第九章 電磁感應(yīng) 電磁場(chǎng)理論(完全版)

電磁感應(yīng)電磁場(chǎng)理論第9章(6)1

1819年奧斯特通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)。人們自然想到:電流既然能夠產(chǎn)生磁場(chǎng),那么,能否利用磁場(chǎng)來(lái)產(chǎn)生電流呢?從1822年起,法拉第就開(kāi)始對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行有目的的實(shí)驗(yàn)研究。經(jīng)過(guò)多次的失敗,終于在1831年取得突破性進(jìn)展,發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象及其基本規(guī)律。電磁感應(yīng)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn),不僅深刻地揭示了電和磁之間的內(nèi)在聯(lián)系,進(jìn)一步推動(dòng)了電磁理論的發(fā)展,而且在生產(chǎn)技術(shù)上具有劃時(shí)代的意義。根據(jù)電磁感應(yīng)原理,人們?cè)O(shè)計(jì)了發(fā)電機(jī)、感應(yīng)電動(dòng)機(jī)和變壓器等電力設(shè)備,為現(xiàn)代大規(guī)模生產(chǎn)、傳輸和使用電能開(kāi)辟了道路,成為第二次工業(yè)革命的開(kāi)端。2§9-1電磁感應(yīng)定律

首先介紹幾種簡(jiǎn)單的電磁感應(yīng)現(xiàn)象。IiIi共同點(diǎn)：所有閉合回路面積上的磁通量都發(fā)生了變化!I(t)Ii圖9-1此時(shí)回路中便產(chǎn)生電流.這種電流稱為感應(yīng)電流。我們把閉合回路中的磁通量隨時(shí)間變化而在回路中出現(xiàn)電流的現(xiàn)象稱為電磁感應(yīng)現(xiàn)象。3我們把閉合回路中的磁通量隨時(shí)間變化而在回路中出現(xiàn)電流的現(xiàn)象稱為電磁感應(yīng)現(xiàn)象?？梢?jiàn)：A產(chǎn)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象的條件：B實(shí)現(xiàn)電磁感應(yīng)的手段：兩類手段：1B不變，導(dǎo)體作切割磁力線運(yùn)動(dòng)。（S,θ隨時(shí)間改變）2導(dǎo)體回路不動(dòng)，B隨時(shí)間變化。下面研究感應(yīng)電流的大小和方向。4一.楞次定律

閉合導(dǎo)體回路中感應(yīng)電流的方向,總是企圖使它自身產(chǎn)生的通過(guò)回路面積的磁通量,去阻礙原磁通量的改變。這一結(jié)論叫做楞次定律。

阻礙的意思是：

感應(yīng)電流Ii與原磁場(chǎng)B的反方向成右手螺旋關(guān)系。BBIi

若m增加,感應(yīng)電流的磁力線與B反向;

若m減少,感應(yīng)電流的磁力線與B同向;

感應(yīng)電流Ii與原磁場(chǎng)B的正方向成右手螺旋關(guān)系。Ii5企圖

感應(yīng)電流總是企圖用它產(chǎn)生的磁通,去阻礙原磁通的改變，但又無(wú)法阻止原磁通的變化，因而感應(yīng)電流還是不斷地產(chǎn)生。楞次定律是能量守恒定律的必然結(jié)果。要想維持回路中電流，必須有外力不斷作功。這符合能量守恒定律。

則不需外力作功，導(dǎo)線便會(huì)自動(dòng)運(yùn)動(dòng)下去，從而不斷獲得電能。這顯然違背能量守恒定律。按楞次定律，如果把楞次定律中的“阻礙”改為“助長(zhǎng)”，fmfm6

對(duì)閉合導(dǎo)體回路而言,感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向和感應(yīng)電流的方向是相同的。i

因而回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向,也用楞次定律來(lái)判斷。

應(yīng)當(dāng)指出，只要一個(gè)回路中的磁通量發(fā)生變化，這個(gè)回路中便一定有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)存在，這和回路由什么材料組成無(wú)關(guān)。是否有感應(yīng)電流，那就要看回路是否閉合。I7二.法拉第電磁感應(yīng)定律

