2022-2023學(xué)年湖北省重點(diǎn)中學(xué)4G 聯(lián)合體高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省重點(diǎn)中學(xué)4G+聯(lián)合體高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由斜率公式可求得直線斜率，由斜率和傾斜角關(guān)系可得直線傾斜角.【詳解】，直線的傾斜角為.故選：C.2．如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算用表示出即可得．【詳解】-＝，.故選：A．3．在一些山谷中有一種奇特的現(xiàn)象，在一處呼喊一聲，在另一處會(huì)間隔聽(tīng)到兩次呼喊，前一次是聲音直接傳到聽(tīng)者耳朵中，后一次是聲音經(jīng)過(guò)山壁反射后再傳到聽(tīng)者耳朵中.假設(shè)有一片橢圓形狀的空曠山谷，甲?乙兩人分別站在橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)處，甲呼喊一聲，乙經(jīng)過(guò)聽(tīng)到第一聲，又過(guò)聽(tīng)到第二聲，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由橢圓的對(duì)稱性，結(jié)合聲波的反射定律，可能的傳播路徑為、、，比較對(duì)應(yīng)的傳播路徑長(zhǎng)度，即可區(qū)分第一聲、第二聲的路徑，即可由路程和時(shí)間列方程，求解出，即【詳解】如圖，甲在，乙在，直接傳播路徑有，即，由橢圓的對(duì)稱性，結(jié)合聲波的反射定律，聲音經(jīng)過(guò)A點(diǎn)反射，傳播路程為，即因?yàn)椋?，故第一聲為，第二聲為，因?yàn)槁曇羲俣群愣?，故，故，故選：A4．已知空間內(nèi)三點(diǎn)，，，則點(diǎn)A到直線的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助于空間向量解決空間中距離問(wèn)題【詳解】空間內(nèi)三點(diǎn)，，，，因?yàn)?，，由，所以，所以點(diǎn)A到直線的距離.故選：A.5．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)k＋m的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【分析】由圓的方程得出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓的對(duì)稱性可知直線通過(guò)圓心，得出，再由直線與直線相互垂直，得出，代入求解即可.【詳解】，方程一定表示圓；則圓心坐標(biāo)為，根據(jù)圓的對(duì)稱性可知，直線通過(guò)圓心，則，M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱直線與直線相互垂直，，所以，故選：A.6．有2個(gè)人在一座8層大樓的底層進(jìn)入電梯，假設(shè)每一個(gè)人自第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的，則這2個(gè)人在不同層離開(kāi)電梯的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由古典概型的概率公式結(jié)合排列組合與對(duì)立事件的概率公式求解即可【詳解】由題意得，由于每一個(gè)人自第二層開(kāi)始在每一層電梯是等可能的，故兩人離開(kāi)電梯的所有可能情況有種，而兩人在同一層電梯的可能情況有，所以兩人在同一層離開(kāi)電梯的概率為，所以兩人在不同層離開(kāi)電梯的概率為，故選：B.7．如圖，某圓錐的軸截面，其中，點(diǎn)B是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圓錐曲線的性質(zhì)，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法即可求兩異面直線的夾角．【詳解】由圓錐的性質(zhì)可知平面，故可以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O且垂直于的直線為x軸，分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，易知，∵，∴，∴，∴，，∴，因此，異面直線與所成角的余弦值為．8．幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)是銳角的一邊上的兩點(diǎn)，試在邊上找一點(diǎn)，使得最大.”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)為過(guò)，兩點(diǎn)且和射線相切的圓與射線的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】A【分析】利用米勒問(wèn)題的結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)為過(guò)，兩點(diǎn)且和軸相切的圓與軸的切點(diǎn)，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.【詳解】由題意知，點(diǎn)為過(guò)，兩點(diǎn)且和軸相切的圓與軸的切點(diǎn)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的垂直平分線方程為，所以以線段為弦的圓的圓心在線段的垂直平分線上，所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為，又因?yàn)閳A與軸相切，所以圓的半徑，又因?yàn)?，所以，解得或，即切點(diǎn)分別為和，由于圓上以線段（定長(zhǎng)）為弦所對(duì)的圓周角會(huì)隨著半徑增大而圓周角角度減小，，且過(guò)點(diǎn)的圓的半徑比過(guò)的圓的半徑大，所以，故點(diǎn)為所求，所以當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1.故選：A.二、多選題9．分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C．事件與互斥 D．事件與相互獨(dú)立【答案】ABD【分析】采用列舉法，結(jié)合古典概型概率公式可知AB正確；根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的定義可知CD正誤.【詳解】對(duì)于AB，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，其中滿足事件的有{正，正}，{正，反}兩種情況，事件和事件同時(shí)發(fā)生的情況有且僅有{正，正}一種情況，，，A正確，B正確；事件與事件可以同時(shí)發(fā)生，事件與事件不互斥，C錯(cuò)誤；事件的發(fā)生不影響事件的發(fā)生，事件與事件相互獨(dú)立，D正確.故選：ABD.10．在曲線中，（

