第三章恒定磁場X

第三章恒定磁場第3章恒定磁場

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實驗表明，導體中有恒定電流通過時，在導體內部和它周圍的媒質中，不僅有恒定電場，同時還有不隨時間變化的磁場，簡稱恒定磁場（StaticMagneticField）。

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恒定磁場和靜電場是性質完全不同的兩種場，但在分析方法上卻有許多共同之處。學習本章時，注意類比法的應用。

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恒定磁場的知識結構框圖。磁感應強度（B）（畢奧—沙伐定律）H

的旋度B的散度基本方程磁位()（J=0）分界面上銜接條件磁矢位（A）邊值問題數(shù)值法解析法分離變量法鏡像法有限元法有限差分法電感的計算磁場能量及力磁路及其計算圖3.0恒定磁場知識結構框圖基本實驗定律(安培力定律）3.1磁感應強度3.1.1安培力定律

1820年,法國物理學家安培從實驗中總結出電流回路之間的相互作用力的規(guī)律,稱為安培力定律(Ampere’sforceLaw)。電流

的回路對電流I回路的作用力

F式中真空中的磁導率H/m3.1.2畢奧——沙伐定律?磁感應強度

電流之間相互作用力通過磁場傳遞。電荷之間相互作用力通過電場傳遞。定義：磁感應強度單位T（wb/m2）特斯拉。式中圖3.1.1兩載流回路間的相互作用力寫成一般表達式，即畢奧——沙伐定律（Biot—SavartLaw)

2）由畢奧—沙伐定律可以導出恒定磁場的基本方程（B

的散度與旋度）。3）對于體分布或面分布的電流，Biot-SavartLaw

可寫成

例3.1.1

試求有限長直載流導線產生的磁感應強度。解采用圓柱坐標系，取電流Idz，則式中，當時，圖3.1.2長直導線的磁場1）適用條件：無限大均勻媒質，且電流分布在有限區(qū)域內。與z軸成右手螺旋關系解：元電流

Idl

在其軸線上P點產生的磁感應強度為例3.1.2

真空中有一載流為I，半徑為R的圓形回路，求其軸線上P點的磁感應強度。圖3.1.4圓形載流回路軸線上的磁場分布根據(jù)圓環(huán)磁場對

P

點的對稱性，圖3.1.3圓形載流回路由于是無限大電流平面，所以選P點在

y軸上。根據(jù)對稱性,整個面電流所產生的磁感應強度為

例3.1.3

圖示一無限大導體平面上有恒定面電流,求其所產生的磁感應強度。解：在電流片上取寬度為

的一條無限長線電流，它在空間引起的磁感應強度為圖3.1.5無限大電流片及B

的分布3.2磁通連續(xù)性原理?安培環(huán)路定律3.2.1磁通連續(xù)性原理矢量恒等式所以

表明

B是無頭無尾的閉合線，恒定磁場是無源場。（在任意媒質中均成立）兩邊取散度可從Biot-SavartLaw

直接導出恒定磁場

B

的散度。1.恒定磁場的散度則可以作為判斷一個矢量場能否成為恒定磁場的必要條件。圖3.2.1計算體電流的磁場2.磁通連續(xù)性原理

這說明磁場通過任意閉合面的磁通量為零，稱之為磁通連續(xù)性原理，或稱磁場中的高斯定律

(Gauss’sLawfortheMagneticfield)。

仿照靜電場的

E線，恒定磁場可以用

B

線描繪，B線的微分方程在直角坐標系中散度定理圖3.2.2磁通連續(xù)性原理圖3.2.3B

的通量

若要計算B穿過一個非閉合面S

的磁通，則3.磁力線B

線的性質：?

B

線是閉合的曲線;?

B

線不能相交(除B=0

外

)；

?

閉合的

B

線與交鏈的電流成右手螺旋關系；

?

