數(shù)系的擴(kuò)充及復(fù)數(shù)的引入

數(shù)系的擴(kuò)充及復(fù)數(shù)的引入溫馨提示:請(qǐng)點(diǎn)擊相關(guān)欄目?？键c(diǎn)·分類整知識(shí)考點(diǎn)·分類整方法考向·分層突破考向·同類練跟蹤練變式練拓展練1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念整知識(shí)

考點(diǎn)

?

分類整合(1)復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復(fù)數(shù)的模：向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝

.2．復(fù)數(shù)的幾何意義3．復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算中常用的幾個(gè)結(jié)論提醒：在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度．(1)(1±i)2＝±2i；

＝i；

＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，

i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.整方法

考點(diǎn)

?

分類整合1．(2014?廣東廣州綜合測(cè)試一)已知i是虛數(shù)單位，若(m＋i)2＝3－4i，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－2B．±2C．±D．2

考向分層突破一：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解析：(m＋i)2＝(m2－1)＋2mi＝3－4i，由復(fù)數(shù)相等得

，解得m＝－2，故選A.2．(2014?陜西咸陽(yáng)二模)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝2i(2－i)的實(shí)部為a，虛部為b，則logab等于()A．0B．1C．2D．3解析：z＝2i(2－i)＝4i－2i2＝2＋4i，則a＝2，b＝4，所以logab＝log24＝2，故選C.答案：C3．(2014?廣東韶關(guān)調(diào)研)已知a是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則a等于()A．1B．－1C.D．－解析：

是純虛數(shù)，則a－1＝0，a＝1，選A.答案：A歸納升華

求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問(wèn)題的技巧復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意列方程(組)求解．

考向分層突破二：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1．(2014?安徽卷)設(shè)i是虛數(shù)單位，

表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)．若z＝1＋i，則

＋i?

＝()A．－2B．－2i

C．2D．2i解析：原式＝

＋i(1－i)＝－i＋1＋i＋1＝2.答案：C2．(2014?廣東卷)已知復(fù)數(shù)z滿足(3＋4i)z＝25，則z＝()A．－3＋4iB．－3－4i

C．3＋4iD．3－4i解析：由已知得z＝

＝3－4i，故選D.解析：

＝－1，故選A.答案：A歸納升華復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法．復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可．(2)復(fù)數(shù)的除法．除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式．

考向分層突破三：復(fù)數(shù)的幾何意義例(1)(2014?四川資陽(yáng)高考模擬)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z和

表示的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則復(fù)數(shù)z＝()A.

B.

C．

D．解析：(1)由

可知該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

，其關(guān)于虛軸的對(duì)稱點(diǎn)為

，故復(fù)數(shù)z＝

，故選A.(2)已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若OC＝λOA＋μOB，(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________．(2)由條件得OC＝(3，－4)，OA＝(－1,2)，OB＝(1，－1)，根據(jù)OC＝λOA＋μOB得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴λ＋μ＝1.

答案：1跟蹤訓(xùn)練3：如圖，平行四邊形OABC，頂點(diǎn)O、A、C分別表示0,3＋2i，－2＋4i，試求：(1)表示的復(fù)數(shù)，表示的復(fù)數(shù)；(2)對(duì)角線所表示的復(fù)數(shù)．解析：(1)

，∴

所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.

∵

，

∴

所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.(2)

，∴

所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