線性代數(shù)中常用MATLAB命令 應(yīng)用實(shí)例

工程線性代數(shù)

授課教師：李靜西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院Email：課程回憶

MATLAB簡(jiǎn)介線性代數(shù)中常用MATLAB命令應(yīng)用實(shí)例本講內(nèi)容工欲善其事

必先利其器論語(yǔ)魏靈公常用數(shù)學(xué)軟件

常見的通用數(shù)學(xué)軟件包括：Matlab、Mathematica和Maple其中Matlab以數(shù)值計(jì)算見長(zhǎng)，Mathematica和Maple以符號(hào)運(yùn)算、公式推導(dǎo)見長(zhǎng)。Matlab概述與開展Matlab特點(diǎn)Matlab工作環(huán)境MATLAB簡(jiǎn)介 Matlab是一種廣泛應(yīng)用于工程計(jì)算及數(shù)值分析領(lǐng)域的科學(xué)計(jì)算軟件。自1984年由美國(guó)MathWorks公司推向市場(chǎng)以來(lái)，歷經(jīng)二十多年的開展與競(jìng)爭(zhēng)，現(xiàn)已成為國(guó)際公認(rèn)的最優(yōu)秀的工程應(yīng)用開發(fā)環(huán)境。MATLAB概述 Matlab功能強(qiáng)大，使用方便，輸入簡(jiǎn)潔，運(yùn)算高效，并且很容易由用戶自行擴(kuò)展深受廣闊科技工作者的歡送。在歐美各高等院校，Matlab已經(jīng)成為線性代數(shù)、圖像處理、自動(dòng)控制理論、數(shù)字信號(hào)處理、時(shí)間序列分析、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真等課程的根本教學(xué)工具，成為大學(xué)生、碩士生以及博士生必須掌握的根本技能。MATLAB概述

Matlab語(yǔ)言的首創(chuàng)人是C.Moler

Matlab=MatrixLaboratry矩陣實(shí)驗(yàn)室CleveMolerischairmanandchiefscientistatTheMathWorks.Molerwasaprofessorofmathandcomputerscienceforalmost20yearsattheUniversityofMichigan，StanfordUniversityandtheUniversityofNewMexico.InadditiontobeingtheauthorofthefirstversionofMATLAB，MolerisoneoftheauthorsoftheLINPACKandEISPACKscientificsubroutinelibraries.Heisco-authorofthreetextbooksonnumericalmethods.MATLAB概述

70年代中期，CleveMoler博士和其同事在美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金的資助下開發(fā)了調(diào)用EISPACK和LINPACK的FORTRAN子程序庫(kù).EISPACK是特征值求解的FOETRAN程序庫(kù)，LINPACK是解線性方程的程序庫(kù).在當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)程序庫(kù)代表矩陣運(yùn)算的最高水平.70年代后期，CleveMoler在給學(xué)生講授線性代數(shù)課程時(shí)，想教學(xué)生使用EISPACK和LINPACK程序庫(kù)，但他發(fā)現(xiàn)學(xué)生用FORTRAN編寫接口程序很費(fèi)時(shí)間，于是他開始自己動(dòng)手，利用業(yè)余時(shí)間為學(xué)生編寫EISPACK和LINPACK的接口程序.CleveMoler給這個(gè)接口程序取名為MATLAB，該名為矩陣(matrix)和實(shí)驗(yàn)室(labotatory)兩個(gè)英文單詞的前三個(gè)字母的組合.在以后的數(shù)年里，MATLAB在多所大學(xué)里作為教學(xué)輔助軟件使用，并作為面向群眾的免費(fèi)軟件廣為流傳.MATLAB概述1983年春天,CleveMoler到Standford大學(xué)講學(xué),MATLAB深深地吸引了工程師JohnLittle.JohnLittle敏銳地覺察到MATLAB在工程領(lǐng)域的廣闊前景.同年,他和CleveMoler,

