮遠(yuǎn)處，則這些根軌跡存在漸近線，漸近線的傾角為計算時，k的取值到獲得n－m個傾角即可。（2）n－m條漸近線與實(shí)軸交于一點(diǎn)（σa，j0）。例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請求出根軌跡的漸近線。解：系統(tǒng)沒有開環(huán)零點(diǎn)，有三個開環(huán)極點(diǎn)分別為0，-2和-4。8.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)方法一：根軌跡與虛軸相交時，實(shí)部為0，即s=σ+jω=jω，將s=jω代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，可求出ω和kg的值。例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為:將s=jω代入特征方程上式中實(shí)部和虛部均為0，可解得方法二：利用勞斯判據(jù)，當(dāng)根軌跡與虛軸相交時，表示系統(tǒng)存在純虛根，處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，利用勞斯判據(jù)的特例，即勞斯表第一列某個元素等于0。列勞斯表=0

Kg=6

用勞斯表s2行的系數(shù)可以構(gòu)成輔助方程9.根軌跡的出射角（起始角）與入射角（終止角）出射角：根軌跡離開開環(huán)極點(diǎn)處的切線方向與正實(shí)軸之間的夾角。入射角：根軌跡進(jìn)入開環(huán)零點(diǎn)處的切線方向與正實(shí)軸之間的夾角。出射角：系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖所示，黑線為從極點(diǎn)p1出發(fā)的根軌跡?？拷黳1取根軌跡上一點(diǎn)s0。討論相角條件∠(s0-p1)∠(s0-z2)∠(s0-z1)∠(s0-p2)∠(s0-p3)出射角：根據(jù)相角條件，有當(dāng)s0向p1無限趨近時p1的出射角各開環(huán)零極點(diǎn)到p1的矢量角取-π某一開環(huán)極點(diǎn)的出射角=π+(所有開環(huán)零點(diǎn)到被測開環(huán)極點(diǎn)矢量的相角之和)－(其他開環(huán)極點(diǎn)到被測開環(huán)極點(diǎn)矢量的相角之和)∠(s0-p1)∠(s0-z2)∠(s0-z1)∠(s0-p2)∠(s0-p3)入射角：黑線為進(jìn)入零點(diǎn)z1的根軌跡?？拷鼁1取根軌跡上一點(diǎn)s0。討論相角條件∠(s0-p1)∠(s0-z2)∠(s0-z1)∠(s0-p2)∠(s0-p3)∠(s0-p1)∠(s0-z2)∠(s0-z1)∠(s0-p2)∠(s0-p3)相角條件z1的入射角取π各開環(huán)零極點(diǎn)到z1的矢量角當(dāng)s0向z1無限趨近時某一開環(huán)零點(diǎn)的入射角=π+(所有開環(huán)極點(diǎn)到被測開環(huán)零點(diǎn)矢量的相角之和)－(其他開環(huán)零點(diǎn)到被測開環(huán)零點(diǎn)矢量的相角之和)10.閉環(huán)極點(diǎn)之和若系統(tǒng)有n個開環(huán)極點(diǎn)，m個開環(huán)零點(diǎn)，當(dāng)滿足(n-m)2時，閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和。即此時若有一些根軌跡分支向左移動，則一定會有另外一些根軌跡分支向右移動。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。例單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制Kg從0→∞變化時的根軌跡。解：系統(tǒng)沒有開環(huán)零點(diǎn)，有三個開環(huán)極點(diǎn)分別為0，-1和-4。所以根軌跡有三條，起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于無窮遠(yuǎn)處。實(shí)軸上的根軌跡：其右邊開環(huán)實(shí)零點(diǎn)+開環(huán)實(shí)極點(diǎn)為奇數(shù)。根軌跡在實(shí)軸上的分布區(qū)間為[-0.5，-0.1]和(-∞，-1]。分離點(diǎn)：-0.47-2.87分離點(diǎn)：-0.47求出的s1在實(shí)軸的根軌跡區(qū)間內(nèi)，s2不實(shí)軸的根軌跡區(qū)間內(nèi)，所以s1是系統(tǒng)的分離點(diǎn)，s2不是，舍棄。-2.873條趨向無窮遠(yuǎn)處根軌跡的漸近線（1）傾角（2）與實(shí)軸交點(diǎn)-1.67根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：將s=jω代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為:將s=jω代入特征方程上式中實(shí)部和虛部均為0，可解得-0.47-1.67=0

