直線和平面的投影

關(guān)于直線和平面的投影第一頁，共九十一頁，2022年，8月28日2·1投影的基本知識(shí)投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法畫透視圖畫斜軸測(cè)圖畫工程圖樣及正軸測(cè)圖第二頁，共九十一頁，2022年，8月28日中心投影法

投射中心、物體、投影面三者之間的相對(duì)距離對(duì)投影的大小有影響。度量性較差投影特性投射線投射中心物體投影面投影物體位置改變，投影大小也改變第三頁，共九十一頁，2022年，8月28日平行投影法斜角投影法投影特性投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。度量性較好工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。投射線互相平行且垂直于投影面投射線互相平行且傾斜于投影面直角（正）投影法第四頁，共九十一頁，2022年，8月28日Pb●●AP采用多面投影。

過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。B1●B2●B3●

點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。一、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影a●2·2點(diǎn)的投影解決辦法？第五頁，共九十一頁，2022年，8月28日HWV二、點(diǎn)的三面投影投影面◆正面投影面（簡(jiǎn)稱正面或V面）◆水平投影面（簡(jiǎn)稱水平面或H面）◆側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱側(cè)面或W面）投影軸oXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線Y三個(gè)投影面互相垂直第六頁，共九十一頁，2022年，8月28日WHVoX空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影a點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的側(cè)面投影空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。a●a●a●A●ZY第七頁，共九十一頁，2022年，8月28日WVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動(dòng)投影面展開aaZaayayaXYYO●●az●x第八頁，共九十一頁，2022年，8月28日●●●●XYZOVHWAaaa點(diǎn)的投影規(guī)律:①aa⊥OX軸②aax=aaz=y=A到V面的距離aax=aay=z=A到H面的距離aay=aaz=x=A到W面的距離xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

aa⊥OZ軸第九頁，共九十一頁，2022年，8月28日●●aaax例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影?！馻●●aaaxazaz解法一:通過作45°線使aaz=aax解法二:用圓規(guī)直接量取aaz=aaxa●第十頁，共九十一頁，2022年，8月28日三點(diǎn)的坐標(biāo)與投影之間的關(guān)系YWx●●●●XYZOVHWAaaaxaazay●●ZazaXYHayOaaxaya●xzyzyxyz四投影面和投影軸上的點(diǎn)課本P36第十一頁，共九十一頁，2022年，8月28日五、兩點(diǎn)的相對(duì)位置

兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：▲x坐標(biāo)大的在左

▲y坐標(biāo)大的在前▲

z坐標(biāo)大的在上baa

abb●●●●●●B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。XYHYWZ第十二頁，共九十一頁，2022年，8月28日六、重影點(diǎn)：

空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。A、C為H面的重影點(diǎn)●●●●●aacc被擋住的投影加()()A、C為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)呢？ac第十三頁，共九十一頁，2022年，8月28日aaabbb●●●●●●2·3直線的投影

兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。⒈直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性一、直線的投影特性AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)積聚性直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長(zhǎng)

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●第十四頁，共九十一頁，2022年，8月28日⒉直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面第十五頁，共九十一頁，2022年，8月28日baababbaabba⑴投影面平行線①在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并反映直線與另兩投影面傾角的實(shí)大。②另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。水平線側(cè)平線正平線γ投影特性：與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)βγααβbaaabb第十六頁，共九十一頁，2022年，8月28日

反映線段實(shí)長(zhǎng)。且垂直于相應(yīng)的投影軸。⑵投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線②另外兩個(gè)投影，①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)第十七頁，共九十一頁，2022年，8月28日⑶一般位置直線投影特性：

三個(gè)投影都縮短。即:都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影面夾角的實(shí)大，且與三根投影軸都傾斜。abbaba（1）ab,a’b’,a’’b’’對(duì)于三個(gè)投影軸既不平行也不垂直（2）ab,a’b’,a’’b’’都較空間線段AB縮短了。其具體長(zhǎng)度為：

ab=ABcosα,a’b’=ABcosβ,a’’b’’=ABcosγ第十八頁，共九十一頁，2022年，8月28日HWVＡＢa′b′abb″a″αβγzYwYHXa′b′abb″a″ab=ABcosαa′b′=ABcosβa″b″=ABcosγ一般位置直線與傾角三個(gè)投影都縮短，且都傾斜于相應(yīng)的投影軸第十九頁，共九十一頁，2022年，8月28日ABVHbbaA0B0αZB-ZAβYB-YAZB-ZAa′b′abα實(shí)長(zhǎng)二、三角形法：一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)求法第二十頁，共九十一頁，2022年，8月28日|zA-zB

|ABABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab對(duì)Ｈ面傾角和實(shí)長(zhǎng)第二十一頁，共九十一頁，2022年，8月28日ABbbaaCXO|YA-YB|aXabbabAB|YA-YB|AB|YA-YB|對(duì)Ｖ面傾角與實(shí)長(zhǎng)第二十二頁，共九十一頁，2022年，8月28日XZYOABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB||XA-XB|對(duì)Ｗ面傾角與實(shí)長(zhǎng)第二十三頁，共九十一頁，2022年，8月28日例：求線段CD的實(shí)長(zhǎng)及β角cdc′d′Yd-Yc實(shí)長(zhǎng)βdcc′d′實(shí)長(zhǎng)第二十四頁，共九十一頁，2022年，8月28日直角三角形法要點(diǎn)2、投影、坐標(biāo)差、實(shí)長(zhǎng)和角度四個(gè)要素知道其中二個(gè)就可以求其它二個(gè)1、角度、投影、坐標(biāo)差和投影之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系α角——水平投影——z坐標(biāo)差——線段實(shí)長(zhǎng)β角——正面投影——y坐標(biāo)差——線段實(shí)長(zhǎng)γ角——側(cè)面投影——x坐標(biāo)差——線段實(shí)長(zhǎng)3、解題時(shí)，直角三角形畫在任何位置，都不影響解題結(jié)果。但用哪個(gè)長(zhǎng)度來作直角邊不能搞錯(cuò)第二十五頁，共九十一頁，2022年，8月28日三、直線與點(diǎn)的相對(duì)位置◆若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間相同的比例。即：

◆若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上，則該點(diǎn)必不在此直線上。判別方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比定理第二十六頁，共九十一頁，2022年，8月28日點(diǎn)C不在直線AB上例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。abcabc①c②abcab●點(diǎn)C在直線AB上第二十七頁，共九十一頁，2022年，8月28日例2：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。ab●k因k不在a

b上，故點(diǎn)K不在AB上。應(yīng)用定比定理abkabk●●另一判斷法?第二十八頁，共九十一頁，2022年，8月28日三、兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置分為：平行、相交、交叉。⒈兩直線平行投影特性：

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHcbcdABCDbda空間兩直線之比等于其同名投影之比第二十九頁，共九十一頁，2022年，8月28日abcdcabd例1：判斷圖中兩條直線是否平行。

對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①第三十頁，共九十一頁，2022年，8月28日bdcacbaddbac

對(duì)于特殊位置直線，只有兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。例2：判斷圖中兩條直線是否平行。②求出側(cè)面投影如何判斷？第三十一頁，共九十一頁，2022年，8月28日HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉兩直線相交判別方法：

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。反之亦然。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)第三十二頁，共九十一頁，2022年，8月28日●●cabbacdkkd例：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作正面投影第三十三頁，共九十一頁，2022年，8月28日dbaabcdc1(2

)3(4)⒊兩直線交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律?！铩敖稽c(diǎn)”是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)。為什么？12●●3

4●●兩直線相交嗎？第三十四頁，共九十一頁，2022年，8月28日⒋兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：

若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。設(shè)直角邊BC//H面因BC⊥AB,同時(shí)BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直線在H面上的投影互相垂直即∠abc為直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHacbabc.證明：第三十五頁，共九十一頁，2022年，8月28日例：過C點(diǎn)作直線與AB垂直相交。dabcabc●●dAB為正平線,正面投影反映直角。.反之，若一角的投影為直角，而且空間被投影的角至少有一邊平行于該投影面，則空間角必是直角。第三十六頁，共九十一頁，2022年，8月28日小結(jié)★點(diǎn)與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性?！稂c(diǎn)與直線及兩直線的相對(duì)位置的判斷方法及投影特性?！锒ū榷ɡ怼！镏苯嵌ɡ?，即兩直線垂直時(shí)的投影特性。重點(diǎn)掌握：第三十七頁，共九十一頁，2022年，8月28日一、點(diǎn)的投影規(guī)律aaZayayaXYYO●●●xaza①aa⊥OX軸②aax=aaz=y=A到V面的距離aax=aay=z=A到H面的距離aay=aaz=x=A到W面的距離

aa⊥OZ軸第三十八頁，共九十一頁，2022年，8月28日二、各種位置直線的投影特性⒈一般位置直線三個(gè)投影與各投影軸都傾斜。⒉投影面平行線

在其平行的投影面上的投影反映線段實(shí)長(zhǎng)及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個(gè)投影平行于相應(yīng)的投影軸。⒊投影面垂直線

