吳百詩(shī)《大學(xué)物理基礎(chǔ)》電子教案ch5

第5章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)貓習(xí)慣于在陽(yáng)臺(tái)上睡覺(jué)，因而從陽(yáng)臺(tái)上掉下來(lái)的事情時(shí)有發(fā)生。長(zhǎng)期的觀察表明貓從高層樓房的陽(yáng)臺(tái)掉到樓外的人行道上時(shí)，受傷的程度將隨高度的增加而減少，為什么會(huì)這樣呢？本章內(nèi)容5.1剛體運(yùn)動(dòng)的描述5.2力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律5.3繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能動(dòng)能定理5.4動(dòng)量矩和動(dòng)量矩守恒定律5.1剛體運(yùn)動(dòng)的描述一.剛體的平動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若在剛體內(nèi)所作的任一條直線都始終保持和自身平行—?jiǎng)傮w平動(dòng)平動(dòng)的特點(diǎn)(1)剛體中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況相同(2)剛體的平動(dòng)可歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一大型回轉(zhuǎn)類“觀覽圓盤”如圖所示。圓盤的半徑R=25m，供人乘坐的吊箱高度L=2m。若大圓盤繞水平軸均速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為0.1r/min。例解求吊箱底部A點(diǎn)的軌跡及A點(diǎn)的速度和加速度的大小。吊箱平動(dòng)二.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)zMIIIP角坐標(biāo)角速度角加速度1.描述剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量剛體的平動(dòng)和繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是剛體的兩種最簡(jiǎn)單最基本運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸)作圓周運(yùn)動(dòng)___剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)—定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度和加速度當(dāng)與質(zhì)點(diǎn)的勻加速直線運(yùn)動(dòng)公式相象定軸P×ω,剛體參考方向θzOr'基點(diǎn)O瞬時(shí)軸任意點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動(dòng),且，

都相同

速度與角速度的矢量關(guān)系式加速度與角加速度的矢量關(guān)系式定軸P×ω,剛體參考方向θzOr'基點(diǎn)O瞬時(shí)軸5.2力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律一.力矩力改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)

剛體獲得角加速度力F

對(duì)z

軸的力矩力矩取決于力的大小、方向和作用點(diǎn)在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩只有兩個(gè)指向????質(zhì)點(diǎn)獲得加速度改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？hA(1)

力對(duì)點(diǎn)的力矩O.(2)

力對(duì)定軸力矩的矢量形式力矩的方向由右螺旋法則確定(3)力對(duì)任意點(diǎn)的力矩，在通過(guò)該點(diǎn)的任一軸上的投影，等于該力對(duì)該軸的力矩討論hAxLOMy例已知棒長(zhǎng)L,質(zhì)量M

，在摩擦系數(shù)為

的桌面轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖)解根據(jù)力矩xdxTT'例如TT'在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩可用代數(shù)值進(jìn)行計(jì)算?求摩擦力對(duì)y軸的力矩剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律作用在剛體上所有的外力對(duì)定軸z軸的力矩的代數(shù)和剛體對(duì)z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(1)M

正比于

，力矩越大，剛體的

越大(2)力矩相同，若轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，產(chǎn)生的角加速度不同二.剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律實(shí)驗(yàn)證明當(dāng)M

為零時(shí)，則剛體保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)存在M時(shí)，與M

成正比，而與J

成反比(3)與牛頓定律比較：討論在國(guó)際單位中k=1O理論推證取一質(zhì)量元切線方向?qū)潭ㄝS的力矩對(duì)所有質(zhì)元合內(nèi)力矩=0合外力矩M剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

J?三.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義式質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素:(1)總質(zhì)量(2)質(zhì)量分布(3)轉(zhuǎn)軸的位置(1)J

與剛體的總質(zhì)量有關(guān)例如兩根等長(zhǎng)的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量LzOxdxM?(2)J

與質(zhì)量分布有關(guān)例如圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例如圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dlOmROmrdrROLxdxMzLOxdxM四.平行軸定理及垂直軸定理zLCMz'z(3)J

與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)1.平行軸定理:剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:剛體繞通過(guò)質(zhì)心的軸:兩軸間垂直距離例

均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2.(薄板)垂直軸定理ML

例如求對(duì)圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量已知

yx

z

圓盤

R

C

mx,y軸在薄板內(nèi)；z軸垂直薄板。zxy(1)飛輪的角加速度(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計(jì)算飛輪的角加速解(1)(2)兩者區(qū)別五.轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用舉例例求一輕繩繞在半徑r=20cm的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N

的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.5kg·m2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計(jì)，(見(jiàn)圖)一根長(zhǎng)為

l

，質(zhì)量為m

的均勻細(xì)直棒，可繞軸

O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置求它由此下擺

角時(shí)的OlmCx解取一質(zhì)元重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩等于重力全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩dm例圓盤以

0

在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng),受摩擦力而靜止解例求到圓盤靜止所需時(shí)間取一質(zhì)元由轉(zhuǎn)動(dòng)定律摩擦力矩R例

一個(gè)剛體系統(tǒng)，如圖所示，已知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，現(xiàn)有一水平力作用于距軸為

l'

處求軸對(duì)棒的作用力（也稱軸反力）。解設(shè)軸對(duì)棒的作用力為N由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理打擊中心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理與轉(zhuǎn)動(dòng)定律聯(lián)用質(zhì)點(diǎn)系由轉(zhuǎn)動(dòng)定律5.3

繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能動(dòng)能定理一.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能zO設(shè)系統(tǒng)包括有N

個(gè)質(zhì)量元,其動(dòng)能為各質(zhì)量元速度不同，但角速度相同剛體的總動(dòng)能P?繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角速度平方乘積的一半結(jié)論取二.力矩的功O

