專題訓(xùn)練 方程組、一元二次方程式

題型一方程（組）、不等式（組）

綜合型問題第三板塊

壓軸題要突破課標(biāo)要求解讀特征分析類型思路近幾年隨著新課改的深入，方程、不等式應(yīng)用題已突破了行程、工程等傳統(tǒng)問題，在命題上有了很大的創(chuàng)新，形式多樣，涉及銷售、購物、方案設(shè)計、環(huán)保等，與生活生產(chǎn)聯(lián)系密切，充滿時代氣息；因此要求學(xué)生具有豐富的生活常識，較強(qiáng)的閱讀能力和良好的數(shù)學(xué)建模能力，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想和方法思考生活、生產(chǎn)和實(shí)際問題的意識，加強(qiáng)由文字語言向符號語言轉(zhuǎn)化的能力，提高對圖表信息的處理能力.1.主要類型有：(1)以教材中常

見的題型或與生活較貼近的問

題為背景，但數(shù)量關(guān)系較為隱

蔽；(2)以市場經(jīng)濟(jì)或日常生活

或社會較關(guān)注的問題為背景，

設(shè)計最佳方案；(3)給出實(shí)際問

題的圖象或圖表等數(shù)學(xué)模型，

運(yùn)用方程、不等式求解.2.解題思路是“審題→設(shè)未知

量→找數(shù)量關(guān)系→建立方程、

不等式模型→解決問題→驗(yàn)證

并回答實(shí)際問題”；這類問題

往往題干較長，信息量較大，

審題時要抓住關(guān)鍵.核心要點(diǎn)突破

一、方程(組)、不等式(組)型方程(組)、不等式(組)是研究數(shù)量關(guān)系的重要工具，在處理生活中的實(shí)際問題時，根據(jù)已知量與未知量之間的相等關(guān)系和不等關(guān)系建立方程(組)、不等式(組)模型，解決問題．【典例1】(2013·浙江寧波)某商場銷售甲、乙兩種品牌的智能手機(jī)，這兩種手機(jī)的進(jìn)價和售價如下表所示：

該商場計劃購進(jìn)兩種手機(jī)若干部，共需15.5萬元，預(yù)計全部銷售后可獲毛利潤共2.1萬元． (毛利潤＝(售價－進(jìn)價)×銷售量) (1)該商場計劃購進(jìn)甲、乙兩種手機(jī)各多少部？甲乙進(jìn)價(元/部)40002500售價(元/部)43003000(2)通過市場調(diào)研，該商場決定在原計劃的基礎(chǔ)上，減少甲種手機(jī)的購進(jìn)數(shù)量，增加乙種手機(jī)的購進(jìn)數(shù)量．已知乙種手機(jī)增加的數(shù)量是甲種手機(jī)減少的數(shù)量的2倍，而且用于購進(jìn)這兩種手機(jī)的總資金不超過16萬元，該商場怎樣進(jìn)貨，使全部銷售后獲得的毛利潤最大？并求出最大毛利潤．(2)設(shè)甲種手機(jī)減少a部，則乙種手機(jī)增加2a部，由題意，得0．4(20－a)＋0.25(30＋2a)≤16，解得a≤5.因?yàn)橐曳N手機(jī)的利潤高，所以當(dāng)購買和銷售乙種手機(jī)最多時，利潤最大，∴當(dāng)a＝5時，購買和銷售乙種手機(jī)為：30＋2×5＝40(部)，購買和銷售甲種手機(jī)為：20－5＝15(部)；最大毛利潤為：0.03×15＋0.05×40＝2.45(萬元)．答：當(dāng)該商場購進(jìn)甲種手機(jī)15部，乙種手機(jī)40部時，全部銷售后獲利最大．最大毛利潤為2.45萬元．

二、方程(組)、不等式(組)與函數(shù)結(jié)合型方程(組)、不等式(組)與函數(shù)密切相連，問題的變化過程往往是函數(shù)關(guān)系，但當(dāng)變化到某一時刻或某一時間段時就轉(zhuǎn)化為方程(組)、不等式(組)．【典例2】(2013·浙江衢州)“五·一”假期，某火車客運(yùn)站旅客流量不斷增大，旅客往往需要長時間排隊(duì)等候檢票．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在車站開始檢票時，有640人排隊(duì)檢票．檢票開始后，仍有旅客繼續(xù)前來排隊(duì)檢票進(jìn)站．設(shè)旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的．檢票時，每分鐘候車室新增排隊(duì)檢票進(jìn)站16人，每分鐘每個檢票口檢票14人．已知檢票的前a分鐘只開放了兩個檢票口．某一天候車室排隊(duì)等候檢票的人數(shù)y(人)與檢票時間x(分鐘)的關(guān)系如圖所示．(1)求a的值；(2)求檢票到第20分鐘時，候車室排隊(duì)等候檢票的旅客人數(shù)；(3)若要在開始檢票后15分鐘內(nèi)讓所有排隊(duì)的旅客都能檢票進(jìn)站，以便后來到站的旅客隨到隨檢，問檢票一開始至少需要同時開放幾個檢票口？解

(1)由圖象知640＋16a－2×14a＝520，∴a＝10；[類題通法]1．理解題意，清楚變量與變量之間的關(guān)系，建立函數(shù)

模型；2．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，解決問題．

三、方程與幾何綜合型由相似可得對應(yīng)邊的比相等；在直角三角形中，由勾股定理可得兩直角邊的平方和等于斜邊的平方等等，都可列出方程，用方程解決幾何中的一些計算問題．【典例3】(2014·內(nèi)蒙古赤峰)閱讀下列材料：

如圖1，圓的概念：在平面內(nèi)，線段PA繞它固定的一個端點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．就是說，到某個定點(diǎn)等于定長的所有點(diǎn)在同一個圓上，圓心在P(a，b)，半徑為r的圓的方程可以寫為：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，如：圓心在P(2，－1)，半徑為5的圓方程為：(x－2)2＋(y＋1)2＝25.①連接EC，證明EC是⊙B的切線；②在BE上是否存在一點(diǎn)P，使PB＝PC＝PE＝PO？若存在，求P點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出以P為圓心，以PB為半徑的⊙P的方程；若不存在，說明理由．(2)①證明：∵BD⊥OC，∴CD＝OD，∴BE垂直平分OC，∴EO＝EC，∴∠EOC＝∠ECO.∵BO＝BC，∴∠BOC＝∠BCO，∴∠EOC＋∠BOC＝∠ECO＋∠BCO，∴∠BOE＝∠BCE＝90°，∴BC⊥CE，∴EC是⊙B的切線；②存在．∵∠BOE＝∠BCE＝90°，∴點(diǎn)C和點(diǎn)O在以BE為直徑的圓上，∴當(dāng)P點(diǎn)為BE的中點(diǎn)時，滿足PB＝PC＝PE＝PO.∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(－6，0)，∴OB＝6.∵∠AOC＋∠DOE＝90°，∠DOE＋∠BEO＝90°，∴∠BEO＝∠AOC，

∴線段AB的中點(diǎn)