）A．當(dāng)時(shí)，則曲線C表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓B．當(dāng)時(shí)，則曲線C為橢圓C．曲線C關(guān)于直線對(duì)稱D．當(dāng)時(shí)，則曲線C的焦距為【答案】ABD【分析】將曲線C化為，再根據(jù)此方程表示橢圓得出的關(guān)系即可判斷AB，求出橢圓的焦距即可判斷D，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性即可判斷C.【詳解】解：將曲線化為，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，則，所以曲線C表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，曲線C為橢圓，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，曲線C為橢圓，橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，則曲線C為橢圓，則曲線C的焦距為，故D正確.故選：ABD.11．以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．圓：與圓：恰有三條公切線C．兩圓與的公共弦所在的直線方程為D．已知圓：，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引條切線，其中為切點(diǎn)，則的最小值為【答案】AB【分析】利用求定點(diǎn)的方法即可判斷A選項(xiàng)；判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系即可判斷B選項(xiàng)；兩圓方程聯(lián)立作差可判斷C選項(xiàng)；利用切線長(zhǎng)可判斷D選項(xiàng).【詳解】令，則，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，所以A正確；圓的圓心為半徑，圓的圓心為半徑，圓心距,所以，所以圓與圓外切，則有3條公切線，所以B正確；兩圓方程聯(lián)立，作差整理得，所以C錯(cuò)誤；設(shè)圓心到直線的距離為，半徑,則，所以，根據(jù)切線長(zhǎng)，當(dāng)取最小值時(shí)，有最小值，所以,所以D錯(cuò)誤.故選:AB.12．在正方體中，，點(diǎn)P滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)平面時(shí)，可能垂直B．若與平面所成角為，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．當(dāng)時(shí)，的最小值為D．當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過(guò)點(diǎn)?P?C的截面面積的取值范圍為[，]【答案】ABD【分析】依題意畫(huà)出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算A、D，連接，則即為與平面所成角，根據(jù)銳角三角函數(shù)得到的軌跡，即可判斷B，將平面與平面沿展成平面圖形，化曲為直，利用余弦定理計(jì)算即可判斷C；【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，即平面的一個(gè)法向量為，若平面，則，即，則當(dāng)時(shí)，，即P為中點(diǎn)時(shí)，有平面，且，故A正確；B選項(xiàng)：因?yàn)槠矫妫B接，則即為與平面所成角，若與平面所成角為，則，所以，即點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個(gè)圓，于是點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，故B正確；C選項(xiàng)：如圖，將平面與平面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理可知所以，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：正方體經(jīng)過(guò)點(diǎn)?P?C的截面為平行四邊形，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，所以點(diǎn)P到直線的距離為，于是當(dāng)時(shí)，的面積取最小值，此時(shí)截面面積為；當(dāng)或1時(shí)，的面積取最大值，此時(shí)截面面積為，故D正確.故選：ABD三、填空題13．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則__________.【答案】【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接求解即可.【詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)知焦點(diǎn)在軸上，且，解得.故答案為：.14．二面角為，A，B是棱l上的兩點(diǎn)，，分別在半平面內(nèi)，，，且，，則的長(zhǎng)_______________.【答案】4【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律計(jì)算作答.【詳解】依題意，，且有，而，所以.故答案為：415．甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，采取五局三勝制（不考慮平局，先贏得三場(chǎng)的人為獲勝者，比賽結(jié)束）.根據(jù)前期的統(tǒng)計(jì)分析，得到甲在和乙的第一場(chǎng)比賽中，取勝的概率為，受心理方面的影響，前一場(chǎng)比賽結(jié)果會(huì)對(duì)甲的下一場(chǎng)比賽產(chǎn)生影響，如果甲在某一場(chǎng)比賽中取勝，則下一場(chǎng)取勝率提高，反之，降低，則甲以取得勝利的概率為_(kāi)_____________.【答案】0.174【分析】設(shè)甲在第一、二、三、四局比賽中獲勝分別為事件、、、，則所求概率為：，再根據(jù)概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)甲在第一、二、三、四局比賽中獲勝分別為事件、、、，由題意，甲要以取勝的可能是，，，所以=.故答案為：0.174.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件和互斥事件的概率計(jì)算，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于?？碱}.四、雙空題16．