數(shù)列極限與函數(shù)極限（沐風(fēng)書苑）

數(shù)列的極限按一定次序排列的無窮多個(gè)數(shù)稱為無窮數(shù)列,簡稱數(shù)列.可簡記為其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng),稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)).注:(1)數(shù)列可看作數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),它在數(shù)軸上依次取值(2)數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)的函數(shù):1沐風(fēng)書苑i定義1設(shè)有數(shù)列與常數(shù)如果當(dāng)無限增大時(shí),無限接近于,則稱常數(shù)為數(shù)列收斂于,記為或如果一個(gè)數(shù)列沒有極限,就稱該數(shù)列是發(fā)散的.注:記號(hào)常讀作:當(dāng)趨于無窮大時(shí),趨于2沐風(fēng)書苑i例1其收斂于何值.若收斂,下列各數(shù)列是否收斂,試指出解(1)數(shù)列即為易見,當(dāng)無限增大時(shí),也無限增大,故該數(shù)列是發(fā)散的;3沐風(fēng)書苑i(2)解易見,當(dāng)無限增大時(shí),也無限接近0,故該數(shù)列收斂于;解(3)數(shù)列即為易見,當(dāng)無限增大時(shí),無休止地反復(fù)取兩個(gè)數(shù),而不會(huì)無限接近于任何一個(gè)確4沐風(fēng)書苑i故該數(shù)列是發(fā)散的;定的常數(shù),(4)數(shù)列即為易見,當(dāng)無限增大時(shí),無限接近于,故該數(shù)列收斂于.5沐風(fēng)書苑i函數(shù)極限的引入數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)的函數(shù):數(shù)列的極限為即:當(dāng)自變量取正整數(shù)且無限增大時(shí),對應(yīng)的函數(shù)值無限接近數(shù)若將數(shù)列極限概念中自變量和函數(shù)值的特殊性撇開,可以由此引出函數(shù)極限的一般概念:在自變量的某個(gè)變化過程中,如果對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定的數(shù)則就稱為在該變化過程中函數(shù)的極限.顯然,極限是與自變量的變化過程密切相關(guān)6沐風(fēng)書苑i自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限當(dāng)定義2如果當(dāng)?shù)慕^對值無限增大時(shí)，函數(shù)無限接近于常數(shù)，則稱常數(shù)為函數(shù)時(shí)的極限，記作如果在上述定義中，限制只取正無窮或負(fù)無窮即有7沐風(fēng)書苑i則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極取限.注意到

意味著同時(shí)考慮可以得到下面的定理定理1極限的充分必要條件是8沐風(fēng)書苑i例2

求極限解因?yàn)楫?dāng)?shù)慕^對值無限增大時(shí)，無限接近于0即函數(shù)無限接近于常數(shù)1,所以9沐風(fēng)書苑i例3

討論極限觀察函數(shù)的圖形（見下圖）易知：所以極限不存在.當(dāng)自變量的絕對值無限增大時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值在區(qū)間[-1,1]上振蕩，不接近任何常數(shù)10沐風(fēng)書苑i例4討論極限解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以不存在.11沐風(fēng)書苑i自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限現(xiàn)在研究自變量無限接近有限值(即)時(shí),函數(shù)的變化趨勢.定義3設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義.如果當(dāng)時(shí),函數(shù)無限接近于常數(shù)則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限.記作或12沐風(fēng)書苑i例5試根據(jù)定義說明下列結(jié)論:解(1)當(dāng)自變量趨于時(shí),顯然,函數(shù)也趨于故(2)當(dāng)自變量趨于時(shí),函數(shù)始終取相同的值故13沐風(fēng)書苑i函數(shù)的左極限與右極限函數(shù)從左側(cè)(或右側(cè))趨于當(dāng)自變量時(shí),趨于常數(shù),則稱為在點(diǎn)處的左極限(或右極限),記為或左極限和右極限的示意圖.注意到意味著同時(shí)考慮與可以得到下面的定理:14沐風(fēng)書苑i定理2極限的充分必要條件是15沐風(fēng)書苑i例6設(shè)求解因?yàn)榧从兴圆淮嬖?16沐風(fēng)書苑i內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列的極限數(shù)列極限的定義2.函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限函數(shù)的左極限與右極限17沐風(fēng)書苑i極限運(yùn)算法則定理設(shè)則(1)(2)(3)其中推論1如果存在,而為常數(shù),則即:常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2如果存在,而是正整數(shù),則18沐風(fēng)書苑i例1求解注：設(shè)則有19沐風(fēng)書苑i例2求解20沐風(fēng)書苑i例3求解分子和分母的極限都是零.時(shí),此時(shí)應(yīng)先約去不為零的無窮小因子后再求極限.消去零因子法21沐風(fēng)書苑i例4計(jì)算解不能直接使用商的極限運(yùn)算法則.但可采用分母有理化消去分母中趨于零的因子.時(shí),當(dāng)22沐風(fēng)書苑i定理2(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成,若則且在的某去心鄰域內(nèi)有注:若函數(shù)和滿足該定理的條件,則作代換可把求化為求其中定理2表明:23沐風(fēng)書苑i例5計(jì)算解令因?yàn)閯t函數(shù)可視為由構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).且時(shí)所以24沐風(fēng)書苑i例6計(jì)算解所以令則且25沐風(fēng)書苑i第一重要極限26沐風(fēng)書苑i例7求解27沐風(fēng)書苑i例8求解原式28沐風(fēng)書苑i例9求解29沐風(fēng)書苑i利用單調(diào)有界準(zhǔn)則可以證明這個(gè)等式.等式右端的其值為2.718281828459045數(shù)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要常數(shù),基本初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)下表有助于讀者理解這個(gè)極限.以及自然對數(shù)中的底就是這個(gè)常數(shù).

