《正弦定理》設(shè)計(jì)賴啟煥

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)福州金山中學(xué)賴起煥一、教材分析正弦定理是高中新教材人教A版必修5第一章《解三角形》的內(nèi)容,本課內(nèi)容——正弦定理的探究證明和簡(jiǎn)單應(yīng)用顯然是對(duì)三角知識(shí)的應(yīng)用；同時(shí)，作為三角形中的一個(gè)定理，也是對(duì)初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛，起到承上啟下的作用。對(duì)于正弦定理，首先讓學(xué)生回憶任意三角形中有“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生思考是否能得到這個(gè)邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化表示的問題。由于涉及邊角之間的數(shù)量關(guān)系，就比較自然地引出三角函數(shù)。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很容易得到直角三角形中的正弦定理。這樣，從聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對(duì)于過去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。二、學(xué)情分析

知識(shí)層面：初中學(xué)生已有三角形的定性關(guān)系，在高中階段學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義、和運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)。能力層面：高中生思維活躍,求知欲旺盛,已經(jīng)具有較強(qiáng)的概括能力，但分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想仍需強(qiáng)化。情感層面：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)新內(nèi)容的學(xué)習(xí)有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性。但合作交流有所不足。三、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：(1)發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，掌握證明正弦定理的方法；(2)簡(jiǎn)單運(yùn)用正弦定理解三角形。2.過程與方法：(1)體會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維方法與能力；(2)體會(huì)分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：(1)體會(huì)由特殊到一般再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物規(guī)律；(2)體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美。四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.正弦定理的形式和證明.

2.正弦定理的運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：1.正弦定理中鈍角三角形的證明2.正弦定理應(yīng)用中“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，判斷解的個(gè)數(shù)五、教學(xué)過程教學(xué)用具：希沃平臺(tái)，白板，多媒體（幾何畫板）教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖或備注回顧就知引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)三角形中已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)，從角與角，邊與邊，邊與角三方面復(fù)習(xí)，為學(xué)習(xí)正弦定理做好鋪墊。角的關(guān)系：三角形內(nèi)角和為180?邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之和小于第三邊邊角關(guān)系：大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊三角函數(shù)（sincostan）請(qǐng)學(xué)生回答以下三個(gè)問題：1）三角形中三個(gè)角之間有什么關(guān)系呢？2）三角形中邊與邊之間有什么關(guān)系呢？3）三角形中邊與角之間又有哪些對(duì)應(yīng)關(guān)系？引出課題：定量研究三角形中邊角關(guān)系回顧復(fù)習(xí)已有知識(shí)，引出課題，為解決“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形”問題做理論鋪墊,使用PPT，和白板的批注功能。創(chuàng)設(shè)情境提出問題創(chuàng)設(shè)情境提出問題：高二（8）班的三角形模型壞了，只剩下如圖所示的一部分，班長(zhǎng)小王想要修好這個(gè)模型，他量得∠A=47?，∠C=80?，已知AC的長(zhǎng)為1m,但他不知道AB，BC的長(zhǎng)度，你能幫助他解決這個(gè)問題嗎？引導(dǎo)學(xué)生理清題意，研究設(shè)計(jì)方案，并畫出圖形，探索解決問題的方法．