Kg=20

用勞斯表s2行的系數(shù)可以構(gòu)成輔助方程列勞斯表根軌跡的出射角與入射角

某一開環(huán)極點(diǎn)的出射角=π+(所有開環(huán)零點(diǎn)到被測開環(huán)極點(diǎn)矢量的相角之和)－(其他開環(huán)極點(diǎn)到被測開環(huán)極點(diǎn)矢量的相角之和)

某一開環(huán)零點(diǎn)的入射角=π+(所有開環(huán)極點(diǎn)到被測開環(huán)零點(diǎn)矢量的相角之和)－(其他開環(huán)零點(diǎn)到被測開環(huán)零點(diǎn)矢量的相角之和)p1p2p3根軌跡1、坐標(biāo)不要忘記標(biāo)注；2、關(guān)鍵點(diǎn)（零極點(diǎn)、分離點(diǎn)、與虛軸交點(diǎn)、漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)）坐標(biāo)和數(shù)值需要標(biāo)注；3、根軌跡上應(yīng)注明箭頭，表示Kg增加時根軌跡的變化趨勢。例單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制Kg從0→∞變化時的根軌跡。解：系統(tǒng)有一個開環(huán)零點(diǎn)-6，有兩個開環(huán)極點(diǎn)分別為0和-4。所以根軌跡有兩條，起始于開環(huán)極點(diǎn)，分別終止于開環(huán)零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)處。實(shí)軸上的根軌跡：其右邊開環(huán)實(shí)零點(diǎn)+開環(huán)實(shí)極點(diǎn)為奇數(shù)。根軌跡在實(shí)軸上的分布區(qū)間為[-4，0]和(-∞，-6]。分離點(diǎn)：-2.54-9.46分離點(diǎn)：求出的兩個分離點(diǎn)均在實(shí)軸的根軌跡區(qū)間內(nèi)，所以s1和s2均是系統(tǒng)的分離點(diǎn)。1條趨向無窮遠(yuǎn)處根軌跡的漸近線（1）傾角（2）與實(shí)軸交點(diǎn)-2.54-9.46根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：將s=jω代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為:將s=jω代入特征方程上式中實(shí)部=0，且kg>0，ω2>0，∴kg=0，ω=0。=0

列勞斯表根軌跡的出射角與入射角

某一開環(huán)極點(diǎn)的出射角=π+(所有開環(huán)零點(diǎn)到被測開環(huán)極點(diǎn)矢量的相角之和)－(其他開環(huán)極點(diǎn)到被測開環(huán)極點(diǎn)矢量的相角之和)