SteveBangert一起,用C語(yǔ)言開發(fā)了第二代專業(yè)版.這一代的MATLAB語(yǔ)言同時(shí)具備了數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)圖示化的功能.1984年,CleveMoler和JohnLittle成立了MathWorks公司,正式把MATLAB推向市場(chǎng),并繼續(xù)進(jìn)行MATLAB的研究和開發(fā).JohnLittleCleveMolerMATLAB概述

1984年以后又增添了豐富多彩的圖形圖像處理、多媒體功能、符號(hào)運(yùn)算和它與其他流行軟件的接口功能，使得Matlab的功能越來(lái)越強(qiáng)大。到九十年代初期，在國(guó)際上30幾個(gè)數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中，Matlab在數(shù)值計(jì)算方面獨(dú)占鰲頭，而Mathematica和Maple那么分居符號(hào)計(jì)算軟件的前兩名。MATLAB概述JohnLittleCleveMolerMatlab的開展

1984年，Matlab1.0版(DOS版，182K，20來(lái)個(gè)函數(shù))

1992年，Matlab4.0版〔93年推出Windows版本〕

1994年，Matlab4.2，1999年，Matlab5.32000年，Matlab6.0，2002年，Matlab6.5

2004年，Matlab7.0，2006年，Matlab2006a2007年，MatlabR2007a2021年，MatlabR2021a目前，Matlab已經(jīng)成為國(guó)際上最流行的科學(xué)與工程計(jì)算的軟件工具，它已經(jīng)不僅僅是一個(gè)“矩陣實(shí)驗(yàn)室〞了，而成為了一種具有廣泛應(yīng)用前景的全新的計(jì)算機(jī)高級(jí)編程語(yǔ)言了，有人稱它為“第四代〞計(jì)算機(jī)語(yǔ)言。就影響而言，至今仍然沒有一個(gè)別的計(jì)算軟件可與Matlab匹敵。MATLAB的開展數(shù)值計(jì)算功能

Matlab是一個(gè)交互式軟件系統(tǒng)

給出一條命令，立即就可以得出該命令的結(jié)果Matlab以矩陣作為根本單位，但無(wú)需預(yù)先指定維數(shù)〔動(dòng)態(tài)定維〕按照IEEE的數(shù)值計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算提供十分豐富的數(shù)值計(jì)算函數(shù)，方便計(jì)算，提高效率Matlab命令與數(shù)學(xué)中的符號(hào)、公式非常接近，可讀性強(qiáng)，容易掌握符號(hào)運(yùn)算功能和著名的Maple相結(jié)合，使得Matlab具有強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算功能

繪圖功能Matlab提供了豐富的繪圖命令，能實(shí)現(xiàn)一系列的可視化操作Matlab的特點(diǎn)與主要功能編程功能Matlab具有程序結(jié)構(gòu)控制、函數(shù)調(diào)用、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、輸入輸出、面向?qū)ο蟮瘸绦蛘Z(yǔ)言特征，而且簡(jiǎn)單易學(xué)、編程效率高。豐富的工具箱（toolbox）Matlab包含兩部分內(nèi)容：基本部分和根據(jù)專門領(lǐng)域中的特殊需要而設(shè)計(jì)的各種可選工具箱。Simulink動(dòng)態(tài)仿真集成環(huán)境提供建立系統(tǒng)模型、選擇仿真參數(shù)和數(shù)值算法、啟動(dòng)仿真程序?qū)υ撓到y(tǒng)進(jìn)行仿真、設(shè)置不同的輸出方式來(lái)觀察仿真結(jié)果等功能PDEOptimizationSymbolicMathSignalprocessImageProcessStatisticsControlSystemSystemIdentification…

…Matlab的特點(diǎn)與主要功能命令窗口當(dāng)前工作目錄當(dāng)前工作空間輸入命令的歷史記錄命令提示符二、線性代數(shù)中常用MATLAB命令理論復(fù)習(xí)筆算方法

