2022-2023學(xué)年廣東省陽(yáng)江市四校高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省陽(yáng)江市四校高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．經(jīng)過點(diǎn)(－，2)，傾斜角是30°的直線的方程是（

）A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)【答案】C【分析】根據(jù)k=tan30°求出直線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】直線的斜率k=tan30°=，由直線的點(diǎn)斜式方程可得y－2＝(x＋)，故選：C．2．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（

）A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，的圓心坐標(biāo)為，半徑為，故選：D.3．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】運(yùn)用向量的減法和向量的數(shù)乘運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】解：由已知，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的減法運(yùn)算，及共線向量的知識(shí).4．設(shè)，向量，，，且，，則（

）A． B． C．4 D．3【答案】D【分析】先根據(jù)求出，再根據(jù)求出，故可求.【詳解】因?yàn)椋?，故，因?yàn)椋?，故，故，，故，故，故選：D.5．已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)到直線的距離相等，所以有，或，故選：D6．已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線，經(jīng)x軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)反射性質(zhì)，結(jié)合圓的性質(zhì)、直線斜率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的圓心坐標(biāo)為，設(shè)是x軸上一點(diǎn)，因?yàn)榉瓷涔饩€恰好平分圓的圓周，所以反射光線經(jīng)過點(diǎn)，由反射的性質(zhì)可知：，于是，所以反射光線所在的直線方程為：，故選：A7．如圖，在直三棱柱中，，則與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出，的坐標(biāo)，由夾角公式可得結(jié)果.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以直線與所成角的余弦值為．故選：A.8．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在正方體的對(duì)角線(不含端點(diǎn))上.設(shè)，若為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，【詳解】由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法計(jì)算，利用不是平角，可得為鈍角等價(jià)于，即，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則有∴，∴設(shè)，∴，，由圖知不是平角，∴為鈍角等價(jià)于，∴，∴，解得∴的取值范圍是故選：C.二、多選題9．以下關(guān)于向量的說法正確的有（

）A．若＝，則＝B．若將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)圓C．若＝－且＝－，則=D．若與共線，與共線，則與共線【答案】AC【分析】根據(jù)向量的基本概念和性質(zhì)即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】若＝，則和的大小相等，方向相同，故A正確；將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)球，故B錯(cuò)誤；若＝－，＝－，則＝－=，故C正確；若與共線，與共線，則當(dāng)時(shí)，無法判斷與的關(guān)系，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．已知直線：和直線：，則（