在其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。另兩個(gè)投影反映實(shí)長(zhǎng)且垂直于相應(yīng)的投影軸。第三十九頁，共九十一頁，2022年，8月28日三、直線上的點(diǎn)⒈點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。⒉點(diǎn)分線段成定比，點(diǎn)的投影必分線段的投影成定比——定比定理。四、兩直線的相對(duì)位置⒈平行⒉相交⒊交叉（異面）

同名投影互相平行。

同名投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。

同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律?！敖稽c(diǎn)”是兩直線上一對(duì)重影點(diǎn)的投影。第四十頁，共九十一頁，2022年，8月28日五、相互垂直的兩直線的投影特性⒈兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，在該投影面上的投影反映直角。⒉兩直線中有一條平行于某一投影面時(shí)，在該投影面上的投影反映直角。⒊兩直線均為一般位置直線時(shí)，在三個(gè)投影面上的投影都不反映直角。直角定理第四十一頁，共九十一頁，2022年，8月28日2.4平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abcabc不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)●●●●●●abcabc直線及線外一點(diǎn)abcabc●●●●●●d●d●兩平行直線abcabc●●●●●●兩相交直線●●●●●●abcabc平面圖形第四十二頁，共九十一頁，2022年，8月28日跡線表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW平面與投影面的交線，叫做平面的跡線。第四十三頁，共九十一頁，2022年，8月28日二、平面的投影特性平行垂直傾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把實(shí)形現(xiàn)★

平面垂直投影面-----投影積聚成直線

★平面傾斜投影面-----投影類似原平面實(shí)形性類似性積聚性⒈平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性第四十四頁，共九十一頁，2022年，8月28日⒉平面在三投影面體系中的投影特性平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜

正垂面

側(cè)垂面

鉛垂面

正平面

側(cè)平面

水平面第四十五頁，共九十一頁，2022年，8月28日abcacbcba⒈投影面垂直面類似性類似性積聚性鉛垂面投影特性：

在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。

另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。為什么？γβ是什么位置的平面？第四十六頁，共九十一頁，2022年，8月28日abcabcabc⒉投影面平行面積聚性積聚性實(shí)形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。

另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。第四十七頁，共九十一頁，2022年，8月28日投影特性

1、abc、abc

、abc均為ABC的類似形

2、不反映、、的真實(shí)角度

abcbacababbaccbacCAB⒊一般位置平面第四十八頁，共九十一頁，2022年，8月28日三、平面上的直線和點(diǎn)判斷直線在平面內(nèi)的方法

定理一若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。⒈平面上取任意直線第四十九頁，共九十一頁，2022年，8月28日abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一有多少解？有無數(shù)解。第五十頁，共九十一頁，2022年，8月28日例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。nmnm10cabcab

唯一解！有多少解？第五十一頁，共九十一頁，2022年，8月28日⒉平面上取點(diǎn)

先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。b①accakb●k●

面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線②●abcabkcdk●d利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解第五十二頁，共九十一頁，2022年，8月28日bckadadbcadadbckbc例2：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形

ABCD的水平投影。解法一解法二第五十三頁，共九十一頁，2022年，8月28日2.5直線與平面及兩平面的相對(duì)位置相對(duì)位置包括平行、相交和垂直。一、平行問題

直線與平面平行

平面與平面平行包括⒈直線與平面平行定理：

若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。第五十四頁，共九十一頁，2022年，8月28日n●●acbmabcmn例1：過M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解有多少解？第五十五頁，共九十一頁，2022年，8月28日正平線例2：過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面

ABC。c●●bamabcmn唯一解n第五十六頁，共九十一頁，2022年，8月28日⒉兩平面平行①若一平面上的兩相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdef第五十七頁，共九十一頁，2022年，8月28日二、相交問題直線與平面相交平面與平面相交⒈直線與平面相交