師：角B的度數(shù)是多少呢？生：180-47-80=53師：在三角形中，我們常用的求長(zhǎng)度的方法有哪些？生：勾股定理（直角三角形→作高→三角函數(shù)）創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活情境，提出問題，激發(fā)學(xué)生興趣引出課題，使用PPT，和幾何畫板。解決問題引導(dǎo)學(xué)生作高，利用直角三角形，用兩種方法表示高，列出方程，求解，同時(shí)得到a/sinA=b/sinB，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索。師：作CD垂直AB于D，則CD/BC=sinBCD/AC=sinA即CD=asinBCD=bsinA已知角A和B，已知b=1，我們可以列方程求得a，請(qǐng)同學(xué)們自己列方程，利用計(jì)算器求解。生：asinB=bsinAb=1即a=sinA/sinBa=sin47?/sin53?≈師：好的，我們利用高CD，求得BC的長(zhǎng)度。那么能否求出AB的長(zhǎng)呢？生：作高BE。作AE垂直AC于E，則BE/BC=sinCBE/AB=sinA即AE=bsinCAE=csinBbsinC=csinB即c=bsinC/sinB=sin80?/sin53?≈師：很好。我們?cè)賮硌芯恳幌逻@兩個(gè)等式asinB=bsinAbsinC=csinB得到a即a在這個(gè)銳角三角形中，這個(gè)等式恒成立，但是否在任意的三角形中等式都成立呢？讓我們一起來探討一下。方案一：利用幾何畫板工具，改變?nèi)切涡螤?，直觀演示不管三角形怎么變，都有上式成立；方案二：幾何證明直接從解決問題入手，教師先加以引導(dǎo)，有指向性的引導(dǎo)學(xué)生，利用做高法解決實(shí)際問題，使用白板的批注功能進(jìn)行講解。引出探究課題，提出問題，引發(fā)懸念。利用幾何畫板工具，改變?nèi)切涡螤?，直觀演示考察直角三角形的邊角關(guān)系。考慮直角三角形請(qǐng)學(xué)生填寫以下表格：直角三角形中證明較為簡(jiǎn)單，請(qǐng)學(xué)生自己動(dòng)手，加以驗(yàn)證。使用白板的批注功能填表。三角形a/sinAb/sinBc/sinC直角三角形填空：ccc證明過程:sinA=a正弦定理及其推導(dǎo)鈍角三角形中

作CDAB于D，有師：在銳角三角形和直角三角形中我們已經(jīng)得到A都成立，那么在鈍角三角形中呢？若成立，試證明。生：aaa師：在三角函數(shù)中，利用誘導(dǎo)公式，sinB生：相等師：那么在鈍角三角形中a依然成立所以，在任意三角形中，各邊的長(zhǎng)和它所對(duì)角的正弦的比相等，即a這就是正弦定理將較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，適當(dāng)降低難度，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究、合作交流尋求問題結(jié)論和解決辦法，使用白板的批注功能。

定理形成深化概念思考：直接應(yīng)用正弦定理至少需要已知三角形中的幾個(gè)元素才能解三角形？從方程的角度看問題，知三求一師：利用正弦定理，我們至少需要幾個(gè)元素才能解三角形？生：三個(gè)從引入部分解決實(shí)際問題入手，學(xué)生已經(jīng)體會(huì)利用正弦定理和方程思想出發(fā)．從對(duì)稱的角度看正弦定理，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)正弦定理的理解?？紤]正弦定理的變形情況。a=ksinAb=ksinBc=ksinC正弦定理a比例系數(shù)k=？師：直角三角形中，k等于斜邊的長(zhǎng)度，同時(shí)直角三角形外接圓的直徑也等于斜邊，那k與三角形外界圓有關(guān)系嗎？讓我們來看一下這個(gè)實(shí)驗(yàn)。利用幾何畫板工具，改變R的大小，或改變?nèi)切涡螤睿l(fā)現(xiàn)k=2R師：請(qǐng)同學(xué)們回去自己利用三角形外接圓證明一下正弦定理，并證明k=2R是學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)定理中的對(duì)稱美，加強(qiáng)記憶和理解，探討比例系數(shù)k值，加深問題深度，啟發(fā)學(xué)生自主探索其他證明方法。此處為多媒體與數(shù)學(xué)學(xué)科的融合點(diǎn)，利用幾何畫板工具，改變R的大小，或改變?nèi)切涡螤睢?/p>

范例教學(xué)

