第六章多元函數(shù)微分學(xué)基礎(chǔ)

第六章多元函數(shù)微分學(xué)基礎(chǔ)第1頁(yè)，共119頁(yè)。第六章多元函數(shù)微分學(xué)基礎(chǔ)在上學(xué)期我們討論了一元函數(shù)的微積分.但在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，很多問(wèn)題都與多種因素有關(guān)，反映到數(shù)學(xué)上就是多元函數(shù)的問(wèn)題.本篇將在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上討論多元函數(shù)的微積及其應(yīng)用，而本章主要介紹空間解析幾何的基本知識(shí)和多元函數(shù)的微分及一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用.第2頁(yè)，共119頁(yè)。第一節(jié)空間解析幾何簡(jiǎn)介圖6-1右手系示意一、空間直角坐標(biāo)系第3頁(yè)，共119頁(yè)。建立了空間直角坐標(biāo)系后，就可以討論間的與三個(gè)有序數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.第4頁(yè)，共119頁(yè)。6-2第5頁(yè)，共119頁(yè)。三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成了八部分，每部分叫做一個(gè)卦限（見(jiàn)圖6-3）.這八個(gè)卦限次序規(guī)定如下:圖6-2點(diǎn)P位置第6頁(yè)，共119頁(yè)。下面將平面上兩點(diǎn)間的距離公式推廣到空間（證明從略）圖6-3八卦限示意圖第7頁(yè)，共119頁(yè)。解第8頁(yè)，共119頁(yè)。1.曲面方程的概念6-4二、曲面及其方程第9頁(yè)，共119頁(yè)。一般地，把由三元一次方程表示的曲面叫做一次曲面，也和為平面；由三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面.下面簡(jiǎn)單介紹平面和一些常見(jiàn)的二次曲面方程.圖6-4曲面示意第10頁(yè)，共119頁(yè)。2.平面方程由兩點(diǎn)距離公式知第11頁(yè)，共119頁(yè)。圖6-5例2示意圖第12頁(yè)，共119頁(yè)。解第13頁(yè)，共119頁(yè)。解解第14頁(yè)，共119頁(yè)。3.球面方程圖6-7球面示意圖圖6-6例4示意圖第15頁(yè)，共119頁(yè)。解第16頁(yè)，共119頁(yè)。4.柱面方程圖6-8柱面示意圖第17頁(yè)，共119頁(yè)。第18頁(yè)，共119頁(yè)。解稱這樣的柱面為圓柱面（見(jiàn)圖6-9）圖6-9例5示意圖第19頁(yè)，共119頁(yè)。1.空間曲線及其方程三、空間曲線及方程第20頁(yè)，共119頁(yè)。解第21頁(yè)，共119頁(yè)。第22頁(yè)，共119頁(yè)。2.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第23頁(yè)，共119頁(yè)。解第24頁(yè)，共119頁(yè)。思考題答案答案答案第25頁(yè)，共119頁(yè)。課堂練習(xí)題答案答案第26頁(yè)，共119頁(yè)。第二節(jié)多元函數(shù)的概念

在第十四章中，討論了含有一個(gè)自變時(shí)的函數(shù)，即一元函數(shù)，但在實(shí)際問(wèn)題中，還會(huì)遇到含有兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量的函數(shù)，這就是本節(jié)所要討論的多元函數(shù).在這里重點(diǎn)介紹二元函數(shù).第27頁(yè)，共119頁(yè)。一、二元函數(shù)的定義先看下面的例子.圖6-11例2示意圖第28頁(yè)，共119頁(yè)。一般地，二元函數(shù)的定義如下.第29頁(yè)，共119頁(yè)。解

對(duì)于一元函數(shù)，一般假定在某個(gè)區(qū)間上有定義進(jìn)行討論.對(duì)于二元函數(shù)，類似地假定它在某平面區(qū)域內(nèi)有定義進(jìn)行討論.

所謂區(qū)域（平面的）是指一條或幾條曲線圍成具有連通性的平面一部分（見(jiàn)圖6-35），所謂的連通性是指如果一塊部分平面內(nèi)任意兩點(diǎn)可用完全屬于此部分平面的折線連結(jié)起來(lái).第30頁(yè)，共119頁(yè)。圖6-12區(qū)域示意若區(qū)域能延伸到無(wú)限遠(yuǎn)處，就稱這區(qū)域是無(wú)界的，如圖6-12(c)所示，否則，它總可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)O為中心，而半徑適當(dāng)大的圓內(nèi)，這樣的區(qū)域稱為有界的，如圖6-12(a)、(b)所示，圍成區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界.第31頁(yè)，共119頁(yè)。閉區(qū)域：連同邊界在內(nèi)的區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界.開(kāi)區(qū)域：不包括邊界內(nèi)的區(qū)域叫開(kāi)區(qū)域.第32頁(yè)，共119頁(yè)。為方便使用，將開(kāi)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)，將區(qū)域邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn).解第33頁(yè)，共119頁(yè)。二、二元函數(shù)的幾何意義第34頁(yè)，共119頁(yè)。圖6-15例6示意圖第35頁(yè)，共119頁(yè)。三、二元函數(shù)的極限和連續(xù)性1.二元函數(shù)的極限

