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二次型的慣性定理定理復(fù)數(shù)域上兩個n階對稱矩陣合同的充分且必要條件是它們有相同的秩.兩個復(fù)二次型等價的充分且必要條件是它們有相同的秩.證顯然只要證明第一個論斷.條件的必要性是明顯的.我們只要證條件的充分性.設(shè)A,B是復(fù)數(shù)域上兩個n階對稱矩陣,且A與B有相同的秩r
,由定理,分別存在復(fù)可逆矩陣P和Q,使得取n階復(fù)矩陣的一個平方根.那么,而因此,矩陣A,B都與矩陣合同,所以A與B合同.實二次型的典范形定理
實數(shù)域上每一n階對稱矩陣A都合同于如下形式的一個矩陣:(1)
這里r等于A的秩.證
由定理9.1.2,存在實可逆矩陣P,使得如果r>0,必要時交換兩列和兩行,我們總可以假定取那么定理9.2.3
實數(shù)域上每一n元二次型都與如下形式的一個二次型等價:(1)
這里r是所給的二次型的秩.二次型(1)叫做實二次型的典范形式,定理9.2.3是說,實數(shù)域上每一個二次型都與一個典范形式等價.在典范形式里,平方項的個數(shù)r等于二次型的秩,因而是唯一確定的.定理9.2.4(慣性定律)設(shè)實數(shù)域R上n元二次型等價于兩個典范形式(2)(3)那么證
設(shè)(2)和(3)分別通過變量的非奇異線性變換(4)(5)化為所給的二次型如果不妨設(shè)考慮個方程的齊次線性方程組(6)因為所以因此,方程組(6)在R內(nèi)有非零解.令是(6)的一個非零解.把這一組值代入的表示式(4)和(5).記我們有然而所以因為都是非負(fù)數(shù),所以必須又所以是齊次線性方程組的一個非零解.這與矩陣的非奇異性矛盾.這就證明了.同理可證得.
所以由這個定理,實數(shù)域上每一個二次型都與
唯一的典范形式(1)等價.在(1)中,正平方項的個數(shù)p叫做所給二次型的慣性指標(biāo).
正項的個數(shù)p與負(fù)項的個數(shù)r–p的差s=p–(r–p)=2p–r叫做所給的二次型的符號差.
一個實二次型的秩,慣性指標(biāo)和符號都是唯一確定的.
定理9.2.5
實數(shù)域上兩個n元二次型等價的充分且必要條件是它們有相同的秩和符號差.證設(shè)是實數(shù)域上兩個n元二次型.令分別是它們的矩陣.那么由定理9.2.2,存在實可逆矩陣P,使得如果等價,那么合同.于是存在實可逆矩陣Q使得.取,那么因此都與同一個典范形式等價,所以它們有相同的秩和符號差.反過來,如果有相同的秩r
和符號差s,那么它們也有相同的慣性指標(biāo).因此
都與矩陣合同.由此推出合同,從而等價.推論9.2.6
實數(shù)域R上一切n元二次型可以分成
類,屬于同一類的二次型彼此等價,屬于不同類的二次型互不等價.證
給定.令由定理9.2.4,R上每一n元二次型恰與一個以為矩陣的典范形式等價.當(dāng)r取定后,p可以取0,1,…,r
;而r又可以取0,1,…,n
中任何一個數(shù).因此這樣的共有個.對于每一個,就有一個典范形式與它相當(dāng).把與同一個典范形式等價的二次型放在一類,于是R上的一切n元二次型恰可以分成
類,屬于同一類的二次彼此等價,屬于不同類的二次互不等價.例1
a滿足什么條件時,二次型的慣性指標(biāo)是0,符號差是-2
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