某一開環(huán)零點(diǎn)的入射角=π+(所有開環(huán)極點(diǎn)到被測開環(huán)零點(diǎn)矢量的相角之和)－(其他開環(huán)零點(diǎn)到被測開環(huán)零點(diǎn)矢量的相角之和)p1p2z1下面考察根軌跡復(fù)數(shù)部分的形狀，由相角條件可知根軌跡上一點(diǎn)s滿足由于是在復(fù)平面，令s=σ+jω，代入上述方程對上式兩端的角度值取正切運(yùn)算，因?yàn)橛屑磸?fù)數(shù)部分是一個圓，圓心坐標(biāo)(-6,j0)，半徑3.46?？梢宰C明：帶開環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的根軌跡復(fù)數(shù)部分是一個圓，圓心在開環(huán)零點(diǎn)處，半徑為開環(huán)零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離。根軌跡1、坐標(biāo)不要忘記標(biāo)注；2、關(guān)鍵點(diǎn)（零極點(diǎn)、分離點(diǎn)、與虛軸交點(diǎn)、漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)）坐標(biāo)和數(shù)值需要標(biāo)注；3、根軌跡上應(yīng)注明箭頭，表示Kg增加時根軌跡的變化趨勢。4.3開環(huán)零、極點(diǎn)對根軌跡的影響增加開環(huán)零點(diǎn)對根軌跡的影響一般可使根軌跡向s左半平面彎曲或移動，增強(qiáng)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，增大系統(tǒng)的阻尼；改變漸近線的傾角，減少漸近線的條數(shù)。增加開環(huán)極點(diǎn)對根軌跡的影響一般可使根軌跡向s右半平面彎曲或移動，降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，減小系統(tǒng)的阻尼；改變漸近線的傾角，增加漸近線的條數(shù)。R(s)Y(s)_R(s)Y(s)_可見引入適當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)能使不穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定。R(s)Y(s)_R(s)Y(s)_引入的零點(diǎn)一定要適當(dāng)，例如將剛才引入的一階微分環(huán)節(jié)2s+1換成0.1s+1并不能改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4.4參量根軌跡前面討論的根軌跡都是以開環(huán)增益Kg作為參變量的，這種根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。有時需繪制除Kg以外的其它參數(shù)變化時閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。此時稱作參量根軌跡。一般系統(tǒng)參量根軌跡的繪制步驟可歸納如下：（1）求出原系統(tǒng)的特征方程；（2）以特征方程中不含該參量的各項(xiàng)除以特征方程，得到等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。（3）根據(jù)上一節(jié)介紹的根軌跡繪制規(guī)則，繪制等效的根軌跡，即為參量根軌跡。系統(tǒng)特征方程如下式所示：以所選可變參量α代替Kg的位置等效開環(huán)傳遞函數(shù)為例已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示，試畫出其參量根軌跡。解：（1）求系統(tǒng)特征方程

（2）兩邊同除以R(s)_Y(s)對比前面提到的和

系統(tǒng)有一個開環(huán)零點(diǎn)0，兩個開環(huán)極點(diǎn)±2j。所以根軌跡有兩條，起始于開環(huán)極點(diǎn)，分別終止于開環(huán)零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)處。實(shí)軸上的根軌跡：其右邊開環(huán)實(shí)零點(diǎn)+開環(huán)實(shí)極點(diǎn)為奇數(shù)。根軌跡在實(shí)軸上的分布區(qū)間為(-∞，0]。分離點(diǎn)：

-2

2求出的s1在實(shí)軸的根軌跡區(qū)間內(nèi)，s2不實(shí)軸的根軌跡區(qū)間內(nèi)，所以s1是系統(tǒng)的分離點(diǎn)，s2不是，舍棄。1條趨向無窮遠(yuǎn)處根軌跡的漸近線（1）傾角（2）與實(shí)軸交點(diǎn)

-2根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：將s=jω代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為將s=jω代入特征方程上式中實(shí)部=0，即ω=±2；虛部=0，即a=0。即與虛軸交點(diǎn)就是根軌跡的起點(diǎn)。根軌跡的出射角與入射角帶開環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的根軌跡復(fù)數(shù)部分是一個圓，圓心在開環(huán)零點(diǎn)處，半徑為開環(huán)零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離。p1p2z1根軌跡R(s)_Y(s)4.5

系統(tǒng)性能的根軌跡分析

前面曾經(jīng)對該問題進(jìn)行過簡單的闡述。（1）穩(wěn)定性：由根軌跡的形狀可知參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，即根軌跡必須位于s平面的左半平面。Kg若>20，則系統(tǒng)就不穩(wěn)定。如果要求系統(tǒng)具有藍(lán)色線的穩(wěn)定裕度，則可見Kg的取值范圍要進(jìn)一步縮小。（2）穩(wěn)態(tài)性能：由根軌跡及其幅值條件和相角條件可以分別求出系統(tǒng)型次ν（若有根軌跡起始于s平面的原點(diǎn)，即表示系統(tǒng)有開環(huán)極點(diǎn)=0，即可能是1型或以上型次）和開環(huán)增益Kg

（知道根軌跡上某一點(diǎn)坐標(biāo)后，可根據(jù)幅值條件求出對應(yīng)的Kg

值，繼而獲得開環(huán)傳遞系數(shù)K的值），結(jié)合輸入信號的形式和前面講過的表即可估算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（3）動態(tài)性能