法拉第從實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為(9-1)

1.m

是通過(guò)回路面積的磁通量；“-”的意義：負(fù)號(hào)是楞次定律的數(shù)學(xué)表示。2.決定于的瞬時(shí)變化率，與無(wú)直接關(guān)系。3.是回路中的總電動(dòng)勢(shì)，是指閉合回路中各部分電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和。若,但回路中各段的不一定都為零。理解：8二.法拉第電磁感應(yīng)定律

法拉第從實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為(9-1)

1.m

是通過(guò)回路面積的磁通量；“-”的意義：負(fù)號(hào)是楞次定律的數(shù)學(xué)表示。對(duì)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的平面線圈：2.用法拉第電磁感應(yīng)定律解題的步驟如下：(i)首先求出回路面積上的磁通量(取正值)：(ii)求導(dǎo)：9可用如下符號(hào)法則判定感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向:

若i>0,則i的方向與原磁場(chǎng)的正方向組成右手螺旋關(guān)系；若i<0,則i的方向與原磁場(chǎng)的負(fù)方向組成右手螺旋關(guān)系。

例如:m，

由符號(hào)法則，i的方向與原磁場(chǎng)的負(fù)方向組成右手螺旋關(guān)系。這顯然和由楞次定律的結(jié)果一致。i103.若回路線圈有面積相同的N匝，則(9-2)

=Nm稱為線圈的磁通鏈。因此式(9-2)的意義是：N匝線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于該線圈的磁通鏈對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

4.如果閉合回路的總電阻為R,則回路中的感應(yīng)電流(9-3)11

5.設(shè)在t1和t2兩個(gè)時(shí)刻,通過(guò)回路所圍面積的磁通量分別為1和2,則在t1→t2這段時(shí)間內(nèi),通過(guò)回路任一截面的感應(yīng)電量為即(9-4)12

例題9-1

一圓線圈有100匝，通過(guò)線圈面積上的磁通量m=8×10-5sin100t(wb),如圖9-2所示。求t=0.01s時(shí)圓線圈內(nèi)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向。圖9-2

解=-0.8cos100t代入t=0.01,得i=0.8=2.51(v)

由于i>0,i的方向與原磁場(chǎng)的正方向組成右手螺旋關(guān)系,即順時(shí)針?lè)较?。由楞次定律可知，此時(shí)圓線圈內(nèi)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向應(yīng)是順時(shí)針的。

因t=0.01s時(shí),函數(shù)sin100t是減小的,所以通過(guò)線圈面積上的磁通量m也是減小的。i13

例題9-2

一長(zhǎng)直螺線管橫截面的半徑為a,單位長(zhǎng)度上密繞了n匝線圈，通以電流I=Iocost(Io、為常量)。一半徑為b、電阻為R的單匝圓形線圈套在螺線管上，如圖13-3所示。求圓線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流。

解由m=BScos得m=μonI·b2a2圖9-3BIab如果b<a,結(jié)果怎樣？14

解應(yīng)當(dāng)注意，對(duì)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的線圈：

m=BScos

(1)一矩形線圈(a×b)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)，t=0時(shí)如圖13-4所示。m=Babcos

(t+)

例題9-3

一面積為S、匝數(shù)為N的平面線圈，以角速度在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中勻速轉(zhuǎn)動(dòng);轉(zhuǎn)軸在線圈平面內(nèi)且與B垂直。求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。=BScos

(t+o)式中o為t=0時(shí)磁場(chǎng)B與線圈法線方向的夾角。

=Babcost=Babsin(t+)B圖9-4ab15

我們連接bd組成一個(gè)三角形回路bcd。m=BScos

(t+o)

由于bd段不產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，所以回路(

bcd)中的電動(dòng)勢(shì)就是導(dǎo)線bcd中電動(dòng)勢(shì)的。

(2)一導(dǎo)線彎成角形(bcd=60o,bc=cd=a)，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中繞oo′軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速每分鐘n轉(zhuǎn),t=0時(shí)如圖13-5所示，求導(dǎo)線bcd中的i。do′cBob圖9-516對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的線圈：本題中的磁場(chǎng)是勻強(qiáng)磁場(chǎng)嗎？是！m=BScos