（１）正弦定理可以用于解決已知兩角和任意一邊求另兩邊和一角的問題．例１：∠A=60°，∠B=45°，解：∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°由正弦定理，得b=c=（２）正弦定理也可用于解決已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其他邊和角的問題..變式教學(xué)：a=10改為c=10例2a=3，b=4，∠A=30°，求其他邊和角。解：由正弦定理得sin所以∠B≈41.8°或∠B≈138.2°當(dāng)∠B≈41.8°時(shí)∠C≈180°-30°-41.8°=108.2°c=asin當(dāng)∠B≈138.2°∠C≈180°-30°-138.2°=11.8°c=變式訓(xùn)練：1.在△ABC中，∠B=135°，a=2，b=1，求A解：（大邊對(duì)大角，無解）sinA=√2>12.在△ABC中，∠A=45°，a=2，b=√2，求B解：3.在△ABC中，∠B=45°，a=2，b=√2，求A解：4.在△ABC中，∠B=45°，a=√3，b=√2，求A解：A=60°或120°解決教學(xué)難點(diǎn)：教師畫圖講解引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：(1)已知兩角一邊，解三角形，解的情況唯一；(2)已知兩邊及一邊對(duì)角，解三角形，何時(shí)有一解？?jī)山?？何時(shí)無法構(gòu)成三角形？

教師利用希沃平臺(tái)的白板功能進(jìn)行演示講解。師：請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，分別解決這四道變式訓(xùn)練題。學(xué)生完成練習(xí)后，教師利用希沃平臺(tái)，將典型的幾種答案拍照上傳，在平臺(tái)上同時(shí)對(duì)比分析學(xué)生的不同解法，并利用白板功能實(shí)時(shí)進(jìn)行批注講評(píng)，指出學(xué)生面對(duì)多解性問題時(shí)的錯(cuò)誤。師生共同填表總結(jié)：掌握正弦定理在解三角形問題中的應(yīng)用，并學(xué)會(huì)通過作圖法判定解的情況．解決教學(xué)難點(diǎn).教師利用希沃平臺(tái)的白板功能進(jìn)行演示講解通過小組合作的方式，提高學(xué)生合作能力，共同探討有助于學(xué)生互相學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)問題。教師利用希沃平臺(tái)，將典型的幾種答案拍照上傳，在平臺(tái)上同時(shí)對(duì)比分析學(xué)生的不同解法，并利用白板功能實(shí)時(shí)進(jìn)行批注講評(píng)，指出學(xué)生面對(duì)多解性問題時(shí)的錯(cuò)誤。解決教學(xué)難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)，分類討論以及數(shù)形結(jié)合的能力。利用白板功能實(shí)時(shí)進(jìn)行批注講評(píng)

歸納小結(jié)（１）正弦定理：（２）正弦定理的運(yùn)用師生共同總結(jié)(1)正弦定理形式(2)解決兩類問題(3)結(jié)合圖像解決三角形中的問題鞏固知識(shí)，培養(yǎng)歸納總結(jié)能力。使用PPT

課后作業(yè)(1)課本練習(xí)A1、2(2)用其它方法證明正弦定理（提示：嘗試?yán)脠A內(nèi)接三角形）學(xué)生課后完成.鞏固知識(shí)，培養(yǎng)自主探究能力．六、教學(xué)反思本節(jié)課是正弦、余弦定理教學(xué)的第一街課，重點(diǎn)是正弦定理的探究原因如下：教學(xué)的目的不僅是傳授知識(shí)與技能，更主要的是再此過程中，培養(yǎng)學(xué)生的能力，特別是思維能力；素材適合于學(xué)生教學(xué)“觀察與分析”，“歸納與猜想”，“實(shí)驗(yàn)與證明”等思維能力的訓(xùn)練，正弦定理的探究包含利用向量方法證明定理。缺點(diǎn)是，課堂思維容量大，教學(xué)進(jìn)度受學(xué)生的思維水平的影響；教學(xué)中容易出現(xiàn)突發(fā)事件影響教學(xué)進(jìn)度；故要求教師靈活處理隨機(jī)事件的能力高，在組織教學(xué)中，采取“讓學(xué)生走上講臺(tái)”、“讓學(xué)生自學(xué)課本”、“師生、生生討論”等模式，