1221010001000001000001000002.252.5942.7172.71812.718122.71812830沐風(fēng)書苑i例10求解31沐風(fēng)書苑i例11求解令則時(shí),于是注:本例的結(jié)果今后常作為公式使用.9.2832沐風(fēng)書苑i例12求解33沐風(fēng)書苑i例13解求34沐風(fēng)書苑i內(nèi)容小結(jié)1.掌握極限的四則運(yùn)算法則設(shè)則2.會(huì)用復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法求極限35沐風(fēng)書苑i其中3.了解極限存在準(zhǔn)則,掌握兩個(gè)重要極限及其應(yīng)用36沐風(fēng)書苑i無窮小的概念定義極限為零的變量稱為無窮小.例如:時(shí)的無窮小.函數(shù)是當(dāng)時(shí)的無窮小.函數(shù)是當(dāng)時(shí)的無窮小.函數(shù)是當(dāng)注意:(1)無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆.(2)零是可以作為無窮小的唯一常數(shù).37沐風(fēng)書苑i無窮小的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.注意無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.例如,是無窮小,但個(gè)之和為1,不是無窮小.時(shí),性質(zhì)2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.例如

當(dāng)時(shí),變量都是無窮小.性質(zhì)3性質(zhì)4有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.38沐風(fēng)書苑i例1解所以,求因?yàn)槎?dāng)時(shí),是無窮小量,是有界量39沐風(fēng)書苑i無窮大的概念定義2并記作(或)時(shí),如果在函數(shù)的絕對值無限增大,為當(dāng)則稱函數(shù)(或)時(shí)的無窮大.當(dāng)(或)時(shí)為無窮大的函數(shù)按通常的意義來說,極限是不存在的.但為了敘述函數(shù)這一形態(tài)的方便,我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”,如果在定義中,將“函數(shù)的絕對值無限增大”40沐風(fēng)書苑i無窮大舉例(1)當(dāng)時(shí),無限增大,故是當(dāng)時(shí)的無窮大,即(2)當(dāng)時(shí),取負(fù)值無限減小,故是當(dāng)時(shí)的負(fù)無窮大,即(3)當(dāng)時(shí),取正值無限增大,故當(dāng)時(shí)是正無窮大,即41沐風(fēng)書苑i無窮小與無窮大的關(guān)系無窮大與無窮小之間有著密切的關(guān)系.例如,當(dāng)時(shí),函數(shù)是無窮大,但其倒數(shù)則是同一變化過程中的無窮小;又如,當(dāng)時(shí),函數(shù)是無窮小,但其倒數(shù)則是同一變化過程中的無窮大.一般地,可以證明下列定理.定理2在自變量變化的同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小倒數(shù)為無窮大.根據(jù)這個(gè)定理,我們可將無窮大的討論歸結(jié)為關(guān)于無窮的討論.42沐風(fēng)書苑i例2證求因又故由無窮小與無窮大的關(guān)系,得43沐風(fēng)書苑i例3證求分子和分母的極限都是無窮大