(t+o)=-BoScos2t=Bosint.Scost

(3)面積為S的平面單匝線圈,以角速度在磁場(chǎng)B=Bosint

k(Bo

和為常量)中作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸在線圈平面內(nèi)且與B垂直，t=0時(shí)線圈的法線與k同向，求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。Sωt=0kBen17

例題9-4

如圖9-6所示，兩條平行長(zhǎng)直導(dǎo)線和一個(gè)矩形導(dǎo)線框共面，且導(dǎo)線框的一條邊與長(zhǎng)直導(dǎo)線平行，到兩長(zhǎng)直導(dǎo)線的距離分別為r1和r2。已知兩導(dǎo)線中的電流都為I=Iosint(其中Io和均為常量),導(dǎo)線框長(zhǎng)為a寬為b,求導(dǎo)線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。r1r2abII圖9-6drr

解先求磁通。adrm=ds18,I=Iosintr1r2abII圖9-619

例題9-5

長(zhǎng)直導(dǎo)線中通有電流I=Iocost(Io和為常量)

。有一與之共面的三角形線圈ABC,已知AB=a,BC=b。若線圈以垂直于導(dǎo)線方向的速度向右平移,當(dāng)B點(diǎn)與長(zhǎng)直導(dǎo)線的距離為x時(shí),求線圈ABC中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

解先求磁通：

將三角形沿豎直方向分為若干寬為dr的矩形積分。tg=a/bm=x圖9-7bABCaIdrrds20,I=Iocost,x(t),x圖9-7bABCaI21

例題9-6

一長(zhǎng)圓柱狀磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向沿軸線并垂直圖面向里，如圖9-8所示。磁場(chǎng)大小既隨到軸線的距離r成正比,又隨時(shí)間t作正弦變化,即:B=Borsint,Bo和均為常量。若在磁場(chǎng)內(nèi)放一半徑為R的金屬圓環(huán)，環(huán)心在圓柱狀磁場(chǎng)的軸線上，求金屬環(huán)中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

解

R圖9-8drRrds22

例題9-7

如圖9-9所示，在馬蹄形磁鐵的中間A點(diǎn)處放置一半徑r=1cm、匝數(shù)N=10匝、電阻R=10的小線圈，且線圈平面法線平行于A點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。今將此線圈移到足夠遠(yuǎn)處，在這期間若線圈中流過(guò)的總電量Q=×10-6C，

試求A點(diǎn)出的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

解始末磁通鏈為可得圖9-9NS1=NBr2=RQ由公式1=NBr2，2=0所以23實(shí)現(xiàn)隨時(shí)間變化有兩類手段：1B不變，導(dǎo)體作切割磁力線運(yùn)動(dòng)。2導(dǎo)體回路不動(dòng)，B隨時(shí)間變化。感生電動(dòng)勢(shì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)§9-2動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

1.現(xiàn)象

導(dǎo)體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)并切割磁力線時(shí)，導(dǎo)體中便產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)—?jiǎng)由妱?dòng)勢(shì)。

2.原因：運(yùn)動(dòng)電子受洛侖茲力作用。

abB圖9-10--++24

電子所受的洛侖茲力可用一個(gè)非靜電性電場(chǎng)來(lái)等效，即3.動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算公式

按電動(dòng)勢(shì)的定義：或(方向由a到b)abB圖9-10--++dl得(9-5)25計(jì)算步驟：(2)若i>0,則i的方向與dl同向；若i<0,則i的方向與dl反向。

(1)首先規(guī)定一個(gè)沿導(dǎo)線的積分方向(即dl的方向

)。abB圖9-10--++dl(3)dl26得

例題9-8

一長(zhǎng)l的直導(dǎo)線ab以恒定的速度

在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中平移，求導(dǎo)線中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。解由dl=Bl因i>0,所以i的方向與l同向,即由a到b。

(1)三垂直(B直導(dǎo)線l)。ab=l大小:i=Blabdl方向:由b到a。abB圖9-10--++l=-Blsincos(90+)27

(2)任意形狀的導(dǎo)線在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中平移時(shí)，ab圖9-11Bdll

在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,彎曲導(dǎo)線平移時(shí)所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)等于從起點(diǎn)到終點(diǎn)的直導(dǎo)線所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。ab=l28ab=bc=l,求Va-Vc=?