B

強處，B線稠密，反之，稀疏。圖3.2.4一載流導線I

位于無限大鐵板上方的磁場分布（B

線）圖3.2.5長直螺線管磁場的分布（B

線）圖3.2.6一載流導線I位于無限大鐵板內的磁場分布（H

線）圖3.2.7兩根異向長直流導線的磁場分布圖3.2.8兩根相同方向長直流導線的磁場分布圖3.2.9兩對上下放置傳輸線的磁場分布圖3.2.10兩對平行放置傳輸線的磁場分布3.2.2磁通連續(xù)性原理1.安培環(huán)路定律（真空）以長直導線的磁場為例（1）安培環(huán)路與磁力線重合（2）安培環(huán)路與磁力線不重合（3）安培環(huán)路不交鏈電流（4）安培環(huán)路與若干根電流交鏈該結論適用于其它任何帶電體情況。強調：環(huán)路方向與電流方向成右手，電流取正，否則取負。圖3.2.11證明安培環(huán)路定律用圖例3.2.1

試求無限大截流導板產生的磁感應強度B解：分析場的分布，取安培環(huán)路（與電流交鏈，成右手螺旋）根據(jù)對稱性解：這是平行平面磁場，選用圓柱坐標系，應用安培環(huán)路定律,得

例3.2.2

試求載流無限長同軸電纜產生的磁感應強度。圖3.2.12同軸電纜截面取安培環(huán)路交鏈的部分電流為圖3.2.1無限大截流導板應用安培環(huán)路定律，得

對于具有某些對稱性的磁場，可以方便地應用安培環(huán)路定律得到

B

的解析表達式。

圖3.2.13同軸電纜的磁場分布2.媒質的磁化（Magnetization）

媒質的磁化產生的物理現(xiàn)象和分析方法與靜電場媒質的極化類同。2）媒質的磁化圖3.2.14磁偶極子圖3.2.15磁偶極子受磁場力而轉動1）磁偶極子

I

——分子電流，電流方向與dS方向成右手螺旋關系無外磁場作用時，媒質對外不顯磁性，圖3.2.16媒質的磁化在外磁場作用下:磁偶極子發(fā)生旋轉，轉矩為Ti=mi×B

，旋轉方向使磁偶極矩方向與外磁場方向一致，對外呈現(xiàn)磁性，稱為磁化現(xiàn)象。用磁化強度（MagnetizationIntensity）M

表示磁化的程度，即:3）磁化電流

媒質的磁化使得媒質產生了附加的磁場,這個磁場可等效為一個宏觀的磁化電流的作用.為了計算磁化電流,在媒質中任意取一塊周界為l

的面積S，從圖中可看出只有分子電流與S面相鏈接時，對S面的電流才有貢獻，與S面的相交鏈的分子有兩種。

一種是在面內相交鏈，分子電流穿入穿出S面各一次，它對S面的總電流是沒有貢獻的；另一種情況是與S面的邊界線l相交鏈的分子電流，它們只與通過S面一次，因而對S面的總電流有貢獻。在S的邊界線l

上取元長度dl，dl的方向沿邊界線l

的環(huán)繞方向如圖所示。在dl

附近的磁化可以看作是均勻的。設分子電流的的面積為a，則選以a為底，以dl為軸的圓柱體，圓柱內的分子均與dl相交鏈，且只通過S面一次。柱中的分子數(shù)為Na·dl，N是單位體積內的分子數(shù)。當面積a與dl的的夾角為銳角時，分子電流沿S面的法線流出，當面積a與dl

的的夾角為鈍角時，分子電流沿S面的法線流入，因此圓柱內的分子對S面的貢獻的磁化電流為：dIm=INa·dl=Nm·dl=M·dl穿過S面的總磁化電流為：將穿過S面的磁化電流用磁化電流密度Jm表示,則有：利用斯托克斯定理得到：由于S面是任取的，所以有：上式表明媒質內任意一點的體磁化電流密度是該點磁化強度的旋度。同樣可以得到面磁化電流密度為：體磁化電流密度面磁化電流密度上式中en為分界面上從媒質1指向媒質2的法線方向單位矢量，Km表示分界面上垂直于電流方向單位長度橫截面上流過的磁化電流。體磁化電流密度面磁化電流密度例3.2.3判斷磁化電流的方向。結論：?有磁介質存在時，場中任一點的B

