第6章數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的基本概念

第6章數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的基本概念

統(tǒng)計量及其分布衡量點估計好壞的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的常用分布點估計法

概念

數(shù)據(jù)分布特征品質(zhì)數(shù)據(jù)的分類整理：數(shù)量數(shù)據(jù)分組：組距分組：單變量分組：條形圖、餅圖直方圖、折線圖組數(shù)：組距：排序計數(shù)6.0頻率與直方圖分組的原則：窮盡原則，互斥原則例：某商店連續(xù)40天的商品銷售額（單位：萬元）如下：根據(jù)上面的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組，編制頻數(shù)分布表，并畫出直方圖。4125294738343038434046364537373645433344

4228463430374426384442363737493942323635按銷售額分組（萬元）頻數(shù)頻率%25-3030-3535-4040-4545-5046159610.015.037.522.515.0合計40100.0數(shù)據(jù)分布特征的測度1、分布的集中趨勢：1)眾數(shù)：出現(xiàn)頻率最高的值，用記之。算法(1)例1,2,4,4,5,6則1,2,3,3,4,5,6,6,7則算法(2)其中L為眾數(shù)組的下限值，d為眾數(shù)組的組距，f為眾數(shù)組的頻數(shù)，分別為眾數(shù)前，后一組的頻數(shù)2)中位數(shù)：中間位置的數(shù)，用記之。算法(1)例1,2,3,4,5,6,7則1,2,3,4,5,6則算法(2)其中L為中位數(shù)所在組的下限值；d為中位數(shù)所在組的組距。為中位數(shù)所在組以前各組的累計頻數(shù)；為中位數(shù)所在組的頻數(shù)；3)均值：1)簡單平均2)加權(quán)平均3)調(diào)和平均4)加權(quán)調(diào)和平均5)幾何平均其中例考分50～6060～7070～8080～9090～100人數(shù)

4

7

11

12

8求解：眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較對稱分布左偏分布右偏分布2、分布的離散程度：(1)(2)平均離差樣本方差(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差（4）極差例：求1,2,3,4,5的均值，方差。解：

數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的任務(wù)

觀察現(xiàn)象,收集資料,創(chuàng)建方法,分析推斷。

統(tǒng)計推斷

伴隨著一定概率的推測。其特點是:由“部分”推斷“整體”。

總體研究對象的全體(整體)X。個體每一個研究對象。有限總體無限總體1.基本概念

樣本由部分個體構(gòu)成的集合。第6.1節(jié)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的基本概念(X1,X2,…,Xn

樣本容量

樣本中所含個體的數(shù)目n.）注樣本觀測值(x1,x2,…,xn）。簡單隨機(jī)樣本：獨(dú)立、同分布性。

注意:樣本是一組獨(dú)立同總體分布的隨機(jī)變量.例如檢驗一批燈泡的質(zhì)量,從中選擇100只,則總體這批燈泡(有限總體)個體這批燈泡中的每一只樣本抽取的100只燈泡(簡單隨機(jī)樣本)樣本容量100樣本值x1,x2,…,x100顯然,可以選擇“樣本的函數(shù)”:作為燈泡質(zhì)量的一個衡量指標(biāo).總體選擇個體樣本觀測樣本樣本觀察值(數(shù)據(jù))數(shù)據(jù)處理樣本有關(guān)結(jié)論推斷總體性質(zhì)

統(tǒng)計量這樣的“不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布成為抽樣分布.統(tǒng)計的一般步驟(2)樣本均值(4)修正樣本方差(5)修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差(3)樣本k階中心矩(1)樣本k階原點矩注常用統(tǒng)計量

未知,則([2][4][5][6])不是統(tǒng)計量。

是來自總體例1.設(shè)的s.r.s,其中

統(tǒng)計量標(biāo)準(zhǔn)一:無偏性

設(shè)為θ的一個點估計,若則稱為θ的一個無偏估計.注意無偏估計若存在，則可能不唯一.衡量估計量好壞的標(biāo)準(zhǔn):標(biāo)準(zhǔn)三:相合性(一致性)