導(dǎo)線在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，

B。Babbc=Bl

,cbbac圖9-12abcll29求Va-Vb=?Va-Vb=ab=ab

=45o45o圖9-13RbaoabVa-Vc=+BlsinabcVa-Vc=?lba30

例題9-9

如圖9-14所示，均勻磁場(chǎng)被限制在兩平面之間，一邊長(zhǎng)為l的正方形線圈勻速自左側(cè)無(wú)場(chǎng)區(qū)進(jìn)入均勻磁場(chǎng)又穿出，進(jìn)入右側(cè)的無(wú)場(chǎng)區(qū)。下列圖形中哪一個(gè)符合線圈中的電流隨時(shí)間的變化關(guān)系？(設(shè)逆時(shí)針為電流的正方向，不計(jì)線圈的自感)(D)圖9-14Ito(A)Ito(C)Ito(B)Ito(D)31

解:=

負(fù)號(hào)說(shuō)明：i的方向由p指向o，o點(diǎn)電勢(shì)高。請(qǐng)記住這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)公式:

例題9-10

一條金屬細(xì)直棒op(長(zhǎng)為l)繞o點(diǎn)以角速度在垂直于勻強(qiáng)磁場(chǎng)B的平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng),求Vo-Vp=?)op圖9-15Bxdx32Ao=l1,

oC=l2ACo若l1>l2,

則A點(diǎn)電勢(shì)高；若l1<l2,

則C點(diǎn)電勢(shì)高。三角形繞軸ab轉(zhuǎn)動(dòng),bc=l

。Vb-Vc=三角形回路:i=BACo圖9-16cbaB033

例題9-11

一長(zhǎng)直電流I與直導(dǎo)線AB(AB=l)共面，如圖9-18所示。AB以速度沿垂直于長(zhǎng)直電流I的方向向右運(yùn)動(dòng)，求圖示位置時(shí)導(dǎo)線AB中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。AB圖9-18Id解,(dlsin=dr)AB=由于AB>0,所以AB的方向由A指向B，B點(diǎn)電勢(shì)高。dlcos)dlr34

導(dǎo)體不動(dòng),磁場(chǎng)隨時(shí)間變化,導(dǎo)體中便產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)—感生電動(dòng)勢(shì)。

§9-3感生電動(dòng)勢(shì)

感生電場(chǎng)1.現(xiàn)象2.原因

當(dāng)螺線管中電流發(fā)生變化，引起螺線管中的磁場(chǎng)變化時(shí)，套在外邊的圓環(huán)中便產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)。

是什么力驅(qū)使導(dǎo)線中的電荷運(yùn)動(dòng)，從而產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)呢？不是靜電力。也不是洛侖茲力。圖9-20BIab35

麥克斯韋的這個(gè)假設(shè)已為實(shí)踐所證實(shí)，是麥克斯韋電磁理論的基本原理之一。

麥克斯韋認(rèn)為：變化的磁場(chǎng)要在其周圍的空間激發(fā)一種電場(chǎng),叫做感生電場(chǎng)(渦旋電場(chǎng))Ei。

圓環(huán)導(dǎo)線中的感生電動(dòng)勢(shì)正是感生電場(chǎng)對(duì)自由電子作用的結(jié)果。

圖9-20BIab36

靜電場(chǎng)：由電荷產(chǎn)生，是保守力場(chǎng)；電力線起于正電荷，止于負(fù)電荷，不形成閉合曲線。

感生電場(chǎng)：由變化的磁場(chǎng)激發(fā)，是非保守力場(chǎng)；其電力線是閉合曲線,

故又稱為渦旋電場(chǎng)。

3.感生電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算公式按電動(dòng)勢(shì)的定義：(9-8)感生電場(chǎng)的方向可用楞次定律來(lái)確定。4.感生電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比較

