2022-2023學(xué)年湖南省衡陽師范學(xué)院祁東附屬中學(xué)高一年級上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

衡師祁東附中2022年下學(xué)期期中考試試卷高一數(shù)學(xué)一、單選題：本大題共8個小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出集合和的范圍，直接求交集即可得解.【詳解】，，所以，故選：B.2.設(shè)，則M與N的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.不能確定【答案】A【解析】【分析】利用作差比較法，得到，即可求解.【詳解】由，則，所以.故選：A.3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐一判斷即可【詳解】對于A是偶函數(shù)故A錯誤對于B在上單調(diào)遞增故B錯誤對于C是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減故C正確對于D在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故D錯誤故選：C4.不等式成立的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式，可得不等式的解集為，再根據(jù)充分不必要條件的概念，即可得到結(jié)果.【詳解】不等式的解集為，又，所以是不等式成立的一個充分不必要條件.故選：C.5.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征．我們從這個商標中抽象出一個圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象知函數(shù)的定義域排除選項選項A、D，再根據(jù)不成立排除選項C，即可得正確選項.【詳解】由圖知的定義域為，排除選項A、D，又因為當(dāng)時，，不符合圖象，所以排除選項C，故選：B.6.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】抽象函數(shù)定義域的求解，需要遵循兩個原則，第一是定義域是指的取值范圍；第二是同一對應(yīng)法則下，整體范圍相同.【詳解】因為的定義域為，所以，解得或．又因為，解得，所以的定義域為．故選：C7.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】由題可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，，且，再利用函數(shù)單調(diào)性即得.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)逆增，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，且，所以，所以，解得或，即的取值范圍是.故選：A.8.對于函數(shù)，若存在，使，則稱點是曲線的“優(yōu)美點”.已知，若曲線存在“優(yōu)美點”，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】存在，使，則函數(shù)圖象上存在兩點關(guān)于原點對稱．因此只要把的圖象關(guān)于原點對稱后與射線有公共點即可．【詳解】由題意，若函數(shù)存在“優(yōu)美點”，則函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點對稱的點．時，，把這部分圖象關(guān)于原點對稱，如圖，所得圖象的解析式為：(由得)，只要射線：與的圖象有公共點即可，圖中射線與的圖象相切，由，得，，，由圖象知，∴．故選：A.【點睛】本題考查新定義問題，考查創(chuàng)新意識．解題關(guān)鍵是問題的轉(zhuǎn)化，題中新概念“優(yōu)美點”，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點對稱的點．再轉(zhuǎn)化為的圖象關(guān)于原點對稱后與射線有公共點即可．二、多選題：本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.下列命題為假命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】【分析】利用特值法和不等式的基本性質(zhì)即可進行判斷.【詳解】令,，,故A為假命題.令，則，故B為假命題.令,，，故C為假命題.若，兩邊同乘以，則，故D為真命題.故選：ABC10.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.冪函數(shù)為奇函數(shù)C.的單調(diào)減區(qū)間為D.函數(shù)的圖象與y軸的交點至多有1個【答案】ABD【解析】【分析】由存在量詞命題的否定的定義判斷A；利用冪函數(shù)的定義及奇函數(shù)的概念判斷B；由判斷C；由函數(shù)的定義判斷D.【詳解】對于A項，由存在量詞命題的否定的定義可知，命題“，”的否定是“，”，A正確；對于B項，由冪函數(shù)的概念有，則或，當(dāng)時，為奇函數(shù)，當(dāng)時，為奇函數(shù)，所以選項B正確；對于C項，由可知，C錯誤；對于D項，由函數(shù)的定義可知，若在定義域內(nèi)，則有且只有一個與之對應(yīng)，即函數(shù)的圖象與軸的交點只有一個，若不在定義域內(nèi)，則函數(shù)的圖象與軸無交點，所以函數(shù)的圖象與軸的交點至多有1個，D正確.故選：ABD.11.已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時， B.當(dāng)時，C.函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點 D.函數(shù)是增函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合奇函數(shù)的定義可求函數(shù)解析式，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及解析式分別檢驗各選項即可判斷．【詳解】定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，也滿足，所以當(dāng)時，，A正確，B錯誤；由題意可知，顯然為函數(shù)零點，當(dāng)時，顯然沒有零點，根據(jù)奇函數(shù)對稱性可知，當(dāng)時，函數(shù)沒有零點，所以函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點，C正確；當(dāng)時，單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，時，函數(shù)單調(diào)遞增，且在處連續(xù)，故在R上單調(diào)遞增，D正確．故選：ACD．12.下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有．A.如果，那么取得最大值時的值為B.如果，，，那么的最小值為6C.函數(shù)的最小值為2D.如果，，且，那么的最小值為2【答案】AB【解析】【分析】A.