機(jī)算方法

二、線性代數(shù)中常用MATLAB命令

把矩陣變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形求解方程組計(jì)算矩陣的逆找出向量組的最大無(wú)關(guān)組

rref命令(2)每個(gè)臺(tái)階只有一行;(3)臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．特點(diǎn)：(1)可劃出一條階梯線，線的下方全為零;復(fù)習(xí)：矩陣的行階梯形和行最簡(jiǎn)形(2)每個(gè)臺(tái)階只有一行;(3)臺(tái)階數(shù)即非零行的行數(shù),階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元,即非零行的第一個(gè)非零元特點(diǎn)：

(1)可劃出一條階梯線，線的下方全為零;(4)稱為最簡(jiǎn)行階梯形，即非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為零復(fù)習(xí)：矩陣的行階梯形和行最簡(jiǎn)形(1):對(duì)調(diào)兩行〔對(duì)調(diào)i，j兩行，記作〕；(2):以數(shù)乘以某一行的所有元素〔第i行乘以記作〕；(3):把某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去〔第i行的k倍加到第j行上記作:)；同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r〞換成“c〞)．定義：下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:復(fù)習(xí)：矩陣的初等變換增廣矩陣系數(shù)矩陣筆算方法：矩陣的初等變換解方程組筆算方法：矩陣的初等變換解方程組行階梯形筆算方法：矩陣的初等變換解方程組行最簡(jiǎn)形筆算方法：矩陣的初等變換解方程組令方程組得解可記為：筆算方法：矩陣的初等變換解方程組方程組秩為3，小于變量個(gè)數(shù)，方程有無(wú)窮多解。其中為任意常數(shù)>>B=[2-1-112;11-214;4-62-24;36-979]B=2-1-11211-2144-62-2436-979>>B5=rref(B)B5=10-10401-1030001-300000rref把矩陣變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形并求解方程組行最簡(jiǎn)形

rref命令

把矩陣變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形求解方程組

計(jì)算矩陣的逆找出向量組的最大無(wú)關(guān)組

當(dāng)時(shí)，由，有：復(fù)習(xí)：利用初等變換求矩陣逆即對(duì)

矩陣，施行初等行變換，當(dāng)把變成時(shí)，原來(lái)的就變成了。即初等行變換復(fù)習(xí)：利用初等變換求矩陣逆利用初等行變換求矩陣逆的方法，還可以用來(lái)求矩陣

解例筆算方法：利用初等變換求矩陣逆筆算方法：利用初等變換求矩陣逆>>A=[123;221;343];>>B=[Aeye(size(A))]B=123100221010343001>>B5=rref(B)B5=1.0000001.00003.0000-2.000001.00000-1.5000-3.00002.5000001.00001.00001.0000-1.0000rref求矩陣逆>>A=[123;221;343];>>B5=inv(A)B5=1.00003.0000-2.0000-1.5000-3.00002.50001.00001.0000-1.0000

inv命令求矩陣逆>>A=[123;221;343];>>B=[Aeye(size(A))]B=123100221010343001>>B5=rref(B)B5=1.0000001.00003.0000-2.000001.00000-1.5000-3.00002.5000001.00001.00001.0000-1.0000使用出錯(cuò):(奇異，非方陣)Warning:Matrixissingulartoworkingprecision.Errorusing==>invMatrixmustbesquare.

rref命令

把矩陣變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形求解方程組計(jì)算矩陣的逆

找出向量組的最大無(wú)關(guān)組(1)向量組線性無(wú)關(guān)；(2)向量組中任意個(gè)向量〔如果中有個(gè)向量的話〕都線性相關(guān)；設(shè)有向量組，如果在中能選出r個(gè)向量，滿足：復(fù)習(xí)：向量組的最大無(wú)關(guān)組