感生電場(chǎng)Ei的電力線是圍繞磁力線的閉合曲線；37

例題9-13

一半徑為R的圓柱形空間區(qū)域內(nèi)存在著由無(wú)限長(zhǎng)通電螺線管產(chǎn)生的均勻磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，如圖9-21所示。當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度以dB/dt的變化率均勻減小時(shí),求圓柱形空間區(qū)域內(nèi)、外各點(diǎn)的感生電場(chǎng)。由于磁場(chǎng)關(guān)于圓心對(duì)稱，感生電場(chǎng)關(guān)于圓心對(duì)稱。R圖9-21r感生電場(chǎng)Ei的電力線是圍繞磁力線的圓周曲線圓周上各點(diǎn)Ei

的大小相等.由楞次定律判定，感生電場(chǎng)的方向是順時(shí)針的.由38r>R:Ei

·2rEi

·2rr<R:R圖9-21r39

解由楞次定律判定，感生電場(chǎng)的方向是逆時(shí)針的。

例題9-14

一半徑為R的圓柱形空間區(qū)域內(nèi)存在著均勻磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，如圖9-22所示；磁感應(yīng)強(qiáng)度以dB/dt的變化率均勻增加。一細(xì)棒AB=2R,中點(diǎn)與圓柱形空間相切，求細(xì)棒AB中的感生電動(dòng)勢(shì)，并指出哪點(diǎn)電勢(shì)高。r>R:

你能完成這個(gè)積分嗎？不妨試試。圖9-22aRABordl40

連接oA、oB組成回路。

由楞次定律知，回路電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，因此導(dǎo)線AB中的感生電動(dòng)勢(shì)由A指向B。B點(diǎn)電勢(shì)高。

由于oA和oB不產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì),故回路電動(dòng)勢(shì)就是導(dǎo)線AB中的電動(dòng)勢(shì)。=0圖9-22bRABodB/dt的變化率均勻?yàn)檎?1(填>、<或=)連接oA、oB組成回路,由o.AB

(2)對(duì)直導(dǎo)線AB和彎曲的導(dǎo)線AB：?jiǎn)栴}:圓柱形空間區(qū)域內(nèi)存在著均勻磁場(chǎng)，求(1)如圖所示的長(zhǎng)直導(dǎo)線中的感生電動(dòng)勢(shì):o.R圖9-2342

5.電子感應(yīng)加速器

大型電磁鐵的兩極間安放一個(gè)環(huán)形真空室。電磁鐵用強(qiáng)大的交變電流來(lái)勵(lì)磁,使環(huán)形真空室處于交變的磁場(chǎng)中，從而在環(huán)形室內(nèi)感應(yīng)出很強(qiáng)的渦旋電場(chǎng)。用電子槍將電子注入環(huán)形室,它們?cè)诼鍋銎澚Φ淖饔孟卵貓A形軌道運(yùn)動(dòng)，同時(shí)又被渦旋電場(chǎng)加速,，能量可達(dá)到幾百M(fèi)ev。這種加速器常用在醫(yī)療、工業(yè)探傷中。圖9-2443圖9-2444前面研究了電磁感應(yīng)現(xiàn)象的基本規(guī)律，即法拉第電磁感應(yīng)定律。根據(jù)磁通量隨時(shí)間變化的手段不同，將感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)分為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)。它是一個(gè)普遍成立的定律。下面再研究?jī)蓚€(gè)特殊的電磁感應(yīng)現(xiàn)象：§9-4自感應(yīng)和互感應(yīng)

45一.自感現(xiàn)象自感系數(shù)§9-4自感應(yīng)和互感應(yīng)

現(xiàn)象：由于回路電流變化，引起自已回路的磁通量變化，而在回路中激起感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的現(xiàn)象叫做自感現(xiàn)象。相應(yīng)的電動(dòng)勢(shì)叫做自感電動(dòng)勢(shì)。

設(shè)回路有N匝線圈，通過(guò)線圈面積上的磁通量為m,則通過(guò)線圈的磁通鏈數(shù):

BI圖9-25Nm(9-9)式中比例系數(shù)L,叫做線圈的自感系數(shù),簡(jiǎn)稱自感。

對(duì)非鐵磁質(zhì),L是常量,大小與線圈的形狀大小及磁介質(zhì)有關(guān)。對(duì)鐵磁質(zhì),L不再是常量(與電流有關(guān))。46自感電動(dòng)勢(shì)為