將其配成頂點坐標式即可得出答案；B.將其配成代入即可得其最小值；C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時無解D.根據(jù)題意構(gòu)造，將“1”替換為，代入用基本不等式.【詳解】解：對于A.如果，那么，當(dāng)時取得最大值，故正確；對于B.如果，，則整理得，所以或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，故正確；對于C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時無解，不能取得最小值2，故錯誤；對于D.如果，，且，那么當(dāng)且僅當(dāng)即時取得最小值，故錯誤.故選：AB【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，則__________．【答案】2【解析】【分析】利用分段函數(shù)的解析式，將代入即可求解.【詳解】由，則.故答案為：.14.已知集合，，若，則實數(shù)的所以可能取值組成的集合是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系分類求解．【詳解】時，，時，，由得，或，即或，綜上，的取值集合是．故答案為：．15.已知（a，b是常數(shù)），且，則___________.【答案】-21【解析】【分析】令并判斷其奇偶性，再利用奇偶函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】令，則，即是奇函數(shù)，依題意，，而，則，又，所以.故答案為：16.已知不等式的解集為，則__________，的最小值為__________.【答案】①.②.8【解析】【分析】結(jié)合一元二次不等式、一元二次方程以及根與系數(shù)關(guān)系列方程，由此求得，，進而求得.利用基本不等式求得的最小值.【詳解】由題知，，，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故的最小值為8.故答案為：；【點睛】本小題主要考查根據(jù)一元二次不等式的解集求參數(shù)，考查利用基本表達式求最值，屬于中檔題.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)命題p：，命題q：.（1）當(dāng)a＝1時，若為假命題且q是真命題，則求實數(shù)x的取值范圍；（2）若?p是?q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式求得命題，根據(jù)的真假性求得的取值范圍.（2）根據(jù)命題的否定、必要不充分條件的知識列不等式，由此求得的取值范圍.【小問1詳解】，，解得.，解得，當(dāng)時，，由于假真，所以.【小問2詳解】?p是?q的必要不充分條件，則是的充分不必要條件，所以.18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定參數(shù)a的取值區(qū)間；（2）由題得方程的兩根分別為1、，討論兩根的大小關(guān)系得出不等式的解集.小問1詳解】函數(shù)的對稱軸，依題意得或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】由，得方程的兩根分別為1、，當(dāng)，即時，不等式的解集為；當(dāng)，即時，不等式的解集為；當(dāng)，即時，不等式的解集為.綜上，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.19.已知二次函數(shù)滿足，且0為函數(shù)的零點．（1）求的解析式；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法列出方程求出系數(shù)得到解析式即可；（2）分離參數(shù)可得恒成立，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）設(shè)，由題意可知，，得到，即得到，又因為0是函數(shù)的零點，即0是方程的根，即滿足，得，又，，，（2）當(dāng)時，恒成立，即恒成立；令，則．20.已知函數(shù)滿足，且.（1）求的解析式；（2）求a的值，使在區(qū)間上的最小值為.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用配湊法直接即可求出函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）得到，然后通過分，，三種情況進行討論即可求出答案.【小問1詳解】因為，所以.【小問2詳解】由（1）可得，，其對稱軸為，當(dāng)，即時，在區(qū)間上是增函數(shù)，.即，解得，又因為，所以不滿足題意；當(dāng)時，在區(qū)間上先減后增，所以，即，解得或；當(dāng)，即時，在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，即，解得，又因為，所以不滿足題意.綜合上述，a的值為或.21.已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù).（1）求.（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并說明理由，再求函數(shù)在上的最值.（3）若函數(shù)滿足不等式，求出t的范圍.【答案】（1）（2）是區(qū)間上的增函數(shù)，理由見解析，（3）【解析】【分析】（1）由函數(shù)的奇偶性定義以及性質(zhì)求解即可；（2）利用定義證明單調(diào)性，進而得出最值；（3）由在區(qū)間上的單調(diào)性以及奇偶性，解不等式得出t的范圍.【小問1詳解】因為在是奇函數(shù)驗證：，，函數(shù)為奇函數(shù)；為偶函數(shù)，則驗證：，，函數(shù)為偶函數(shù).【小問2詳解】是區(qū)間上的增函數(shù)，理由如下：設(shè)區(qū)間上任意兩個實數(shù)，且，則因為所以是區(qū)間上的增函數(shù)【小問3詳解】因為是區(qū)間上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)，由滿足，即t的范圍是22.1.某科研機構(gòu)為了研究某種藥物對某種疾病的治療效果，準備利用小白鼠進行科學(xué)試驗．研究發(fā)現(xiàn)，藥物在血液內(nèi)的濃度與時間的關(guān)系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式給藥，則在注射后的4小時內(nèi)，藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度（單位：毫克/升）與時間t（單位：小時）滿足關(guān)系式（，a為常數(shù)）；若使用口服方式給藥，則藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度（單位：毫克/升）與時間t（單位：小時）滿足關(guān)系式現(xiàn)對小白鼠同時進行注射和口服該種藥物，且注射藥物和口服藥物的吸收與代謝互不干擾．假設(shè)同時使用兩種方式給藥后，小白鼠血液中藥物的濃度等于單獨使用每種方式給藥的濃度之和．（1）若，求4小時內(nèi)，該小白鼠何時血液中藥物的濃度最高，并求出最大值；（2）若要使