設(shè)統(tǒng)計量是未知參數(shù)的點估計量,樣本容量為n,

若對任意

則稱為的相合估計,又稱一致估計.標(biāo)準(zhǔn)二:有效性

設(shè)和是的兩個無偏估計,若

稱比更有效例：設(shè)X1,X2,X3為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本,EX=μ,DX=σ2,驗證下列μ的估計量哪個更有效.解=EX=μ=DX/2=σ2/2同理所以為無偏估計量,更有效.例：驗證:是總體X方差的一個無偏估計;不是方差的無偏估計.解=DX所以,S2為DX的無偏估計量.ES2=DX,故所以,不是DX的無偏估計量.1.矩估計法將總體的各階原點矩用相應(yīng)階的樣本原點矩替代,布列方程或方程組,所得到的解,作為總體未知參數(shù)的點估計的方法.例

設(shè)總體,為取自該總體的樣本,

求未知參數(shù)θ的矩估計量.解所以參數(shù)θ的矩估計量為點估計法無偏估計例設(shè)總體的概率密度函數(shù)為

為取自該總體的樣本.求(1)未知參數(shù)的矩估計量;(2)解(1)所以參數(shù)θ的矩估計量為例:設(shè)總體X~U(a,b),X1,X2,…,Xn為取自該總體的樣本,求a,b的矩估計量.解因為所以令得方程組解得(1)似然函數(shù)(樣本的聯(lián)合密度函數(shù))

設(shè)總體X為連續(xù)型，X～f(x;θ1,θ2,…θm),θi為待估參數(shù)(i=1,2,…,m),X1,X2,…,Xn為來自該總體的樣本,則Xi～f(xi;θ1,θ2,…θm),(i=1,2,…,m)（X1,X2,…,Xn）的聯(lián)合密度函數(shù)為(似然函數(shù))2最大似然估計法

例

X~E(λ),即則設(shè)總體X為離散型,P(X=x)=P(x;θ1,θ2,…θm),θi為待估參數(shù)(i=1,2,…,m),X1,X2,…,Xn為來自該總體的s.r.s,則P(Xi=xi)=P(xi;θ1,θ2,…θm),(i=1,2,…,m)（X1,X2,…,Xn）的聯(lián)合概率函數(shù)為(似然函數(shù))例

X~P(λ),即(2)基本思想:最大似然估計就是通過樣本值來求得總體的分布參數(shù),使得取值為的概率最大.若似然函數(shù)在取到最大值,則稱分別為的最大似然估計.最大似然估計:(3)方法與步驟:設(shè)總體的分布密度(或概率密度)其中是待估參數(shù).

①寫出似然函數(shù)(即樣本的聯(lián)合密度函數(shù))②寫出對數(shù)似然函數(shù)（對似然函數(shù)取對數(shù)）③寫出似然方程④求解似然方程并寫出估計量(只有一個待估參數(shù)時求)例:X~N(μ,σ2),求參數(shù)μ,σ2的最大似然估計.解注意:不是無偏估計.例:設(shè)X服從[0,θ]區(qū)間上的均勻分布,參數(shù)θ>0,求θ的最大似然估計.解由題意得:無解.基本方法失效.要使L取值最大,θ應(yīng)最小,而取此時,L取值最大,所以,最大似然估計為應(yīng)用最大似然估計基本思想:L越大,樣本觀察值越可能出現(xiàn).例

求參數(shù)為p的0-1分布的最大似然估計.解P(X=0)=1-pP(X=1)=pP(X=m)=pm(1-p)1-m(m=0,1)P(X=x)=px(1-p)1-x解得最大似然估計為注意:為p的無偏估計量.例

設(shè)總體X～解由題意得:當(dāng)時，所求最大似然估計為其中是未知參數(shù).是來自總體的一個容量為n的s.r.s,求的最大似然估計所以另一方面故設(shè)總體X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn為取自該總體X的樣本.(1)四大分布及其分位數(shù)①標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其下側(cè)分位數(shù)若P(Z<z1-α)=1-α,則稱z1-α為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下側(cè)1-α分位數(shù).Z1-α