如果線圈自感系數(shù)L為常量,則(9-10)

在SI制中,自感L的單位為亨利,簡(jiǎn)稱亨(H)。由上可得計(jì)算自感系數(shù)的方法：Nm=LI47

例題9-15

一單層密繞、長(zhǎng)為l、截面積為S的長(zhǎng)直螺線管,單位長(zhǎng)度上的匝數(shù)為n,管內(nèi)充滿磁導(dǎo)率為的均勻磁介質(zhì)。求該長(zhǎng)直螺線管的自感系數(shù)。

解設(shè)在長(zhǎng)直螺線管中通以電流I，則B=

nIm=BS=nIS

Sl=V圖9-26求L四部曲：1.設(shè)通I2.求B3.求4.求小結(jié)：48

例題9-16

求同軸電纜單位長(zhǎng)度上的自感。解(a<r<b)圖9-27mIabcIdrr同軸電纜通以電流I,49

例題9-17

一矩形截面螺線環(huán)，共N匝，如圖9-28所示，求它的自感。解圖9-28drr50二.互感現(xiàn)象互感系數(shù)

現(xiàn)象：由于一個(gè)線圈中電流發(fā)生變化而在附近的另外一個(gè)線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的現(xiàn)象叫做互感現(xiàn)象。這種感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)叫做互感電動(dòng)勢(shì)。

在非鐵磁介質(zhì)的情況下,互感系數(shù)M與電流無(wú)關(guān)，僅僅與兩線圈的形狀大小、相對(duì)位置及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)。在鐵磁質(zhì)中,M將受線圈中電流的影響。實(shí)驗(yàn)證明，M1=M2=M。比例系數(shù)M,叫做兩線圈的互感系數(shù),簡(jiǎn)稱互感。(9-11)I112圖9-29BN221I2N112∝＝M2下面研究互感系數(shù)51當(dāng)M不變時(shí)，互感電動(dòng)勢(shì)為：(9-12)由上可得計(jì)算互感系數(shù)的方法：計(jì)算自感系數(shù)的方法：比較！N221=MI1N112=MI252例題9

-18矩形線框長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬為b,放在一根長(zhǎng)的直導(dǎo)線旁,這導(dǎo)線與線框共面且與矩形長(zhǎng)邊平行,r0,如圖。計(jì)算：（1）矩形線框與長(zhǎng)直導(dǎo)線間的互感求直導(dǎo)線中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。r0bL(1)把直導(dǎo)線看成一個(gè)線圈的一部分，不過(guò)因?yàn)楹艽螅溆嗖糠趾苓h(yuǎn)。所以計(jì)算的是兩回路間的互感。（2）當(dāng)矩形線圈中的電流時(shí)，53(2)直導(dǎo)線的互感電動(dòng)勢(shì):Ir0bL設(shè)給直導(dǎo)線通以電流I,dr54

例題9-19

一長(zhǎng)直磁棒上繞有自感分別為L(zhǎng)1和L2的兩個(gè)線圈，如圖9-31所示。在理想耦合的情況下，求它們之間的互感系數(shù)。

解設(shè)自感L1長(zhǎng)l1、N1匝，L2長(zhǎng)l2、N2匝，并在

L1

中通以電流I1?？紤]到理想耦合的情況，有1234S圖9-31L1L255同理，若在

L2

中通以電流I2，則有前已求出：得

必須指出,只有在理想耦合的情況下,才有的關(guān)系;一般情形時(shí),,而0≤k≤1,k稱為耦合系數(shù),視兩線圈的相對(duì)位置而定。1234S圖9-31L1L256問(wèn)題：

1.將2、3端相連接，這個(gè)線圈的自感是多少？設(shè)線圈中通以電流I,

2.將2、4端相連接，這個(gè)線圈的自感是多少？1234S圖9-32L1L21234S圖9-32L1L2則穿過(guò)線圈面積的磁通鏈為57

2.將2、4端相連接，這個(gè)線圈的自感是多少？1234S圖9-32L1L2以L1自感磁通為正方向，以L2自感磁通為正方向，58§9-5磁場(chǎng)的能量一.自感磁能電源發(fā)出的總功電源反抗自感的功電阻上的焦耳熱圖9-34KRL1.通電線圈中的磁能閉合電鍵K后，,出現(xiàn).t時(shí)刻電路中電流為59

