第二章 連續(xù)信號傅立葉分析

第二章連續(xù)信號傅立葉分析2.1信號的正交分解概念

信號與多維矢量之間的相似關(guān)系空間感念

數(shù)學(xué)定義:把具有某種特性的集合稱為“空間”

線性矢量空間：引入線性運(yùn)算的矢量空間

范數(shù):矢量長度類似 線性賦范空間 內(nèi)積空間信號能量與矢量長度的相似

信號相關(guān)性類似于矢量之間的夾角 內(nèi)積空間的正交性 內(nèi)積空間信號的正交展開 帕塞瓦爾公式揭示了信號正交分解能量不變性的物理本質(zhì),

相當(dāng)于矢量范數(shù)不變性(內(nèi)積不變性)的體現(xiàn)

一.信號矢量空間1.線性空間

其中任意兩元素相加構(gòu)成集合內(nèi)的另一個(gè)元素,任一元素與任一數(shù)相趁乘后得到集合內(nèi)的另一元素. n維實(shí)數(shù)空間

連續(xù)時(shí)間信號空間L

離散時(shí)間信號空間在線性空間利用線性運(yùn)算研究線性相關(guān)、基、維數(shù)等線性結(jié)構(gòu)

n維實(shí)數(shù)空間為有限維空間，連續(xù)、離散時(shí)間信號空間為無窮維空間

2.范數(shù)、賦范空間

范數(shù)是矢量長度的度量方法，也用于表示信號能量 的范數(shù)常見的有，，。稱為歐氏距離

L和范數(shù)

二階范數(shù)的平方表示信號能量，表示信號可測得的蜂值給出了范數(shù)的概念可構(gòu)成線性賦范空間，如等3.內(nèi)積,內(nèi)積空間 范數(shù)與信號自身的能量、強(qiáng)度等特征相對應(yīng)，而內(nèi)積與信號之間的相關(guān)密切相連。三維矢量內(nèi)積運(yùn)算，當(dāng)夾角為90度時(shí)，結(jié)果為零；夾角為0時(shí)，結(jié)果最大。

L空間兩信號的內(nèi)積：兩矢量夾角二.信號的正交分解1、矢量正交與正交分解矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)與Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定義：其內(nèi)積為0。即由兩兩正交的矢量組成的矢量集合---稱為正交矢量集例如對于一個(gè)三維空間的矢量A=(2，5，8)，可以用一個(gè)三維正交矢量集{

vx，vy，vz}分量的線性組合表示。即

A=

vx+2.5

vy+4

vz

矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間，在信號空間找到若干個(gè)相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)

1(t)和

2(t),若滿足則稱

1(t)和

2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。若n個(gè)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集。如果在正交函數(shù)集{1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函數(shù)φ(t)(≠0）滿足則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。2、正交函數(shù)集例3:沃爾什函數(shù)(walah)是區(qū)間（0，1）的完備正交函數(shù)集例1：三角函數(shù)集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}例2:虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。3、正交函數(shù)集實(shí)例上述波形也稱為“小波”。?。壕哂兴p性、局部非零的的函數(shù);

波:指具有波動性,振幅呈正負(fù)之間的震蕩形式利用所給的小波能否派生更多\更適用的小波函數(shù)?小波函數(shù)的重要價(jià)值在于通過平移和伸縮生成中的一組正交基

MATLAB有各種小波基函數(shù)庫,信號分解為正交函數(shù)和是信號分析的一個(gè)重要內(nèi)容,傅立葉級數(shù)、傅立葉變換、離散傅立葉變換、離散余弦變換、小波變換等。4、正交分解設(shè)有n個(gè)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為

f(t)≈C11+C22+…+Cnn

如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為

為使上式最小展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為0，寫為所以系數(shù)

最小均方誤差正交函數(shù)近似f(t)時(shí)，n越大，均方誤差越小。當(dāng)n→∞時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式，表明：在區(qū)間(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和三.正交基1、正交變換是空間H的一組向量,它們線性無關(guān)且構(gòu)成完備函數(shù)集,為H的一組正交基分解系數(shù)是唯一的將信號經(jīng)正交變換后得到一組離散系數(shù),具有減少各分量的相關(guān)性的作用,即將信號能量集中于少數(shù)系數(shù)上.相關(guān)性去處的程度及能量集中的程度取決于選擇的基函數(shù)的性質(zhì).2、正交基選擇在一個(gè)N維空間中,如同有無數(shù)組N個(gè)線性無關(guān)的向量一樣,也可以找到無窮多個(gè)正交基,如何選擇一組好的正交基?一般考慮如下幾個(gè)因素:具有所希望的物理意義或?qū)嶋H含義,有些物理解釋雖然不 甚明朗,但有較強(qiáng)的實(shí)際價(jià)值正交基應(yīng)盡量簡單,盡量減少正反變換時(shí)的計(jì)算量為了研究局部頻率或局部時(shí)間性質(zhì),希望基函數(shù)有頻域和 時(shí)域的定位 功能,既頻域和時(shí)域最好是緊支撐的具有好的去相關(guān)性和能量集中的性能 正交小波正是朝這一目標(biāo)努力得出的可喜成果.2.2信號的傅立葉分析一.周期信號的傅立葉級數(shù)：