在矩形中，是平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則______；是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，若，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面向量的線性運(yùn)算易得的坐標(biāo)表示，進(jìn)而可求；由條件得到，從而得到點(diǎn)的軌跡，再利用平面向量的線性運(yùn)算將所求轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到與的距離之和，故而利用點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小值即可求得的最小值.【詳解】依題意，構(gòu)建以為原點(diǎn)，為軸的直角坐標(biāo)系，所以，則又，故，所以；由知，所以在以為直徑的圓上，為圓心，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以，故可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到與的距離之和，又，則在直線上，即對(duì)應(yīng)線段，所以要求，只需求的最小值即可，而關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，故，此時(shí)，即，所以的最小值為.故答案為：；..五、解答題17．直線經(jīng)過(guò)兩直線和的交點(diǎn)．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)直線的方程為，代入交點(diǎn)后可求的值，從而可得直線方程；（2）就斜率是否存在分類討論后可求直線方程.【詳解】（1）直線方程與方程聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)直線的方程為，代入交點(diǎn)得，所以的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得的方程為，符合條件．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線的方程為即根據(jù)，解得，所以直線的方程為．綜上所述，的方程為或．18．已知向量，，.(1)當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)x和k的值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：向量與向量，共面.【答案】(1)；；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)可求得，再根據(jù)垂直的數(shù)量積為0求解即可.（2）設(shè)，根據(jù)條件可得，根據(jù)共面向量定理即得.【詳解】（1）因?yàn)?所以，解得，因?yàn)椋蛄颗c垂直，所以，∴，∴；所以實(shí)數(shù)和的值分別為和；（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)（），則，，解得，即，所以向量與向量，共面.19．一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，6個(gè)綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球.(1)求第二次取到紅球的概率；(2)求兩次取到的球顏色相同的概率；(3)如果袋中裝的是4個(gè)紅球，個(gè)綠球，已知取出的2個(gè)球都是紅球的概率為，那么是多少？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出從10個(gè)球中不放回地隨機(jī)取出2個(gè)的不同取法數(shù)，再求出第二次取到紅球的不同取法數(shù)，然后求概率即可；（2）結(jié)合（1）求解即可；（3）由取出的2個(gè)球都是紅球的概率求出基本事件的個(gè)數(shù)，然后再求解即可.【詳解】（1）從10個(gè)球中不放回地隨機(jī)取出2個(gè)共有（種）可能，即，設(shè)事件“兩次取出的都是紅球”，則，設(shè)事件“第一次取出紅球，第二次取出綠球”，則，設(shè)事件“第一次取出綠球，第二次取出紅球”，則，設(shè)事件“兩次取出的都是綠球”，則，因?yàn)槭录蓛苫コ猓訮（第二次取到紅球）.（2）由（1）得，P（兩次取到的球顏色相同）；（3）結(jié)合（1）中事件，可得，，因?yàn)?，所以，即，解得（?fù)值舍去），故.20．已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，以及取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)；【分析】（1）結(jié)合圓的弦長(zhǎng)與圓心性質(zhì)，設(shè)圓心為，中點(diǎn)為，利用求出，列出，聯(lián)立和求出，進(jìn)而得出半徑，求出圓的方程；（2）配方得，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上點(diǎn)至距離的平方的最小值，由幾何關(guān)系可求最小值；求出，聯(lián)立直線和圓可求點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)椋?，設(shè)圓心為，中點(diǎn)為，所以中點(diǎn)為，，則，，，聯(lián)立可得，即，，故圓的方程為；（2）設(shè)，，故所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為到點(diǎn)距離的平方的最小值，則，；，，聯(lián)立得，即，易知，則，即.21．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，ADBC，AD⊥AB，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，，且E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)．(1)證明：DE平面PAB；(2)若直線PF與平面PAB所成的角為，求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面PCD和平面PAB的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】（1）證明：取PB中點(diǎn)M，連接AM，EM，∵E為PC的中點(diǎn)，∴，又∵，∴MEAD，ME=AD，∴四邊形ADEM為平行四邊形：∴DEAM，∵平面PAB，AM?平面PAB，∴DE平面PAB；（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC?平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，取