功的定義力矩作功的微分形式對(duì)一有限過(guò)程若

M=C(積分形式）力的累積過(guò)程——力矩的空間累積效應(yīng)??.P三.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理——力矩功的效果對(duì)于一有限過(guò)程繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在任一過(guò)程中動(dòng)能的增量，等于在該過(guò)程中作用在剛體上所有外力所作功的總和。這就是繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的——?jiǎng)幽芏ɡ?2)力矩的功就是力的功。(3)內(nèi)力矩作功之和為零。討論(1)合力矩的功

剛體的機(jī)械能剛體重力勢(shì)能剛體的機(jī)械能質(zhì)心的勢(shì)能剛體的機(jī)械能守恒對(duì)于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立??例一根長(zhǎng)為

l

，質(zhì)量為

m

的均勻細(xì)直棒，可繞軸O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置解由動(dòng)能定理求它由此下擺

角時(shí)的此題也可用機(jī)械能守恒定律方便求解OlmCx圖示裝置可用來(lái)測(cè)量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。待測(cè)物體A裝在轉(zhuǎn)動(dòng)架上，轉(zhuǎn)軸Z上裝一半徑為r

的輕鼓輪，繩的一端纏繞在鼓輪上，另一端繞過(guò)定滑輪懸掛一質(zhì)量為

m的重物。重物下落時(shí)，由繩帶動(dòng)被測(cè)物體

A繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)。今測(cè)得重物由靜止下落一段距離

h，所用時(shí)間為t，例解分析（機(jī)械能）：求物體A對(duì)Z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz。設(shè)繩子不可伸縮，繩子、各輪質(zhì)量及輪軸處的摩擦力矩忽略不計(jì)。若滑輪質(zhì)量不可忽略，怎樣？機(jī)械能守恒一.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩(角動(dòng)量)定理和動(dòng)量矩守恒定律1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩(對(duì)O點(diǎn))其大小(1)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及位矢(取決于固定點(diǎn)的選擇)有關(guān)特例：質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)5.4

動(dòng)量矩和動(dòng)量矩守恒定律說(shuō)明OS慣性參照系(2)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)某參考點(diǎn)O的動(dòng)量矩也稱為質(zhì)點(diǎn)對(duì)過(guò)O垂直于運(yùn)動(dòng)平面的軸的動(dòng)量矩(3)質(zhì)點(diǎn)對(duì)某點(diǎn)的動(dòng)量矩,在通過(guò)該點(diǎn)的任意軸上的投影就等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的動(dòng)量矩例一質(zhì)點(diǎn)m，速度為v，如圖所示，A、B、C分別為三個(gè)參考點(diǎn),此時(shí)m相對(duì)三個(gè)點(diǎn)的距離分別為d1、d2、

d3求此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對(duì)三個(gè)參考點(diǎn)的動(dòng)量矩md1d2

d3ABC解OS(質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的積分形式)(質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的微分形式)質(zhì)點(diǎn)所受合力矩的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩的增量2.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理說(shuō)明(1)沖量矩是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩變化的原因(2)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩的變化是力矩對(duì)時(shí)間的積累結(jié)果3.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律──質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律(2)

通常對(duì)有心力：例如由動(dòng)量矩守恒定律可導(dǎo)出行星運(yùn)動(dòng)的開(kāi)普勒第二定律(1)動(dòng)量矩守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，且在高速低速范圍均適用討論m行星對(duì)太陽(yáng)的位矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積過(guò)O點(diǎn),M=0,動(dòng)量矩守恒當(dāng)飛船靜止于空間距行星中心4R

時(shí)，以速度v

0發(fā)射一

求

θ角及著陸滑行的初速度多大？解引力場(chǎng)（有心力）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒系統(tǒng)的機(jī)械能守恒例

發(fā)射一宇宙飛船去考察一質(zhì)量為M

、半徑為R的行星，質(zhì)量為

m的儀器。要使該儀器恰好掠過(guò)行星表面二.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒定律1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩剛體上任一質(zhì)點(diǎn)對(duì)Z軸的動(dòng)量矩都具有相同的方向O(所有質(zhì)元的動(dòng)量矩之和)2.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理由轉(zhuǎn)動(dòng)定律（動(dòng)量矩定理積分形式）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受合外力矩的沖量矩等于其動(dòng)量矩的增量動(dòng)量矩定理微分形式(1)變形體繞某軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若其上各點(diǎn)(質(zhì)元)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，則變形體對(duì)該軸的動(dòng)量矩說(shuō)明3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩守恒定律對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體當(dāng)變形體所受合外力矩為零時(shí)，變形體的動(dòng)量矩也守恒如：花樣滑冰跳水芭蕾舞等花樣滑冰貓習(xí)慣于在陽(yáng)臺(tái)上睡覺(jué)，因而從陽(yáng)臺(tái)上掉下來(lái)的事情時(shí)有發(fā)生。長(zhǎng)期的觀察表明貓從高層樓房的陽(yáng)臺(tái)掉到樓外的人行道上時(shí)，受傷的程度將隨高度的增加而減少，據(jù)報(bào)導(dǎo)有只貓從32層樓掉下來(lái)也僅僅只有胸腔和一顆牙齒有輕微的損傷。為什么會(huì)這樣呢？一長(zhǎng)為

l

的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過(guò)中心的固定水平軸在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)桿靜止于水平位置。一質(zhì)量與桿相同的昆蟲(chóng)以速度

v0

垂直落到距點(diǎn)

O

l/4

處的桿上，昆蟲(chóng)落下后立即向桿的端點(diǎn)爬行，如圖所