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習(xí)題7.3正項(xiàng)級(jí)數(shù)的其它判別法1、3),7),8);2、3),4),7);

§8.3正項(xiàng)級(jí)數(shù)的其他判別法一、判別法⒈證明：（根值判別法）⒉極限形式證明：⒊推論：注:①②由根值法知級(jí)數(shù)均收斂.例1.例2.解：發(fā)散.例3.收斂.例4.失效！

說(shuō)明柯西判別法還比較粗糙,主要原因是與(幾何)等比級(jí)數(shù)比較.例5.但是發(fā)散二、達(dá)朗伯爾引理：⒈證明：相乘：⒉證明：⒊極限形式：①②證明：⒋推論：注：⒈⒉如前例1條件是充分的,而非必要.

例如級(jí)數(shù)由于

故比式判別法無(wú)法鑒別此級(jí)數(shù)的收斂性.

根據(jù)P22習(xí)題8,當(dāng)時(shí),必有這說(shuō)明凡能由比式判別法判別收斂性的級(jí)數(shù),也能

由根式判別法來(lái)判別,亦即根式判別法較之比式判更有效，由根式可知上例收斂。那么,是否就不需要比式判別法了？5.更適用于帶有階乘的級(jí)數(shù)例6.發(fā)散例7.例8討論級(jí)數(shù)

的斂散性.解因?yàn)楦鶕?jù)推論1,當(dāng)

0<x<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)

x>1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;而當(dāng)x=1時(shí),所考察的級(jí)數(shù)是,它顯然也是

發(fā)散的.三、判別法（與p級(jí)數(shù)相比）⒈思考：變形啟發(fā)我們：（了解）⒉判別法①②證明：①?gòu)亩思磽?jù)引理，②⒊極限形式可等價(jià)敘述為：（證明留作習(xí)題）例8.易知：失效故收斂.解：D’Alembert法失效收斂！例9.根式法更廣泛,

但當(dāng)

r=1時(shí)仍無(wú)法判別.

而從例12

似乎可以得出這樣得結(jié)論：沒(méi)有收斂得“最慢”的收斂級(jí)數(shù).因此任何判別法都只能解決一類級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題,而不能解決所有級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題.當(dāng)然我們還可以建立比拉貝判別法更為精細(xì)有效的判別法,但這個(gè)過(guò)程是無(wú)限的.從上面看到,

拉貝判別法雖然判別的范圍比比式或四、Gauss判別法（了解）等價(jià)形式為：要求：⒈

熟練掌握：比較判別法及其極限形式,Cauchy判別

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