電源反抗自感作功過(guò)程，也是線圈中磁場(chǎng)的建立的過(guò)程。(9-13)2.磁場(chǎng)能量密度設(shè)螺線管單位長(zhǎng)度上n匝，體積為V，其中充滿磁導(dǎo)率為μ的均勻磁介質(zhì),L=μn2V,

B=μnI=

μH可見(jiàn)，電源克服自感電動(dòng)勢(shì)所作的功，就轉(zhuǎn)化為線圈L中的磁能:60

因?yàn)殚L(zhǎng)直螺線管內(nèi)磁場(chǎng)是均勻的,所以磁場(chǎng)能量的分布也是均勻的。于是磁場(chǎng)能量密度為式(13-14)雖然是從載流長(zhǎng)直螺線管為例導(dǎo)出的,但可以證明該式適用于一切磁場(chǎng)(鐵磁質(zhì)除外)。(9-14)磁場(chǎng)能量計(jì)算:勻強(qiáng)磁場(chǎng)非勻強(qiáng)磁場(chǎng)61二.互感磁能設(shè)有兩個(gè)自感分別為L(zhǎng)1和L2的線圈,互感為M,計(jì)算電流分別達(dá)到I1和I2時(shí)的系統(tǒng)的總磁能。首先將L2斷開(kāi),L1中通以電流I1,L1中的磁能是:然后接通L2使電流達(dá)到I2,

此時(shí)L2中的磁能是:但在L2中的電流由圖示連接從零增大到I2的過(guò)程中,由于互感有使I1減小的趨勢(shì)。L1L2M圖9-35SI1I262為保持L1中的電流I1不變，調(diào)整電阻，使電源進(jìn)一步供電。而所以在L2中的電流由零增大到I2的過(guò)程中,L1中的電源提供的能量是這部分能量稱為互感磁能。電源提供的能量用于克服互感電動(dòng)勢(shì)作功：L1L2M圖9-35SI1I263于是當(dāng)L1和L2中的電流分別達(dá)到I1和I2時(shí)系統(tǒng)的總磁能為：(9-15)如果兩線圈反向連接，則系統(tǒng)的總磁能應(yīng)為：(9-16)L1L2M圖9-35SI1I264

例題9-20

一細(xì)螺線環(huán)有N=200匝，I=1.25A,通過(guò)環(huán)截面積的磁通量m=5×10-4wb,求螺線環(huán)中儲(chǔ)存的磁能。解

=0.125J··························圖9-3665

例題9-21一根長(zhǎng)直同軸電纜由兩個(gè)同軸薄圓筒構(gòu)成,其半徑分別為R1和R2,流有大小相等、方向相反的軸向電流I,兩筒間為真空，如圖9-37所示。試計(jì)算電纜單位長(zhǎng)度內(nèi)所儲(chǔ)存的磁能。解(R1<r<R2)也可用計(jì)算。I圖9-37IR1R21drr66

例題9-22假定電子是一個(gè)半徑為Ro的空心球。計(jì)算電子以速度(<<c)運(yùn)動(dòng)時(shí)的磁場(chǎng)能量。解r圖9-38.p67內(nèi)容提要：1法拉第電磁感應(yīng)定律和楞次定律2動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式dl(9-5)(9-8)3感生電動(dòng)勢(shì)公式4自感和互感的計(jì)算公式68位移電流(電場(chǎng)的變化)與傳導(dǎo)電流一樣，也要在周圍的空間激發(fā)磁場(chǎng)。