直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。要討論的問題：●求直線與平面的交點(diǎn)。

●

判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。

我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。第五十八頁，共九十一頁，2022年，8月28日abcmncnbam⑴平面為特殊位置例：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性。空間及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。①求交點(diǎn)②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。k●1(2)作圖k●●2●1●第五十九頁，共九十一頁，2022年，8月28日km(n)b●mncbaac⑵直線為特殊位置空間及投影分析

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。①求交點(diǎn)②判別可見性

點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k2為不可見。1(2)k●2●1●●作圖用面上取點(diǎn)法第六十頁，共九十一頁，2022年，8月28日⒉兩平面相交

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問題：①求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。⑵確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。

只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。②判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性。第六十一頁，共九十一頁，2022年，8月28日可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性作圖

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能否不用重影點(diǎn)判別？能!如何判別？例：求兩平面的交線MN并判別可見性。⑴第六十二頁，共九十一頁，2022年，8月28日bcfhaeabcefh1(2)空間及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。ab與ef的交點(diǎn)m

、bc與fh的交點(diǎn)n即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故mn即MN的正面投影。①求交線②判別可見性點(diǎn)Ⅰ在FH上，點(diǎn)Ⅱ在BC上，點(diǎn)Ⅰ在上，點(diǎn)Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖m●●n●2●n●m●1●⑵第六十三頁，共九十一頁，2022年，8月28日cdefababcdef⑶投影分析N點(diǎn)的水平投影n位于Δdef的外面，說明點(diǎn)N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個(gè)圖形內(nèi)。所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。n●n●m●k●m●k●互交第六十四頁，共九十一頁，2022年，8月28日bak三垂直問題1、直線與平面垂直定理：若一直線垂直于平面，則該直線的水平投影一定垂直于該平面上水平線的水平投影，而該直線的正面投影一定垂直于該平面上的平面投影NKABn證明：NK垂直平面PPHAB是平面P內(nèi)的一條水平線則NK垂直于AB則nk垂直于ab同理可證直線NK的正面投影垂直于平面上正平線的正面投影第六十五頁，共九十一頁，2022年，8月28日例：過點(diǎn)M作直線垂直于三角形ABC所確定的平面m’b’ma’c’abce’edd’n’n第六十六頁，共九十一頁，2022年，8月28日2、二平面垂直若一平面包含另一平面的垂線，則此二平面相互垂直①作平面Q包含垂直于平面P的直線AB②作平面Q垂直于平面P內(nèi)的直線CDPQABPQCD第六十七頁，共九十一頁，2022年，8月28日例：過直線MN作一平面使它垂直于ABC所確定的平面a’b’c’abcm’n’mn1’122’第六十八頁，共九十一頁，2022年，8月28日小結(jié)重點(diǎn)掌握：二、如何在平面上確定直線和點(diǎn)。三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面內(nèi)的兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行。四、直線與平面的交點(diǎn)及平面與平面的交線是兩者的共有點(diǎn)或共有線。解題思路：★空間及投影分析目的是找出交點(diǎn)或交線的已知投影?！锱袆e可見性尤其是如何利用重影點(diǎn)判別。一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。第六十九頁，共九十一頁，2022年，8月28日要點(diǎn)一、各種位置平面的投影特性⒈一般位置平面⒉投影面垂直面⒊投影面平行面三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類似多邊形——類似性。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線

——積聚性。另外兩個(gè)投影類似。

在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形

——實(shí)形性。另外兩個(gè)投影積聚為直線。第七十頁，共九十一頁，2022年，8月28日二、平面上的點(diǎn)與直線⒈平面上的點(diǎn)一定位于平面內(nèi)的某條直線上⒉平面上的直線⑴過平面上的兩個(gè)點(diǎn)。⑵過平面上的一點(diǎn)并平行于該平面上的某條直線。三、平行問題⒈直線與平面平行直線平行于平面內(nèi)的一條直線。⒉兩平面平行必須是一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線。第七十一頁，共九十一頁，2022年，8月28日四、相交問題⒈求直線與平面的交點(diǎn)的方法⑴一般位置直線與特殊位置平面求交點(diǎn)，利用交點(diǎn)的共有性和平面的積聚性直接求解。⑵投影面垂直線與一般位置平面求交點(diǎn)，利用交點(diǎn)的共有性和直線的積聚性，采取平面上取點(diǎn)的方法求解。⒉求兩平面的交線的方法⑴兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置，有時(shí)可找出兩平面的一個(gè)共有點(diǎn)，根據(jù)交線的投影特性畫出交線的投影。⑵一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)，求出交線。第七十二頁，共九十一頁，2022年，8月28日2.6換面法一、問題的提出★如何求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)？★如何求一般位置平面的真實(shí)大?。?/p>