是自由電流和磁化電流共同作用在真空中產生的磁場。?磁化電流具有與傳導電流相同的磁效應。模型電量產生的電場與磁場電偶極子磁偶極子4）磁偶極子與電偶極子對比3.一般形式的安培環(huán)路定律圖3.2.18H

與I

成右螺旋關系有磁介質時說明:?H的環(huán)量僅與環(huán)路交鏈的自由電流有關。

?環(huán)路上任一點的H是由系統(tǒng)全部載流體產生的。

?電流的正、負僅取決于環(huán)路與電流的交鏈是否滿足右手螺旋關系，是為正，否為負。由斯托克斯定理可得：圖3.2.19

H的分布與磁介質有關4.B與H的構成關系5.H的旋度實驗證明，在各向同性的線性磁介質中式中cm——磁化率，無量綱量，代入H=B/m0-M中式中mr——相對磁導率，無量綱量，m=m0mr，單位H/m構成關系積分式對任意曲面S都成立，則例3.2.4:一矩形截面的鐵磁質鐲環(huán)，如圖示，試求氣隙中的B和H。圖3.2.20鐲環(huán)磁場分布解：在鐲環(huán)中取安培環(huán)路（與I交鏈），由例3.2.4有一磁導率為

μ，半徑為a的無限長導磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流I，圓柱外是空氣（μ0

），如圖所示。試求圓柱內外的B，H

與

M的分布。解：磁場為平行平面場,且具有軸對稱性，應用安培環(huán)路定律，得磁場強度磁化強度圖3.2.22長直導磁圓柱的磁化電流

磁感應強度導磁圓柱內r=0

處有磁化電流Im

嗎？r=a

處有面磁化電流Km嗎？為什么？圖3.2.21磁場分布3.3恒定磁場的基本方程?分界面上的銜接條件3.3.1恒定磁場的基本方程恒定磁場是有旋無源場,電流是激發(fā)磁場的渦旋源恒定磁場的基本方程表示為媒質的物質性能方程例3.3.1試判斷能否表示一個恒定磁場？解：F1可以表示為恒定磁場。所以F2不可能表示恒定磁場。3.3.2分界面上的銜接條件1.B的銜接條件圖3.3.1分界面上

B

的銜接條件在媒質分界面上，包圍P點作一小扁圓柱，圖3.3.2分界面上

H

的銜接條件2.H

的銜接條件在媒質分界面上，包圍P點作一矩形回路lH的切向分量不連續(xù)H的切向分量連續(xù)3.分界面上的折射定律當兩種媒質均勻、各向同性，且分界面無自由電流線密度K，則:稱為折射定律例.3.3.2分析鐵磁媒質與空氣分界面上磁場的折射情況。它表明只要鐵磁物質側的B不與分界面平行，那么在空氣側的B

可認為近似與分界面垂直。圖3.3.3鐵磁媒質與空氣分界面上磁場的折射?若面電流,答案有否變化，如何變？ 例3.3.3設x=0

平面是兩種媒質的分界面。m1=5m0；m2=3m0,分界面上有面電流：K=-4ezA/m，且H1=6ex+8ey，試求B1、B2與H2的分布。解：即圖3.3.4含有K的分界面銜接條件3.6鏡像法（ImageMethodinStaticMagneticField）圖3.6.1兩種不同磁介質的鏡像解：根據(jù)唯一性定理，在無源區(qū)放置鏡像電流，用分界面銜接條件確定I’與I”。例3.6.1圖示一載流導體I置于磁導率為m2的無限大導板上方h