函數(shù)的極限是研究當(dāng)自變量變化時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)，但是二元函數(shù)的自變量有兩個(gè)，所以自變量的變化過(guò)程比一元函數(shù)要復(fù)雜得多.第36頁(yè)，共119頁(yè)。

二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的推廣，有關(guān)一元函數(shù)極限的運(yùn)算法則和定理,都可以推廣二元函數(shù)的極限，下面舉例說(shuō)明.第37頁(yè)，共119頁(yè)。解方法一方法二

這說(shuō)明，二元函數(shù)的極限問(wèn)題有時(shí)可以先轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問(wèn)題，再求解.第38頁(yè)，共119頁(yè)。解第39頁(yè)，共119頁(yè)。2.二元函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn).第40頁(yè)，共119頁(yè)。第41頁(yè)，共119頁(yè)。思考題答案答案答案第42頁(yè)，共119頁(yè)。課堂練習(xí)題答案答案答案第43頁(yè)，共119頁(yè)。第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及求法第44頁(yè)，共119頁(yè)。第45頁(yè)，共119頁(yè)。第46頁(yè)，共119頁(yè)。解第47頁(yè)，共119頁(yè)。解證第48頁(yè)，共119頁(yè)。解第49頁(yè)，共119頁(yè)。二、高階偏導(dǎo)數(shù)第50頁(yè)，共119頁(yè)。第51頁(yè)，共119頁(yè)。解第52頁(yè)，共119頁(yè)。三、全微分1.全微分的定義第53頁(yè)，共119頁(yè)。第54頁(yè)，共119頁(yè)。第55頁(yè)，共119頁(yè)。第56頁(yè)，共119頁(yè)。解第57頁(yè)，共119頁(yè)。解第58頁(yè)，共119頁(yè)。解第59頁(yè)，共119頁(yè)。2.全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第60頁(yè)，共119頁(yè)。解第61頁(yè)，共119頁(yè)。思考題答案答案答案第62頁(yè)，共119頁(yè)。課堂練習(xí)題答案答案第63頁(yè)，共119頁(yè)。第四節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.復(fù)合函數(shù)的中間變量均是二元函數(shù)的情形第64頁(yè)，共119頁(yè)。第65頁(yè)，共119頁(yè)。第66頁(yè)，共119頁(yè)。解第67頁(yè)，共119頁(yè)。2.復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形第68頁(yè)，共119頁(yè)。解第69頁(yè)，共119頁(yè)。解第70頁(yè)，共119頁(yè)。3.復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形解第71頁(yè)，共119頁(yè)。4.復(fù)合函數(shù)是抽象函數(shù)的情形解第72頁(yè)，共119頁(yè)。解第73頁(yè)，共119頁(yè)。二、全微分形式不變性第74頁(yè)，共119頁(yè)。解第75頁(yè)，共119頁(yè)。三、隱函數(shù)的求導(dǎo)法第76頁(yè)，共119頁(yè)。解第77頁(yè)，共119頁(yè)。思考題答案答案答案第78頁(yè)，共119頁(yè)。課堂練習(xí)題答案答案第79頁(yè)，共119頁(yè)。第五節(jié)多元函數(shù)極值一、多元函數(shù)極值1.極值的定義及求法第80頁(yè)，共119頁(yè)。第81頁(yè)，共119頁(yè)。第82頁(yè)，共119頁(yè)。第83頁(yè)，共119頁(yè)。解第84頁(yè)，共119頁(yè)。2.最大值和最小值第85頁(yè)，共119頁(yè)。解圖6-39例4示意圖第86頁(yè)，共119頁(yè)。第87頁(yè)，共119頁(yè)。第88頁(yè)，共119頁(yè)。二、條件極值第89頁(yè)，共119頁(yè)。第90頁(yè)，共119頁(yè)。解第91頁(yè)，共119頁(yè)。第92頁(yè)，共119頁(yè)。思考題答案答案答案第93頁(yè)，共119頁(yè)。課堂練習(xí)題答案答案第94頁(yè)，共119頁(yè)。返回第95頁(yè)，共119頁(yè)。返回第96頁(yè)，共119頁(yè)。返回第97頁(yè)，共119頁(yè)。返回第98頁(yè)，共119頁(yè)。返回第99頁(yè)，共119頁(yè)。返回第100頁(yè)，共119頁(yè)。返回第101頁(yè)，共119頁(yè)。返回第102頁(yè)，共119頁(yè)。返回第103頁(yè)，共119頁(yè)。返回第104頁(yè)，共119頁(yè)。返回第105頁(yè)，共119頁(yè)。返回第106頁(yè)，共119頁(yè)。返回第107頁(yè)，共119頁(yè)。返回第108頁(yè)，共119頁(yè)。返回第109頁(yè)，共11