那么稱向量組是向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組〔簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組〕；即：向量組中的其他任一個(gè)向量都可以由這個(gè)向量線性表示復(fù)習(xí)：向量組的最大無(wú)關(guān)組〔1〕最大無(wú)關(guān)組不唯一；〔2〕向量組與它的最大無(wú)關(guān)組等價(jià)；〔3〕一個(gè)向量組的任意兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組等價(jià)；〔4〕如果向量組本身線性無(wú)關(guān)，那么它是自身的最大線性無(wú)關(guān)組；〔5〕向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩。筆算解法：向量組的最大無(wú)關(guān)組解：對(duì)A施行初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣

故列向量組的最大無(wú)關(guān)組含三個(gè)向量，而三個(gè)非零行的非零首元在1、2、4列，故為列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。筆算解法：向量組的最大無(wú)關(guān)組解：對(duì)A施行初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣要把用線性表示，須將A再變成行最簡(jiǎn)形筆算解法：向量組的最大無(wú)關(guān)組初等行變換保持矩陣列向量組間的線性關(guān)系.初等列變換保持矩陣行向量組間的線性關(guān)系.例：求以下向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用此最大無(wú)關(guān)組線性表示。解：筆算解法：向量組的最大無(wú)關(guān)組直接在MATLAB命令窗口輸入以下命令：%求向量組的最大無(wú)關(guān)組>>clear>>a1=[2;1;4;3];>>a2=[-1;1;-6;6];>>a3=[-1;-2;2;-9];>>a4=[1;1;-2;7];>>a5=[2;4;4;9];>>A=[a1,a2,a3,a4,a5]%把矩陣A的最簡(jiǎn)行階梯矩陣賦給了R

%R的所有基準(zhǔn)元素在矩陣中的列號(hào)構(gòu)成了行向量s

>>

[R,s]=rref(A)結(jié)果輸出為：A=2-1-11211-2144-62-2436-979R=10-10401-1030001-300000s=124rref命令求解向量組的最大無(wú)關(guān)組二、線性代數(shù)中常用MATLAB命令齊次線性方程組的根底解系非齊次線性方程組的特解null左除命令設(shè)有非齊次線性方程組它也可寫作向量方程其導(dǎo)出組：復(fù)習(xí)：(非)齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)通解：通解：筆算解法：非齊次線性方程組的解例：求非齊次線性方程組的根底解系和通解解：對(duì)增廣矩陣作初等變換，化為行最簡(jiǎn)形有：筆算解法：非齊次線性方程組的解其中自由變量令：導(dǎo)出組的通解為：導(dǎo)出組對(duì)應(yīng)的根底解系是個(gè)解向量：得同解方程組為：非齊次線性方程組的通解為：%求非齊次線性方程組的解>>A=[11001;11-100;00111];>>b=[2;3;5];>>[R,s]=rref([A,b]);%將R最后一列按基準(zhǔn)元素位置賦x0>>[m,n]=size(A);>>x0=zeros(n,1);>>r=length(s);>>x0(s,:)=R(1:r,end);>>disp('非齊次線性方程組的特解為：')>>x0>>disp('對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的根底解系為：')>>x=null(A,'r')null左除命令求解非齊次線性方程組運(yùn)算結(jié)果為：

非齊次線性方程組的特解為：

x0=

20-160

對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的根底解系為：

x=

-1-1100-10001方程組的通解：

非齊次線性方程組的特解還可以用MATLAB的矩陣左除運(yùn)算來(lái)求得，直接在MATLAB命令窗口輸入以下命令：clear>>A=[11001;11-100;00111];>>b=[2;3;5];[R,s]=rref([A,b]);>>x0=A\b;>>disp('非齊次線性方程組的特解為：')>>x0>>disp('對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的根底解系為：')>>x=null(A,'r')其中特解x0與前一方法的特解不同。(注：如果欠定方程組有解，那么它有無(wú)窮個(gè)特解，通解中只需要任何一個(gè)特解即可〕null左除命令求解非齊次線性方程組運(yùn)算結(jié)果為：非齊次線性方程組的特解為：

x0=

3.0000006.0000-1.0000對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的根底解系為：

x=

-1-1100-10001方程組的通解：二、線性代數(shù)中常用MATLAB命令向量組正交標(biāo)準(zhǔn)化orth命令復(fù)習(xí)：向量組的正交標(biāo)準(zhǔn)化向量的內(nèi)積〔innerproduct)