）A．若，則或 B．若在軸和軸上的截距相等，則C．若，則或2 D．若，則與間的距離為【答案】CD【分析】由兩直線平行，即可求出，則可判斷出A選項(xiàng)，結(jié)合兩直線的距離公式即可判斷出D選項(xiàng)；由在軸和軸上截距相等等價(jià)于過原點(diǎn)或其斜率為，即可列出等式，解出或2，則可判斷出B選項(xiàng)；由兩直線垂直，即可求出或2，則可判斷出C選項(xiàng).【詳解】若，由，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，重合，當(dāng)時(shí)，，所以，故A錯(cuò)誤；若在軸和軸上截距相等，則過原點(diǎn)或其斜率為，則或，則或，故B錯(cuò)誤；若，則，解得或2，故C正確；當(dāng)時(shí)，，則：，：，即：，則與間的距離為，故D正確．故選：CD．11．已知圓與圓有且僅有兩條公共切線，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由兩圓方程可確定圓心和半徑，根據(jù)兩圓公切線條數(shù)可知兩圓相交，根據(jù)相交時(shí)圓心距和兩圓半徑之間關(guān)系構(gòu)造不等式求得的取值范圍，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】圓方程可化為：，則圓心，半徑；由圓方程知：圓心，半徑；圓與圓有且僅有兩條公切線，兩圓相交，又兩圓圓心距，，即，解得：或，可知CD中的的取值滿足題意.故選：CD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：兩圓之間圓心距為，半徑分別為，則兩圓位置關(guān)系與關(guān)系如下：（1）內(nèi)含：；（2）內(nèi)切：；（3）相交：；（4）外切：；（5）外離：.12．如圖所示，棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面平面 B．不是定值C．三棱錐的體積為定值 D．【答案】ACD【分析】A.易證明平面，得到面面垂直；B.轉(zhuǎn)化，再求數(shù)量積；C.,根據(jù)底面積和高，判斷體積是否是定值；D.由平面，判斷線線是否垂直.【詳解】A.因?yàn)槭钦襟w，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正確；B.，故，故B不正確；C.，的面積是定值，平面，點(diǎn)在線段上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離是定值，所以是定值，故C正確；D.，，，所以平面，平面，所以，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，體積，空間向量數(shù)量積的綜合判斷題型，重點(diǎn)考查垂直關(guān)系，屬于中檔題型.三、填空題13．已知三點(diǎn)共線，則=____.【答案】【分析】列方程來求得.【詳解】依題意：三點(diǎn)共線，所以，即.故答案為：14．過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程是______．【答案】或【分析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得直線，分析可得直線與圓相切，滿足題意，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，可得直線l的方程，由題意可得圓心到直線的距離，即可求得k值，綜合即可得答案.【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以直線，此時(shí)圓心到直線的距離為1=r，此時(shí)直線與圓相切，滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，所以，即，因?yàn)橹本€l與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以直線l的方程為.綜上：直線的方程為或故答案為：或15．長(zhǎng)方體中，，，則點(diǎn)B到平面的距離為________．【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.【詳解】解：在長(zhǎng)方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，，，，，，設(shè)平面的法向量為：，，令得：又點(diǎn)B到平面的距離為：.故答案為：.16．已知，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是______【答案】【分析】先利用向量共線定理設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算得到關(guān)于的函數(shù)式，利用二次函數(shù)求最值即可得到答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，所以存在，使得，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.四、解答題17．求經(jīng)過兩條直線l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交點(diǎn)，且分別與直線2x－y－1＝0：(1)平行的直線方程；(2)垂直的直線方程．【答案】(1)2x－y＋1＝0.(2)x＋2y－7＝0.【分析】由題意，聯(lián)立方程組，解得與的交點(diǎn)為．(1)設(shè)所求直線方程為，把點(diǎn)，代入直線方程，解得，即可求解；(2)設(shè)所求直線方程為，把點(diǎn)，代入直線方程，解得，即可求解；【詳解】由題意，聯(lián)立方程組，解得，即與的交點(diǎn)為．(1)設(shè)與直線平行的直線方程為，把點(diǎn)，代入直線方程，得，解得，∴所求直線方程為2x－y＋1＝0.(2)設(shè)與直線垂直的直線方程為，把點(diǎn)，代入直線方程，得，解得，即所求直線方程為x＋2y－7＝0.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩條直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線方程的求解，其中解答中牢記兩條直線的位置關(guān)系，合理設(shè)出所求的直線方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.18．如圖所示，在平行六面體中，AB＝AD＝A＝1，∠AD＝∠AB＝∠BAD＝60°，求：（1）A的長(zhǎng)；（2）B的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用，然后平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積計(jì)算；（2）利用，然后平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積計(jì)算；【詳解】（1）＝1＋1＋1＋2×1×1×＋2×1×1×＋2×1×1×＝6.∴A＝＝.（2）)＝1＋1＋1＋2×1×1×(－)＋2×1×1×＋2×1×1×(－)＝2.∴＝.19．在中，已知，，.（1）求邊所在的直線方程；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由直線方程的兩點(diǎn)式可得；（2）先求直線方程，再求到的距離，最后用面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1），，邊所在的直線方程為，即；（2）設(shè)到的距離為，則，，方程為：即：..20．在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)．（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求直線向量夾角，即得結(jié)果；（2）先求兩個(gè)平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則從而直線與所成角的余弦值為（2）設(shè)平面一個(gè)法向量為令設(shè)平面一個(gè)法向量為令因此【點(diǎn)睛】本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.21．圖1是直角梯形ABCD，，.以BE為折痕將折起，使點(diǎn)C到達(dá)C1的位置，且，如圖2.(1)證明：平面平面ABED；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先作輔助線，連接AE，AC，AC交BE于點(diǎn)F，利用垂直關(guān)系證明C1F⊥平面ABED，即可證明；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用向量法求線面角的正弦值.【詳解】（1）證明：如圖①，連接AE，AC，AC交BE于點(diǎn)F.因?yàn)椋?，所以，所以，又，所以四邊形AECB是平行四邊形，,，所以四邊形是菱形，在中，AC=，所以.在圖②中，，所以，所以，由題意得，又，平面ABED，所以平面ABED，又平面，所以平面平面ABED.（2）如圖②，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x，y軸的正方向，的方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系則，F(xiàn)，，所以，,，設(shè)平面的法向量為=(x，y，z)，由得取，得，所以，記直線與平面所成的角為θ，則==.22．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°.側(cè)棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝3.(1)求二面角B-D1C-D的平面角的余弦值；(2)設(shè)E是D1B的中點(diǎn)，在線段D1C上是否存在一點(diǎn)P，使得AE∥平面PDB？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的夾角即可求二面角，（2）根據(jù)線面平行的向量方法，利用法向量與方向向量垂直即可求解.【詳解】（1）如圖1，連接BD，由題意，△ADB是正三角形，設(shè)M是AB的中點(diǎn)，則DM⊥AB，所以DM⊥DC，又DD1⊥平面ABCD，所以DM⊥平面DD1C1C.以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，D1(0,0,3)，C(0,2,0)，B(