高等代數(shù)課件 第5章 二次型 5.3 二次型的慣性定理

二次型的慣性定理定理復(fù)數(shù)域上兩個n階對稱矩陣合同的充分且必要條件是它們有相同的秩.兩個復(fù)二次型等價的充分且必要條件是它們有相同的秩.證顯然只要證明第一個論斷.條件的必要性是明顯的.我們只要證條件的充分性.設(shè)A，B是復(fù)數(shù)域上兩個n階對稱矩陣，且A與B有相同的秩r

，由定理，分別存在復(fù)可逆矩陣P和Q，使得取n階復(fù)矩陣的一個平方根.那么，而因此，矩陣A，B都與矩陣合同，所以A與B合同.實二次型的典范形定理

實數(shù)域上每一n階對稱矩陣A都合同于如下形式的一個矩陣：（1）

這里r等于A的秩.證

由定理9.1.2，存在實可逆矩陣P，使得如果r>0，必要時交換兩列和兩行，我們總可以假定取那么定理9.2.3

實數(shù)域上每一n元二次型都與如下形式的一個二次型等價：（1）

這里r是所給的二次型的秩.二次型（1）叫做實二次型的典范形式，定理9.2.3是說，實數(shù)域上每一個二次型都與一個典范形式等價.在典范形式里，平方項的個數(shù)r等于二次型的秩，因而是唯一確定的.定理9.2.4（慣性定律）設(shè)實數(shù)域R上n元二次型等價于兩個典范形式（2）（3）那么證

設(shè)（2）和（3）分別通過變量的非奇異線性變換（4）（5）化為所給的二次型如果不妨設(shè)考慮個方程的齊次線性方程組（6）因為所以因此，方程組（6）在R內(nèi)有非零解.令是（6）的一個非零解.把這一組值代入的表示式（4）和（5）.記我們有然而所以因為都是非負數(shù)，所以必須又所以是齊次線性方程組的一個非零解.這與矩陣的非奇異性矛盾.這就證明了.同理可證得.

所以由這個定理，實數(shù)域上每一個二次型都與

唯一的典范形式（1）等價.在（1）中，正平方項的個數(shù)p叫做所給二次型的慣性指標.

正項的個數(shù)p與負項的個數(shù)r–p的差s=p–(r–p)=2p–r叫做所給的二次型的符號差.

一個實二次型的秩，慣性指標和符號都是唯一確定的.

定理9.2.5

實數(shù)域上兩個n元二次型等價的充分且必要條件是它們有相同的秩和符號差.證設(shè)是實數(shù)域上兩個n元二次型.令分別是它們的矩陣.那么由定理9.2.2，存在實可逆矩陣P，使得如果等價，那么合同.于是存在實可逆矩陣Q使得.取，那么因此都與同一個典范形式等價，所以它們有相同的秩和符號差.反過來，如果有相同的秩r

和符號差s,那么它們也有相同的慣性指標.因此

都與矩陣合同.由此推出合同，從而等價.推論9.2.6

實數(shù)域R上一切n元二次型可以分成

類，屬于同一類的二次型彼此等價，屬于不同類的二次型互不等價.證

給定.令由定理9.2.4，R上每一n元二次型恰與一個以為矩陣的典范形式等價.當r取定后，p可以取0，1，…，r

；而r又可以取0，1，…，n

中任何一個數(shù).因此這樣的共有個.對于每一個，就有一個典范形式與它相當.把與同一個典范形式等價的二次型放在一類，于是R上的一切n元二次型恰可以分成

類，屬于同一類的二次彼此等價，屬于不同類的二次互不等價.例1

a滿足什么條件時，二次型的慣性指標是0，符號差是－2