設(shè)有n維向量，稱數(shù)

為向量與的內(nèi)積，記作零向量與任何向量正交。不含零向量的兩兩正交的向量組稱為正交向量組正交向量組是線性無(wú)關(guān)的向量的夾角如果，令，則稱

為向量與的夾角。當(dāng)時(shí)，夾角，稱向量與正交。復(fù)習(xí)：向量組的正交標(biāo)準(zhǔn)化正交向量組是線性無(wú)關(guān)的√×施密特（Schimidt）正交化方法如果向量組線性無(wú)關(guān)，則下列方法得到的向量組是正交組，且與向量組等價(jià)。單位化得到標(biāo)準(zhǔn)正交組：筆算解法：向量組的正交標(biāo)準(zhǔn)化例：將向量組正交標(biāo)準(zhǔn)化解：令

筆算解法：向量組的正交標(biāo)準(zhǔn)化將單位化，得則為所求的規(guī)范正交組。在MATLAB命令窗口輸入以下命令：clear>>a1=[12-1]';>>a2=[-1,3,1]';>>a3=[4-10]';>>A=[a1a2a3];>>B=orth(A)orth命令求解標(biāo)準(zhǔn)正交組運(yùn)算結(jié)果為：B=0.82450.55480.1112-0.55460.8313-0.0357-0.1122-0.03230.9932二、線性代數(shù)中常用MATLAB命令

計(jì)算矩陣的特征值和特征向量把二次型標(biāo)準(zhǔn)化判斷二次型的正定性eig命令復(fù)習(xí)：矩陣的特征值和特征向量

工程實(shí)踐中有多種振動(dòng)問題，如橋梁或建筑物的振動(dòng)，機(jī)械機(jī)件、飛機(jī)機(jī)翼的振動(dòng)，及一些穩(wěn)定性分析和相關(guān)分析可轉(zhuǎn)化為求矩陣特征值與特征向量的問題。

定義：設(shè)是階矩陣，如果數(shù)和維非零列向量使關(guān)系式：成立，那么數(shù)成為方程的特征值，非零向量稱為的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。

1、特征向量，特征值問題是對(duì)方陣而言的。2、階方陣的特征值，就是使齊次線性方程組有非零解的值，其滿足方程的都是矩陣A的特征值。復(fù)習(xí)：矩陣的特征值和特征向量筆算方法：矩陣特征值和特征向量例

設(shè)求A的特征值與特征向量．解筆算方法：矩陣特征值和特征向量筆算方法：矩陣特征值和特征向量得根底解系為：機(jī)算方法：矩陣特征值和特征向量在MATLAB命令窗口輸入以下命令：

>>A=[-211;020;-413];>>[p,lamda]=eig(A)運(yùn)算結(jié)果為：p=-0.7071-0.24250.3015000.9045-0.7071-0.97010.3015lamda=-100020002計(jì)算矩陣的特征值和特征向量

二次型標(biāo)準(zhǔn)化

判斷二次型的正定性eig命令復(fù)習(xí)：二次型的標(biāo)準(zhǔn)化及正定判別定義：含有n個(gè)變量的二次齊次函數(shù)

稱為二次型.二次型可以記作：只含平方項(xiàng)的二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)于二次型，我們討論的主要問題有兩個(gè)：一、尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形二、二次型的正負(fù)定的研究復(fù)習(xí)：二次型的標(biāo)準(zhǔn)化及正定判別二次型標(biāo)準(zhǔn)化主要有三種方法：正交變換化，拉格朗日配方法和初等變換法。對(duì)于實(shí)二次型，如果對(duì)于任意都有則稱