麥克斯韋認(rèn)為：變化的磁場(chǎng)要在其周圍的空間激發(fā)一種電場(chǎng),叫做感生電場(chǎng)(渦旋電場(chǎng))Ei。

(9-13)(9-14)5磁能和磁能密度的計(jì)算6兩個(gè)觀念：69前面講到，變化的磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)(感生電場(chǎng))。那么變化的電場(chǎng)能不能激發(fā)磁場(chǎng)？答案是：能！麥克斯韋在研究了安培環(huán)路定律應(yīng)用于交流電路中出現(xiàn)的矛盾以后，提出了位移電流的概念，對(duì)上述問(wèn)題作出了圓滿的回答。§9-6位移電流

電磁場(chǎng)理論

在穩(wěn)恒電流條件下,安培環(huán)路定律為(9-17)式中:I內(nèi)是穿過(guò)以閉合回路l為邊界的任意曲面S的傳導(dǎo)電流的代數(shù)和。一問(wèn)題的提出70Il圖9-39對(duì)以l為邊界的圓面，對(duì)以l為邊界的曲面S，S知：在穩(wěn)恒電流條件下,安培環(huán)路定理對(duì)以閉合回路l為邊界的任意曲面S都成立.

在非穩(wěn)恒的條件下,情況又如何？

71圖9-40kIl對(duì)以l為邊界的圓面，

在非穩(wěn)恒的條件下,情況又如何？

對(duì)以l為邊界的曲面S，S可見(jiàn)，在非穩(wěn)恒的條件下,安培環(huán)路定律失去效力!能否有一個(gè)更普遍的定律代替安培環(huán)路定律,使之在非穩(wěn)恒電流的條件下也適用?麥克斯韋看出:安培環(huán)路定律失去效力的原因在于非穩(wěn)恒電路的電流不連續(xù)!他提出了位移電流的概念,使非穩(wěn)恒電路中的電流成為連續(xù)的,建立了全電流定律.72二位移電流E圖9-40kI麥?zhǔn)涎芯苛穗娙萜鞒潆?

金屬板中有傳導(dǎo)電流，(q為極板上的電量)

傳導(dǎo)電流強(qiáng)度及電流密度分別為

兩極板間，沒(méi)有電荷運(yùn)動(dòng)，但有變化的電場(chǎng)：兩極板間電位移通量e對(duì)時(shí)間的變化率(極板中的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度)(極板中的傳導(dǎo)電流密度)73位移電流密度：位移電流強(qiáng)度：(9-19)即:電場(chǎng)中某點(diǎn)的位移電流密度等于該點(diǎn)電位移矢量對(duì)時(shí)間的變化率；通過(guò)電場(chǎng)中某面積的位移電流強(qiáng)度等于通過(guò)該面積的電位移通量對(duì)時(shí)間的變化率。麥克斯韋認(rèn)為:變化的電場(chǎng)是一種電流，即位移電流。麥克斯韋指出：(9-18)圖9-40kIlE+q-q引入位移電流后,雖然傳導(dǎo)電流在兩極板間中斷,但極板間有位移電流,且.整個(gè)電路中電流連續(xù),形成“全電流”.74全電流=傳導(dǎo)電流+運(yùn)流電流+位移電流。全電流總是連續(xù)的。

麥克斯韋指出：位移電流(電場(chǎng)的變化)與傳導(dǎo)電流一樣，也要在周圍的空間激發(fā)磁場(chǎng)。

因此,在非穩(wěn)恒情況下,安培環(huán)路定律的一般形式為位移電流(9-20)圖9-40kIlE+q-q三.全電流定律傳導(dǎo)+運(yùn)流75比較傳導(dǎo)電流和位移電流：

位移電流：隨時(shí)間變化的電場(chǎng)產(chǎn)生；可存在于任何介質(zhì)(包括真空)中；無(wú)焦耳熱。傳導(dǎo)電流：電荷的定向運(yùn)動(dòng)形成；只存在于導(dǎo)體中；有焦耳熱。運(yùn)流電流:電荷在真空中運(yùn)動(dòng)形成的電流.帶電圓面的電荷繞軸線旋轉(zhuǎn)而形成的電流76

例題9-23平行板電容器的電容C=20F，兩板上電壓變化率為dU/dt=1.50105V.s-1，求兩板間的位移電流強(qiáng)度。解=3A因?yàn)閮砂彘g的位移電流和電路中傳導(dǎo)電流相等