αXφ(x)其中定義設(shè)X~N(μ,σ2),則~N(0,1),對任意0<α<1,正態(tài)總體下的常用統(tǒng)計量及其分布例:在總體X~N(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,…,X5,求下列概率:

(1)因為=2Φ(1.118)-1=0.7364解即:n個相互獨(dú)立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和X的分布為自由度為n的分布.性質(zhì)

X1,X2,…Xn獨(dú)立,Xi~N(0,1),(i=1,2,…,n),則定義分布具有可加性,即

X,Y獨(dú)立,X~(m),Y~(n),則②分布的下側(cè)分位數(shù)分布的下側(cè)分位數(shù)Xf(x)(1)若P(X<λ)=1-α,則(1)若P(X<λ)=α,則例:設(shè)X~(10),P(X>λ1)=0.025,P(X<λ2)=0.05,求λ1,λ2.解

定義設(shè),對于給定的α(0<α<1),若P(X>)=α,則稱為自由度為n的分布的下側(cè)1-α分位數(shù).

例設(shè)是取自總體N(0,4)的簡單隨機(jī)樣本

時,

解由題意得

設(shè)隨機(jī)變量,隨機(jī)變量Y,且它們互相獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量的分布為自由度是n

的t

分布,記作定義t分布的密度曲線:Xf(x)

特點關(guān)于y軸對稱;隨著自由度的逐漸增大,密度曲線逐漸接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度曲線.③

t分布及其下側(cè)分位數(shù)服從()分布,參數(shù)為().

例:設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布,而和分別是來自總體X

和Y

的s.r.s,則統(tǒng)計量

t9解故與獨(dú)立,所以t分布的下側(cè)分位數(shù)例:設(shè)t1-α(n)為t(n)的下側(cè)1-α分位數(shù)則P(T<t1-α(n))=

,P(T<-t1-α(n))=

,P(|T|>t1-α(n))=

.Xf(x)α1-α2αα設(shè)X~t(n),對于給定α(0<α<1),若P(t(n)<)=1-α,則稱為t(n)分布的下側(cè)1-α分位數(shù).

(4)設(shè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量且它們相互獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量的分布為自由度是的F

分布。(1)若P(F<λ)=1-α,則(2)若P(F>λ)=1-α,則P(1/F<1/λ)=1-αF分布的分位數(shù)Xf(x)設(shè)是來自總體的s.r.s,

分別是樣本均值和修正樣本方差,則

抽樣分布基本定理1)2)3)與相互獨(dú)立.

4)設(shè)X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),從中分別抽取容量為n1,n2的樣本,且兩組樣本獨(dú)立,則5）當(dāng)時,記這樣的“不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布成為抽樣分布.小結(jié):(2)樣本均值(4)修正樣本方差(5)修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差(3)樣本k階中心矩(1)樣本k階原點矩注常用統(tǒng)計量

標(biāo)準(zhǔn)一:無偏性

設(shè)為θ的一個點估計,若則稱為θ的一個無偏估計.注意無偏估計若存在，則可能不唯一.衡量估計量好壞的標(biāo)準(zhǔn):標(biāo)準(zhǔn)三:相合性(一致性)

設(shè)統(tǒng)計量是未知參數(shù)的點估計量,樣本容量為n,

若對任意

則稱為的相合估計,又稱一致估計.標(biāo)準(zhǔn)二:有效性

設(shè)和是的兩個無偏估計,若

稱比更有效1.矩估計法將總體的各階原點矩用相應(yīng)階的樣本原點矩替代,布列方程或方程組,所得到的解,作為總體未知參數(shù)的點估計的方法.(1)似然函數(shù)(樣本的聯(lián)合密度函數(shù))

設(shè)總體X為連續(xù)型，X～f(x;θ1,θ2,…θm),θi為待估參數(shù)(i