處，為求媒質1與媒質2中的B與H

的分布，試確定鏡像電流的大小與位置？

聯(lián)立求解，得例3.6.2空氣與鐵磁媒質的分界面如圖所示，線電流I

位于空氣m0中，試求磁場分布。圖3.6.2線電流I位于無限大鐵板上方的鏡像解：鐵磁中磁感應強度

B2=0

嗎？空氣中

B

線垂直于鐵磁平板，表明鐵磁平板表面是等磁位面。例3.6.3若載流導體

I

置于鐵磁物質中，此時磁場分布有什么特點呢？圖3.6.3線電流I

位于無限大鐵磁平板中的鏡像由圖可見，此時磁場分布有特點：

?對空氣側而言，鐵磁表面仍然是一個等磁位面。空氣中的

B

線與鐵磁表面相垂直（折射定理可以證明之）。解：?空氣中m2=m0

的磁場為場域無鐵磁物質情況下的二倍。

3.7電感3.7.1自感實驗發(fā)現(xiàn)磁鏈與回路中的電流成正比，與回路相交鏈的磁鏈與該回路的電流的比值稱為回路的自感。單位：H（亨利）在線性各向同性媒質中，L

僅與回路的幾何尺寸、媒質參數(shù)有關，與回路的電流無關。自感又分為內自感Li

和外自感L0

,L=Li+L0

——內自感是導體內部僅與部分電流交鏈的磁鏈與回路電流比值。穿過一個N匝導體回路的磁通稱為磁鏈，用字母Y表示。圖3.7.1內磁鏈與外磁鏈自感計算的一般步驟：解:總自感為:圖3.7.2同軸電纜截面例3.7.1試求圖示長為l的同軸電纜的自感L。1)內導體的內自感設安培環(huán)路包圍部分電流I’，則有——外自感是導體外部閉合的磁鏈與回路電流的比值。與dFi相交鏈的電流只是電流I的一部分:與dFi相應的元磁鏈為：穿過寬度為dr,長度為l的矩形面積的磁通為因此，有圖3.7.3同軸電纜內導體縱截面內自感2）外導體內自感：（當外導體的厚度不能忽略時）則外導體內自感為：

工程上常因為外導體很薄，視同軸電纜外導體為面分布的電流，故有時可忽略此部分的內自感，即認為：Li’=03）內、外導體間的外自感總電感為：例3.7.2設傳輸線的長度為,試求圖示兩線傳輸線的自感。解：總自感為：L=2Li+L0內自感為：圖3.7.4兩線傳輸線的自感計算解法二總自感為3.7.2互感圖3.7.5電流I1產生與回路2交鏈的磁鏈在線性媒質中，回路1的電流I1產生與回路2相交鏈的磁鏈Y21與I1成正比。式中，M21

為互感，單位：H（亨利）同理，回路2對回路1的互感可表示為：可以證明：M12=M21

互感是研究一個回路電流在另一個回路所產生的磁效應，它不僅與兩個回路的幾何尺寸和周圍媒質有關，還和兩個回路之間的相對位置有關。例3.7.3試求圖示兩對傳輸線的互感。解：根據(jù)互感定義，只需假設一對傳輸線的電流方向；另一對傳輸線的回路方向是任意的。圖3.7.6兩對傳輸線的互感導線A的作用導線B

的作用由于這兩個部分磁通方向相同

1）若回路方向相反，互感會改變嗎？它反映了什么物理意義？2)鐵板放在兩線圈的下方,互感是增加了,還是減少了？為什么?如何計算？圖3.7.7一塊無限大鐵板（m→∞），置于兩對線圈的下方3）鐵板插入兩線圈之間后，互感是增加還是減少？為什么？自感是否增加？