為正定二次型，對(duì)應(yīng)的矩陣為正定矩陣；如果對(duì)任意都有，則稱為負(fù)定二次型，對(duì)應(yīng)的矩陣為負(fù)定矩陣。判別二次型正定主要有三種方法：定義法，矩陣特征值法，順序主子式判別方法〔霍爾維茨定理〕。筆算方法：二次型的標(biāo)準(zhǔn)化及正定判別例：

用正交變換將二次型標(biāo)準(zhǔn)化，并求其變換矩陣解：用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟：筆算方法：二次型的標(biāo)準(zhǔn)化及正定判別例：

用正交變換將二次型標(biāo)準(zhǔn)化，并求其變換矩陣解法：1、對(duì)稱矩陣為：2、求特征值：筆算方法：二次型的標(biāo)準(zhǔn)化及正定判別3、求特征向量：得正交向量組4、求特征向量正交化：筆算方法：二次型的標(biāo)準(zhǔn)化及正定判別4．將正交向量組單位化，得正交矩陣于是所求正交變換為：筆算方法：二次型的標(biāo)準(zhǔn)化及正定判別例：

判定二次型正定性解法一：二次型的矩陣為根據(jù)霍爾維茨定理該二次型的矩陣為正定矩陣。筆算方法：二次型的標(biāo)準(zhǔn)化及正定判別例：

判別二次型的正定性解法二：特征值都大于零，因此可以判別該二次型的矩陣為正定矩陣。特征值判別法二次型的矩陣為在MATLAB命令窗口輸入以下命令：>>A=[17-2-2;-214-4;-2-414]>>disp('矩陣特征值和特征向量為：')>>[P,lamda]=eig(A)>>disp('順序主子式為：')fori=1:size(A,1)det(A(1:i,1:i))endeig二次型標(biāo)準(zhǔn)化及正定判別

運(yùn)算結(jié)果為：矩陣特征值和特征向量為：P=0.3333-0.29810.89440.6667-0.5963-0.44720.66670.74540.0000lamda=90001800018順序主子式為：ans=17ans=234ans=2916可判定矩陣為正定矩陣。三、應(yīng)用實(shí)例——圖像處理領(lǐng)域圖像的代數(shù)操作圖像的幾何變換圖像配準(zhǔn)綜合例如(1)圖像的代數(shù)操作1.相加運(yùn)算2.減法運(yùn)算3.乘法運(yùn)算4.除法運(yùn)算代數(shù)操作是指對(duì)圖像進(jìn)行點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的加、減、乘、除四那么運(yùn)算而得到一幅新的輸出圖像,參與運(yùn)算的像素幾何位置不變。記輸入圖像為A(x,y)和B(x,y)，輸出圖像為C(x,y)，那么圖像代數(shù)操作有如下四種簡(jiǎn)單形式：C(x,y)=A(x,y)+B(x,y)C(x,y)=A(x,y)—B(x,y)C(x,y)=A(x,y)×B(x,y)C(x,y)=A(x,y)/B(x,y)矩陣的根本運(yùn)算(1)圖像的代數(shù)操作——相加運(yùn)算圖像相加常用于圖像合成，以及對(duì)同一場(chǎng)景的多幅圖像求平均，有效地降低加性隨機(jī)噪聲。=+%ImAdd.m%讀入圖像ima1=imread('vase.jpg');ima2=imread('sky.jpg');%轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)類型ima1=double(ima1);ima2=double(ima2);%加法求平均result=(ima1+ima2)/2;figure;imshow(uint8(result));=+vase.jpgsky.jpgresult(1)圖像的代數(shù)操作——相加運(yùn)算圖像相加常用于對(duì)同一場(chǎng)景的多幅圖象求平均，以便有效地降低加性隨機(jī)噪聲，通常對(duì)于經(jīng)過(guò)長(zhǎng)距離模擬通訊方式傳送的圖像，這種處理是不可缺少的。(1)圖像的代數(shù)操作——相加運(yùn)算

多聚焦圖像融合=+(1