表明:周期信號可分解為直流和許多余弦分量。其中，A0/2為直流分量；A1cos(0t+1)稱為基波，它的角頻率與原周期信號相同；A2cos(20t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(n0t+n)稱為n次諧波。An~n0,n~n0

繪成的波形稱為幅度譜和相位譜.1.三角型傅立葉級數(shù)：

2.指數(shù)型傅立葉級數(shù)：

提取了反映信號全貌的三個(gè)基本特征,即基波頻率、各諧波的幅度和相位——頻譜圖頻譜圖與時(shí)域波形的變化規(guī)律有著密切的關(guān)系：頻率的高低相應(yīng)于波形變化的快慢；諧波幅度的大小反映了時(shí)域波形幅值得大??；相位的變化關(guān)系到波形在時(shí)域出現(xiàn)的不同時(shí)刻任意波形的周期信號都可以用反映信號頻率特性的復(fù)函數(shù)描述3.傅里葉級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)一線性

性質(zhì)二時(shí)移特性若

若只要T1/T2為有理數(shù)性質(zhì)三尺度變換

信號在時(shí)域尺度變換,頻域中各諧波的傅立葉系數(shù)保持不變.但基波頻率變?yōu)?/p>

周期為4,脈寬為2的周期信號

周期為2,脈寬為1的周期信號

性質(zhì)四時(shí)域微積分性質(zhì)

4.傅里葉級數(shù)的應(yīng)用諧波分析

信號重構(gòu)與Gibbs效應(yīng)對于帶突變的信號,不可能有完美的重構(gòu),當(dāng)有限項(xiàng)疊加時(shí),在每個(gè)突變位置上顯示出過沖和下沖現(xiàn)象(突變約9%).沒有突變的信號,不存在Gibbs效應(yīng)周期脈沖信號的頻譜5.周期信號頻譜的特點(diǎn):1基本特點(diǎn)—離散性和諧波性2常見周期信號頻譜的衰減性和無限帶寬特點(diǎn)3時(shí)域中的跳變會產(chǎn)生豐富的高頻分量4頻譜包絡(luò)線5“主瓣”寬度,“旁瓣”寬度;6譜線條數(shù)7脈寬一定,周期增大,零點(diǎn)不變,譜線變密8周期一定,脈寬減小,譜線疏密不變,零點(diǎn)外擴(kuò)周期、脈寬引起頻譜的變化周期、脈寬引起頻譜的變化周期信號過渡到非周期信號的頻譜周期脈沖信號及其頻譜及單個(gè)脈沖信號及其頻譜

二.非周期信號的傅里葉變換分析1.傅里葉變換傅里葉正變換:傅里葉逆變換:2.非周期信號的頻譜周期信號頻譜和非周期信號頻譜的重要區(qū)別：1周期信號頻譜是頻率的離散函數(shù);

而非周期信號頻譜是頻率的連續(xù)函數(shù)；表示的是周期信號各頻率分量實(shí)際幅度;

而表示的是非周期信號各頻率分量的相對幅度大小關(guān)系。單邊指數(shù)衰減信號幅頻特性及相頻特性雙邊指數(shù)衰減奇信號的幅頻特性和相頻特性雙邊指數(shù)衰減奇信號及其頻譜

及其頻譜3.傅里葉變換的性質(zhì)性質(zhì)一線性

性質(zhì)二對稱性性質(zhì)三尺度變換

性質(zhì)四時(shí)移特性性質(zhì)五頻移特性時(shí)頻壓擴(kuò)現(xiàn)象性質(zhì)八

時(shí)域卷積特性：性質(zhì)七時(shí)域積分特性性質(zhì)六時(shí)域微分特性

性質(zhì)九頻域卷積定理性質(zhì)十帕斯瓦爾定理性質(zhì)十一頻域微分特性

性質(zhì)十二頻域積分特性

F變換對常用函數(shù)F變換對：δ(t)ε(t)e-t

ε(t)gτ(t)sgn

(t