換面法：物體本身在空間的位置不動(dòng)，而用某一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使物體相對(duì)新的投影面處于解題所需要的有利位置，然后將物體向新投影面進(jìn)行投射。解決方法：更換投影面。第七十三頁，共九十一頁，2022年，8月28日VHABabab二、新投影面的選擇原則1.新投影面必須對(duì)空間物體處于最有利的解題位置。平行于新的投影面垂直于新的投影面2.新投影面必須垂直于某一保留的原投影面，以構(gòu)成一個(gè)相互垂直的兩投影面的新體系。Pa1b1第七十四頁，共九十一頁，2022年，8月28日VHAaaaxX⒈更換一次投影面

舊投影體系X—VH

新投影體系P1HX1—A點(diǎn)的兩個(gè)投影：a，aA點(diǎn)的兩個(gè)投影：a，a1⑴新投影體系的建立三、點(diǎn)的投影變換規(guī)律X1P1a1ax1VHXP1HX1aaa1axax1.第七十五頁，共九十一頁，2022年，8月28日ax1VHXP1HX1aaa1VHA

aaxXX1P1a1ax1⑵新舊投影之間的關(guān)系

aa1

X1a1ax1=aax點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。axa一般規(guī)律：點(diǎn)的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直于新投影軸。.第七十六頁，共九十一頁，2022年，8月28日XVHaaax更換H面⑶求新投影的作圖方法VHXP1HX1

由點(diǎn)的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。aaX1P1Ha1axax1ax1更換V面●a1作圖規(guī)律：..第七十七頁，共九十一頁，2022年，8月28日⒉更換兩次投影面先把V面換成平面P1，P1H，得到中間新投影體系:P1HX1—再把H面換成平面P2，P2P1，得到新投影體系:X2—P1P2⑴新投影體系的建立按次序更換AaVHaaxXX1P1a1ax1P2X2ax2a2第七十八頁，共九十一頁，2022年，8月28日ax2aaXVH⑵求新投影的作圖方法a2X1HP1X2P1P2

作圖規(guī)律

a2a1X2軸a2ax2=aax1a1axax1..第七十九頁，共九十一頁，2022年，8月28日VHABabab四、換面法的四個(gè)基本問題1.把一般位置直線變換成投影面平行線用P1面代替V面，在P1/H投影體系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空間分析：

換H面行嗎？不行！作圖：例：求直線AB的實(shí)長(zhǎng)及與H面的夾角。ababXVH新投影軸的位置？a1●b1●與ab平行。.第八十頁，共九十一頁，2022年，8月28日a1●b1●VHaaXBbbA2.把一般位置直線變換成投影面垂直線空間分析：ababXVHX1H1P1P1P2X2作圖：X1P1a1b1X2P2二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。X2軸的位置？a2b2ax2a2b2.與a1b1垂直一次換面把直線變成投影面平行線；第八十一頁，共九十一頁，2022年，8月28日

一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？

a

b

cabcdVHABCDX

d3.把一般位置平面變換成投影面垂直面

如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。P1X1c1b1a1d1空間分析：

在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進(jìn)行一次變換？

思考：若變換H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？正平線！第八十二頁，共九十一頁，2022年，8月28日αab

cacbXVH例：把三角形ABC變換成投影面垂直面。HP1X1作圖過程：★在平面內(nèi)取一條水平線AD。dd★將AD變換成新投影面的垂直線。d1●a1d1●c1●

反映平面對(duì)哪個(gè)投影面的夾角？.第八十三頁，共九十一頁，2022年，8月28日a1b1●需經(jīng)幾次變換？一次換面,把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；二次換面，再變換成新投影面的平行面。X2P1P24.把一般位置平面變換成投影面平行面abacbXVHc作圖：AB是水平線空間分析：a2●c2●b2●c1●X2軸的位置？平面的實(shí)形.X1HP1.與其平行第八十四頁，共九十一頁，2022年，8月28日b1距離dd1X1HP1X2P1P2c2d例1：求點(diǎn)C到直線AB的距離，并求垂足