》圖3.7.9無感線圈圖3.7.8一塊無限大鐵板（m→∞），置于兩線圈之間3.9磁路3.9.1磁路的基本概念

利用鐵磁物質制成一定形狀的回路（可包括氣隙），其周圍繞有線圈，使磁通主要集中在回路中，該回路稱為磁路。（a）變壓器（b）接觸器圖3.9.1幾種常見的磁路（c）繼電器圖3.9.1幾種常見的磁路（d）四極電機（e）永磁式電磁儀表2.磁路的基爾霍夫定律1.磁路的基本物理量(1)、磁路的基爾霍夫第一定律——磁通連續(xù)性原理在如圖參考方向下，-F1+F2+F3=0圖3.9.2磁路定律例圖基本物理量：磁通F、磁動勢Fm、磁壓降Um(電路中的物理量:電流I、電動勢em、電壓降U)磁動勢Fm=Ni

單位：A（安）或At（安匝）磁壓降Um

單位：A（安）Fm

的方向與

I方向符合右手螺旋定則，Um

的方向與H方向一致。（2）、磁路的基爾霍夫第二定律——安培環(huán)路定律設定磁通參考方向（即H的參考方向）,若電流與H方向呈右手定則，F(xiàn)m取正，否則取負。3.磁路的歐姆定律設一磁路段如圖——磁阻，單位1/H（1/亨）圖3.9.3磁阻計算磁阻的大小取決于磁路幾何尺寸、媒質性質m為常數(shù)時，稱為線性磁路，否則稱為非線性磁路?；蛘哂桑悍Q為磁阻把產生磁場的源稱為磁動勢：em=NI3.9.2線性磁路的計算（無分支、均勻分支、不均勻分支磁路）

例

3.9.1

已知磁路的L=20cm，截面積A=1cm2,L0=0.2mm，m=100，N=1000，若要求在磁路中產生磁通F=0.4p×10-4wb，問需要在線圈中通入多大的電流I，并求氣隙的磁壓Umo。解：思路：求磁阻磁勢圖3.9.4磁壓計算電流磁壓例3.9.2有一對稱磁路，中間柱截面積為A=1cm2

。兩側柱截面積A1=A2=A/2，l1=4cm，l1=16cm，l2=16cm,mr=1000，N=100,I=0.5p/A，求側柱的磁通。解法一思路：求中間柱側柱根據(jù)磁路對稱性由安培環(huán)路定律側柱磁通圖3.9.5磁通計算解法二磁路是對稱的，取其一半，則磁阻磁勢側柱磁通例3.9.3磁路結構如圖所示，已知氣隙中的磁通為F0，線圈匝數(shù)為N，鐵心材料磁導率為m，截面積為S，試求電流I。圖3.9.6磁路計算??????（閉合環(huán)路）解：思路及步驟：

?根據(jù)尺寸求出各磁路段長度及磁阻;?設磁通方向如圖所示;3.9.3鐵磁質的磁特性1.兩種最基本的特性曲線

磁滯回線：鐵磁質反復磁化時的B-H曲線。最外層為極限磁滯回線?？纱_定剩磁Br，矯頑力Hc，磁能積（BH）等重要參數(shù)。

基本磁化曲線：是許多不飽和磁滯回線的正頂點的連線。2.鐵磁質的分類

圖3.9.8基本磁化曲線

軟磁材料：磁滯回線較窄，斷電后立即能消磁。如硅鋼、矽鋼等。用于電機、變壓器、鎮(zhèn)流器、繼電器等電磁設備的鐵心。

硬磁材料：磁滯回線較寬，充磁后剩磁大。如鐵氧體、釹鐵硼。用于永磁電機、電表、電腦存貯器等器件中的永磁體。圖3.9.7磁滯回線3.9.4非線性磁路計算（直流磁路）解：這是均勻無分支磁路查磁化曲線，得H=300A/m磁勢

對于較復雜的磁路，還可用試探解法，迭代法，圖解法、數(shù)值法等。對于交流磁路，由于磁性能更為復雜，解題難度相應提高。反問題：已知線圈匝數(shù)N=1000，電流I=1A，求磁通為多少？例3.9.4

一圓環(huán)形磁路及基本磁化曲線如圖所示，平均磁路長度=100cm

，截面積A=5cm2，若要求產生2×10-4wb

的磁通，求磁勢為多少？查磁化曲線，得B=