以欠阻尼狀態(tài)的典型二階系統(tǒng)為例，考慮阻尼比ζ變化時(0→∞)的情況。此時為參量根軌跡。從坐標(biāo)原點(diǎn)引出等阻尼線，與負(fù)實(shí)軸夾角為θ，則cosθ=ζ，由第三章知識可知，系統(tǒng)的超調(diào)量僅與ζ有關(guān)：

欲降低σ%→增大ζ→增大cosθ→減小θ。

ζ=0.707時稱為最佳阻尼比，可知此時θ=45°，因此若想獲得最佳阻尼比，則共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)應(yīng)位于等ζ線與負(fù)實(shí)軸夾角45°附近。欲縮短ts→增大ζωn→―ζωn↓根軌跡中閉環(huán)極點(diǎn)分布與動態(tài)性能的關(guān)系：jωσ21極點(diǎn)坐標(biāo)系統(tǒng)參數(shù)動態(tài)性能1↑↑—↑—↓2↑↓↑—↓↓主導(dǎo)極點(diǎn)對系統(tǒng)性能進(jìn)行估計時，可將-4的極點(diǎn)忽略掉，此時即可按照剛才介紹的方法近似分析。即保留一對共軛極點(diǎn)作為主導(dǎo)極點(diǎn)。例單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，Kg取何值時系統(tǒng)對單位階躍的響應(yīng)存在振蕩？Kg取何值時振蕩最大？解：由題意知此為二階系統(tǒng)，因此系統(tǒng)對單位階躍的響應(yīng)存在振蕩時必有共軛根。繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖，Kg的取值必須使根在s平面的圓上，即界于兩個分離點(diǎn)之間。0-2-4-6.83-1.17s1s2因此系統(tǒng)對單位階躍的響應(yīng)存在振蕩時，Kg須在3.34和11.66之間。利用幅值條件0-2-4-6.83-1.17s1s2

Kg取何值時振蕩最大？

振蕩最大時，阻尼比ζ=cosθ最小，或阻尼角θ最大，因此可從原點(diǎn)引等阻尼線與圓相切，切點(diǎn)為A。此時阻尼角最大，由圖示三角形可知，此時θ=45°。0-2-4-6.83-1.172.83AXY求切點(diǎn)A的坐標(biāo)：引出線AX和AY，很容易得到AX=AY=OA×cos45°=2。即振蕩最大時，

Kg的取值應(yīng)使共軛根=-2±2j。利用幅值條件0-2-4-6.83-1.172.83AXY-2+2j即Kg=2時系統(tǒng)的振蕩最大第四章小結(jié):

根軌跡的定義根軌跡的基本概念根軌跡方程幅角條件相角條件常規(guī)根軌跡的繪制原則根軌跡的繪制方法參量根軌跡（等效開環(huán)傳遞函數(shù)）開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)分布對系統(tǒng)性能的影響根據(jù)根軌跡分析系統(tǒng)性能穩(wěn)定性性能分析穩(wěn)態(tài)性能動態(tài)性能根軌跡第七節(jié)MATLAB在根軌跡中的應(yīng)用自動控制理論繪制控制系統(tǒng)的根軌跡圖繪制根軌跡的常用命令為rlocus(num,den)或rlocus(num,den,K)。如果K的范圍給定，則MATLAB在給定K值范圍內(nèi)繪制軌跡；否則K是自動確定。在繪制根軌跡時，MATLAB有x，y坐標(biāo)的自動定標(biāo)功能。如果用戶需要，可自行設(shè)置坐標(biāo)的范圍，只要在相應(yīng)的程序中加上如下的命令：V=[-xx-yy]；axis(V)它表示x軸的范圍為-x～x，y軸的范圍為-y～y。例4-11已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡。自動控制理論解：K=1;Z=[];P=[0-1-2][num,den]=zp2tf(Z,P,K);Rlocus(num,den);V=[-42-33];Axis(V);Title(‘Root-locusplotofG(s)=k/s(s+1)(s+2)’);Xlable(‘Re’);Ylab